Le successioni: intro

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2 Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u allevameto! Si cosideri la sequeza otteuta dividedo ogi elemeto per il precedete: ,,,,, ovvero:,,.5,.,.6,.65,... I valori otteuti si avviciao alla sezioe aurea:,

3 Le successioi: formalizzazioe Defiizioe Ua successioe è ua fuzioe che associa ad ogi elemeto di N u umero reale, è cioè ua fuzioe reale defiita su N: f: N R f = a a Si deota co a N a a a Spesso le successioi soo defiite da u certo itero 0 i poi, cioè il loro domiio è del tipo N 0. I tal caso, si scrive: a 0 3

4 Successioi : rappresetazioe grafica Ache le successioi possoo essere rappresetate sul piao cartesiao, sull'asse delle ascisse vegoo riportati i valori di, su quella delle ordiate ivece gli a. Il grafico è quidi costituito da ua serie di puti isolati; i figura è riportato l'esempio della successioe aturale dei umeri dispari 4

5 Le successioi: esempi Esempio. Si cosideri la successioe: al crescere di la frazioe, che assume valori positivi, si avvicia sempre di più al umero 0. Esempio Si cosideri la successioe: a 0 Al crescere di la poteza assume valori sempre più gradi Esempio 3 Si cosideri la successioe : a () a Al variare di i valori soo alterativamete + e. 5

6 a = / a = ( ) ICD (Bari) Aalisi Matematica

7 Le successioi I tre esempi precedeti esibiscoo i tre diversi comportameti di ua successioe: covergete, divergete ed oscillate. Studiare ua successioe equivale ad idividuare il comportameto al crescere di ovvero al tedere di verso 7

8 Successioi umeriche: itatezza Defiizioe Ua successioe a si dice itata iferiormete se esiste m R a m, N; itata superiormete se esiste M R a M, N; itata se esistoo m, M R m a M, N. L'operazioe di ite cosete di studiare il comportameto dei umeri a quado diveta sempre più grade. Defiizioe Ua successioe a si dice che possiede defiitivamete ua proprietà se esiste u N N tale che a soddisfa quella proprietà N 8

9 Successioi covergeti Defiizioe Ua successioe a si dice covergete se esiste u umero reale l R co questa proprietà: qualuque sia ε > 0 risulta defiitivamete I altre parole: a l < ε ε > 0, N N a l < ε, N. Defiizioe Sia a ua successioe covergete. Il umero reale l che compare ella defiizioe precedete si chiama ite della successioe a. Si scrive a = l oppure a l per 9

10 Si oti che dalle proprietà del valore assoluto, la disuguagliaza a l < ε equivale a l ε < a < l + ε Duque la codizioe di covergeza sigifica che, fissata ua striscia l ε, l + ε comuque stretta, da u certo idice i poi i puti della successioe o escoo più da questa striscia. Da questa osservazioe risulta che: Ogi successioe covergete è itata. Teorema di uicità del ite Ua successioe covergete o può avere due iti distiti 0

11 Successioi divergeti Defiizioe Sia a ua successioe. Si dice che a diverge a + se M > 0 si ha a > M defiitivamete e si scrive + a = + Si dice che a diverge a se M > 0 si ha a < M defiitivamete e si scrive + a = Esempi

12 Isiemi o itati Defiizioe Sia E R Se E o è itato superiormete si dice che supe = + Se E o è itato iferiormete si dice che ife =

13 Ifiiti e ifiitesimi Defiizioe Ua successioe si dice ifiitesima se + a = 0 Ua successioe si dice ifiita se + a = ± 3

14 Le successioi: mootoia Successioi che presetao ua regolarità ell evoluzioe della serie di termii, ovvero il successivo è sempre maggiore (miore) del precedete oppure uguale, vegoo dette mootoe. Defiizioe Ua successioe a si dice mootoa crescete se a a +, N; strettamete crescete se a < a +, N; mootoa decrescete se a a +, N; strettamete decrescete se a > a +, N; Teorema sul ite delle successioi mootoe Sia a ua successioe mootoa. Se a è mootoa crescete e superiormete itata, allora a è covergete e a = sup a N Se a è mootoa decrescete e iferiormete itata, allora a è covergete e a = if a N 4

15 Esempi Esempi di successioi cresceti e decresceti soo i segueti: La successioe a = è ua fuzioe strettamete crescete La successioe a = / è strettamete decrescete. 5

16 Successioi: operazioi coi iti A) B) a b a b a b a b C) a b a b D) a b b a 6

17 Successioi: poliomi Si cosideri la successioe il cui termie geerico è rappresetato da u poliomio di grado h i : Esempio 4: a 0 h h... h Raccogliedo la poteza di grado più elevato i si ha: a 5 5 a ( ) ( 0 0) I geerale si ha: a sig( 0 ) 7

18 Successioi: rapporto tra due poliomi U successioe ella quale il termie geerico è dato dal rapporto di due poliomi assume l espressioe: A) h>k B) h=k C) h<k 8 k k k h h h a a a 4 a

19 Rapporto tra poliomi i breve Cocludedo: A) se h>k la successioe è divergete a B) se h=k la successioe è covergete a C) se h<k la successioe è covergete a 0. 0 sig( ) 9

20 U altra forma idetermiata Per quato riguarda la successioe il cui termie geerico ha la forma: si preseta ua situazioe difficile solo se la base della poteza tede ad e l espoete tede all, perché si geera la forma idetermiata 0 p p p k k k h h h a

21 Il umero di Nepero Teorema La successioe defiita da è covergete a = +,co Si prova che a è strettamete crescete e itata a 4. Si scrive + = e Il umero di Nepero e è irrazioale e la sua rappresetazioe decimale iizia così:

22 Esempio Si cosideri la successioe Il calcolo del ite porta a: a 3 e e e a 3

23 La successioe geometrica (di ragioe q) E la successioe q, per u fissato q R Si ha: q = + se q > se q = 0 se q < o esiste se q Se q >, q è mootoa crescete, ilitata superiormete. Se q =, q è costate. Se 0 < q <, q è mootoa decrescete. Se q <, q o è mootoa 3

24 Esempi a 5 9 a 0 a 5 a a () a??? 4

25 Limiti e ordiameto Teorema di Permaeza del sego (prima forma) Se a a e a > 0 allora a > 0 defiitivamete Se a a e a < 0 allora a < 0 defiitivamete Teorema di permaeza del sego (secoda forma) Se a a e a 0 defiitivamete allora a 0 Se a a, b b e a b defiitivamete allora a b 5

26 Teorema del cofroto Se a b c defiitivamete ed esiste l R tale che a l, c l allora ache b l 6

27 Legame tra iti di fuzioi e iti di successioi Teorema pote Sia f ua fuzioe reale defiita el sottoisieme X di R, regolare el puto x 0 R di accumulazioe per X e sia x ua successioe di puti di X x 0 tale che x = x 0. Allora la successioe di umeri reali f x N composta per mezzo di f e di x N è ach essa regolare e ha lo stesso ite di f. Più schematicamete: f x = l x x 0 x = x 0 f x = l Vale ache il viceversa: Sia f ua fuzioe reale defiita el sottoisieme X si R e sia x 0 R di accumulazioe per X. Allora se, per ogi successioe x N di puti di X x 0 che abbia x 0 come ite, la successioe f x N è regolare e ha lo stesso ite l, la fuzioe f è regolare i x 0 e ha ite l 7