Università degli Studi di Bologna. Appunti del corso di Analisi Matematica Anno Accademico prof. Daniele Ritelli

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1 Uiversità degli Studi di Bologa Scuola di Ecoomia Maagemet e Statistica Corso di Laurea i Scieze Statistiche Apputi del corso di Aalisi Matematica Ao Accademico f b y prof. Daiele Ritelli f a a b x s f, σ) := m i x i x i ) i= 6 ottobre 03

2 ii

3 INDICE 0 Isiemi, Relazioi, Fuzioi 0. Alfabeto greco Il liguaggio degli isiemi Prodotto cartesiao, relazioi e fuzioi Esercizi Esercizi svolti Esercizi proposti Numeri Reali. Itroduzioe Campo dei razioali Numeri reali Ordiameto e Operazioi Valore Assoluto Proprietà archimedea Iduzioe Fattoriali e coefficieti biomiali Disuguagliaze Disugualiaza di Beroulli Disugualiaza di Cauchy-Schwarz Disuguagliaza aritmetico geometrica Esercizi Numeri aturali e pricipio di iduzioe: esercizi svolti Numeri aturali e pricipio di iduzioe: esercizi proposti Numeri razioali, irrazioali e reali: esercizi svolti Numeri razioali, irrazioali e reali: esercizi proposti

4 iv INDICE Successioi 4. Defiizioi e geeralità Progressioi aritmetiche Progressioi geometriche Successioi covergeti Successioi ifiitesime Algebra delle successioi covergeti Limiti e disuguagliaze Successioi divergeti Successioi moòtoe Il umero e La fuzioe espoeziale Estrazioe di radice quadrata Il criterio del rapporto per le successioi Teorema di Bolzao Weierstrass, Successioi di Cauchy Forme idetermiate: Regole di Stolz-Cesàro Esercizi Esercizi svolti Esercizi proposti Serie Defiizioi e geeralità Alcue serie calcolabili esplicitamete Serie geometrica Serie di Megoli Serie a termii positivi: criteri di covergeza Criterio geerale di covergeza e sue cosegueze I criteri della radice, del rapporto e di Raabe Criterio di codesazioe e serie armoica geeralizzata Serie a termii alteri, covergeza assoluta La fuzioe espoeziale Esercizi Esercizi svolti Esercizi proposti Limiti e cotiuità Fuzioi reali di ua variabile reale Algebra delle fuzioi Limiti Limiti destri e siistri. Limiti all ifiito Fuzioi cotiue Cotiuità delle fuzioi elemetari Fuzioi goiometriche

5 INDICE v 4.6. Fuzioe espoeziale Discotiuità Teoremi fodametali sulle fuzioi cotiue Esisteza degli zeri. Valori itermedi Esisteza degli estremi. Teorema di Weierstrass Cotiuità della fuzioe composta e della fuzioe iversa Radice -esima Logaritmo aturale Iverse delle fuzioi goiometriche Espoeziali e logaritmi di base qualsiasi Limiti fodametali Uiforme cotiuità Puti fissi di fuzioi cotrattive Esercizi Esercizi proposti Calcolo differeziale Fuzioi derivabili Derivate delle fuzioi fodametali Fuzioe moomia Fuzioe espoeziale di base e Fuzioe espoeziale di base qualuque Fuzioe logaritmo aturale Fuzioe seo goiometrico Fuzioe coseo goiometrico Fuzioe tagete goiometrica Retta tagete ad ua fuzioe Il teorema di Darboux Derivate successive Derivabilità el seso di Carathéodory Derivata della fuzioe composta e derivata dell iversa Derivata della fuzioe composta Fuzioi iperboliche Poteza co espoete reale Derivata della fuzioe iversa Derivate successive della fuzioe iversa I risultati fodametali sulle fuzioi derivabili i u itervallo Teoremi di Fermat e Rolle I Teoremi di Lagrage e Cauchy Mootoia e sego della derivata Ricerca di massimi e miimi co il criterio della derivata secoda Il teorema della derivata ulla Forme idetermiate. Teoremi di de l Hôpital

6 vi INDICE 5.0 Fuzioi covesse Applicazioi della ozioe di covessità Il metodo di Newto Poliomi osculatori. Teoremi di Taylor McLauri Simboli di Bachma-Ladau Esercizi

7 INTRODUZIONE Questi soo gli apputi che ho steso per preparare il corso di Aalisi Matematica, presso la laurea trieale i Scieze Statistiche dell Uiversità di Bologa per l ao accademico 03/04. Mi soo ispirato liberamete ai segueti mauali [CS74, Bra06, How0, Apo74, Bro96, Ros3, Zor04, GL06, AB97, Wad04, Giu03, Pi73, Loy06, Kir95, HW08, La94, Gil9, MS96] oltre che alle mie precedeti esperieze didattiche più che veteali elle allora) Facoltà di Ecoomia, [RBT05]. Chiedo idulgeza al lettore/studete, si tratta di u work i progress i attesa, se le future mie vicede accademiche lo rederao, come spero e mia auguro, possibile, di preparare u mauale che supporti pieamete il corso di Aalisi Matematica per la laurea trieale i Scieze Statistiche presso l Uiversità di Bologa. Ci sarao sicuramete errori, refusi e ripetizioi, che si sistemerao solo co la pratica didattica egli ai. Ioltre è molto importate, che lo studete o stampi immediatamete l itero documeto, ci sarao aggiorameti dello stesso durate il corso: ivito lo studete a cotrollare su se la versioe di cui è i possesso sia la più aggiorata prima di stampare. Allo stato attuale, per ragioi di rapidità, la materia qui esposta è presetata molto siteticamete: ad oggi o soo presetate co particolare dettaglio le parti discorsive, espositive e storiche che tratto durate le lezioi i aula e macao acora due capitoli sull itegrazioe e le serie di poteze che coto di redere dispoibili etro la fie del corso. Questi apputi cotegoo comuque tutto quello che a priori vorrei trattare el corso, spesso sempre?) la realtà dell aula ridimesioa i miei buoi propositi, tuttavia ho scelto di presetare tutto il materiale i mio posesso, sperado che qualche studete iteressato sia icuriosito dagli argometi che per qualche ragioe o hao trovato spazio i classe. Cocludo co u paio di riflessioi. Fra gli studeti, a secoda del tipo di formazioe, c è certamete chi ha trattato alcui temi che sarao al cetro di questi corso: il calcolo di iti, la derivazioe delle fuzioi, il calcolo di itegrali. Qualche studete potrebbe domadarsi perché ripetere queste cose i u corso di Aalisi Matematica? La risposta è duplice: ache se qualche risultato dovesse essere stato dimostrato è probabile che gli aspetti più sottili, come la completezza dei umeri reali, l uiforme cotiuità, siao stati trascurati. Nella sostaza le abilità che vegoo coseguite elle scuole superiori soo, ella maggioraza dei casi, di tipo puramete computazioale. I questo corso ivece l Aalisi Matematica verrà presetata

8 viii INDICE dettagliatamete, co lo scopo di mettere lo studete ella codizioe di produrre autoomamete le sue dimostrazioi. Ogi teoria matematica rigorosa parte da alcue ozioi o defiite su cui si basa la teoria e alcue proprietà postulate, che soo chiamate assiomi, che soo assute per vere seza dare la dimostrazioe. Il ostro studio è basato sulle ozioi primitive di isieme e di umeri reali e su alcui postulati che itrodurremo ei primi due capitoli. Bologa 6 ottobre 03 Apputi composti i L A TEX ε

9 CAPITOLO 0 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI 0. Alfabeto greco Nel corso molte volte, idicheremo alcue quatità umeriche usado, come è tradizioe i Matematica, le lettere dell alfabeto greco. Per questa ragioe le richiamiamo esplicitamete. alfa α A iota ι I rho ρ P beta β B cappa κ K sigma σ Σ gamma γ Γ lambda λ Λ tau τ T delta δ mu mi) µ M iupsilo υ Υ epsilo ε E u i) ν N fi ϕ Φ zeta ζ Z csi ξ Ξ chi χ X eta η H omicro o O psi ψ Ψ teta ϑ Θ pi π Π omega ω Ω 0. Il liguaggio degli isiemi I questo corso avremo la ecessità di lavorare co la ozioe di isieme. Pertato prima di iiziare è bee fissare u miimo di termiologia, otazioe e proprietà che sarao utili per tutto il seguito. I ogi caso vogliamo ridurre el ostro cammio le ozioi di teoria degli isiemi al miimo idispesabile per i ostri scopi. Per approfodimeti suggeriamo [NS9]. Le ozioi di isieme, oggetto e apparteeza soo ituitive. Gli isiemi sarao per oi collezioi di oggetti, che per i ostri iteressi sarao la maggior parte delle volte dei umeri. Per itrodurre la ozioe di isieme i modo rigoroso usiamo tre assiomi. A Assioma di esisteza Esiste ameo u isieme

10 0. Isiemi, Relazioi, Fuzioi A Assioma di estesioalità fra isiemi Due isiemi A e B soo uguali, A = B, se ogi oggetto che appartiee ad A appartiee ache a B e viceversa ogi oggetto che appartiee a B appartiee ache ad A A3 Assioma di specificazioe Per ogi isieme A e per ogi codizioe P, esiste l isieme B costituito da tutti e soli gli oggetti di A che soddisfao la codizioe P. L assioma A e assicura l uicità La proprietà caratteristica o ecessariamete è uica. Ifatti l isieme costituito dalle lettere a, c, o, s può essere per esempio otteuto come le lettere della parola caso ma ache co le lettere della parola sacco. Se A è u isieme e a è u elemeto di A scriviamo a A e leggiamo la formula dicedo a appartiee ad A. Se a o è elemeto di A scriviamo a / A e leggiamo a o appartiee ad A. Gli isiemi possoo essere descritti elecado i loro elemeti all itero di paretesi graffe, ad esempio l isieme dei primi quattro umeri aturali dispari è A = {, 3, 5, 7}. Nel caso di isiemi fiiti questa è ua rappresetazioe particolarmete coveiete, ma ache quado presetiamo isiemi ifiiti, come l isieme dei umeri aturali o l isieme di tutti i umeri dispari N = {,, 3,...} D = {, 3, 5, 7,...} possiamo rappresetare gli elemeti di u isieme per elecazioe, dado per itese le proprietà che regolao l apparteza all isieme. Si usao le paretesi graffe ache quado si vuole distiguere u isieme costituito da ua solo elemeto, detto sigoletto, dall elemeto stesso, quidi avremo che a {a}. Altro modo di defiire u isieme è attraverso ua proprietà posseduta da tutti i suoi elemeti. Ad esempio l isieme D dei umeri dispari può essere itrodotto ache ei segueti modi D = { N : è divisibile per } = { : N}. Da otare che i due puti si leggoo tale che. La ozioe di sottoisieme è ituitiva, ad esempio l isieme D è sottoisieme dell isieme N dei umeri aturali perché ogi elemeto di D è ache elemeto di N. Questo fatto è rappresetato dalla formula D N o dall altro lato N D. Astraedo a isiemi qualsiasi diremo che B è sottoisieme di A scrivedo B A oppure A B se x B = x A. Co questa defiizioe abbiamo che A A. Se iteressa rappresetare la situazioe i cui B A e B A scriveremo semplicemete B A e diremo che B è u sottoisieme proprio di A. Nell esempio che abbiamo fatto i precedeza chiaramete possiamo scrivere D N. Fra i sottoisiemi di u isieme A cosidereremo ache l isieme vuoto che deoteremo co che è l isieme che o ha elemeti. L isieme di tutti i sottoisiemi di u dato isieme A si chiama isieme delle parti di A o ache isieme poteza di A) e lo si deota co il simbolo PA). Si osservi che l isieme P ) è o vuoto i quato possiede l elemeto ed ha due sottoisiemi distiti, e { }. Dati due isiemi A e B etrambi sottoisiemi di u stesso isieme M la loro uioe A B è: A B = {m M : m A o m B} Qui la cogiuzioe o va itesa iclusivamete, vale a dire che si itede m A oppure m B o etrambe.

11 0.3. Prodotto cartesiao, relazioi e fuzioi 3 * j + 0? $? -,?? -,?? Figura : Uioe %? -,?? -,?? N±w ¹ : Q Si ha poi che l itersezioe dei due isiemi A e B e defiita da ą D ő H A B = {m M : m A e m B} m /Ɖ6 ң ң m / Ë m 6 * j + ң m / Ë 6 ң ң m /Ɖm 6 $ң $? 0? % *? B $ң 0 " H ң;ңm /ңƴң6 ңÿң ңųң /ƴң6 ңŕңң ңųң/ ңļ ңųң6 3ңÿң ÿң ң;ңm / ңļ ң;ңm 6 ңÿң ң;ң m /ңëңm 6 3ң -,?? -,?? m /Ɖ6 ң Ë m 6 -,?? ƿ m / -,?? $ң Figura : Itersezioe 6 : Q Quado l itersezioe N±w ¹ di due isiemi e l isieme vuoto, diremo che i due isiemi soo detti disgiuti. ÿң ң;ңm / ңļ ң;ңm 6 3ңÿң ң;ң m /ңëңm 6 3ң ő H ą D Se A e u sottoisieme di M il complemetare di A i M e l isieme ļ ңų6 3 ŕ ŕң ңų/ ң ң ңų /ƴң6 3ңŕң ң ÿң ң ң;ңm /ƴ 6 3 * m / Ë 6 ң ң m /Ɖm 6 $ң m = /Ɖ6 ң ң Ë m 6 Ac = M \ A {m M : m / m / A} Dalla defiizioe di complemetare abbiamo le due proprieta " H B $ң 0 ; Ë m 6 ң ƿ m /Ɖ6 $ң A Ac = M, A Ac = m / ң;ңm /ңƴң6 ңÿң ңųң /ƴң6 ңŕңң ңųң/ ңļ ңųң6 3ңÿң E" 6 ; La defiizioe di A \ B ha seso ache quado A o e u sottoisieme di B, ifatti, se A = {,, 3} e ÿң ң;ңm / ңļ ң;ңm 6 ңÿң ң;ң m /ңëңm 6 3ң B = {,, 4} si ha A \ B = {3}. ¹ ң ī ң ң ң $ң A /ң 6ң ]/ ң6tң ң]6 ң/t ң /ң 6ң /ңâң6ң 0.3 Prodotto cartesiao, relazioi e fuzioi ƿ m / Ë m 6 $ң 6 / m 6 ң /Ɖ6 ң $ң Il prodotto cartesiao di due isiemi A e B si idica co il simbolo A ң ң B ed e defiito da /ң 6 ң è Ū ң / ң6 ң A B = {a, ÿң b) : a A, b B} ң;ңm / ң ļ ң;ңm 6 3ңÿң ң;ң m /ңëңm 6 3ң ŕ ң ңų /ƴң6 3ңŕң E l isieme di tutte le coppie ordiate a, b) 6 i7*? cui aŕң ңų/ ң A e b #! ļ B. ңų6 3 Lo si$ * chiama cartesiao i quato esso e " la aturale geeralizzazioe del procedimeto che dota il piao di u sistema ÿң ң;ңm /ƴ 6 3 ң di coordiate ortogoali. Dati due isiemi A e B ua relazioe da A a B e u sottoisieme R di A B. Scriveremo arb quado a, b) R. Nel caso particolare, ma di grade iteresse, i cui A = B, la relazioe R e detta biaria. Nel ostro percorso avremo a che fare co tre tipi fodametali di relazioe. ; m / Ë m 6 ң ƿ m /Ɖ6 $ң E" 6 ; ¹ ң ī ң ң ң $ң A /ң 6ң ]/ ң6tң ң]6 ң/t ң /ң 6ң /ңâң6ң / 6 ң $ң ң ң /ң 6 ң è Ū ң / ң6 ң

12 4 0. Isiemi, Relazioi, Fuzioi i) Equivaleze. Suppoiamo A = B = X. Ua relazioe biaria su X si dice relazioe di equivaleza su X se soddifa le tre segueti proprietà: a) per ogi x X, b) se x y allora y x x x c) se x y e y z allora x z Queste tre proprietà soo rispettivamete dette di riflessività, simmetria, trasitività. Il più semplice esempio di relazioe di equivaleza è quello di uguagliaza. Ua equivaleza i X ripartisce l isieme X i classi di equivaleza: per ogi x X cosideriamo l isieme di tutti gli elemeti equivaleti all elemeto x che idichiamo co [x] = {y X : y x}. L isieme [x] viee chiamato classe di equivaleza dell elemeto x. Siccome per la proprietà a) è x [x] l isieme X è l uioe di tutte le classi di equivaleza. Si verifica che presi x, y X le due classi di equivaleza [x] e [y] o soo disgiute [x] [y] = o soo coicideti [x] = [y] ii) Ordii parziali. Suppoiamo A = B = X. Ua relazioe biaria su X si dice ordie parziale se soddisfa le due segueti proprietà: a) è trasitiva: se x y e y z allora x z b) è atisimmetrica: per ogi x, y X, x y = y x Ioltre ua relazioe su X è detta ordie totale se essa è u ordie parziale e soddisfa la proprietà di tricotomia c) per ogi x, y X vale ua sola delle tre: x y, x = y, y x U esempio di relazioe di ordie parziale è l iclusioe isiemistica. La relazioe aturale di ordiameto dei umeri reali è ua relazioe di ordie totale. iii) Fuzioi. Ua relazioe f da A a B è detta fuzioe se per ogi a A esiste u solo b B tale che afb. I questo caso scriveremo b = fa). Questa defiizioe idetifica ua fuzioe co il suo grafico: G = {a, b) A B : b = fa)}. I pratica possiamo pesare ad ua fuzioe da A a B come ua regola che ad ogi elemeto a A associa u elemeto fa) B. La scrittura covezioale è f : A B i cui A viee detto domiio di f e B viee detto codomiio di f, metre l immagie di A mediate f è l isieme fa) = {b B : b = fa), a A}. Si oti che codomiio e immagie soo i geerale distiti. Se C B la cotroimmagie di C è l isieme degli elemeti di A che ha immagie i C. La cotroimmagie di C si idica co il simbolo f C): f C) = {a A : fa) C}. Diremo che f è suriettiva se fa) = B. Diremo poi che f è iiettiva se fa ) = fa ) a = a. Ua fuzioe che sia tato iiettiva quato suriettiva si dice biettiva. I questo caso si scrive f : A B Se f : A B è ua fuzioe iiettiva, resta defiita ua applicazioe da fa) ad A cosiderado la legge che ad ogi elemeto b fa) fa corrispodere l uico elemeto a A tale che fa) = b. Tale applicazioe si deota co f : fa) A e vale la relazioe su f fa)) = a per ogi a A

13 0.4. Esercizi 5 Se f è biettiva la sua iversa f è tale che per ogi b B si ha f f b) ) = b Si dimostra che f : A B è ivertibile se e solo se esiste ua fuzioe g : B A tale che gfa)) = a per ogi a A, fgb)) = b per ogi b B La fuzioe g è la fuzioe iversa di f e viee deotata co f 0.4 Esercizi 0.4. Esercizi svolti. Siao A = {x Q : x = +, N }, B = {x Q : x = 3m, N }. Dimostrare che A B = {, 3 }.. Sia f : N N a) f è iiettiva? { + 5 se 8 f) = + se > 8 b) è vero che 4 fn)? 3. Sia f : Z Z la fuzioe tale che fz) = { 3z se z è pari 4z se z è dispari a) f è iiettiva? b) f è suriettiva? c) trovare f {5, 6}) 4. Dimostrare che f : [3/, [ [0, [ defiita da fx) = 5. Determiare tutte le fuzioi g che soddisfao 3x x + 4 è iiettiva, ma o suriettiva. 6. Determiare tutte le fuzioi f che soddisfao gx + y) + gx y) = x + y fxy) = yfx). E) 7. Determiare tutte le fuzioi f per cui fx) + f x ) = x. F)

14 6 0. Isiemi, Relazioi, Fuzioi Soluzioe. Se esiste u elemeto comue ai due isiemi allora esistoo due umeri aturali, tali che + = 3 = 0.) ma dal secodo membro di 0.) vediamo che deve essere pari, quidi esiste m N tale che = m e sostituedo i 0.) otteiamo m + m = 3 0.a) Ora la 0.a) è possibile solo per m = e per m = 3 perché 3 è u umero primo. Allora m = 3 = = 0, = 6 quidi x = m = = =, = quidi x = 3. a) I due casi separati origiao due fuzioi iiettive, il puto è capire se la fuzioe sia iiettiva globalmete. Suppoiamo esistao due aturali 8 ed > 8 per cui f ) = f ) + 5 = + Ne verrebbe = 4 ma questa uguagliaza o è possibile perché > 8 comporta che il miimo valore assuto dall espressioe 4 è 4. b) No, l immagie di f è data dagli iteri 6, 7, 8, 9, 0,,, 3 e da tutti gli iteri dispari 7 3. a) I due casi separati origiao due fuzioi iiettive, il puto è capire se la fuzioe sia iiettiva globalmete. Suppoiamo che esistao u itero dispari z ed u itero pari z per cui fz ) = fz ), allora si avrebbe 3z = 4z 3z = 4z il che o può darsi perché z è pari. Duque f è iiettiva. b) La fuzioe o è suriettiva perché, ad esempio, 0 / fz). fz) = 0, se z fosse pari, si avrebbe: Ifatti se esistesse z Z tale che 3z = 0 = z = 3 il che o può essere. Aalogamete se z fosse dispari avremmo: che, acora ua volta o può darsi. 4z = 0 = z = c) Bisoga risolvere le due equazioi fz) = 5 e fz) = 6 cosa che si fa più velocemete teedo coto che, per costruzioe: fpari) = dispari, i. fz) = 5 3z = 5 z = 6 3 fdispari) = pari. o accettabile ii. fz) = 6 4z = 5 z = 7 4 o accettabile

15 0.4. Esercizi 7 quidi f {5, 6}) = 4. Presi x, x > 3/ si ha fx ) = fx ) svolgedo i calcoli troviamo che: 3x x + 4 = 3x x + 4 3x x + 4 = 3x x + 4 fx ) = fx ) 4 x x ) x + 4) x + 4) = 0 il che impoe x = x e dimostra che f è iiettiva. Proviamo a risolvere rispetto ad x, co y 0 come termie oto, l equazioe: 3x x + 4 = y Eleviamo al quadrato e risolviamo rispetto ad x ricordado che x 3/ 3x 3x = y x + 4 x + 4 = y x = 4y + 3 y L ultima espressioe trovata ci permette di affermare che se il codomiio di f è [0, [ la fuzioe o è suriettiva i quato, se volessimo risolvere l equazioe fx) = usado la formula appea otteuta vediamo che dovrebbe essere o accettabile i quato il domiio di f è [3/, [ x = = 8 5. Sia y = 0. Allora gx) = x, cioè, gx) = x. Verifichiamo che gx) = x fuzioa. Si ha: gx + y) + gx y) = x + y) + x y) = x + xy + y + x xy + y = x + y. 6. Se x = allora fy) = yf). Essedo f) ua costate, poiamo k = f). Duque tutte le fuzioi che soddisfao E) devoo soddisfare fy) = ky. 7. Da otteiamo Poi, sostituedo /x per x F) otteiamo Quidi che porge fx) + f x ) = x f x ) = x fx). f/x) + fx) = /x. fx) = x f/x) = x x ) fx), fx) = 3x x 3

16 8 0. Isiemi, Relazioi, Fuzioi 0.4. Esercizi proposti. Cosideriamo la relazioe i Z a b a b = 3 per u certo Z. Dimostrare che è ua equivaleza e che l isieme Z ha tre elemeti.. Cosideriamo la relazioe R i N = N N Dimostrare che R è ua relazioe di equivaleza. 3. Cosideriamo la relazioe R i Z Z \ {0} Dimostrare che R è ua relazioe di equivaleza. a, b)rc, d) a + d = b + c m, a)r, b) mb = a 4. Dimostrare che f : N N, f) = + è iiettiva ma o suriettiva. 5. Dimostrare che f : Q Q, f) = 3 + è iiettiva e suriettiva. 6. Sia f : N N a) f è iiettiva? b) f è suriettiva? + se = 3h, h N 3 f) = se = 3h +, h N + se = 3h +, h N c) trovare f A) ei segueti casi: A = {6, 7, 8}, A = {,, 3} 7. Sia f : Z Z la fuzioe tale che fz) = { 5z 3 se z è pari 8z + se z è dispari a) f è iiettiva? b) f è suriettiva? c) trovare f {, 8}) 8. Dimostrare che f : [5/3, [ [0, [ defiita da è iiettiva, ma o suriettiva. fx) = 3x 5 x Dimostrare che f : R R defiita da fx) = x 3 è ua fuzioe iiettiva. Si può dire lo stesso se fx) = x co N? 0. Dimostrare che la fuzioe f : R R defiita da { x se x 0 fx) = x + se x > 0 è iiettiva

17 0.4. Esercizi 9. Dimostrare che la fuzioe f : R [ /, /] defiita da è suriettiva ma o iiettiva. Data la fuzioe f : R R defiita da dimostrare che: fx) = fx) = x + x x + x a) f è iiettiva b) f o è suriettiva c) determiare fr) 3. Sia a : R R, defiita da a x) = x 5x. Calcolare a3), ax) e aax)). 4. Sia f : R R, f x) = x. Trovare f ), fx) e ffx)). 5. Sia h : R R defiita da h x) = x. Determiare h3x).

18 0 0. Isiemi, Relazioi, Fuzioi

19 CAPITOLO NUMERI REALI. Itroduzioe I umeri aturali hao i Aalisi Matematica lo stesso ruolo che le lettere hao ell alfabeto e le ote per la musica. Meo poeticamete possiamo accostarli alla particelle elemetari i Fisica. Il primo passo per iiziare lo studio della Matematica parte quidi dagli iteri positivi, il primo isieme umerico ad essere cocepito dall Umaità N = {,, 3,...} L itroduzioe dello zero e dei umeri egativi avvee solo successivamete e da origie all isieme degli iteri Z = {0, ±, ±, ±3,...} Il passo successivo ci porta a cosiderare le frazioi, cioè i quozieti di umeri iteri, portadoci all isieme dei umeri razioali { } Q = d, d Z, & d 0 I umeri così itrodotti hao ua aturale iterpretazioe geometrica: fissado su di ua retta u puto origie lo zero) ed u segmeto uitario gli iteri soo otteuti prededo multipli di tale segmeto, metre i umeri razioali si rappresetao attraverso ua opportua scelta di sottomultipli dell uità; ad esempio dividedo i N parti il segmeto fra 0 e rappresetiamo i umeri razioali, /, /,.... Il sistema dei umeri razioali sembrerebbe così u sistema che riempie la retta reale, ma i effetti o è così, i umeri razioali lasciao i u certo qual modo dei buchi lugo la retta reale Figura.: La retta dei aturali Co il primo teorema del corso faremo vedere che la retta, itesa come oggetto geometrico cotiuo, o è riempita dall isieme dei umeri razioali. Teorema... No esiste alcu umero razioale r Q tale che r =.)

20 . Numeri Reali Dimostrazioe. No è restrittivo supporre che il umero razioale r sia esprimibile mediate ua frazioe ridotta ai miimi termii: r = p q co p, q iteri privi di fattori comui. Suppoiamo, per assurdo che.) valga, allora segue che p = q.) Da.) si deduce che p è u umero pari, ma allora ache p è u umero pari, che quidi può essere rappresetato ella forma p = k. D altra parte, sostituedo i.), vediamo che p = k) = 4k = q = k = q.3) Da.3) segue che q è pari e allora ache q è pari, ma questo cotraddice il fatto che p e q soo privi di fattori comui. I cosegueza di quato appea mostrato, dobbiamo accettare il fatto che le soluzioi dell equazioe.) o soo umeri razioali e ad essere rigorosi dovremmo ache capire come e perché questa equazioe ammette soluzioe. Accettiamo il fatto, ituitivo, che esista ua soluzioe positiva di.), che duque deota u umero irrazioale che deoteremo co. Quado abbiamo trovato cercado di risolvere l equazioe.) o è u fatto isolato, ifatti si può dimostrare che se è u umero itero positivo l equazioe r =.4) o ha soluzioi razioali ogi volta che l itero o è u quadrato perfetto. Ioltre questo approccio è seza fie el seso che si possoo geerare umeri irrazioali i ifiiti modi. Ad esempio dimostriamo la proposizioe. Proposizioe... Il umero 3 è irrazioale. Dimostrazioe. Suppoiamo per assurdo che esista r Q tale che 3 = r. Allora, siccome r Q = r Q abbiamo che: 3 ) = 3 ) 3 + ) = 5 6 = r Q Ma ciò sigifica ache che: 5 r 6 = Q Da qui l assurdo i quato 6 / Q. Ifatti se esistessero due umeri aturali, d N, mcd, d) = co: 6 = d 6d = e segue che è pari e duque = ν per u certo ν N. Ma, allora 6d = 4ν 3d = ν = d = δ per u certo δ N. Ma questo cotraddice l ipotesi che e d o abbiao divisori i comue. Pertato 6 Q e, duque 3 Q. Il metodo qui utilizzato si basa su questa osservazioe.

21 .. Campo dei razioali 3 Osservazioe... Se x è u umero reale tale per cui x è irrazioale, allora ache x è irrazioale. U altra fote di umeri irrazioali viee dal prossimo teorema. Teorema... Se a, b, c soo iteri dispari, l equazioe o ha soluzioi razioali. ax + bx + c = 0.5) Dimostrazioe. Suppoiamo che p sia ua soluzioe razioale dell equazioe.5). È lecito supporre che p e q q o abbiao fattori primi i comue, così o p e q soo etrambi dispari, oppure uo è dispari e l altro pari. Ora: ) ) p p a + b + c = 0 = ap + bpq + cq = 0. q q Se sia p che p fossero dispari, allora ache ap + bpq + cq sarebbe dispari e quidi 0. Aalogamete se uo dei due fosse pari e l altro dispari allora uo fra i due umeri ap + bpq o bpq + cq sarebbe pari e quidi ap +bpq +cq sarebbe comuque dispari. Questa cotraddizioe dimostra che l equazioe o può avere ua radice razioale.. Campo dei razioali Procederemo suppoedo che le proprietà algebriche degli isiemi N dei umeri aturali e Z dei umeri iteri relativi siao ote. I umeri razioali Q soo dati dell isieme delle frazioi m/ co m, Z e 0. Ogi razioale possiede ifiite rappresetazioi di questo tipo i quato per ogi z Z, z 0 zm z = m La somma e la moltiplicazioi di razioali si defiiscoo mediate regole, otteute usado l aritmetica degli iteri m + m = m + m m, m = m m Q cotiee Z i quato per ogi m Z abbiamo m = m Come avremo modo di vedere immediatamete i due umeri razioali 0 = 0 = 0, = = hao u ruolo particolare. L isieme Q gode di proprietà che i Algebra soo proprie delle strutture dette campi rispetto alle operazioi di somma e prodotto appea defiite. Gli assiomi di campo che soo soddisfatti da Q soo, dati a, b, c Q: F F a + b) + c = a + b + c) proprietà associativa della somma a + b = b + a proprietà commutativa della somma F 3 esiste 0 Q tale che per ogi a Q, a + 0 = a F 4 per ogi a Q esiste u elemeto a Q tale che a + a) = 0

22 4. Numeri Reali F 5 F 6 ab)c = abc) proprietà associativa del prodotto ab = ba proprietà commutativa del prodotto F 7 esiste Q tale che per ogi a Q, a = a F 8 per ogi a Q, a 0 esiste u elemeto /a Q tale che a/a) = F 9 ab + c) = ab + ac proprietà distributiva L opposto di m/ è m)/ e il reciproco di m/ è /m. Defiizioe... Se m, Z diremo che m > se e solo se esiste p N tale che m = + p La relazioe così defiita è ua relazioe di ordie totale su Z. L ordiameto degli iteri relativi si estede ai razioali i questo modo. Dati due razioali m / e m / i cui possiamo supporre seza perdita di geeralità che sia, > 0 diciamo che Useremo ache la scrittura equivalete m < m se m < m m > m. Metre la scrittura x y sigifica che vale ua delle due codizioi a < b o a = b. Le proprietà della relazioe di ordie i Q soo, dati a, b, c Q: O O O 3 O 4 a < b e b < c implica a < c proprietà trasitiva vale ua sola delle tre relazioi a < b, o a = b, o a > b legge di tricotomia a < b implica a + c < b + c compatibilità co la somma a < b e c > 0 implica ac < bc compatibilità co il prodotto Gli assiomi F F 9 e O O 4 si riassumoo dicedo che Q è u campo ordiato e soo alla base dell algebra studiata alle scuole superiori. Q possiede u altra importate proprietà: quella di desità: fra due umeri razioali r < r e esiste u terzo r tale che r < r < r. Basta ifatti predere r = r + r )/. Dalla proprietà di desità scede subito che esistoo ifiiti umeri razioali fra i due razioali r < r. I Q vale ache la cosiddetta proprietà archimedea: di cui ci occuperemo el paragrafo.6. per ogi q Q, q > 0 esiste N tale che > q.3 Numeri reali L isieme R dei umeri reali è u campo ordiato che cotiee l isieme Q. La proprietà di desità di Q che abbiamo itrodotto el paragrafo precedete o impedisce, state la ostra discussioe iiziale sulla irrazioalità di, che l isieme Q abbia dei buchi. L isieme R, grazie a quella che si chiama proprietà di completezza, ha ua struttura cotiua, seza buchi o iterruzioi.

23 .3. Numeri reali 5 Defiizioe.3.. U sottoisieme B di Q si dice superiormete itato se esiste q Q tale che q b per ogi b B. L elemeto q viee detto maggiorate dell isieme B Ad esempio l isieme {a Q : a < 7} è superiormete itato da 7 e da ogi umero maggiore di 7. D altra parte l isieme N o è superiormete itato. Fra i maggiorati di u isieme superiormete itato quello più importate è il più piccolo. Defiizioe.3.. Se B è u isieme superiormete itato il umero s si dice estremo superiore di B se s è u maggiorate di B; per ogi m Q che sia maggiorate di B risulta s m. Si comprede facilmete che se tale umero esiste esso è uico, ifatti se s ed s fossero due estremi superiori dello stesso isieme B avremmo s s perché s è u maggiorate e s estremo superiore. Ma co la stessa argometazioe possiamo dedurre la disuguagliaza opposta s s. Quidi se esiste estremo superiore di u isieme, possiamo riferirci ad esso come l estremo superiore. Il puto cruciale è che i Q esistoo isiemi superiormete itati sprovvisti di estremo superiore. Cosideriamo ifatti l isieme D = {a Q : a 0 e a < } Tale isieme è evidetemete superiormete itato i quato se a D si ha certamete a < 4 e quidi a <. Il umero è quidi u maggiorate di D ma certamete o il miimo maggiorate. Ifatti ache 3/ è maggiorate di D i quato se a D si ha a < 9/4 e quidi a < 3/. Co cosiderazioi aaloghe possiamo trovare ifiiti altri umeri razioali che maggiorao D, fiedo per costruire la ota approssimazioe decimale di :, È proprio per la provata irrazioalità di che questo procedimeto o ha termie. L estremo superiore dell isieme D è u umero irrazioale. Questo o è u fatto isolato: dato u isieme superiormete itato di umeri razioali, il suo estremo superiore può essere irrazioale. U altro celebre esempio è dato dall isieme { E = + ) } : N Ifatti si può dimostrare che 3 è u maggiorate di E e che il suo estremo superiore, che si deota co la lettera e, è u umero irrazioale. Ammettermo assiomaticamete che l isieme R è u campo ordiato i cui soo soddisfatti u ulteriore assioma: Assioma di completezza: ogi sottoisieme di R o vuoto e superiormete itato ammette estremo superiore i R. A questo puto va, perlomeo, detto che tutti gli isiemi umerici Z, Q, R possoo i effetti essere costruiti a partire dall isieme dei umeri aturali, evitado il ostro approccio assiomatico. Tuttavia, sia per il fatto che questo è u corso itroduttivo all aalisi, sia per il fatto che, i vista delle applicazioi, questi aspetti fodazioali o hao particolare rilevaza, è sufficiete ai ostri scopi credere all assioma appea euciato. Naturalmete o c è ragioe di cosiderare solo l aspetto della itatezza superiore: si può trattare ache il caso della itatezza iferiore. Defiizioe.3.3. Dato u sottoisieme B di R Il umero reale r si dice miorate di B, se, per ogi b B riesce b r. I tal caso l isieme B si dice iferiormete itato. Il umero reale s si dice estremo iferiore di B se: s è u miorate di B;

24 6. Numeri Reali per ogi m R che sia miorate di B risulta s m. Possiamo usare l assioma di completezza per provare il Teorema.3.. Ogi sottoisieme o vuoto e iferiormete itato di R ammette estremo iferiore. Dimostrazioe. Se B è u isieme o vuoto e iferiormete itato, cosideriamo l isieme degli elemeti opposti di B : B = { a : a B} Se k è u miorate di B allora k è u maggiorate di B e per l assioma di completezza esiste s estremo superiore di B. Da qui si vede seza difficoltà che s = s è estremo iferiore di B Si usa scrivere s = sup B e s = if B. L idea di pesare ai umeri reali come puti di ua retta orietata porta aturalmete alla formulazioe della ozioe di itervallo, ozioe che traduce, i u certo seso, quella di segmeto per gli itervalli itati o quella di semiretta per gli itervalli ilitati. Siao a, b R co a < b. Si defiiscoo allora quattro tipi di itervalli itati di estremi a e b a secoda che gli estremi appartegoo o meo all itervallo: [a, b] = {x R : a x b} ]a, b[ = {x R : a < x < b} [a, b[ = {x R : a x < b} ]a, b] = {x R : a < x b} I oguo di questi casi la lughezza dell itervallo è il umero positivo b a. L itervallo [a, b] si dice chiuso i quato cotiee i suoi estremi e ]a, b[, che o cotiee i suoi estremi si dice aperto. Gli itervalli ilitati soo la trasposizioe della ozioe di semiretta: [a, [ = {x R : a x} ]a, [ = {x R : a < x} ], b[ = {x R : x < b} ], b] = {x R : x b} Osserviamo che quado usiamo otazioi come [a, [ o stiamo asseredo che esista u umero reale. Il sigificato di sarà meglio precisato i seguito. Ioltre abbiamo sup]a, b[= sup[a, b] = sup[a, b[= b if]a, b[= if[a, b] = if[a, b[= a Gli itervalli del tipo ]a, [ e ], b[ soo detti aperti, metre [a, [ e ], b] si dicoo chiusi..4 Ordiameto e Operazioi I questo paragrafo riportiamo alcue regole di calcolo che si deducoo dal rapporto fra gli assiomi che regolao le proprietà algebriche dell isieme dei reali e quelle di ordiameto. R Per ogi a, b R, a < b b a > 0 R Per ogi a, b, c R, R3 Per ogi a, b R e per ogi c > 0, Per ogi a, b R e per ogi c < 0, a < b a + c < b + c a < b = ac < bc a < b = ac > bc R4 Per ogi a, b R, a, b > 0, a < b = a > b R5 Per ogi a, b R, a, b 0 e per ogi p > 0, a < b a p < b p

25 .5. Valore Assoluto 7.5 Valore Assoluto Defiizioe.5.. Se x R il valore assoluto di x è la quatità x defiita da: { x se x 0, x = x se x < 0..6) Per costruzioe x 0 per ogi x e x = 0 se e solo se x = 0. È molto utile ed istruttivo ricordare che per ogi umero reale x si ha x = x.7) La formula.7) segue dalla covezioe che quado scriviamo il simbolo di radice quadrata, oi itediamo sempre la determiazioe positiva della radice. Usado il valore assoluto possiamo ache scegliere il più grade o il più piccolo fra due umeri, ifatti abbiamo che x + y + x y x + y x y max{x, y} =, mi{x, y} = Dalla defiizioe.6) segue immediatamete che.6 Proprietà archimedea x = x, x x, x = max{x, x}, xy = x y L assioma di completezza implica ua serie di importati proprietà dei umeri reali. I questo paragrafo ci occupiamo della cosiddetta proprietà archimedea e delle sua cosegueze. Comiciamo dalla proprietà archimedea, avvertedo che oostate la quasi ovvietà della tesi che adiamo a dimostrare, e cioè che l isieme dei umeri aturali o è superiormete itato, qui foriamo la dimostrazioe rigorosa. Teorema.6.. Per ogi x R esiste N tale che > x. Dimostrazioe. Se, per assurdo, esiste x R tale che per ogi N risulta x questo comporta che l isieme N è superiormete itato. Per l assioma di completezza esiste allora a = sup N e siccome tale elemeto a è u maggiorate di N abbiamo che per ogi N vale a. Ora è ache + N e quidi + a. Ma allora a per ogi N e questo sigifica che a è u maggiorate di N i cotraddizioe co il fatto che a = sup N. La tesi segue duque per assurdo. Il prossimo corollario torerà utile i molte dimostrazioi ei prossimi capitoli. Corollario.6... Se x R è tale che per ogi N si ha allora x = 0. x Dimostrazioe. Se, per assurdo, fosse x 0 si avrebbe x > 0. Per la proprietà archimedea esiste N tale che > x quidi cotro l ipotesi. x >

26 8. Numeri Reali Dalla proprietà archimedea si deduce l esisteza della parte itera di u umero reale. Corollario.6... Per ogi x R esiste Z tale che x < + Questo itero è il massimo degli iteri che o superao x, viee deotato co il simbolo x e viee chiamato parte itera di x Dimostrazioe. Per la proprietà archimedea esiste m N tale che x < m e cioè m < x < m. Gli iteri compresi fra m ed m soo i umero fiito per cui esiste il più grade di essi o maggiore di x. Cosegueza di fodametale importaza della proprietà archimedea è la proprietà di desità di Q i R. Teorema.6.. Per ogi x R e per ogi ε R, ε > 0 esiste r Q tale che r x < r + ε. Dimostrazioe. Fissato ad arbitrio ε R, ε > 0 per la proprietà archimedea esiste u umero aturale q N tale che q > /ε e allora /q < ε. Per l esisteza della parte itera esiste u itero p Z tale che e quidi Il umero razioale r = p/q soddisfa la tesi. p qx < p + p q x < p q + q < p q + ε Corollario.6... Fra due umeri reali a e b esiste u umero razioale. Dimostrazioe. Siao a, b R co a < b. Per la proprietà di desità esiste r Q tale che r b < r + b a) Pertato e quidi come volevasi. a = b b a) < r a < r b.7 Iduzioe I molte dimostrazioi di questo corso faremo riferimeto al pricipio di iduzioe matematica, che è ua proprietà dell isieme dei umeri aturali. Per compredere il seso di tale pricipio, facciamo ua sorta di passo idietro, e ragioiamo sulle proprietà dell ordiameto ell isieme N dei umeri aturali. Defiizioe.7.. Se S N l elemeto s m S di dice miimo di S se per ogi s S, s s m si ha s m < s. Ammetteremo assiomaticamete che N sia bee ordiato, el seso che ricoosciamo valida la seguete proprietà, della del buo ordiameto. ogi sottoisieme o vuoto di N ammette miimo.

27 .7. Iduzioe 9 L assioma del buo ordiameto cosete la dimostrazioe del seguete teorema, oto come pricipio di iduzioe matematica: Teorema.7.. Se S N è tale che: a) S b) se s S è ache s + S allora S = N. Dimostrazioe. Suppoiamo per assurdo che S o coicida co N e e cosideriamo il complemetare i N che idichiamo co S c. Avedo supposto che S è u sottoisieme proprio di N avremo che S c e allora per l assioma del buo ordiameto esiste σ = mi S c. Tale elemeto σ deve essere diverso da, visto che per ipotesi S quidi σ > e siccome σ < σ si avrà σ S. Ora per l ipotesi iduttiva avremo che σ ) + S e allora σ S i cotraddizioe co il fatto che σ S c. La cotraddizioe è geerata dell aver supposto S N e duque deve essere S = N. Si può far vedere che l assioma del buo ordiameto e il pricipio di iduzioe soo logicamete equivaleti. Questo sigifica che se assumiamo vero il pricipio di iduzioe, allora il buo ordiameto diviee u teorema, viceversa se si assume vero l assioma di buo ordiameto, allora il pricipio di iduzioe matematica diveta u risultato dimostrabile. Mediate il pricipio di iduzioe si possoo dimostrare affermazioi che dipedoo da proprietà dell isieme dei umeri aturali. Vediamo u esempio di dimostrazioe che usa il metodo iduttivo. Prima però premettiamo il sigificato e l uso del simbolo di sommatoria. Idichiamo co a, a,..., a umeri che ordiiamo secodo l idice. Il simbolo: sta ad idicare che si voglioo sommare i umeri a, a,..., a : Ad esempio se = 5 e a i = i allora: i= a i a i := a + a + + a. i= 5 i = = 55. i= Ciò premesso, dimostriamo per iduzioe che, fissato N, la somma dei primi umeri dipari uguaglia il quadrato di, i simboli: i ) =..8) i= Idichiamo co S il sottoisieme di N costituito dai aturali per cui.8) è verificata. Per prima cosa passo di parteza) si deve provare che S. Poiamo quidi = i.8). Il secodo membro si riduce a =, metre il primo membro formalmete si scrive: i ). i= La sommatoria ha duque u solo termie, e quidi o c è i sostaza ulla da sommare, precisamete il termie che si ottiee sostituedo i = all espressioe i, vale a dire. Si ha uguagliaza fra i due membri

28 0. Numeri Reali di.8) che pertato è verificata per =. Suppoiamo ora ipotesi iduttiva) che.8) sia verificata per u certo s N, il che è come dire che si suppoe vero che: s i ) = s. Si deve dimostrare che i tale ipotesi ache s + S, cioé che è vero che: i= s+ i ) = s + ). Usado la proprietà associativa della somma possiamo scrivere: i= s+ i ) = i= s i ) + [s + ) ]. i= Usiamo l ipotesi iduttiva per esplicitare il primo addedo a secodo membro dell ultima uguagliaza: s+ i ) = s + [s + ) ]. i= Ora s + s + ) = s + s + = s + ) e, duque: Il che dimostra.8). s+ i ) = s + )..8 Fattoriali e coefficieti biomiali i= Fattoriale di u umero aturale Defiizioe.8.. Sia N {0}. Il fattoriale di,! si defiisce iduttivamete come: { 0! =,! = )!, se. Il fattoriale di è il prodotto di per tutti gli iteri che lo precedoo: Ad esempio, 5! = = 0.! = ) ). Defiizioe.8.. Sia N {0}. Il semifattoriale di,!! si defiisce iduttivamete come: 0!! =,!! =,!! = )!!, se. Ad esempio 6!! = 4 6 = 48, 7!! = = 05. Valgoo le idetità: che possoo essere provate usado l iduzioe.! =!! )!!, )!! =!, + )!! = + )!,! F) S)

29 .8. Fattoriali e coefficieti biomiali Coefficieti biomiali Defiizioe.8.3. Se, m N il coefficiete biomiale su m è: )! se m, = m! m)! m 0 se < m..9) Se m da.9) abbiamo: ) = m Ecco alcue proprietà dei coefficieti biomiali: ) =, 0 ) ) =, m m ) m+ ) k =, m m k= Poteza del biomio ) m + )..0) m! ) =, ) ) ) = +, m m m ) ) =, k L impiego più famoso dei coefficieti biomiali è ella formula per la poteza del biomio. La formula, dimostrabile per iduzioe, forisce l espressioe esplicita per il calcolo di ua poteza itera positiva di u biomio. Teorema.8.. Se A, B R e se N allora: A + B) = m=0 k=0 ) A m B m..) m Se =, 3.) restituisce le formule per il quadrato e per il cubo di u biomio: A + B) = A + AB + B, A + B) 3 = A 3 + 3A B + 3AB + B 3. U caso particolare celebre della.) è quello i cui a = b = : ) =..) m m=0 La formula.) è ota come teorema di Stifel. Alla dimostrazioe del teorema biomiale dobbiamo premettere ua proprietà dei coefficieti biomia, ota come formula di Stifel. Lemma.8.. Fissato N, per ogi k N, k si ha: ) ) ) = +. k k k

30 . Numeri Reali Dimostrazioe. Ifatti, calcolado esplicitamete la somma a secodo membro troviamo: ) ) )! + = k k k )! [k ])! + )! k! k)! )! = k )! k)! + )! k! k )! Ricordado la defiizioe ricorsiva del fattoriale, m! = m m )!, possiamo scrivere: ) ) + = k k [ ] )! k )! k) k )! + k k )! k )! [ )! = k )! k )! k) + ] k )! = k )! k )! k k)! = k! k)! il che prova la formula di Stifel. La prova del teorema.8. segue ora per iduzioe. Dimostrazioe. Se = la formula è verificata, essedo: A + B) = = ) A k B k k k=0 ) ) A 0 B 0 + A B. 0 Suppoiamo che la formula valga per N e proviamola per +. Si ha: A + B) + = A + B) A + B) = A + B) = k=0 k=0 ) A k+ B k + k k=0 ) A k B k k k=0 ) A k B k+. k Nella secoda sommatoria scriviamo A k B k+ come A + k+) B k+ i modo che: ) A + B) + ) = A k+ B k + A + k+) B k+. k k Poi, sempre ella secoda sommatoria cambiamo idice, poedo k = h i modo da otteere: A + B) + = k=0 ) A k+ B k + k k=0 + h= ) A + h B h, h

31 .9. Disuguagliaze 3 ioltre, essedo idifferete usare la lettera k o la lettera h ella secoda sommatoria, possiamo scrivere: A + B) + = k=0 ) A k+ B k + k + k= ) A + k B k. k A questo puto, scrivedo separatamete l addedo di idice 0 della prima sommatoria e quello di idice + della secoda, otteiamo: ) A + B) + ) = A + B 0 + A k+ B k + 0 k k= ) ) + A + k B k + A 0 B + k k= ) [ ) )] = A + B A + k B k + 0 k k k= Ora ricordado la formula di Stifel e osservato ache che: ) ) ) + = =, = 0 0 otteiamo: A + B) + = ) + + = A + B k k= ) + = A + k B k. k k=0 Il che prova la ostra affermazioe..9 Disuguagliaze ) + =, + ) A + k B k + ) A 0 B +. ) + A 0 B + + I Aalisi Matematica è molto importate saper trattare espressioi co disuguagliaze. I questo paragrafo comiciamo ad itrodurre a queste teciche. Comiciamo studiado disuguagliaze cosegueti alla defiizioe di valore assoluto.5.. Teorema.9.. Se x, y R allora i) x + y x + y ii) x y x y Dimostrazioe. i) Se uo dei due reali x, y fosse zero la tesi sarebbe ovvia: x + 0 = x + 0. Possiamo duque itarci all ipotesi o restrittiva x, y 0. Si ha: x + y = x + y) = x + xy + y.

32 4. Numeri Reali Adesso si tega presete che, idipedetemete dal sego di x e y, vale sempre la disuguagliaza xy xy, che ovviamete è ua uguagliaza se x e y hao lo stesso sego, allora: x + y x + xy + y = x + x y + y = x + y ). Estraedo la radice quadrata positiva si ottiee la tesi i). ii) Ache qui possiamo itarci a provare la tesi assumedo che x, y 0. Ora abbiamo x y = x y) = x xy + y x x y + y = x y ) La tesi si ottiee estraedo la radice quadrata positiva del primo e dell ultimo membro dell ultima disuguagliaza. Osserviamo che da quato appea provato si deduce ache che x y x + y x + y + z x + y + z Dimostriamo alcue disuguagliaze, sia perché potrao esserci utili el seguito, sia perché le teciche impiegate soo di uso frequete i Aalisi Matematica. Esempio.9.. Per ogi a, b R ) a + b ab.3) Dimostrazioe. Ragioiamo costruedo ua catea di disuguagliaze equivaleti a quella data, sio ad arrivare ad ua disuguagliaza certamete vera. ) a + b ab ab a + ab + b 4 4ab a + ab + b 0 a ab + b 0 a b) Quest ultima è vera e quidi soo vere tutte le cocateate. Esempio.9.. Per ogi a, b R, a, b 0 a + b a + b.4) Dimostrazioe. Ragioiamo costruedo ua catea di disuguagliaze equivaleti a quella data, sio ad arrivare ad ua disuguagliaza certamete vera. a + b a + b a + b a + b) a + b a + b + ab 0 ab Quest ultima è vera, per l ipotesi di o egatività su a e b e quidi soo vere tutte le cocateate.

33 .9. Disuguagliaze 5 Da.4) segue ache che, se a, b R, a, b 0 allora a + b a + b Da.4) si decduce ache:.4b) Esempio.9.3. Per ogi a, b R, a, b 0 a b a b.5) Dimostrazioe. Si osservi che i.5) se si scambiao a e b la disugliaza resta ialterata, quidi possiamo dimostrare.5) itadoci ad assumere a b. Questo comporta che a b e a b = a b. Di cosegueza a b a b a b a b a b + a b L ultima disuguagliaza segue da.4b) poedo a = a b e b = b e quidi soo vere tutte le cocateate. Lasciamo per esercizio la dimostrazioe della geeralizzazioe di.4b) co tre termii. a + b + c a + b + c i cui a, b, c 0..4c) Chiudiamo il paragrafo occupadoci di tre fodametali disuguagliaze..9. Disugualiaza di Beroulli La disuguagliaza di Beroulli fu provata da Jacques Jakob) Beroulli ) el 689. La dimostrazioe che qui presetiamo usa il pricipio di iduzioe. Teorema.9.. Sia x u umero reale. Allora per ogi N si ha: + x) + x..6) Dimostrazioe. La tesi è ovvia se x = 0, i quato essa si riduce, i questo caso, all idetità =. Poi ache per x = la tesi è immediata: 0, fatto ovviamete soddisfatto da tutti gli iteri positivi. Sia ora x 0,. Se = la.6) si riduce a ua idetità: + x) = + x. Ammettiamo ora che esista s N per cui valga.6). Se x >, e quidi + x > 0, vediamo che: + x) s+ = + x) s + x) + s x) + x) = + + s) x + s x. Ora l ultimo termie scritto, s x, è strettamete positivo, duque: + x) s+ + + s) x, otteedo l iduttività di.6). La dimostrazioe è completa. Ad esempio da.6) si deduce che per ogi N si ha + ).7) Ifatti basta predere x = / i.6). Si oti che.7) è equivalete a +.7b)

34 6. Numeri Reali.9. Disugualiaza di Cauchy-Schwarz Teorema.9.3. Dati i umeri reali a, a,..., a, b, b,..., b allora a b + a b + + a b ) a + a + + a ) b + b + + b ).8) Dimostrazioe. Se tutti gli a i soo ulli o vi è ulla da dimostrare. Se così o fosse allora la somma è strettamete positiva. Poiamo poi B = C = A = a i = a + a + + a i= b i = b + b + + b i= a i b i = a b + a b + + a b i= Osserviamo che per ogi umero reale λ abbiamo che λa i + b i ) 0 i modo che λ a i + λa i b + b ) i = λa i + b i ) 0 i= Quest ultima disuguagliaza può essere riscritta come i= λ A + λc + B 0.9) Ora siccome.9) vale per ogi ogi umero reale λ abbiamo che il discrimiate del poliomio di secodo grado i λ deve essere 0, duque deve valere 4C 4AC < 0 = C < AC che, state il sigificato delle costati A, B, C, è la tesi.8).9.3 Disuguagliaza aritmetico geometrica Questa disuguagliaza stabilisce che la media geometrica di umeri positivi è sempre iferiore alla media aritmetica degli stessi umeri. Teorema.9.4. Dati i umeri reali o egativi a, a,..., a si ha che a a a ) a + a + + a Dimostrazioe. Siccome gli a i soo positivi, la.0) è equivalete a.0) a a a ) a + a + + a.0b) Osserviamo poi che la quatità i.0b) o cambia se sostituiamo a ciascuo degli a i il multiplo λa i co λ > 0 e questo sigifica che è sufficiete dimostrare la disuguagliaza.0b) el caso i cui il prodotto dei termii a,..., a sia. I coclusioe è sufficiete dimostrare per iduzioe su N la seguete affermazioe: