ESERCIZI DI ANALISI I. Prof. Nicola Fusco 1. Determinare l insieme in cui sono definite le seguenti funzioni:

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1 N. Fusco ESERCIZI DI ANALISI I Prof. Nicola Fusco Determiare l isieme i cui soo defiite le segueti fuzioi: ) log/ arctg π ) 4 ) log π 6 arcse ) ) tg log π + ) 4) 4 se se se tg 5) se cos tg 6) [ π arctg ) ] cos 7) arctg + cos se 8) log π 9 arcta + ) 9) ) tg se e log log tg + se ) + π 4 arcse ) ) arccos log cos ) log 4 se + )) ) k log se k+ log )) ) log ) + Dipartimeto di Matematica e Applicazioi, Uiversità di Napoli Federico II

2 N. Fusco 4) arcse log se ) 5) arccos log se e ) π 6) ) + log/π arccos 8) log arcse 9) tg + ) cos se + log + 4 ) + log ) 7) log π arcse ) ) ) [ ] 7/ 9)se + cos ) + ) cos se ) + cos log/ 4 se cos tg se ) ) log + Calcolare i segueti limiti: [ ) lim ] + 4) lim log + ) log se ) + se [ ] arctg se log + ) 5) lim ) ) 6) lim + tg ) + se tg 7) lim [log + se )] arctg e ) ) lim + cos se ) π 9 arctg + 9) lim + se + se ) + se ) 4 se π arctg ) 4 arccos + ) lim + + ) lim log 4 + )

3 N. Fusco ) lim 4 se tg cos + se [ ) α log ) 4) lim ], α R + log + ) [ π ) lim + + tg arctg ] log Derivare le segueti fuzioi: 5) 6) 8) 9) 4) 5 se + 4 tg 4) 7) 4 4) + cos 4) 5 + arcse + log 44) + arctg 5 45) tg arcse + 46) 7 arccos + cotg + 47) se arcse 48) log 49) + ) arctg 5) log 5) arcse + cos log 5) 5 tg + e 7 arctg 5) cos log 4 54) 7 arcse tg 55) 56) 59) 6) 65) 68) se 57) + 6) arctg + arcse 6) + cos cos 66) ) π + arcse + log arcse se + arcse π + log + se 58) 6) 64) 67) log log tg tg ) se 7) tg 7) cotg 4 7) e 5 74) log 75) se 76) tg 77) se 78) 4 log 79)

4 4 N. Fusco 8) + + 8) 6 arcse 8) tg 8) arcse 4 84) log 5 85) ) π cos 87) e 88) arcse 89) 5 9) e tg 9) ) log log 9) log ) 94) log se 95) log arcse 96) loge e 6) 97) log se tg 98) log log 99) log arcse ) log ) se log ) cos + + ) ) cos 4) se ) 5) tg + ) 6) cotg 7) se arctg 8) tg arcse 9) se log ) arcse log ) arctg + π) ) arcse ) arctg log 4) arctg se 5) arccos 4 log 6) arctg + 7) arcse 8) arcse 9) se + log ) log ) ) cosh log ) tgh ) 4 tgh 4) settseh + π) 5) setttgh log 6) settcosh e 7) arccos log ) se 8) arcse + ) arcse + 9) cos π ) arcse log ) log log log ) 5 arctg se ) settseh 4 log 4) log ) 5) log se 6) log + + ) 7) log arctg + π) 8) arctg tgh 9) ) 4) arcse ) 4) se )

5 N. Fusco 5 4) + ) se 4) 4 ) 44) cos ) se 45) arccos 46) arctg ) 47) Determiare quate soluzioi ha l equazioe 6 se 6 + =. Si osservi che = è soluzioe dell equazioe). 48) Determiare il umero delle soluzioi reali dell equazioe: + cos 4 = 49) Determiare il umero di soluzioi dell equazioe + log + ) log + ) =, >. Sugg.: si ricordi che log + t) < t se t > ) 5) Determiare il umero di soluzioi dell equazioe IR. 5) Trovare il massimo e miimo della fuzioe ell itervallo [-,]. + Studiare i grafici delle fuzioi segueti: 5) ) 5) e + 54) log 55) se 56) ) ) 57) 58) ) 6) +

6 6 N. Fusco 6) 6) + ) ) ) 65) + 66) 67) ) 7) ) 69) 7) + 7) + 7) e 74) + 75) ) 76) log 77) 78) log log log 79) log arctg 8) + log 8) log 8) + cos 8) arcse + 84) [] 85) 86) 87) [] 88) 89) e 9) e [] 9) e e 9) e 9) e 94) + 95) log arcse 96) log 97) log arctg 98) + cos 99) + cos ) se ) se ) cotg ) cos 4) e cos 5) log cos 6) arctg + 7) arcse 9) arcse ) arccoscos ) ) ) + ) arctg 8) arcse log tg Calcolare i segueti limiti:

7 [ 4) lim ] + N. Fusco 7 5) lim log + ) log + se ) se ) [ ] arctg se log + ) 6) lim ) ) 7) lim + tg 8) lim [log + se )] arctg e ) ) lim + cos se ) π 9 arctg + ) + se tg ) lim + se + se ) + se ) 4 se π arctg ) 4 arccos + ) lim + + ) lim log 4 + ) ) lim 4 se tg cos + se [ ) α log ) 5) lim ] + log + ) co α > [ π 4) lim + + tg arctg ] log Calcolare i segueti limiti usado la formula di Taylor: e cos log + ) 6) lim + se cos + se ) e se 7) lim 8) lim log + se ) + + ) log + ) + se

8 8 N. Fusco arctg e ) log + se ) 9) lim arcse cos ) log + ) 5 ) lim + se ) tg ) lim + ) + e log + ) + se ) ese + cos + se ) lim tg se ) lim + log + ) [arctg + arctg ] + ) log + 4 log + ) 4) lim + log + arctg ) 5) lim arccos loge 4 ) π arccos + e cos ) 6) lim π arcse[loge 4 )] π arccos[ se log + ) ] 7) lim 8) lim + tg t dt t log + tg ) cotg + ) / cos se log + ) arctg + tg ) 9) lim + π se t dt t 4) lim se

9 arctg + + ) arctg 4) lim + se + ) ) se N. Fusco 9 Determiare l ordie di ifiitesimo per e la parte pricipale di: 4) log + se ) log + ) + se 4) se cos 44) + tg ) e tg ) α 45) +, α R + 46) ) cos 47) e cos 9 se 48) arctg cos 49) 5) log / ) 5) 5) e e se 5) 54) ta se arcse log tg + π )) π arctg se 4 e e ) + Calcolare i segueti itegrali immediati: 55) 58) 6) 64) 67) 7) 7) d + ) 4 56) e d 59) d 6) se cos log d 65) se cos 5 d 68) se cos se 4 + cos 4 d 7) d 74) + d ) d arctg + 9 ) 6) se cos d 6) d e 4 tg 66) d + cos 69) d 7) d ) cotg d d se 4 cos d d se d 6 d cos log d

10 N. Fusco d d 76) 77) ) d + cos d Calcolare i segueti itegrali per decomposizioe i somma: 79) 8) 85) 88) 9) 9) + d 8) d 8) + d + e 86) cos 4 cos 5 d 89) se d 9) d se cos 94) + d 8) d 84) d 87) se cos se cos 4 d se 4 cos 4 d 9) d se cos 95) d 4 + ) + + d se cos d d se cos tg 4 d Calcolare i segueti itegrali per parti: 96) 99) ) 5) 8) ) se d 97) log d ) d ) e arcse d 6) cos d 9) arctg d ) log d 98) arctg d ) + + d 4) se d 7) log d ) d + ) se cos d arcse d e cos d e d arcse d Calcolare i segueti itegrali di fuzioi razioali:

11 ) 6) 9) ) ) 5) 7) ) N. Fusco d 4 + 4) 4 d 5) + d 7) + d 8) ) + ) d ) ++ d ) ++) d 4) d +) 6) +) d d 4 8) 4 7 9) d + d d ) d 4 ) d 4 d d ) ) 4 + d Calcolare i segueti itegrali per sostituzioe: ) 4) 7) 4) 4) e d ) se +cos d 5) se cos ) d 8) d +) ++ cos se 4 + cos d 4) e d ) + e + e d d 6) + d 9) d 4) d d +cos +cos ) se d Calcolare i segueti itegrali: 44) e + e d 45) e cos d

12 N. Fusco Calcolare i segueti itegrali defiiti: 46) 49) 5) 54) 57) 59) 6) 65) 68) π 4 d 47) π π π π cos ) tg + cos se 4 d 5) se 4 cos d 55) π se cos d 48) d 5) ) d 5) 4 π d 56) se se + cos d 58) d + 6) e d 6) d +) +4) d e + e 66) d + 6) d e +e + d 64) 67) π π π 4 + d d + tg 4 d se cos +se cos d d se 5 log d d + 4 log d 69) Dire per quali valori di α IR è fiito e calcolare il valore per α = /. d α 7) Calcolare 6 arcse d. 7) Calcolare + + )arcta arcta ) 4 d. 7) Dire per quali α IR è fiito l itegrale + + ) α d

13 N. Fusco e calcolare il valore per α =. 7) Sia α R; dire per quali valori di α la fuzioe 4) α + ) è sommabile sull itervallo, + ); calcolare il valore dell itegrale per α =. Studiare la covergeza delle segueti serie a termii positivi: 74) 77) 8) 8) 86) 89) 9) 95) 98) 4) 4) 45) + 75) se 78) + se 8) + ) 84) log 87) 9) log ) 9) + 96) + ) 99) + 5 log 4) log + + ) ++ log + ) 46) = = e 76)! 79) cos ) 8) cos 85) )! 88) + 9) log ) log = 94) 5 97)! 4) log ) α, α > = 44) 5 47) se ) = + ) ) + ) se ) e

14 4 N. Fusco 48) 4) 4) e 49) log 4) + ) log log log ) α, α > = ) + 4) + log ) α, α > = log log = ) log Studiare la covergeza assoluta delle segueti serie: 44) 47) 4) + ) 45) se 48) + ), IR! se + ) 46) 4 + +, IR 49), IR Studiare la covergeza delle segueti serie a segi alteri: 4) 44) ) se 4) ) ) ) arctg + 4) ) + ) 46) ) + ) ) log + ) = 47) Studiare la serie: dove α >. si α t t) t dt 48) Data la successioe a = α >, a + = + a

15 mostrare che i) la successioe {a } è decrescete e ifiitesima ; ii) la serie a è covergete. 49) Dire per quali valori di α coverge la serie N. Fusco 5 se α ) α. + 4) Dire per quali valori di α IR coverge la serie + log + ) α log log log = 4) Studiare la serie + ) tg ) 4) Studiare la covergeza della serie + e!. Sugg.: si provi che la successioe che geera la serie è mootòa) 4) Studiare la covergeza della serie + log + ) si ). Itegrare le segueti equazioi differeziali lieari: 44) y = y + 45) y = y 46) y = y 47) y = y 48) y + + cotg )y+ se

16 6 N. Fusco 49) y = y + e 44) y = y + 44) y = e y 44) y = y tg 44) y = + y 444) y y = 445) y +y cos = se 446) y + y cotg = cos se + 447) y + y = e 448) y + y cotg = 449) y y = log 45) y y = Itegrare le segueti equazioi a variabili separabili: 45) y = y 45) y = y 45) y = + )y 454) y =se y+ 455) y = e y 456) y = y 457) y = e y 458) + )y + +y = 459) y = y + + y y 46) y = 46) y = y + y ) 46) y = y + 46) y = tg y + y 464) y = 465) )y + y ) = 466) y se cos y+= 467) )y =y 468) y = tg tg y 469) y + y = 47) y = y y ) y = se cos y 47) y + se se y = Itegrare le segueti equazioi differeziali lieari: 47) y y = 474) y + y = 475) y y + y = 476) y + y + y = 477) y y + 5y = 478) y + y + y =

17 N. Fusco 7 479) y + y 6 = 48) y + ω y = 48) y +y +y =se 48) y y = e 48) y y + y = e 484) y + y = cos 485) y + ω y = se ω 486) y y = e 487) y + y = se Risolvere i segueti problemi di Cauchy: y = y e 488) y) = y y y = 49) y) =, y ) = 489) 49) y = e +y y) = y + y + y = y) =, y ) = 49) y y + y = e y) =, y ) = 49) y + y = y) =, y ) =