Matematica - Ingegneria Gestionale - Prova scritta del 25 gennaio 2006

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1 Matematica - Igegeria Gestioale - Prova scritta del 5 geaio 6. Per ogua delle segueti serie si idichi se la serie coverge assolutamete ( AC ), coverge ma o coverge assolutamete ( C ) oppure o coverge ( NC ) (4p.). ( ) +! + cos(/). Data f() := + tg( ) +, calcolare (se esiste) (p.): (f ) () = / o esiste. Si calcoli il seguete itegrale improprio, se esiste (4p.): 4 + d = / o esiste 4. Sia f(, y) := 4 + y 4 + 8y. Dado per oto che f(, y) + se (, y) + si trovi u (evetuale ) puto di miimo assoluto per f (p.): ( mi, y mi ) = / f o ha miimo 5. Si scriva il poliomio di Taylor di ordie due per f() := arctg() el puto = (p.): P () =. DA SVOLGERE SUL FOGLIO cos( )e. Si calcoli il seguete limite (8p.): lim si( ) ta ().. Si cosideri la seguete equazioe differeziale y = y + 4, >. (a) Dato y i R si scriva la soluzioe y su ], + [ co y() = y (p.); (b) si calcolio, al variare di y, i limiti (se esistoo) di y() a + e a + (4p.); (c) si trovio i valori di y, se ce e soo, per cui y è crescete su ], + [ (p.); (d) si trovio i valori di y, se ce e soo, per cui y è decrescete su ], (p.).

2 Soluzioi. Se poiamo a := ( ) si vede subito che a + = e duque a + o tede a zero, per cui la serie o coverge. Posto a := + + si ha che a > (serie a termii positivi) e che a = + +. Questo implica che a è asitotica alla sucessioe b := e siccome b = + ache la serie di parteza o coverge. Poiamo a :=!. Ache i questo caso a >. Applichiamo il criterio del rapporto: a + a = ( + )! ( + ) (+)! = ( + ) ( + ) + = ( + + e quest ultima quatità diverge a + dato che ( +) /e. Ne segue che la serie o coverge. Posto a := cos(/) si vede facilmete che a < e che a = cos(/) / /. Questo implica che a è asitotica alla sucessioe b := e siccome b < + ache la serie di parteza coverge e coverge assolutamete visto che, essedo di sego costate, covergeza e covergeza assoluta soo la stessa cosa.. Si ha f() = e duque f () =. Ioltre f () = e quidi f () =. Ne segue che (f ) () = f () =.. Usado la sostituzioe y = si perviee a 4 + d = y y + dy = (y ) + dy = [arctg(y )]+ = ( π π 4 ) = π 8 4. Dto che f tede a + quado (, y) + il miimo deve esistere. Per trovarlo cerchiamo i puti stazioari di f(, y) := 4 + y 4 + 8y. Si ha: f(, y) = 4 + 8y, y f(, y) = 4y + 8 da cui si deduce che f(, y) = se e solo se y = y = = y = y = (, y) = (, ) oppure 4 9 = 8 4 La secoda codizioe equivale a y = = { y = = ± (, y) = ±(, ) )

3 Quidi i puti critici soo (, ) e ±(, ). Però f(, ) = metre f(, ) = ( ) = 8 e duque il miimo si realizza ei due puti ±(, ) (basta idicare uo). 5. Dato che la fuzioe è dispari P () ha sia il termie oto che il termie quadratico eguali a zero, cioè si riduce a f (). Dato che f () = +() si ha f () = e quidi P () =. SECONDA PARTE. Si ha: metre Allora Ioltre cos( ) = ( ) + ( ) 4 4 e = o(4 ). + o( 4 ) = o(4 ) cos( )e = ( o(4 ))( o(4 )) = o(4 ) + ( + o( )) + 4 ( + o() + o(4 )(O()) = o(4 ) = 4 + o(4 ) si( ) ta () = ( +o( ))(+o()) = 4 (+o())(+o()) = 4 (+o()) = 4 +o( 4 ) e quidi cos( )e 4 lim si( ) ta () = lim + o(4 ) 4 + o( 4 ) 4 = lim = 4. (a) Dalla formula risolutiva si ha: y() = ( 4 t y() + t ) dt = ( C ) = C dove C = y() = y. (b) Dal calcolo precedete si deduce che, idipedetemete da C, cioè da y, lim y() =, lim + y() = + Si può ache otare (servirà dopo) che ( lim y() = lim + C ) = + (el caso C = si metta i evideza ). Notiamo che il valore C = corrispode a y = { + se C se C <

4 (c) Coviee ora farsi u idea del grafico delle y. Per questo poiamo F (, y) := y + 4 di modo che l equazioe si può esprimere come y = F (, y). Idividuiamo el piao cartesiao le coppie (, y) tali che > e F (, y) >. Queste codizioi equivalgoo a > e y > ( 4) = 4( ). Se chiamiamo g() := 4( ), allora, elle >, F (, y) > y > g(), F (, y) < y < g(), F (, y) = y = g(). Notiamo che il grafico di g è ua parabola co la cocavità verso l alto, passate per (, ) e (, ) co vertice i (, 4) e che le iformazioi raccolte ci dicoo che ogi soluzioe y deve essere crescete quado sta sopra la parabola (cioè elle i cui y() > g()), deve essere decrescete quado sta sotto la parabola (cioè elle i cui y() < g()) e deve avere derivata ulla quado attraversa la parabola ( y() = g() ). Mettedo isieme questi fatti e i limiti trovati si perviee ai grafici idicati i figura (la curva rossa co tratto spesso è la parabola). (d) I particolare la soluzioe ȳ che passa per (, 4) è tagete alla parabola el vertice ed è sempre decrescete (curva blu co tratteggio fitto). Tale ȳ è quella co y = 4. Per > y > 4 le curve soo sopra ȳ e ecessariamete decrescoo i u itervallio a destra di zero (dovedo essere y(t) per t + ) icrociao la curva g, crescoo per u altro itervallo fio a che o itersecao di uovo g (lo devoo fare poichè y(t) se t + ) e da questo puto decrescoo sempre e vao a meo ifiito. Se y le curve soo cresceti vicio a zero fio a quado o attraversao la g (i ua maggiore di ) e poi vao decrescedo a meo ifiito (la curva co y = è idicata dal colore verde, tratteggio rado). Se ivece y < ȳ le soluzioi stao sempre sotto ȳ e quidi sotto g; duque soo sempre decresceti. I defiitiva la risposta alla domada (d) è per y 4 (sotto la curva blu). (e) Per i motivi esposti el puto precedete le y cresceti su [, ] soo quelle co y (sopra la curva verde).

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