ANALISI MATEMATICA 1 Commissione F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

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1 (Viee dato u ceo di soluzioe del Tema. I Temi, 3 e 4 possoo essere svolti i modo del tutto simile) TEMA cos(3x) + π cos(3x) + 3. (a) Determiare il domiio di f, evetuali simmetrie, periodicità e sego. (b) Determiare i limiti agli estremi del domiio ed evetuali asitoti di f. (c) Studiare la cotiuità e la derivabilità di f; determiare gli itervalli di mootoia e gli (d) Studiare la covessità e determiare gli evetuali flessi. (e) Disegare u grafico qualitativo di f i tutto il domiio. La fuzioe è defiita i D = R \ { π kπ, k Z}. È pari quidi si studia per gli x > e poi si cosidera la simmetrica rispetto all asse delle y. È ache periodica di periodo 3 π, quidi ) basta studiarla i [, π 3 [. f(x) se e solo se arcta π 3, che, essedo arcta( ) crescete, equivale a ( cos(3x)+ cos(3x)+ ta( π 3 ) = 3. Risolvedo, si ottiee che f(x) se e solo se x x = ( ) 3 arccos 3 + che è u umero apparteete a ] π 3 6, π 3 [. lim x + f(x) = f() = π 3. lim x ( π ) f(x) = π 3 6 (si oti che i questo caso cos(3x) + ). No ci soo asitoti. Si può estedere la fuzioe ad ua fuzioe cotiua i tutto R. L espressioe della derivata prima è: f (x) = + ( cos(3x)+ cos(3x) ) =... = cos(3x) + 3 si(3x) cos (3x) +. Quidi f(x) è strettamete decrescete i [, π 3 [. Il puto x = (e tutti i puti x k = 3kπ, k Z) è u puto di massimo relativo ed assoluto, metre x = π 3 (e tutti i puti π kπ, k Z) è u puto di miimo relativo ed assoluto. L attacco di f i π 3 è lim x π f (x) =. 3

2 Quidi f si può estedere ad ua fuzioe cotiua e derivabile co derivata cotiua i tutto R. f (x) = 9 cos(3x) (cos (3x) + ) (cos (3x) + + si (3x)). Quidi f è cocava i [, π 6 [ e covessa i ] π 6, π 3 [ e ha u flesso i x = π 6. (ta )/ log ( + arcta (x) ) + 4x dx. Co la sostituzioe y = arcta(x) (per cui dy = dx e y() =, y((ta )/) = ) l itegrale +4x diveta log ( + y ) dy = { y log( + y ) ] y } + y dy = { y log( + y ) y + arcta y ] } = = log + π 4, dove el primo passaggio si è itegrato per parti ! + log( + 3 ) + ( )+. = Per la scala delle successioi ifiite, 5, 5 = o(!). Ioltre usado Mac-Lauri e la scala delle successioi ifiite, + log( + 3 ) = + ( 3 + o( 3 )) = 3 + o( ) e ( ) + = o( ). Quidi a! 3 e lim sempre per la scala. Ioltre per il teorema di cofroto asitotico la serie + = a coverge se e solo se coverge la serie + 3 =!. Usado il criterio del rapporto per quest ultima: Poichè e <, la serie data coverge. ( + )! ( + ) +! =... = ( + ) = + e.

3 TEMA cos(5x) + π cos(5x) + 3. (a) Determiare il domiio di f, evetuali simmetrie e periodicità. (b) Determiare il sego di f (o è esseziale per lo studio del grafico di f, si cosiglia di rispodere a questa domada dopo aver svolto gli altri esercizi). (c) Determiare i limiti agli estremi del domiio, evetuali asitoti di f, evetuali puti i cui è possibile prolugare la fuzioe. (d) Studiare la cotiuità e la derivabilità di f; determiare gli itervalli di mootoia e gli (e) Studiare la covessità e determiare gli evetuali flessi. (f) Disegare u grafico qualitativo di f i tutto il domiio. (e )/ log ( + log (x + ) ) x + dx.! 3 3 log cos + + arcsi ( ). =

4 TEMA 3 cos(3x) π + cos(3x) 3. (a) Determiare il domiio di f, evetuali simmetrie e periodicità. (b) Determiare il sego di f (o è esseziale per lo studio del grafico di f, si cosiglia di rispodere a questa domada dopo aver svolto gli altri esercizi). (c) Determiare i limiti agli estremi del domiio, evetuali asitoti di f, evetuali puti i cui è possibile prolugare la fuzioe. (d) Studiare la cotiuità e la derivabilità di f; determiare gli itervalli di mootoia e gli (e) Studiare la covessità e determiare gli evetuali flessi. (f) Disegare u grafico qualitativo di f i tutto il domiio. (ta )/3 log ( + arcta (3x) ) + 9x dx. 4 +! 3 ( + ) si + + log( ). =

5 TEMA 4 cos(5x) π + cos(5x) 3. (a) Determiare il domiio di f, evetuali simmetrie e periodicità. (b) Determiare il sego di f (o è esseziale per lo studio del grafico di f, si cosiglia di rispodere a questa domada dopo aver svolto gli altri esercizi). (c) Determiare i limiti agli estremi del domiio, evetuali asitoti di f, evetuali puti i cui è possibile prolugare la fuzioe. (d) Studiare la cotiuità e la derivabilità di f; determiare gli itervalli di mootoia e gli (e) Studiare la covessità e determiare gli evetuali flessi. (f) Disegare u grafico qualitativo di f i tutto il domiio. (e )/3 log ( + log (3x + ) ) 3x + dx. log + 6! ( ) + + ta( 3 ). =