Esercizi proposti. x 2 + log 3 x e x. lim x + e x sin (e x sin x) f) lim. h) lim x x 4 4 x + 3 x x + ( x 2 + 2x + 3. sin 2 x l) lim 1 log(cosx) x + x

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1 Esercizi proposti 1. Calcolare i segueti iti: a) ( ) si c) 10 e) 0 + log si 5 + g) h) b) + log e + e + 5e 10 d) ( + ) e si (e si ) f) + ( i) ( cos ) 1 log (1 + ta 4 ) si l) 0 0 e si4 1 m) log(cos) 0 ) ( ) o) ( ) + + p) ( ) 1 0 q) 0 + si 1 r) (e 1) 1 1 log t) u) (ta) cos π ) + [ ( r) log e + 1 )] + v) 1 + ( 9 + si ( 1) ) si 1 log ( + 1 ). Verificare che f() = e g() = 1 soo ifiiti dello stesso ordie per + e determiare k R tale che f() k g().. Cofrotare tra loro gli ifiiti e 8 7 per a) Verificare che se f() è ifiitesima per 0, allora si f() f(). b) Dedure che si ( + 1 ) è ifiitesima dello stesso ordie di 1 per +. c 006 Politecico di Torio 1

2 5. Calcolare l ordie di ifiitesimo α e la parte pricipale k α rispetto all ifiitesimo campioe per 0 delle segueti fuzioi: a) e +1 1 b) 1 cos () c) log(1 + ta ) d) 4 e) cos 1 f) 1 + m 1 g) / h) 1 + si cos cos i) l) 1 + si 1 1 ( ) m) log + 9 log ) arcta ( 4 cos 1 ) 6. Determiare l ordie di ifiitesimo α e la parte pricipale k rispetto all ifiitesimo campioe 1 per + delle segueti fuzioi: α ( + a) b) arcta / ) c) d) ( e) log e + ) 1 f) Determiare l ordie di ifiitesimo α e la parte pricipale k( 0 ) α rispetto all ifiitesimo campioe 0 per che tede al valore 0 idicato delle segueti fuzioi: a) si, π b) cos, π/ c) 1, 1 d) 1 + 5, e) ( 1) (1 si π ) ( ), 1 f) log + 7, 8. Determiare l ordie di ifiito α e la parte pricipale k α rispetto all ifiito campioe per + delle segueti fuzioi: a) log ( e + ) b) c 006 Politecico di Torio

3 9. Determiare il parametro reale a i modo che la fuzioe f() = + a + a + 1 ammetta la retta y = 1 + come asitoto obliquo. 10. Determiare il domiio e gli evetuali asitoti delle segueti fuzioi: ( a) f() = 1 + ) 1 b) f() = Dire se esiste + + si + 6 cos e si 1. Cofrotare fra loro i segueti ifiitesimi per 0 + mettedoli i ordie crescete di ifiitesimo: 1,,, 1. Calcolare i segueti iti: a) c) log, log, e 1, log, ( log + ( 1) si, ) 5 b) log, 1 e 1, si d) log + cos [( ) e) ] f)! 14. Verificare che per a) log( + si ) log( + ) b) ( + 1) e 15. Calcolare la parte pricipale per di a) b) si / + log 16. Sia per, (1 + si α) a = (1 +. siα ) Calcolare a al variare di α ell itervallo [0, π). c 006 Politecico di Torio

4 1. Si ha Soluzioi a) log 6 b) 1 5 c) 1 1 d) e) 0 f) 0 g) + h) e i) e l) 1 m) 1 ) log o) p) 8 9 q) r) e 1/e s) e t) log 6 u) 1 v) 1. È immediato verificare che f() g(), +.. L ifiito 8 7 8/, per +, ha ordie 8/ <. 4. a) Co il cambio di variabile f() = t si ha b) Essedo si ha per il puto a). + 1 = si f() 0 f() si t = t 0 t , = 1. si( + 1 ) 1, + +, 5. Si ha a) α = 1, p() = b) α =, p() = 6 c) α =, p() = d) α =, p() = 4 e) α =, p() = 1 4 f) α = 1, p() = ( m) g) α = 7 6, p() = 7/6 h) α =, p() = 7 6 i) α =, p() = l) α = 1, p() = 1/ m) α =, p() = 1 18 ) α =, p() = Si ha a) α =, p() = 1 5 / b) α = 1, p() = c) α =, p() = / d) α = 1, p() = 1 1/ e) α = 1, p() = e f) α =, p() = 1 8 / c 006 Politecico di Torio 4

5 7. Si ha a) α = 1, p() = ( π) b) α = 1, p() = ( π ) c) α = 1, p() = 1 ( 1) d) α = 1, p() = 1 5 ( ) e) α =, p() = π ( 4 1) f) α = 1, p() = 1 ( ) 6 8. Si ha a) α = 1, p() = b) α = 1, p() = 1 9. Risulta a = a) domf = (, 1) (0, + ). La retta y = e è asitoto orizzotale completo per f. La retta = 1 è asitoto verticale per f. b) dom f = R. La retta y = 1 è asitoto obliquo destro per f. La retta y = + 1 è asitoto obliquo siistro per f. +si + 6 cos e si 11. Il ite o esiste. Ifatti posto f() =, cosideriamo le due successioi = π e y = π + π, che divergoo a +. Essedo f( ) = e f(y ) =, il ite o esiste. e 1. I ordie crescete di ifiitesimo per 0 + si ha si, log, e 1 log,, log,, log, 1 1 e,, 1 1. Si ha a) e 5 b) 1 c) 0 d) + e) + f) a) Si ha log( + si ) log( + ) = log [ ( )] 1 + si log [ ( )] = log( ) + log ( ) 1 + si log( ) + log ( ), da cui, raccogliedo a umeratore e deomiatore log( ), e passado al ite, si ottiee b) Risulta log( + si ) log( + ) ( + 1) = = log ( 1 + si log( ) log ( ) = log( ) ( + 1 ) ) ( = ) = e 1/ = e. c 006 Politecico di Torio 5

6 15. Si ha a) p() = b) p() = 5/6 16. Si ha a = + se α (0, π) 0 se α (π, π) 1 se α = 0, π c 006 Politecico di Torio 6