Università di Roma Tor Vergata - Corso di Laurea in Ingegneria Analisi Matematica I - Prova scritta del 5 Settembre 2019

Transcript

1 Uiversità di Roma Tor Vergata - Corso di Laurea i Igegeria Aalisi Matematica I - Prova scritta del 5 Settembre 019 Esercizio 1. [5 puti] Calcolare lo sviluppo di Taylor dell ordie = 6 co cetro x 0 = 0 per la seguete fuzioe: fx = xlog1+si x+ax 3 co A R. Svolgimeto. Utilizziamo gli sviluppi di Taylor per t 0: Pertato per x 0 si ha da cui segue Ifie log1+si x = sit = t t3 6 t4, log1+t = t t + t3 3 t3. si x = x x3 6 x4 = x x4 3 x5 x x4 3 x5 1 x x4 3 x5 = x x4 3 x4 x5 = x 5x4 6 x xlog1+si x+ax 3 = 1+Ax 3 5x5 6 x6. x x4 3 3 x5 x 3

2 Esercizio. [6 puti] Calcolare il seguete limite: 1 co A,B > 0. lim + Svolgimeto. Per + si ha che 1 1+si Quidi Ioltre da cui segue che Ifie 1+ log e +log +1 loga+b = = exp log 1 = exp 1 = e e 1 1 = e = e e e = 1+si = exp log log = exp = exp log log = 1 log = exp e = 1 e log log log log log = log = e log log log +log +1 = 1+ log +1 = log log. loga+b = log log. 1 e loga+b = +log +1 e il limite richiesto vale e. e 1 log log log log e

3 Esercizio 3. [8 puti] Tracciare il grafico della fuzioe fx = x 1 3 +x specificado: domiio, evetuali asitoti, itervalli di mootoia, evetuali puti di massimo/miimo relativo, itervalli dicocavità/covessità, evetuali puti dioderivabilità, evetuali flessi. Èrichiesto lo studio della derivata secoda. Svolgimeto. La fuzioe può essere scritta come fx = x 1 3 +x 1. Il domiio è R. Si oti che f1 = f 7 = 0. Limiti agli estremi: lim fx = +, e lim fx =. x + x Ioltre fx lim x ± x = lim x 1 3 +x 1 = 1, lim fx x = lim x = +. x ± x x ± x ± Quidi o ci soo asitoti obliqui/orizzotali. Derivata prima. Per x 1, f x = 4 3 x da cui si deduce che f è crescete i, ] e i [1,+ e f è decrescete i [ ,1]. x = = 37 è u puto di massimo relativo o assoluto. Ioltre x = 1 è u puto di cuspide 7 perché lim x = x 1 f e lim x = +. x 1 +f Derivata secoda. Per x 1, f x = 4 9 x da cui si ricava che f è cocava i,1] e i [1,+. Grafico di fx = x 1 /3 +x 1 1/3.

4 Esercizio 4. [7 puti] Discutere la covergeza del seguete itegrale improprio al variare del parametro α R co A,B > 0, x+alogx+a AB +B x x dx. α Calcolarlo per α = 1. Svolgimeto. Per x +, fx = x+a logx+a B x α x+a α logx+a B +A α x+a α 1 e quidi l itegrale di f su,0] coverge se e solo se α 1 < 1 ossia α < 3. Ioltre per x B, B +AlogB +A fx B x α B +A α e quidi l itegrale di f su [0,B coverge se e solo se α < 1. Pertato l itegrale di f su,b coverge se e solo se α < 1. Calcoliamo l itegrale per α = 1. Co la sostituzioe B x = t, si ha che x = B t e quidi x+a logx+a B dx = logx+a B+A dx = logb +A t dt. AB +B x x B x Itegrado per parti, logb +A t dt = tlogb +A t + = tlogb +A t t+ B +A t 0 B +A t dt dt B +A t B +A+t = tlogb +A t t+ B +A+t B +Alog +c B +A t = B +A tlog B +A t+ B +A+tlog B +A+t t+c. x+a logx+a AB +B x x dx = [ B +A tlog B +A t = + B +A+tlog ] B+A B +A+t t 0 B +Alog B +A B +A = 4 B +A log B +A 1.

5 Esercizio 5. [5 puti] Risolvere il seguete problema di Cauchy y x yx x+x = logx y1 = A co A R. Svolgimeto. L equazioe differeziale è lieare del primo ordie. Si oti che x > 0. Determiiamo u fattore itegrate, dx 1 x+x = x 1 x dx = logx logx+1+c = log +c 1+x x+1 e quidi x exp log = x+1 x+1 x. Moltiplicado etrambi i membri per il fattore itegrate e itegrado si ottiee x+1yx x+1logx = dx = 1+ 1 logxdx = xlogx x+ log x +c. x x x yx = x xlogx x+ log x +c, x+1 da cui, impoedo la codizioe iiziale y1 = A si trova che c = 1 + A e pertato la soluzioe del problema di Cauchy è yx = x xlogx x+ log x +1+A. x+1