SOLUZIONI COMPITO del 10/01/2014 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU ENERGETICA TEMA A

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1 SOLUZIONI COMPITO del //4 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU ENERGETICA TEMA A Esercizio Poedo z = x + iy, otteiamo iz + z = ix y + x xy y, da cui si ricava e iz +z = 3 e xy y = 3 xy y = log 3 Pertato, avremo y = log 3 log 3 x+ e x /, ovvero z = x i x+ La rappresetazioe delle soluzioi el piao complesso è u iperbole co asitoto verticale i x = / e rami el secodo e quarto quadrate Esercizio Osserviamo, iazitutto, che la serie proposta è a termii o egativi; ioltre, posto a := sihα /3, si α osserva subito che, se α > /3, per la gerarchia degli ifiiti, a, quidi la serie diverge Ivece, per α < /3, teedo coto che α /3 e, quidi, sih α /3 α /3, si ha a α /3 α = α α 4/3 Pertato, la serie sarà covergete per α α 4/3 >, ovvero 3α 3α 7 >, che forisce α > 3+ 93, da scartare i quato > /3, e α < 3 93 Ifie, per α = /3, si ottiee a sih 4/9 e, quidi, acora ua serie divergete I coclusioe, la serie diverge a + per α 3 93 e coverge per α < 3 93 Esercizio 3 L equazioe differeziale proposta è u equazioe lieare del secodo ordie a coefficieti costati, la cui equazioe caratteristica associata è λ + λ + 3 =, che ha come soluzioi λ = ± i Quidi, l itegrale geerale dell equazioe omogeea è y x = e x [C cos x + C si x] Ioltre, dal metodo di somigliaza, otteiamo che, per ogi α R, y p x = Ae α x, da cui y px = Aα e α x e y p x = Aα e α x Pertato, iseredo ell equazioe, si ricava Aα e α x + Aα e α x + 3Ae α x = e α x = Aα 4α α = = A = α α + 3, dove abbiamo teuto coto del fatto che α α+3, avedo il discrimiate egativo Quidi, l itegrale geerale dell equazioe proposta sarà yx = e x [C cos x + C si x] + α α + 3 eα x α R Ifie, poiché lim x + e x [C cos x + C si x] = C, C R, affiché la soluzioe sia ifiitesima per x +, si deve avere α <, ovvero α < ; quidi, al variare di C, C R e α < si hao ifiite soluzioi soddisfaceti alla codizioe richiesta

2 Esercizio 4 Osserviamo che pertato, avremo 3x x + > x < e x > /3 ; arcta 3x /3 3x x + dx = arcta x + 3x /3 3x = x arcta + x arcta x + x + /3 /3 dx + arcta /3 3x + 8 3x + + x 3x x + + dx x /3 x+ + /3 x = arcta + 7 x + x x x + 4 dx /3 /3 x = arcta + 7 x + 4 dx x /3 x + 4 dx = arcta + logx + 4 /3 logx = arcta /3 7 3x x+ 3x dx x + 3x + 8 3x + x + dx x x + x x x + 4 dx + log 8 8 Esercizio 5 A L affermazioe è falsa, basta cosiderare a = 4 e b =, che soddisfao le ipotesi e soo tali che a 4 b =, quidi la serie diverge B L affermazioe è falsa, basta cosiderare a = log e b = log tali che a b = log = o ; tuttavia la serie diverge, che soddisfao le ipotesi e soo C L affermazioe è falsa, basta cosiderare a = e b =, che soddisfao le ipotesi e soo tali che a 4 b =, quidi la serie coverge 3 D L affermazioe è vera, poiché codizioe ecessaria per la covergeza della serie è che il termie geerale sia ifiitesimo, ovvero, el ostro caso, a b, che per defiizioe equivale a richiedere a b = o

3 TEMA B Esercizio Poedo z = x + iy, otteiamo iz + z = ix y + x + xy + y, da cui si ricava e iz +z = e xy+y = xy + y = log Pertato, avremo y = log log x+ e x /, ovvero z = x + i x+ La rappresetazioe delle soluzioi el piao complesso è u iperbole co asitoto verticale i x = / e rami el primo e terzo quadrate Esercizio tah α Osserviamo, iazitutto, che la serie proposta è a termii o egativi; ioltre, posto a :=, 3 α si ottiee che, se α, cioè α e α, poiché, si ha a α C Quidi, la serie coverge 3 α per 3 α >, ovvero α <, che forisce α e α <, metre diverge per α Ivece, per α <, cioè < α <, teedo coto che e, quidi, tah, si ha α α α a = 3 α+ α α α+4 Pertato, la serie sarà covergete per α α + 4 >, ovvero α + α 3 <, che forisce 3 < α < + 3 e, quidi, < α <, visto che 3 < e < + 3 I coclusioe, la serie diverge a + per α e coverge per α < Esercizio 3 L equazioe differeziale proposta è u equazioe lieare del secodo ordie a coefficieti costati, la cui equazioe caratteristica associata è λ 4λ+ =, che ha come soluzioi λ = ±i Quidi, l itegrale geerale dell equazioe omogeea è y x = e x [C cos x+c si x] Ioltre, dal metodo di somigliaza, otteiamo che, per ogi α R, y p x = Ae 3 αx, da cui y px = A3 αe 3 αx e y p x = A3 α e 3 αx Pertato, iseredo ell equazioe, si ricava A3 α e 3 αx 4A3 αe 3 αx + Ae 3 αx = e 3 αx = Aα α α + = = A = α α + 3, dove abbiamo teuto coto del fatto che α α+3, avedo il discrimiate egativo Quidi, l itegrale geerale dell equazioe proposta sarà yx = e x [C cos x + C si x] + α α + 3 e3 αx α R Ifie, poiché lim x ex [C cos x + C si x] = C, C R, affiché la soluzioe sia ifiitesima per x, si deve avere 3 α >, ovvero α < 3; quidi, al variare di C, C R e α < 3 si hao ifiite soluzioi soddisfaceti alla codizioe richiesta 3

4 Esercizio 4 Osserviamo che pertato, avremo x x + > x < e x > / ; log + x / x + dx = log x dx + x + / x + x + / x + + x =x log + x log x + x + / / x x + x + x x x + dx x x + / 3x 3 / 3x = log x x + dx / x + dx 3 / / = log x dx x + dx / x + dx 3 = log log x / logx + 3 = log log 3x + 3 3x x + dx log + x dx x log log = log 4 3 Esercizio 5 A L affermazioe è falsa, basta cosiderare a = e b = 4, che soddisfao le ipotesi e soo tali che =, quidi la serie diverge a b 4 b b B L affermazioe è vera, ifatti per ipotesi a b soddisfatta la codizioe ecessaria per la covergeza = b +, quidi la serie diverge, poiché o è C L affermazioe è falsa, basta cosiderare a = e b =, che soddisfao le ipotesi e soo tali che =, quidi la serie coverge 3 a b 4 D L affermazioe è falsa, basta cosiderare a = 4 e b =, che soddisfao le ipotesi e soo tali che a b = 3, quidi la serie diverge; tuttavia 4 = a b = 4

5 TEMA C Esercizio Poedo z = x + iy, otteiamo iz z = ix y x + xy y, da cui si ricava e iz z = 5 e xy y = 5 xy y = log 5 Pertato, avremo y = log 5 log 5 x e x /, ovvero z = x + i x La rappresetazioe delle soluzioi el piao complesso è u iperbole co asitoto verticale i x = / e rami el primo e terzo quadrate Esercizio Osserviamo, iazitutto, che la serie proposta è a termii o egativi; ioltre, posto a := /5 α, si tah 4 α ottiee che, se α 4, cioè α e α, poiché, si ha a 4 α C Quidi, la serie coverge α /5 per α /5 >, ovvero α > 7/5, che forisce α, metre diverge per α Ivece, per α < 4, cioè < α <, teedo coto che 4 α e, quidi, tah 4 α 4 α, si ha a /5 α α 4 = α +α /5 Pertato, la serie sarà covergete per α +α /5 >, ovvero 5α +5α 7 >, che forisce α < 5 55, da scartare i quato 5 55 <, e α > 5+ 55, cioè < α < I coclusioe, la serie diverge a + per α e coverge per α > Esercizio 3 L equazioe differeziale proposta è u equazioe lieare del secodo ordie a coefficieti costati, la cui equazioe caratteristica associata è λ 4λ + 8 =, che ha come soluzioi λ = ± i Quidi, l itegrale geerale dell equazioe omogeea è y x = e x [C cosx + C six] Ioltre, dal metodo di somigliaza, otteiamo che, per ogi α R, y p x = Ae α 3x, da cui y px = Aα 3e α 3x e y p x = Aα 3 e α 3x Pertato, iseredo ell equazioe, si ricava Aα 3 e α 3x 4Aα 3e α 3x + 8Ae α 3x = e α 3x = Aα α + 9 4α = = A = α α + 9, dove abbiamo teuto coto del fatto che α α + 9, avedo il discrimiate egativo l itegrale geerale dell equazioe proposta sarà Quidi, yx = e x [C cosx + C six] α α + 9 eα 3x α R Ifie, poiché lim x ex [C cosx + C six] = C, C R, affiché la soluzioe sia ifiitesima per x, si deve avere α 3 >, ovvero α > 3; quidi, al variare di C, C R e α > 3 si hao ifiite soluzioi soddisfaceti alla codizioe richiesta 5

6 Esercizio 4 Osserviamo che pertato, avremo log + x + x dx = x + x + =x log + x log x x + > x < e x > / ; x log + x + x x x x dx + x x x 3 x 3x x dx x x x x + 4 x x dx = log + 5 x dx 3x x x dx 3 = log + 5 x dx + x dx x dx 3 = log + 5 log x + log x + log x 3 = log log 8 5 log 3 log + log 3 = log 5 5 log x + dx x Esercizio 5 A L affermazioe è falsa, basta cosiderare a = 4 e b =, che soddisfao le ipotesi e soo tali che a b = 3, quidi la serie diverge; tuttavia 4 = a b = B L affermazioe è falsa, basta cosiderare a = e b =, che soddisfao le ipotesi e soo tali che a b 4 = 3, quidi la serie coverge C L affermazioe è vera, ifatti per ipotesi a b b b = b +, quidi la serie diverge, poiché o è soddisfatta la codizioe ecessaria per la covergeza D L affermazioe è falsa, basta cosiderare a = e b = 4, che soddisfao le ipotesi e soo tali che =, quidi la serie diverge a b 4

7 TEMA D Esercizio Poedo z = x + iy, otteiamo iz z = ix y x xy + y, da cui si ricava e iz z = 4 e xy+y = 4 xy + y = log 4 Pertato, avremo y = log 4 log 4 x e x /, ovvero z = x i x La rappresetazioe delle soluzioi el piao complesso è u iperbole co asitoto verticale i x = / e rami el secodo e quarto quadrate Esercizio Osserviamo, iazitutto, che la serie proposta è a termii o egativi; ioltre, posto a := sih α, si osserva subito che, se α <, per la gerarchia degli ifiiti, a α, quidi la serie diverge Ivece, per α >, teedo coto che α e, quidi, sih α α, si ha a α = α α +α+5 Pertato, la serie sarà covergete per α +α+5 >, ovvero α α 4 <, che forisce 7 < α < + 7, ossia, teedo coto che 7 <, < α < + 7 Ifie, per α =, si ottiee a sih / 5 e, quidi, acora ua serie covergete I coclusioe, la serie diverge a + per α < e α + 7 e coverge per α < + 7 Esercizio 3 L equazioe differeziale proposta è u equazioe lieare del secodo ordie a coefficieti costati, la cui equazioe caratteristica associata è λ + λ + 5 =, che ha come soluzioi λ = ± i Quidi, l itegrale geerale dell equazioe omogeea è y x = e x [C cosx+c six] Ioltre, dal metodo di somigliaza, otteiamo che, per ogi α R, y p x = Ae αx, da cui y px = A αe αx e y p x = A α e αx Pertato, iseredo ell equazioe, si ricava A α e αx + A αe αx + 5Ae αx = e αx = Aα 4α α + 5 = = A = α α + 3, dove abbiamo teuto coto del fatto che α α + 3, avedo il discrimiate egativo l itegrale geerale dell equazioe proposta sarà Quidi, yx = e x [C cosx + C six] α α + 3 e αx α R Ifie, poiché lim x + e x [C cosx + C six] = C, C R, affiché la soluzioe sia ifiitesima per x +, si deve avere α <, ovvero α > ; quidi, al variare di C, C R e α > si hao ifiite soluzioi soddisfaceti alla codizioe richiesta Esercizio 4 Osserviamo che x + > x < e x > /3 ; 3x 7

8 pertato, avremo arcta x + 7 3x dx = 7 x + =x arcta x arcta 3x 7 7 =7 arcta 3 =7 arcta 3 x x+ 3x 7 x + arcta 3x x + 3x 3x 3x 8 3x dx + x + dx arcta dx 3x x + x 9x x x + x + 3 dx x+ 3x x 7 x + 4 dx x x + 4 dx =7 arcta + logx logx + 4 = 7 arcta 3 4 =7 arcta + log x 3x 8 3x dx x 9x x x + x + 3 dx + log4 log53 log 4 + log4 Esercizio 5 A L affermazioe è vera, poiché codizioe ecessaria per la covergeza della serie è che il termie geerale sia ifiitesimo, ovvero, el ostro caso, a b, che per defiizioe equivale a richiedere a b = o B L affermazioe è falsa, basta cosiderare a = e b =, che soddisfao le ipotesi e soo tali che a 4 b =, quidi la serie coverge 3 C L affermazioe è falsa, basta cosiderare a = log e b = log, che soddisfao le ipotesi e soo tali che a b = log = o ; tuttavia la serie diverge D L affermazioe è falsa, basta cosiderare a = 4 e b =, che soddisfao le ipotesi e soo tali che a 4 b =, quidi la serie diverge 8