Equazioni Differenziali

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1 Equazioi Differeziali Nota itroduttiva: Lo scopo di queste dispese o è trattare la teoria riguardo alle equazioi differeziali, ma solo dare u metodo risolutivo pratico utilizzabile egli esercizi che richiedoo di risolvere delle equazioi differeziali. Itroduzioe U equazioe differeziale è u equazioe che ha per icogita ua (o più) fuzioe/i icogita/e, e o uo o più umeri reali come elle equazioi algebriche. Ua fuzioe si dice soluzioe dell equazioe differeziale se, sostituedo l equazioe e le sue derivate ell equazioe, si ottiee u idetità fra fuzioi. Ordie di u equazioe Differeziale U equazioe differeziale stabilisce ua relazioe fra la fuzioe e le sue derivate. L ordie di u equazioe differeziale è dato dall ordie massimo co cui compare la derivata della fuzioe icogita ell equazioe. Equazioi lieari ed equazioi o lieari U equazioe differeziale si dice lieare se la fuzioe e le sue derivate compaioo solo co espoete 0 od 1. Le equazioi differeziali o lieari soo quelle equazioi differeziali i cui o la fuzioe o almeo ua sua derivata compare co espoete diverso da 0 ed 1. Le equazioi differeziali o lieari soo molto più difficili da risolvere rispetto a quelle lieari. Equazioi a coefficieti costati U equazioe è detta a coefficieti costati se i coefficieti davati a f(x) e le sue derivate soo costati, è ivece detta a coefficieti variabili se i coefficieti davati a f(x) e le sue derivate soo delle fuzioi di x. Le Equazioi a coefficieti costati soo molto più semplici da risolvere rispetto a quelle a coefficieti variabili, che o soo emmeo sempre risolubili e o sempre la loro soluzioe è scrivibile i modo elemetare. Equazioi Differeziali Omogeee e No Omogeee U equazioe differeziale si dice omogeea se è del tipo: a f (x) + a 1 f 1 (x)+.. +a 1 f (x) + a 0 f(x) = 0 Ivece u equazioe si dice o omogeea se è del tipo NB: gli esempi sopra esposti soo ache lieari. Possiamo defiire u operatore L: a f (x) + a 1 f 1 (x)+.. +a 1 f (x) + a 0 f(x) = F(x)

2 L(f) = a f (x) + a 1 f 1 (x)+.. +a 1 f (x) + a 0 f(x) Possiamo a questo puto dare ua uova defiizioe di equazioe differeziale lieare: u operazioe differeziale è lieare se l operatore L ad essa associato è lieare. Risolvere ua equazioe o omogeea sigifica, co la uova otazioe, risolvere il problema L(f) = F(x) Ivece risolvere l equazioe omogeea associata sigifica risolvere NOTA: u operatore è lieare se L(f) = 0 L[f + g] = L[f] + L[g] f, g fuzioi L[Af] = AL[f] A reale, f fuzioe Derivata e itegrali soo operatori lieari, metre l operatore elevo al quadrato o lo è, perché L[f + g] = (f + g) 2 f 2 + g 2 = L[f] + L[g] Risoluzioe delle equazioi lieari omogeee a coefficieti costati La risoluzioe delle equazioi Omogeee è abbastaza facile, tuttavia o è sempre possibile trovare soluzioi esatte. PROPOSIZIONE Le soluzioi dell equazioe omogeea (tralasciado soluzioi baali co f(x)=0) soo sempre ella forma f a (x) = x a e bx b C, a N Dove a è diverso da zero solo se esistoo radici coicideti. Per trovare le soluzioi basta sostituire f(x) = e bx e le sue derivate all itero dell equazioe differeziale. Si ottiee così u equazioe del tipo: Mettedo i evideza l espoeziale otteiamo: a b e bx + a 1 b 1 e bx +.. +a 1 b 1 e bx + a 0 e bx = 0 e bx (a b + a 1 b a 1 b 1 + a 0 ) = 0 Siccome l espoeziale è sempre diverso da zero, il problema si riduce a calcolare le radici b i dell equazioe: Dove a x + a 1 x a 1 x 1 + a 0 = 0 P(x) = a x + a 1 x a 1 x 1 + a 0 è detto poliomio caratteristico dell equazioe differeziale a b e bx + a 1 b 1 e bx +.. +a 1 b 1 e bx + a 0 e bx = 0

3 Sappiamo che ciò o è sempre possibile, ifatti esistoo formule risolutive solo per le equazioi fio al 4 grado (per adare oltre possiamo usare metodi come il teorema di Ruffii che però o fuzioa sempre). NOTA BENE: u poliomio di grado ha sempre radici complesse, quidi per esempio se ella risoluzioe di u equazioe di 2 grado si ottiee u delta egativo varrà dire che le soluzioi solo complesse e si avrà e (α+iβ)x = e αx (cos(βx) + i se(βx)) Se ivece alcue radici soo coicideti, detta m la loro molteplicità, allora a quella radice corrispodoo le soluzioi e bx, x 1 e bx,, x m 1 e bx. Ua volta trovate le radici la soluzioe dell omogeea sarà data da ua qualsiasi combiazioe lieare elle soluzioi: f(x) = C i e b ix Cioè l isieme delle soluzioi di u equazioe lieare a coefficieti costati di grado è uo spazio vettoriale di dimesioe. Se si vuole determiare ua soluzioe specifica, bisoga aggiugere al problema iiziale (l equazioe differeziale) altre codizioi specifiche, dette codizioi di Cauchy (per esempio i u equazioe del secodo ordie, se si vuole che f(x) sia tagete alla retta y = o el puto (0,0) possiamo aggiugere: f(0) = 0 f (0) = 0 Risoluzioe delle equazioi lieari o omogeee PROPOSIZIONE L isieme delle soluzioi dell equazioe o omogeea è dato da tutte le fuzioi del tipo: f(x) = g(x) + C i e b ix Dove g(x) è ua qualsiasi soluzioe dell equazioe o omogeea, e l altro termie idica ua qualsiasi combiazioe lieare delle soluzioi dell omogeea. Ifatti se h(x) è ua soluzioe dell omogeea e g(x) è ua soluzioe della o omogeea, ache g(x) + C h(x) è soluzioe: a (g (x) + C(h (x))) + a 1 (g 1 (x) + C(h 1 (x)))+.. +a 1 (g 1 (x) + C(h 1 (x))) + a 0 (g(x) + C(h(x))) = a g (x) + a 1 g 1 (x)+.. +a 1 g (x) + a 0 g(x) + C a h (x) + a 1 h 1 (x)+.. +a 1 h (x) + a 0 h(x) = F(x) + C a h (x) + a 1 h 1 (x)+.. +a 1 h (x) + a 0 h(x) = F(x) Quidi per risolvere u equazioe o omogeea per prima cosa dobbiamo risolvere l equazioe omogeea associata a f (x) + a 1 f 1 (x)+.. +a 1 f (x) + a 0 f(x) = 0

4 trovado le radici del poliomio caratteristico associato P(x) = a x + a 1 x a 1 x 1 + a 0 Poi dobbiamo trovare ua soluzioe g(x), detta soluzioe particolare. Illustreremo qui il metodo della variazioe delle costati di Lagrage, che permette di risolvere qualsiasi equazioe lieare a coefficieti costati, tuttavia per risolvere alcui tipi di equazioi differeziali ci sarao metodi alquato più semplici e veloci, a secoda del caso. Il metodo di Lagrage è u poco più complicato e calcoloso ma permette di trovare sempre la soluzioe. Metodo di Lagrage Ua volta trovate le soluzioe dell omogeea ella forma f i (x) = e b ix ; i N, 1 i dove è l ordie dell equazioe differeziale, per trovare ua soluzioe particolare basta risolvere il sistema quadrato lieare x: c i (x) f i j (x) = 0 j N, j [0, 2] c i (x) f i 1 (x) = F(x) NOTA BENE: la prima equazioe deve essere scritta el sistema per ogi valore di j, quidi -1 volte. Questo sistema ha per icogite le fuzioi c i (x) Ua volta risolto il sistema si trovao le fuzioi c i (x) itegrado le fuzioi soluzioi del sistema I particolare ogi itegrale sarà ella forma c i (x)dx La soluzioe particolare dell equazioe sarà quidi f(x) = e b ix c i (x)dx NOTA: il metodo di variazioe delle costati di Lagrage è valido per tutte le equazioi lieari, ache a coefficieti o costati. Tuttavia tale metodo presuppoe di cooscere tutto lo spazio delle soluzioi dell equazioe omogeea associata, e o c è u metodo risolutivo geerale per equazioi lieari a coefficieti o costati di ordie. I ogi caso, se si cooscoo soluzioi liearmete idipedeti dell equazioe omogeea, si può risolvere qualsiasi equazioe particolare associata.

5 Sistemi di Equazioi Differeziali (Lieari, coefficieti costati, primo ordie, omogeei) U sistema di equazioi differeziali è u isieme di equazioi differeziali che hao fuzioi icogite (o meo). Possiamo illustrare 2 metodi risolutivi: Metodo 1 (Ricodurre a equazioi differeziali) Illustreremo il metodo per u sistema 2x2, ma può essere applicato idifferetemete a u qualsiasi sistema x di primo ordie seza alcua difficoltà aggiutiva Il sistema sarà ella forma: f (x) = af(x) + bg(x) g (x) = cf(x) + dg(x) Deriviamo la secoda equazioe da etrambe le parti e otteiamo Quidi g (x) = cf (x) + dg (g) f (x) = 1 c g (x) d c g (x) Dalla secoda equazioe o derivata possiamo ricavare ivece f(x): f(x) = 1 c g (x) d c g(x) A questo puto possiamo adare a sostituire ella prima equazioe e otterremo ua equazioe differeziale lieare del secodo ordie per g(x), ua volta risolta possiamo adare a sostituirla ella prima equazioe per otteere u equazioe lieare di primo ordie per f(x). Metodo 2 (Algebra Lieare) Possiamo scrivere il sistema i forma matriciale f (x) g = a b (x) c f(x) d g(x) A questo puto troviamo gli auto valori della matrice quadrata, dopodiché determiiamo tutti gli auto vettori e riscriviamo il sistema i questa base, otterremo Cioè Dove A e B soo gli auto valori, F (x) 0 G = A F(x) (x) 0 B G(x) F (x) = AF(x) G (x) = BG(x)

6 F(x) = V A F(x) G(x) G(x) = V B F(x) G(x) ; V A autovettore di A, V B autovettore di B Si risolvoo le due equazioi di primo ordie e quidi si va a ricavare f(x) e g(x) risolvedo il sistema Dove F(x) = αf(x) + βg(x) G(x) = γf(x) + δg(x) V A = α β G(x), V B = γ δ Casi particolari di equazioi differeziali (lieari, coefficieti costati) Caso 1: F(x)= poliomio Se f(x) è u poliomio di grado m, si iserisce come soluzioe el equazioe ua geerica fuzioe poliomiale di grado m. Esempio: f (x) + f (x) 2f(x) = x 3 + 5x 2 3x + 2 F(x) = x 3 + 5x 2 3x + 2 Dopo aver risolto l omogeea (le cui soluzioi dovrao essere aggiute alla soluzioe particolare che stiamo cercado), si poe f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d f (x) = 3ax 2 + 2bx + c f (x) = 6ax + 2b (6ax + 2b) + (3ax 2 + 2bx + c) 2(ax 3 + bx 2 + cx + d) = x 3 + 5x 2 3x + 2 Ora raggruppiamo i termii di uguale grado: ( 2a)x 3 + (3a 2b)x 2 + (6a + 2b 2c)x + (2b + c 2d) = x 3 + 5x 2 3x + 2 Grazie al teorema di idetità dei poliomi, ora basta risolvere il sistema: Otteedo 2a = 1 3a 2b = 5 6a + 2b 2c = 3 2b + c 2d = 2

7 a = 1 2 b = 13 4 c = 13 4 d = 47 8 Quidi la soluzioe particolare è Caso 2: F(x)= P(x)*e^Q(x), deg(q(x)=1 Si sostituisce f(x) = 1 2 x x x 47 8 f(x) = R(x) e Q(x) Dove R(x) è u poliomio geerico di grado uguale a P(x). Caso 3: F(x)= P(x)*(A cos(q(x)) + B se(q(x))), deg(q(x)=1 Si sostituisce f(x) = R(x) A cos Q(x) + B se Q(x) Dove R(x) è u poliomio geerico di grado uguale a P(x).