SERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi.

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1 Serie SERIE NUMERICHE Co l itroduzioe delle serie vogliamo estedere l operazioe algebrica di somma ad u umero ifiito di addedi. Def. Data la successioe {a }, defiiamo la successioe {s } poedo s = a k. Se tale successioe o oscilla, allora il ite della successioe {s } si dice somma della serie e si deota co a (o ache co a o a se o occorre specificare meglio). =0 La successioe {s } viee detta successioe delle ridotte o somme parziali della serie. Se la successioe {s } coverge (risp. diverge positiv., risp. diverge egativ., risp. oscilla), allora si dice che la serie coverge (risp. diverge positiv., risp. diverge egativ., risp. oscilla o è idetermiata). Studiare il carattere della serie sigifica stabilire se la serie è covergete, divergete o idetermiata. L operazioe di calcolo del ite delle ridotte parziali viee detto sommare la serie. ESEMPI: ) a =. Allora s = a k = = + + e quidi la serie diverge positivamete; ) a = ( ). Allora quidi la serie oscilla; 3) a =. Allora s = +... = s = a k = e quidi la serie coverge e la somma vale. { se è pari, 0 se è dispari, k = La defiizioe di serie ci permette di otteere direttamete dai risultati sulle successioi i corrispodeti teoremi per le serie. Teorema. (LINEARITÀ) Siao {a } e {b } due successioi e c R. Se a e b covergoo, allora covergoo ache (a + b ) e (ca ), e si ha (a + b ) = a + =0 =0 =0 b (ca ) = c =0 =0 a. Codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie

2 Serie Teorema. Se la serie a coverge allora a 0. Dim. a = L s = L. Allora (dato che a = s s ) a = s s = L L = 0. OSSERVAZIONI: ) se modifichiamo i primi m termii di ua successioe allora il carattere della serie relativa o viee modificato: se a = b per > m, allora (se > m) b k a k = (b k a k ) = m (b k a k ) e quidi le ridotte parziali -ime differiscoo per ua quatità idipedete da. ) il teorema di liearità vale ache per serie divergeti quado o si hao forme idetermiate. 3) se a è defiita solo per maggiore di u certo k, allora si estede la defiizioe di serie (poedo a = 0 per < k). I questo caso si scriverà a. =k Alcue serie importati La serie armoica. = Questa serie diverge a + (verrà dimostrato i seguito). NOTA: 0 ma la serie diverge; questo mostra che a 0 è codizioe ecessaria ma o è codizioe sufficiete affichè a coverga. La serie geometrica di ragioe q R q. =0 Nel caso q = 0, poiamo 0 0 =. Ricordiamo che si ha q k = q+ q = q q q q, se q e Quidi la serie q k = coverge a se q < q diverge positivamete se q oscilla se q. = +, se q =.

3 3 Serie OSSERVAZIONE SERIE A TERMINI POSITIVI La successioe delle ridotte {s } è o decrescete se e solo se la successioe {a } è o egativa. Ifatti s + s = a +. Possiamo quidi usare i teoremi per le successioi mootoe e dedurre il seguete Teorema. Se la successioe {a } è o egativa, allora a o oscilla e si ha a = sup a k. =0 NOTE: ) il teorema vale ache se m N: a 0 m; ) elle ipotesi del teorema si possoo avere solo i casi a R e a = +. ESERCIZIO: cosa succede se a 0? Ora dimostriamo che la serie armoica diverge. Dato che > 0 sappiamo che la serie o oscilla. Per assurdo suppoiamo che = Si deve avere Ma allora si ha Assurdo. = = L < +. ( k k ) = L L = 0. k= k= 0 = k=+ = k k=+ =. k=+ = Criteri di covergeza per serie a termii positivi Criterio del cofroto. Siao {a } e {b } successioi o egative, tali che a b. Allora: i) se b coverge, allora a coverge; ii) se a diverge, allora b diverge. Dim. la tesi si ha subito dal teorema del cofroto per le successioi applicato alle ridotte delle due serie.

4 Serie 4 Più i geerale, basta supporre che m: a b m. Per dimostrare il teorema basta otare m che per > m si ha a k (a k b k ) + b k. ESEMPIO: studiamo il carattere della serie = log. Si ha 0 < log < e quidi log. Dato che la serie armoica diverge, diverge ache log. ESEMPIO: cosideriamo la serie. Si ha coverge. 4. Cofrotiamola co la serie geometrica di ragioe /: =0 4 = >. Dato che la serie geometrica coverge, ache la serie 4 Criterio del cofroto asitotico. Siao {a } e {b } successioi o egative, co b > 0, a tali che esista il ite L =. Allora: b i) se L ]0, + [, a coverge b coverge; ii) se L = 0 e b coverge, allora a coverge; iii) se L = + e b diverge, allora a diverge. Dim. i) a /b L < + = {a /b } itata = c > 0: a cb. Quidi, se b coverge, a coverge per il criterio del cofroto e per la liearità. i) a /b L > 0 = b /a /L < + e, come sopra, dalla covergeza di a si deduce la covergeza di b. ii) la tesi si prova come i i). iii) a /b + = m : a /b > m. La tesi segue dal criterio del cofroto. Criterio del rapporto asitotico. Sia {a } ua successioe strett. positiva, ed esista il ite L = a + a. Allora i) se L < la serie a coverge; ii) se L > la serie a diverge. Dim. i) (a + /a ) = L < = m: a + L + < m. La tesi si ha dal criterio a del rapporto. ii) (a + /a ) = L > = m: a + ifiitesima = a o coverge. a m = a a m > 0 m = {a } o

5 5 Serie ESEMPIO: cosideriamo a =!. Allora a + ( + )! = a! ( + ) + = ( + ) ( + ) + = ( ( + ) = + ) e < quidi la serie =0! coverge. Criterio della radice asitotico. Sia {a } ua successioe o egativa, ed esista il ite L = (a ). Allora i) se L < la serie a coverge; ii) se L > la serie a diverge. Dim. ESERCIZIO (è uguale alla dimostrazioe del criterio del rapporto asitotico). ESEMPIO: a =. Si ha (a ) = = 0 e quidi la serie coverge. ALTRE SERIE NOTEVOLI La serie armoica geeralizzata di parametro λ: i) diverge se λ, ii) coverge se λ >. = λ. Dim. (i) λ implica λ, λ. Allora la serie armoica geeralizzata di parametro λ diverge per cofroto co la serie armoica divergete. (ii) Studiamo la serie (di Megoli) = ( + ) = ( = + Si tratta di ua serie telescopica per la proprietà della ridotta -ima che vale Quidi = (+) s = = +. coverge e la sua somma vale. Le serie ). = ( + ) e =

6 Serie 6 hao lo stesso carattere per il criterio del cofroto asitotico e quidi coverge ache la serie armoica geeralizzata di parametro. Se λ > allora λ e quidi covergoo ache le serie armoiche geeralizzate di parametro λ >. Rimae da cosiderare il caso < λ <. Proposizioe (Criterio di codesazioe di Cauchy). Sia {a } ua successioe o egativa e o crescete. Allora a coverge se e solo se a coverge. Se a =, allora a λ = = = ( ). Se λ >, allora λ >, <. La ( ) λ ( ) λ λ λ covergeza della serie armoica geeralizzata di parametro λ > segue dal cofroto co la serie geometrica di ragioe. Ovviamete, si può utilizzare il criterio di codesazioe di Cauchy λ per studiare il carattere della serie armoica geeralizzata ache el caso 0 < λ. OSSERVAZIONE: se ei criteri del rapporto e della radice si ha L = ulla si può dire a priori della covergeza della serie. ESEMPI: ) / diverge e /( + ) ; ) / coverge e /( + ) (gli stessi esempi valgoo per il criterio della radice). La serie i) coverge se α > ; ii) diverge se α. = (log ) α. Dim. (per esercizio): usare il criterio di codesazioe di Cauchy. ESERCIZI. (stabilire il carattere delle serie) ). Basta cofrotare la serie co la serie geometrica di ragioe /, dato che =0. Quidi la serie coverge. )bis La stessa serie si può trattare co il criterio della radice asitotico, dato che ( ) / = 0. )ter La stessa serie si può trattare co il criterio del rapporto asitotico, dato che (+) = = 0.

7 7 Serie ) = Notiamo che per 4 si ha! ( 3)! ( )( )( 3), per cui per 4 si ha 3 + 5! ( 3) ( )( )( 3). Cofrotiamo quest ultima successioe co la successioe / : si ha per cui le serie ( 3 + 5) ( )( )( 3) = ( )( )( 3 =, ) ( )( )( 3) e hao lo stesso carattere. La secoda è ua serie armoica geeralizzata di parametro > e quidi coverge. )bis La stessa serie si può trattare co il criterio del rapporto asitotico: (( + ) 3 + 5)!( 3) ( + )!( ) ( 3 + 5) = (( + ) 3 + 5) ( 3 + 5) ( 3) ( ) ( + ) = 0. 3) = arcta (log ). Sappiamo che per si ha quidi π 4 = (log ) arcta (log ) π = π 4 arcta π, = (log ). Duque per il criterio del cofroto (applicato due volte) la ostra serie ha lo stesso carattere della serie (log ), alla quale si applica facilmete il criterio della radice asitotico. Dato che (log ) = = = 0, la serie coverge. log

8 Serie 8 4) ( ) + ( ) x. (x > 0) La serie è a termii positivi. Notiamo che si ha =0 ( ) + ( ) = { /3 se è pari 3 se è dispari, possiamo quidi scrivere la ridotta + -esima come s + = 3 xk + 3x k+, quidi s + = 3 (x ) k + 3x (x ) k. Etrambe le serie covergoo x < e quidi la ostra serie coverge x <. Ricordado che la somma della serie geometrica di ragioe q co q < è /( q), si può calcolare la somma della serie (per x < ), che vale 3 ( x ) + 3x ( + 9x) ( x = ) 3( x ). CONVERGENZA ASSOLUTA Ricordiamo la defiizioe di successioe di Cauchy. {a } è di Cauchy se ε > 0 m N:, m a a ε. No è restrittivo supporre che sia >, cioè = + p per qualche p N \ {0}. Quidi la defiizioe si riscrive ε > 0 m N: m, p > 0 a a +p ε. Applichiamo quest ultima formulazioe al caso delle serie: la applichiamo, cioè, alla successioe s = a k delle somme parziali. Dal criterio di Cauchy per successioi segue allora il Il Criterio di Cauchy (per serie) a coverge ε > 0 m N: m, p > 0 +p a+ s +p s = + + a +p = k=+ a k ε. Teorema. (CONVERGENZA ASSOLUTA) Sia {a k } C. Se a k coverge allora coverge ache a k e si ha a k a k Dim. Se a k coverge, per il criterio di Cauchy (= ) si ha ε > 0 m N: m, p > 0 +p k=+ a k ε.

9 9 Serie Applicado la disuguagliaza triagolare, si trova +p k=+ a k +p k=+ da cui, acora per il criterio di Cauchy ( =), si legge la covergeza di a k. Ifie, per dimostrare che a k a k, basta otare che a k a k e passare al a k ite per + (teorema del cofroto per successioi). Def. a è assolutamete covergete se a coverge; a è semplicemete covergete se a coverge e a o coverge. Serie importati (verificare la covergeza usado il teorema della covergeza assoluta e, per le serie dei moduli, il criterio del rapporto) z = z R : z < ; z =0 =0 =0 =0 = z! = ez = exp z z R; ( ) z ()! ( ) z + ( + )! = cos z z R; = si z z R; ( ) + x = log( + x) per < x ; =0 ( ) x + ( + ) = arcta x per x. NOTA: la covergeza per x = elle ultime due formule o segue dal criterio del rapporto, e verrà dimostrata i seguito. OSSERVAZIONE Ricordado le defiizioi cosh z = ez + e z, sih z = ez e z, si ottiee z cosh z = ()!, sih z = z + ( + )! =0 =0

10 Serie 0 per ogi z R. ESERCIZIO Calcolare la somma della serie =0 x ()!. Se x 0 possiamo scrivere x = ( x), per cui =0 x ()! = =0 ( x) ()! = cosh ( x ). Se ivece x < 0, allora x = ( ) x = ( ) ( x ), per cui =0 x ()! = =0 ( ) ( x ) ()! = cos ( x ). Criterio di Leibiz. Sia {a } ua successioe o crescete e ifiitesima. Allora la serie ( ) a coverge. =0 Chiamata {s } la successioe delle ridotte parziali allora {s } è o crescete, e {s + } è o decrescete. Ioltre si ha ( ) s ( ) k a k a+. Dim. Verifichiamo che {s } è o crescete: s (+) s = ( ) + a + + ( ) + a + = a + a + 0, poichè a + a +. Aalogamete si verifica che {s + } è o decrescete. Ioltre si ha s = s + a s s per cui {s } è itata. Duque esiste fiito il ite s = L. Dal mometo che {s s + } è ifiitesima, si ha s L. Dalla mootoia delle due sottosuccessioi, si ha s s + L s, da cui 0 L s s s = a e ache 0 s L s s + = a +.

11 Serie ESEMPI ) La serie ( ) + (serie armoica a segi alteri) coverge (e la sua somma vale log ). = ) aalogamete coverge la serie =0 ( ) + (e la sua somma vale arcta = π/4). 3) usiamo ( ) per otteere ua stima dell errore el calcolo approssimato di si. ( ) k Dato che si =, per ogi si ha (k + )! si ( ) k (k + )! ( + 3)!. Voledo, ad esempio, u errore iferiore a 0 3, basterà scegliere tale che ( + 3)! > 000. Il primo valore che verifica la disuguagliaza è =. ESERCIZI ) Discutere il carattere della serie = Osserviamo che vale la doppia diseguagliaza ( + )( + si ) si 3, e quidi la serie è a termii positivi. Duque la somma della serie esiste fiita o uguale a +. Ioltre valgoo le diseguagliaze ( + ) ( + )( + si ) ( + ) = = Applicado due volte il criterio del cofroto si ottiee che il carattere della serie i questioe è lo stesso della serie ( + ) 3. 5 = = A sua volta, applicado il criterio del cofroto asitotico, possiamo sostituire a ( + ) semplicemete (ovviamete = ), otteedo così la serie + 3 = 5. /3 Questa serie diverge perchè 3 <. = =

12 Serie ) Discutere il carattere della serie = ( + ) cos 3 7 La serie o è a termii di sego defiito, quidi o si possoo applicare i relativi criteri. Possiamo cercare di applicare il teorema della covergeza assoluta. Si ha ( + ) cos ( + ) cos 3 = Alla serie = ( + ) cos 3, 7 ora a termii positivi, possiamo applicare il criterio del cofroto, ricordado che cos e quidi ( + ) cos ( + ) = Per il criterio del cofroto asitotico quest ultima serie ha lo stesso carattere della serie 3 = 7, 4/3 = che è covergete poichè 4 3 >. Duque la serie di parteza è assolutamete covergete, e quidi coverge. = = 3) Discutere il carattere della serie Osserviamo che vale la diseguagliaza = ( + si(e )) si(e ), per ogi e quidi la serie è a termii positivi. Duque la somma della serie esiste fiita o uguale a +. Notado che si ha + si(e ) =, si ha, per il criterio del cofroto asitotico, che la ostra serie ha lo stesso carattere della serie = 3 = ( ). 3 Possiamo cofrotare questa serie co ua serie geometrica di ragioe α co > α > 3, per esempio α = 3 4. Si ha (3/4) ( 9 ) (/3) = 8 = +, quidi per il criterio del cofroto asitotico, la ostra serie coverge, covergedo la serie geometrica di ragioe 3 4. =

13 3 Serie 4) Discutere il carattere della serie = La serie è evidetemete a termii positivi, per cui o coverge o diverge positivamete. Applichiamo il criterio del cofroto asitotico co la serie relativa alla successioe = 9/7. Si ha ifatti = 7 9 ( ) = 5 + = = Quidi il carattere della serie i questioe è lo stesso della serie che è covergete poichè 9 7 >. = 9/7, 5) Discutere il carattere della serie Si ha = si( 3 ) log( +!) si( 3 ) per ogi, metre, dato che +! >, log( +!) > 0 per ogi, quidi la serie è a termii egativi e duque o coverge o diverge egativamete. Applichiamo il criterio del cofroto. Dato che si ha e log( +!) log si( 3 ) = = log( ( + (!/ )) log = log( ) + log( + (!/ )) log = log + log( + (!/ )) log =,

14 Serie 4 il carattere della serie i questioe è uguale a quello della serie = log = = 0 log. Possiamo applicare il teorema del cofroto. Dato che 3 0 < possiamo fare il cofroto co ua serie armoica geeralizzata divergete del tipo α, co 3 0 < α <, per esempio α = 3 4. Si ha log = e quidi la ostra serie diverge (egativamete). 3 0 log = +, 6) Si calcoli la somma della serie 3 + =! Teedo presete che si ha =0 a! = ea per ogi a R cerchiamo di trasformare la ostra serie i questa forma. Per prima cosa scriviamo 3 + = 3 3 = 9 6, per cui 3 + =! = 9 = 6!. Sommado e sottraedo la quatità si ottiee 9 = 6! = 9 =0 9 = !, 6! 9 = 9 ( =0 6! ) = 9 (e6 ).

15 5 Serie 7) Si calcoli la somma della serie ( ) + + ( )! = Cerchiamo di otteere u espoeziale. Prima di tutto cambiamo variabile poedo k =, per cui ( ) + + k+ ( )! = k+ ( ) k! = k= k= = ( ) k k ( ) k = ; k! k! quidi sommado e sottraedo = ( ) 0 si ottiee k= ( ) k = k! ( ) k = k! =0 = e, e ifie ( ) + + ( )! = (e ). = 8) Sia E l isieme dei umeri reali α tali che + = ( + log ) α log( + ) sia divergete. Calcolare sup E. La serie è a termii positivi. Applichiamo il criterio del cofroto asitotico, ricordado che log log( + ) = 0, =, log e quidi il carattere della serie i questioe è lo stesso del carattere della serie ( = α log ) = = α log Questa serie è covergete se α > (per cofroto co la serie ( α)/ ), metre diverge per α (per cofroto co la serie ). Duque si ha log e sup E = 4. E = {α R : = α } =], 4],.

16 Serie 6 9) Trovare il umero reale x tale che = + x ( )! = 3. Possiamo riscrivere la serie come = + x ( )! = 4 = x ( )! (x) = 4! = ( = 4 =0 (x)! ) = 4(exp(x) ), quidi dobbiamo risolvere l equazioe 4(exp(x) ) = 3, ovvero exp(x) = 4, da cui x = log 4, e ifie x = log 4 = log. 0) Discutere il carattere della serie =0 ()!. La serie è a termii strettamete positivi. La preseza del fattoriale ci suggerisce l applicazioe del criterio del rapporto: a + ( + )+ ()! = a ( + )! Dato che si ha a + a ( + ) ( + ) = ( ( + )( + ) = + ) ( + ). ( + ) e, ( + ) 0, 0. Duque per il criterio del rapporto asitotico la serie coverge. NOTA: come corollario dell esercizio 0 si ha che ()! = 0. ESERCIZIO: dimostrarlo per via diretta.

17 7 Serie ) Discutere il carattere della serie =0 3 log. La serie è a termii positivi. La preseza della poteza -esima ci ivita all applicazioe del criterio della radice. Si ha (a ) = 3 log. Osserviamo (dalla def. di log) che per cui 3 log = e log 3 log = log 3, (a ) = log 3 = 0; log 3 quidi la serie coverge per il criterio asitotico della radice. NOTA: come corollario dell esercizio 0 si ha che ESERCIZIO: dimostrarlo per via diretta. = 0. 3 log ) Discutere il carattere della serie =0 ( ). La serie è a termii positivi. La preseza della poteza -esima ci ivita all applicazioe del criterio della radice, otteedo (a ) = 0. Duque la serie è covergete per il criterio asitotico della radice. 3) Discutere il carattere della serie Osserviamo che vale il ite log( + ). = log( + ) =. Duque per il criterio del cofroto asitotico, le due serie log( + ) e = hao lo stesso carattere. Quidi la serie i questioe diverge positivamete. =