Statistica 1 A.A. 2015/2016

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1 Corso di Laurea i Ecoomia e Fiaza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispodeti a 48 ore di lezioe frotale e 24 ore di esercitazioe) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 19

2 Iterdipedeza lieare fra variabili quatitative cotiue Esempio. U gruppo di ricercatori è iteressato a valutare la relazioe esistete tra le quotazioi di due titoli azioari, idicati rispettivamete co X ed Y. Di seguito è riportata ua parte dei dati rilevati per 50 giori cosecutivi: X Y X Y X Y X Y X Y Ua prima idicazioe relativa al comportameto cogiuti delle due variabili rilevate può essere otteuta tramite l opportua rappresetazioe grafica: il diagramma a dispersioe. 2 / 19

3 Diagramma a dispersioe Y Il grafico mostra che al crescere della quotazioe del titolo azioario X cresce la quotazioe del titolo Y, e viceversa. I questo caso diremo che siamo i preseza di ua iterdipedeza lieare diretta. X 3 / 19

4 Diversamete, diremo che siamo i preseza di ua iterdipedeza lieare iversa quado al crescere di ua variabile l altra decresce. Il seguete grafico mostra u esempio di iterdipedeza lieare iversa. Diagramma a dispersioe Y X 4 / 19

5 Per misurare l iterdipedeza lieare fra due variabili quatitative cotiue si utilizza la covariaza data dalla media del prodotto degli scarti delle due variabili dalla propria media, formalmete i1 σ XY ( )(y i M Y ) L espressioe precedete mostra che il sego della covariaza dipede dalla prevaleza dei segi del prodotto degli scarti ( )(y i M Y ): i. σ XY > 0 quado vi è ua prevaleza di scarti cocordi ii. σ XY < 0 quado vi è ua prevaleza di scarti discordi Il umeratore della covariaza è defiito codeviaza. 5 / 19

6 σ XY > 0 σ XY < Le due figure mostrao che i. quado vi è ua prevaleza di scarti cocordi (σ XY > 0), le due variabili soo iterdipedeti liearmete i modo diretto, ovvero al crescere (decrescere) di ua variabile l altra variabile cresce (decresce); ii. quado vi è ua prevaleza di scarti discordi (σ XY < 0), le due variabili soo iterdipedeti liearmete i modo iverso, ovvero al crescere (decrescere) di ua variabile l altra variabile decresce (cresce). 6 / 19

7 Sebbee l espressioe i1 σ XY ( )(y i M Y ) sia la defiizioe esatta di covariaza, elle applicazioi risulta utile la seguete formula ridotta σ XY M XY M X M Y dove M X e M Y soo rispettivamete la media di X e Y, metre M XY è la media del prodotto di X e Y, ovvero M XY i1 x i y i Dimostrazioe i1 σ XY (x i M X )(y i M Y ) i1 (x i y i + M X M Y x i M Y y i M X ) i1 x i y i + M X M Y M Y i1 x i M X i1 y i i1 x i y i + M X M Y i1 M x i i1 Y M y i X M XY + M X M Y M X M Y M X M Y M XY M X M Y 7 / 19

8 Osservazioi i. la covariaza σ XY è espressa el prodotto delle uità di misura della variabile X e della variabile Y ; ii. attraverso la disuguagliaza di Cauchy-Schawrtz è possibile defiire u limite iferiore e u limite superiore per la covariaza; si dimostra che σ X σ Y σ XY σ X σ Y L espressioe precedete cosete di defiire u idice per valutare il grado di iterdipedeza lieare tra due variabili X e Y che gode delle segueti proprietà: i. assume valori compresi tra -1 e 1 ii. o dipede dall uità di misura delle variabili X e Y, ovvero è u umero puro. Dividedo ambo i membri della disuguagliaza di Cauchy-Schawrtz per σ X σ Y si ricava 1 σ XY σ X σ Y 1 L idice ρ XY σ XY σ X σ Y prede il ome di coefficiete di correlazioe lieare di Bravais-Pearso e soddisfa le codizioi defiite i precedeza. 8 / 19

9 ρ0 ρ ρ1 ρ / 19

10 ρ0 ρ ρ1 ρ / 19

11 Esempio. U gruppo di ricercatori è iteressato a valutare la relazioe esistete tra le quotazioi di due titoli azioari, idicati rispettivamete co X ed Y. Di seguito è riportata ua parte dei dati rilevati per 10 giori cosecutivi: X Y Si utilizzi il più adeguato idice statistico per valutare il gradi di iterdipedeza lieare tra le due variabili i esame. 11 / 19

12 X Y X 2 Y 2 X Y Sulla base dei precedeti risultati si ricava che: M X M Y σ 2 X σ 2 Y ρ XY M XY σ XY Il valore del coefficiete di correlazioe (ρ XY 0.982) mostra chiaramete che le due variabili i esame soo caratterizzate da ua elevata iterdipedeza lieare diretta. 12 / 19

13 Cosideriamo la seguete distribuzioe doppia di frequeze X /Y y 1 y 2... y j... y c Tot. x j... 1c 1. x j... 2c x i i1 i2... ij... ic i x r r1 r2... rj... rc r. Tot j....c I questo caso per il calcolo della covariaza è ecessario teer coto delle frequeze assolute cogiute ij, formalmete r c i1 j1 σ XY (x i M(X ))(y j M(Y )) ij dove M(X ) e M(Y ) soo rispettivamete la media margiale di X e Y. 13 / 19

14 Suppoiamo che sia vera l ipotesi di idipedeza i distribuzioe, i questa caso è vera la codizioe ij i..j. Cosideriamo la formula della covariaza r c i1 j1 σ XY (x i M(X ))(y j M(Y )) ij r c i1 j1 (x i M(X ))(y j M(Y ))( i..j )/ r i1 (x c i M(X )) i. j1 (y j M(Y )).j Per la prima proprietà della media aritmetica, ovvero la sommatoria degli scarti di ua variabile dalla propria media è ulla si ricava r i1 (x c i M(X )) i. j1 0 (y j M(Y )).j 0 quidi σ XY 0. I altri termii, se due variabili soo idipedeti i distribuzioe allora soo ache o correlate. I geerale o è vero il viceversa, i altri termii la codizioe di icorrelazioe è più debole della codizioe di idipedeza i distribuzioe. 14 / 19

15 La seguete distribuzioe doppia di frequeza è otteuta rilevado su di u campioe di soggetti la variabile altezza e la variabile peso. Altezza Peso Tot Tot Calcolare il coefficiete di correlazioe lieare di Bravais-Pearso. 15 / 19

16 Cosideriamo la covariaza σ XY. Utilizzado la formula ridotta σ XY M XY M X M Y si ricava che per il calcolo della covariaza è ecessario cosiderare la media margiale di X e la media margiale di Y. Dalle segueti tabelle si ricava Classi i1 xi c xi c i1 (xi c)2 (xi c)2 i ,5 6987, , , ,5 8375, , , , , , , , , , ,25 Tot , ,25 che la media e lo scarto quadratico medio margiali della variabile altezza soo rispettivamete M X 37747, , , 80 cm σ X 170, , 5 cm / 19

17 Classi 1j y c j y c j 1j (y c j )2 (y c j )2 1j ,0 450,0 2025, , ,5 6187,5 3906, , ,5 9240,0 6806, ,00 Tot , ,75 che la media e lo scarto quadratico medio margiali della variabile peso soo rispettivamete M Y 15877, , 75 71,84 Kg σ Y 71, Kg / 19

18 ri1 cj1 xi c yj c Per il calcolo della media del prodotto delle due variabili, ovvero M XY ij cosideriamo le segueti tabelle Tabella dei prodotti x c i y c j y c 1 y c 2 y c 3 x c , , ,25 x c , , ,75 x c , , ,25 x c , , ,75 Tabella dei prodotti x c i y c j ij y c 1 y c 2 y c 3 Tot. x c , , , ,25 x c , , , ,75 x c , , , ,00 x c 4 0, , , ,75 Tot , , , ,75 da cui si ricava M XY r i1 c j1 xc i y c j ij , , / 19

19 Sulla base dei risultati precedeti si ricava σ XY M XY M X M Y 12301, , 80 71, 84 31, 29 ρ σ XY 31, 29 σ X σ Y 5, 5 11, / 19

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