Analisi statistica dell Output
|
|
- Lelia De Angelis
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Aalisi statistica dell Output IL Simulatore è u adeguata rappresetazioe della Realtà! E adesso? Come va iterpretato l Output? Quado le Osservazioi soo sigificative? Quati Ru del Simulatore è corretto effettuare? Per otteere ua determiata accuratezza dei risultati? 1
2 Aalisi dell Output r f( r ) SIMULATORE Dal mometo che l Output di u Simulatore è fuzioe di variabili aleatorie, l Aalisi è u problema di statistica ifereziale. Due campi applicativi pricipali: Test e Covalida delle ipotesi (p.es., Test Goodess of Fit) Stima etro u certo livello di accuratezza (p.es., qual è la differeza tra la media vera di ua distribuzioe teorica e la media 3 stimata otteuta da osservazioi) Tipi di Simulazioe Simulazioe Termiatig o Trasieti Simula Sistemi che o raggiugoo mai uo stato stabile. I questo caso la lughezza del ru è determiata dal problema stesso. Le misure di iteresse soo defiite: Nei termii del tempo richiesto per compiere uo specifico isieme di attività. Nei termii del umero di attività ecessarie per raggiugere uo stato specifico, dato uo stato iiziale. 4
3 Simulazioe sistemi trasieti Simulazioe del processo di ri-accesioe ( cold start ) di u elaboratore. Simulazioe di Sistemi i cui parametri si modificao col tempo. Per l accuratezza dei risultati: Quate volte bisoga ripetere la Simulazioe (co differeti sequeze) per otteere ua determiata accuratezza? 5 Simulazioe Steady-State (di iteresse per il corso) Simula Sistemi che raggiugoo, dopo u determiato trasiete,uo stato stabile. I questo caso sia le codizioi iiziali che la lughezza della Simulazioe soo determiati dal simulazioista. Le misure di iteresse soo defiite i fuzioe di u valore limite raggiuto co i ru di simulazioe tedeti all ifiito. 6 3
4 ESEMPIO Misura: Tempo medio di Attesa i coda Ta Per (clock ifiito), la distribuzioe del Tempo di Attesa si defiisce, e Ta coverge ad u valore limite. Caratteristiche dell Aalisi dell Output: Dal mometo che, i pratica, sia il ru che le osservazioi soo fiite, bisoga determiare quato la media stimata si avvicia a quella teorica otteuta dalla distribuzioe. Per defiizioe di Steady-State, i valori dell output devoo essere idipedeti dallo stato iiziale. 7 Tipi di Misure (1) I geere, le misure di prestazioe cercate soo valori medi (talvolta variaze, molto più raramete distribuzioi complete). Per u Processo a tempo-discreto, date osservazioi,...,, la loro media è detta: 1, X ( ) = i= 1 Per u Processo a tempo-cotiuo: i X T = Media Campioaria 0 X ( t) dt / T 8 4
5 Tipi di Misure () La Media Campioaria è ua variabile aleatoria la cui distribuzioe f (X ) (per il Teorema del Limite Cetrale ) è ormale se f (X ) è ormale, altrimeti tede a ua distribuzioe ormale se è grade (>30) co parametri : E(X ) = µ σ σ ( X ) = σ σ ( X ) = Valore Atteso Variaza Deviazioe Stadard Tutti e tre dao ua misura della dispersioe delle variabili aleatorie di ua distribuzioe. 9 Teorema del Limite Cetrale (Fodametale per la Statistica e per la Simulazioe) La fuzioe di Distribuzioe di ua media aritmetica calcolata su di u gra umero di variabili casuali idipedeti e ideticamete distribuite (i.i.d.) è approssimabile co ua fuzioe di distribuzioe ormale. 10 5
6 ESEMPIO X () µ σ Media osservata su campioi i.i.d. ( grade) Media teorica Variaza teorica X ( ) µ C = Variabile aleatoria co σ distribuzioe N(0,1) I valori derivati per C ( gradi) seguoo ua distribuzioe ormale co Media = 0 Variaza = 1 11 Applicazioe del Teorema del limite cetrale Aalisi dell Output di u Simulatore Ogi ru di Simulazioe produce u campioe di osservazioi (derivate dalla stessa distribuzioe) di uo o più parametri di prestazioe Altri ru di Simulazioe eseguiti co u diverso isieme di semi producoo altri campioi di osservazioi statisticamete idipedeti 1 6
7 Applicazioe del Teorema () Sebbee la distribuzioe o sia ota, il Teorema del Limite Cetrale ci assicura che la media teorica µ può essere stimata mediate X() co u umero grade di osservazioi i.i.d. i quato X ( ) è distribuita ormalmete. La media teorica sarà compresa co ua certa probabilità tra due valori che costituirao il cosiddetto itervallo di cofideza: a < µ < b X () serve per calcolare a e b 13 Itervalli di Cofideza (1) Problema : Stimare quato ua media campioaria otteuta da ua Simulazioe fiita approssimi la Media µ otteuta dalla Distribuzioe Teorica. X Soluzioe : Si determia ua misura detta Itervallo di Cofideza. Metodo 1) Per grade, la variabile : X ( ) µ C( ) = z = σ / È ach essa ormale co N(0,1), media=0 e variaza=1. 7
8 Itervalli di Cofideza () La fuzioe cumulativa F z tutti i mauali di statistica. ( u) = prob( z u) ) Si preda u valore di u tale che è tabulata i F z ( u) = 1 ( ) 3) Di cosegueza: dove = u < 1 Perché la ormale è simmetrica itoro alla media (=0) prob( z u ) = prob( z > u ) = 1 F( u ) = 15 Itervalli di Cofideza() 4)Si ha, quidi : prob( u z u ) = 1 X µ prob( u u ) = 1 σ Livello di cofideza σ σ prob[ X u µ X + u ] = 1 Itervallo di cofideza 16 8
9 Itervalli di Cofideza(3) u 5) Per calcolare si usa la tabella della distribuzioe ormale: F( u ) = 1 ( Se si sceglie ad esempio, u livello di cofideza del 95% : 1 = 0.95 > = 0.05 > = Dalla Tavola bisoga ricavare il valore di che F( u ) = tale Allora, è possibile affermare che la media teorica µ cade ell itervallo σ 0.05 F ( u ) = 1 = X ±1.960 ) u al 95% di probabilità. 17 Tavola della Normale (1) a µ b 18 9
10 Tavola della Normale () Distribuzioe cumulativa ormale z X Area z X Area µ σ µ µ µ σ σ µ σ µ µ µ µ µµ σ σ σ σ µ σ σ µ σ σ µ σ µ σ µ σ 0.85 Tavola della Normale (3) z X Area z X Area µ σ µ +1.8 σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ -1.8 σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ
11 Tavola della Normale (4) z X Area z X Area µ σ µ σ µ σ µ +.36 σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ Problema della variaza teorica Nella pratica, la Variaza σ, ecessaria per il calcolo dell itervallo di cofideza, o è ota. Pertato la si sostituisce co la variaza campioaria Vale soltato per osservazioi idipedeti Ora la variabile stadard o è più ormale, ma Studet-T s 1 = ( 1 i= 1 t = X s i µ X ) 11
12 Problema della variaza teorica () Di cosegueza l itervallo di cofideza è dato da : t s s X t µ X + t dovrebbe essere calcolato dalla tabella della fuzioe di distribuzioe Studet-t. Tuttavia, poiché per gradi (>30), la fuzioe Studet-t tede alla fuzioe ormale, è possibile i molti casi utilizzare la tavola della ormale co miima 3 approssimazioe. Problema della Normalità Il Teorema del Limite Cetrale assicura che la media di variabili aleatorie (>c) idipedeti e ideticamete distribuite è approssimativamete distribuita ormalmete. Tutti i calcoli statistici sfruttao queste proprietà, per cui è importate far presete che i campioi di uteti cosecutivi (ovvero osservazioi di eveti cosecutivi) o possoo risultare idipedeti. E molto probabile che vi siao correlazioi tra le osservazioi e quidi si viola il pricipio della i.i.d. su cui si basa il Teorema. 1
13 Come ricodursi i codizioi di osservazioi i.i.d Per risolvere il problema della ormalità si utilizzao strumeti che redoo idipedeti le osservazioi I pratica, si aumeta il umero di ru del simulatore, possibilmete co semi differeti. Tre metodi pricipali: Metodo Rigeerativo Metodo Prove Ripetute Metodo Batch 5 Metodo Rigeerativo Applicabile solo el caso i cui il sistema si riporta aturalmete i codizioi iiziali Batch 1 Batch Batch 3 Tempo di simulazioe 13
14 Metodo Rigeerativo(1) Può essere applicato a quei Simulatori che, ad u istate aleatorio (puto rigeerativo) ritorao ello stesso stato del precedete puto rigeerativo. Dal mometo che questi puti rappresetao stati idetici del Simulatore, il comportameto di u ciclo rigeerativo è idipedete dagli altri cicli. I particolare, le variabili di Output di cicli differeti soo idipedeti. Dal mometo che la lughezza dei cicli è radom si devoo modificare le istruzioi per il calcolo dell itervallo di cofideza. 7 Metodo Batch Servoo periodi di geeratori di umeri pseudo-casuali molto lughi ovvero devoo poter essere sufficieti poche osservazioi Output parameter Trasiet Period batch1 batch batch3 batch4 batch 0 t t+t t+t t+3t t+4t. t+t 8 14
15 Metodo Batch (1) Il Metodo Batch supera il problema del Trasiete suddividedo u ru molto lugo del Simulatore i u isieme di k sotto-ru (Batch) di lughezza. - Calcola ua media campioaria per ogi Batch - Usa queste k medie per calcolare la media campioaria e la variaza campioaria dell esperimeto che servoo per il calcolo dell itervallo di cofideza. 9 Metodo Batch () L elimiazioe del Trasiete va fatta solo prima del Batch 1. Se la dimesioe del Batch è sufficietemete grade, le medie campioarie sarao approssimativamete idipedeti e ormalmete distribuite. Poiché vi è u solo Trasiete da elimiare il metodo Batch risulta essere il più efficiete
16 Metodo Prove Ripetute Oggi è il metodo più utilizzato, i quato poe meo vicoli ed il tempo di computazioe (additivo per l elimiazioe del periodo trasiete) tipicamete o è più u problema Parametro di output Ru Batch1 Ru Batch Ru Batch 0 t t+t 0 t t+t 0 t t+t Ru 1 Ru Ru 31 Metodo Prove Ripetute () Rigeerazioe Artificiale E il metodo più semplice per otteere osservazioi idipedeti. Si effettuao k ru ( repliche ) del Simulatore, ciascuo co sequeze pseudo-casuali diverse. I ciascu ru si effettuao m k ( può essere u umero casuale) osservazioi (autocorrelate) della variabile aalizzata. 3 16
17 Metodo Prove Ripetute (3) Al termie si ottegoo k campioi, ciascuo di osservazioi, potezialmete autocorrelate : m k m 1 3 m 3 m Osservazioe #1 k 1 Si calcolao: k... km k Osservazioe #k m j y j = ji i= 1 m j z j = ji i= 1 33 Metodo Prove Ripetute (4) Se il sistema ha raggiuto la stazioarietà e i k esperimeti soo stati codotti co sequeze di umeri radom idipedeti, le tre serie y,..., 1 y k z 1,..., zk m 1,..., mk possoo cosiderarsi i.i.d. m,..., m k Se 1 soo uguali, i calcoli segueti si semplificao 34 17
18 18 35 Metodo Prove Ripetute (5) Per il metodo delle prove ripetute è possibile utilizzare l aalisi statistica classica per il calcolo di E(X) e ) ( σ X γ δ = = = = ) ( ) ( ) ( 1 j m i ji m E E X E X j γ λ = = = = ) ( ( ) ( 1 j i ij m E E X E X j ) ( ) ( ) ( ) ( γ δ γ λ σ = = X E X E X 36 ANALISI STATISTICA DELL OUTPUT NUMERO RUN DI SIMULAZIONE
19 Prove da effettuare Dove: Numero di prove ecessario Si stabilisce u ERRORE ACCETTABILE e tra la media teorica µ e la stima X() Il umero di prove ripetute (o campioi di osservazioi) per garatire per la differeza tra µ e X() sia iferiore ad e è dato da t N = S( ) t 1,1 1,1 e S ( ) umero prove effettuate Se N> bisoga aumetare le prove Se N< si può accettare N= Deviazioe stadard campioaria Valore della Distribuzioe Studet-T co -1 gradi di libertà e livello di cofideza Prova i Esempio: Media X i [X i -X(10)] 1,96 10,163 8,66 1,334 6,37 1,493,1 9,168 5,16 0,0001 5,63 0,3,0 8,690 5,67 0,7 8,01 8,191 5,70 0,304 51,48/10=5,184 50,85/9=5,65 MEDIA CAMPIONARIA VARIANZA CAMPIONARIA 38 19
20 Esempio(): Media Campioaria X(10)=51,48/10=5,148 Variaza Campioaria S =50,85/9=5,65 Deviazioe Stadard Campioaria S(10)=,38 Valore critico Studet-t t -1,1-/ =,6 Gradi di libertà -1=9 10 prove 1 Livello di cofideza =0,10 Errore e=1 5,184 e=1 µ N=((,6*,38)/1) =8,9 9 prove ripetute! 39 ANALISI STATISTICA DELL OUTPUT TECNICHE PER LA RIDUZIONE DELLA VARIANZA (CENNI) 40 0
21 Nota All aumetare della probabilità (ovvero al dimiuire di ) l itervallo di cofideza diveta più ampio Compromesso: è meglio essere cofideti al 95% e 1<µ<15 piuttosto che essere cofideti al 99% e 8<µ<19 41 Nota () E auspicabile, ma o sempre possibile che l itervallo di cofideza abbia u ampiezza o superiore al 10%, massimo 15 0% Restrigere l itervallo di cofideza sigifica ridurre la VARIANZA, ciò si ottiee co: Più osservazioi per prova (ru) e/o Più prove ripetute 4 1
22 Ua tecica per la riduzioe della VARIANZA USO DI VARIABILI ANTITETICHE Per ogi prova si effettuao i realtà due repliche Ua co la sequeza di variabili pseudocasuali geerate {r 1,r,,r z } La secoda co la sequeza di variabili atitetiche {1-r 1,1-r,,1-r z } Per esempio il umero atitetico di 0,135 è 1 0,135 = 0,78765 I risultati dei valori di prestazioe osservati elle due repliche soo mediati La media rappreseta l output osservato per ogi prova 43 Ua tecica per la riduzioe della VARIANZA USO DI VARIABILI ANTITETICHE() MOTIVAZIONE Ridurre la probabilità che u valore osservato sia dipedete da ua polarizzazioe dei umeri geerati a µ siistra o a destra della media 44
CONCETTI BASE DI STATISTICA
CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto
DettagliMetodi statistici per l analisi dei dati
Metodi statistici per l aalisi dei dati due ttameti Motivazioi ttameti Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ttameti) per cui soo stati codotti gli esperimeti. due ttameti Esempio itroduttivo
DettagliDEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE
DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA
DettagliUn problema! La letteratura riporta che i pazienti affetti da cancro. = mesi
CONFRONTO TRA DUE MEDIE U problema! La letteratura riporta che i pazieti affetti da cacro hao ua sopravviveza media di 38.3 mesi e deviazioe stadard di 43.3 mesi: µ 38.3mesi σ 43.3mesi (la distribuzioe
DettagliStrumenti di indagine per la valutazione psicologica
Strumeti di idagie per la valutazioe psicologica 1.2 - Richiami di statistica descrittiva Davide Massidda davide.massidda@gmail.com Descrivere i dati Dovedo scegliere u esame opzioale, uo studete ha itezioe
DettagliLA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI
LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI E u problema di ifereza per molti aspetti collegato a quello della stima. Rispode ad u esigeza di carattere pratico che spesso si preseta i molti campi dell attività
DettagliIl test parametrico si costruisce in tre passi:
R. Lombardo I. Cammiatiello Dipartimeto di Ecoomia Secoda Uiversità degli studi Napoli Facoltà di Ecoomia Ifereza Statistica La Verifica delle Ipotesi Obiettivo Verifica (test) di u ipotesi statistica
DettagliCampionamento stratificato. Esempio
ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Campioameto ratificato Ua tecica molto diffusa per sfruttare l iformazioe coteuta i ua variabile ausiliaria (o evetualmete
DettagliMetodi statistici per l'analisi dei dati
Metodi statistici per l aalisi dei dati due Motivazioi Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ) per cui soo stati codotti gli esperimeti. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due Esempio
DettagliMatematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica
Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docete: dott. F. Zucca Esercitazioe # 4 1 Distribuzioe Espoeziale Esercizio 1 Suppoiamo che la durata della vita di ogi membro di
DettagliLe carte di controllo
Le carte di cotrollo Dott.ssa Bruella Caroleo 07 dicembre 007 Variabilità ei processi produttivi Le caratteristiche di qualsiasi processo produttivo soo caratterizzate da variabilità Le cause di variabilità
DettagliCalcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale
Calcolo della risposta di u sistema lieare viscoso a più gradi di libertà co il metodo dell Aalisi Modale Lezioe 2/2 Prof. Adolfo Satii - Diamica delle Strutture 1 La risposta a carichi variabili co la
DettagliSuccessioni. Grafico di una successione
Successioi Ua successioe di umeri reali è semplicemete ua sequeza di ifiiti umeri reali:, 2, 3,...,,... dove co idichiamo il termie geerale della successioe. Ad esempio, discutedo il sigificato fiaziario
DettagliCorso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15
Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del 3-0-15 Puteggi: 1. 3+3+4;. +3 ; 3. 1.5 5 ; 4. 1 + 1 + 1 + 1 + 3.5. Totale = 30.
DettagliRandom walk classico. Simulazione di un random walk
Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S = S0 X k, co X k = k= co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti
DettagliRandom walk classico. Simulazione di un random walk
Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S S0 X k, co X k k co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti e ideticamete
DettagliSUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE
SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE. Successioi umeriche a. Defiizioi: successioi aritmetiche e geometriche Cosideriamo ua sequeza di umeri quale ad esempio:,5,8,,4,7,... Tale sequeza è costituita mediate ua
DettagliStatistica 1 A.A. 2015/2016
Corso di Laurea i Ecoomia e Fiaza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispodeti a 48 ore di lezioe frotale e 24 ore di esercitazioe) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 19 Iterdipedeza lieare fra variabili quatitative
DettagliSUCCESSIONI NUMERICHE
SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si
DettagliAnno 5 Successioni numeriche
Ao 5 Successioi umeriche Itroduzioe I questa lezioe impareremo a descrivere e calcolare il limite di ua successioe. Ma cos è ua successioe? Come si calcola il suo limite? Al termie di questa lezioe sarai
DettagliV Tutorato 6 Novembre 2014
1. Data la successioe V Tutorato 6 Novembre 01 determiare il lim b. Data la successioe b = a = + 1 + 1 8 6 + 1 80 + 18 se 0 se < 0 scrivere i termii a 0, a 1, a, a 0 e determiare lim a. Data la successioe
DettagliANALISI DEI RISULTATI
ANALISI DEI RISULTATI I 4 passi pricipali del processo simulativo Formulare ed aalizzare il problema Sviluppare il Modello del Sistema Raccolta e/o Stima dati per caratterizzare l uso del Modello Attività
DettagliTecnica delle misurazioni applicate Esame del 4 dicembre 2007
Tecica delle misurazioi applicate Esame del 4 dicembre 7 Problema 1. Il propulsore Mod. WEC viee prodotto da ACME Ic. mediate u processo automatizzato: dati storici cofermao che la lavorazioe di ogi elemeto
DettagliStatistica I, Laurea triennale in Ing. Gestionale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioni
Statistica I, Laurea trieale i Ig. Gestioale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioi Lezioe 1 (28/9, ore 11:30). Vedere la registrazioe di Barsati, dispoibile alla pagia http://users.dma.uipi.it/barsati/statistica_2011/idex.html.
DettagliProva scritta di Statistica per Biotecnologie. 29 Aprile Programma Cristallo 1
Prova scritta di Statistica per Biotecologie 9 Aprile Programma Cristallo. Uo dei processi di purificazioe impiegati i ua certa sostaza chimica prevede di metterla i soluzioe e di filtrarla co ua resia
DettagliSTATISTICA DESCRITTIVA
STATISTICA DESCRITTIVA La statistica descrittiva serve per elaborare e sitetizzare dati. Tipicamete i dati si rappresetao i tabelle. Esempio. Suppoiamo di codurre u idagie per cooscere gli iscritti al
Dettagli5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln
DOMINIO FUNZIONE Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = / Il campo di esisteza è:, l, + Determiare il domiio
DettagliLA GESTIONE DELLA QUALITA : IL TOTAL QUALITY MANAGEMENT
LA GESTIONE DELLA QUALITA : IL TOTAL QUALITY MANAGEMENT La gestioe, il cotrollo ed il migliorameto della qualità di u prodotto/servizio soo temi di grade iteresse per l azieda. Il problema della qualità
Dettagli1 Limiti di successioni
Esercitazioi di matematica Corso di Istituzioi di Matematica B Facoltà di Architettura Ao Accademico 005/006 Aa Scaramuzza 4 Novembre 005 Limiti di successioi Esercizio.. Servedosi della defiizioe di ite
DettagliEQUAZIONI ALLE RICORRENZE
Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo
DettagliSTATISTICA INFERENZIALE SCHEDA N. 2 INTERVALLI DI CONFIDENZA PER IL VALORE ATTESO E LA FREQUENZA
Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.uige/pls_statistica Resposabili scietifici M.P. Rogati e E. Sasso (Dipartimeto di Matematica Uiversità di Geova) STATISTICA INFERENZIALE
DettagliSTIME E LORO AFFIDABILITA
TIME E LORO AFFIDABILITA L idea chiave su cui si basa l aalisi statistica è che si ossoo eseguire osservaioi su u camioe di soggetti e che da questo si ossoo comiere iferee sulla oolaioe raresetata da
DettagliSoluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M
Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è
DettagliIMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras
IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazioe di Gras Date due variabili biarie a e b, i quale misura posso assicurare che i ua popolazioe da ogi osservazioe di a segue ecessariamete quella di b? E
DettagliSTATISTICA 1 parte 2/2 STATISTICA INFERENZIALE
STATISTICA parte / U test statistico è ua regola di decisioe Effettuare u test statistico sigifica verificare IPOTESI sui parametri. STATISTICA INFERENZIALE STIMA PUNTUALE STIMA PER INTERVALLI TEST PARAMETRICI
DettagliIL CALCOLO COMBINATORIO
IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito
DettagliPrincipi base di Ingegneria della Sicurezza
Pricipi base di Igegeria della Sicurezza L aalisi delle codizioi di Affidabilità del sistema si articola i: (i) idetificazioe degli sceari icidetali di riferimeto (Eveti critici Iiziatori - EI) per il
DettagliSUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1
SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N:
Dettagli8. Quale pesa di più?
8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora
DettagliElementi di matematica finanziaria
Elemeti di matematica fiaziaria 18.X.2005 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate
DettagliPARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri
Prerequisiti: Aelli Spazi vettoriali Sia A u aello commutativo uitario PARTE QUARTA Teoria algebrica dei umeri Lezioe 7 Cei sui moduli Defiizioe 7 Si dice modulo (siistro) su A (o semplicemete, A-modulo)
DettagliAlcuni parametri statistici di base
Alcui parametri statistici di base Misure di tedeza cetrale: media mediaa moda Misure di dispersioe: itervallo di variazioe scarto medio variaza deviazioe stadard coefficiete di variazioe Popolazioe di
DettagliESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO. Angela Donatiello 1
ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO Agela Doatiello 1 Esercizio. E stato tabulato il peso di ua certa popolazioe
DettagliStatistica (Prof. Capitanio) Alcuni esercizi tratti da prove scritte d esame
Statistica (Prof. Capitaio) Alcui esercizi tratti da prove scritte d esame Esercizio 1 Il tempo (i miuti) che Paolo impiega, i auto, per arrivare i ufficio, può essere modellato co ua variabile casuale
Dettagli52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02%
RISPOSTE MOTIVATE QUIZ D AMMISSIONE 2000-2001 MATEMATICA 51. L espressioe log( 2 ) equivale a : A) 2log B) log2 C) 2log D) log E) log 2 Dati 2 umeri positivi a e b (co a 1), si defiisce logaritmo i base
DettagliDistribuzione normale
Distribuzioe ormale Tra le distribuzioi di frequeze, la distribuzioe ormale riveste u importaza cetrale. Essa ha ua forma a campaa ed è simmetrica rispetto all asse verticale che passa per il vertice (moda).
DettagliSistemi e Tecnologie della Comunicazione
Sistemi e ecologie della Comuicazioe Lezioe 4: strato fisico: caratterizzazioe del segale i frequeza Lo strato fisico Le pricipali fuzioi dello strato fisico soo defiizioe delle iterfacce meccaiche (specifiche
DettagliIl confronto tra DUE campioni indipendenti
Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Cofroto tra due medie I questi casi siamo iteressati a cofrotare il valore medio di due camioi i cui i le osservazioi i u camioe soo
DettagliApprofondimenti di statistica e geostatistica
Approfodimeti di statistica e geostatistica APAT Agezia per la Protezioe dell Ambiete e per i Servizi Tecici Cos è la geostatistica? Applicazioe dell aalisi di Rischio ai siti Cotamiati Geostatistica La
DettagliESEMPIO 1. Immaginiamo come si distribuirebbero le stime campionarie se l operazione di campionamento venisse ripetuta più volte.
ESEMPIO Prima dell esplosioe di ua cetrale ucleare, i terrei di ua certa regioe avevao ua produzioe media di grao pari a 00 quitali co uo scarto di 5. Dopo la catastrofe si selezioao 00 uità di superficie
DettagliANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x.
ANALISI MATEMATICA Area dell Igegeria dell Iformazioe Appello del 5.0.0 TEMA Esercizio Si cosideri la fuzioe f(x = arcsi log x. Determiare il domiio di f e discutere il sego. Discutere brevemete la cotiuità
DettagliSerie numeriche: esercizi svolti
Serie umeriche: esercizi svolti Gli esercizi cotrassegati co il simbolo * presetao u grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Dopo aver verificato la covergeza, calcolare la somma delle segueti serie:
DettagliStatistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13
Statistica di base Luca Mari, versioe 31.12.13 Coteuti Moda...1 Distribuzioi cumulate...2 Mediaa, quartili, percetili...3 Sigificatività empirica degli idici ordiali...3 Media...4 Acora sulla media...4
Dettaglin=400 X= Km; s cor =9000 Km Livello di confidenza (1-α)=0,95 z(0,05)=1,96
STATISTICA A K (60 ore Marco Riai mriai@uipr.it http://www.riai.it : stima della percorreza media delle vetture diesel di u certo modello al primo guasto 400 X34.000 Km; s cor 9000 Km Livello di cofideza
DettagliLe onde elettromagnetiche. Origine e natura, spettro delle onde e.m., la polarizzazione
Le ode elettromagetiche Origie e atura, spettro delle ode e.m., la polarizzazioe Origie e atura delle ode elettromagetiche: Ua carica elettrica che oscilla geera u campo elettrico E che oscilla e a questo
DettagliUna funzione delle osservazioni campionarie è una statistica che, nel contesto della stima di un parametro, viene definita stimatore.
Stimatori e stime Teoria della stima Supporremo che sulla popolazioe sia defiita ua variabile X la cui distribuzioe, seppure icogita, è completamete caratterizzata da u parametro q o da u isieme di parametri
DettagliTeorema 13. Se una sere converge assolutamente, allora converge:
Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 03: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale.- Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Covergeza assoluta e
Dettagli1. Distribuzioni campionarie legate alla distribuzione normale. 3. Intervallo bilatero di confidenza bilatero per la frazione p di una popolazione
Questi esempi vi potrao essere utili come riferimeto ella ricerca di itervalli di cofideza e test di ipotesi statistiche. Per gli aggiorameti potete visitare i siti www.boch.et o www.feaor.com. Per dubbi
DettagliESERCIZI DI ANALISI I. Prof. Nicola Fusco 1. Determinare l insieme in cui sono definite le seguenti funzioni:
N. Fusco ESERCIZI DI ANALISI I Prof. Nicola Fusco Determiare l isieme i cui soo defiite le segueti fuzioi: ) log/ arctg π ) 4 ) log π 6 arcse ) ) tg log π + ) 4) 4 se se se tg 5) se cos tg 6) [ 6 + 8 π
DettagliEsercitazioni di Statistica
Esercitazioi di Statistica Itervalli di cofideza Prof. Livia De Giovai statistica@dis.uiroma1.it Esercizio 1 La fabbrica A produce matite colorate. Ua prova su 100 matite scelte a caso ha idicato u peso
DettagliLA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:
DettagliNumerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone
Numerazioe biaria Pagia di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe SISTEMI DI NUMERAZIONE Sistemi di umerazioe a base fissa Facciamo ormalmete riferimeto a sistemi di umerazioe a base fissa, ad esempio el sistema
DettagliStatistica descrittiva
Statistica descrittiva idici idici (o misure) di posizioe media campioaria di osservazioi x, x,..., x x i x= per campioi x ì ripetuti ciascuo co frequeza f i x= x i f i Posto y i =a x i b : y=a x mediaa
DettagliALCUNI ESERCIZI SUI TEST DI IPOTESI PARAMETRICHE PARTE 1
ALCUNI ESERCIZI SUI TEST DI IPOTESI PARAMETRICHE PARTE ESERCIZIO. Si vuole verificare l ipotesi, a livello di sigificatività α, che la media μ di ua variabile aleatoria X abbia u valore fissato μ. Si effettuao
DettagliLE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI
Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUATITATIVI La variabilità di u isieme di osservazioi attiee all attitudie delle variabili studiate ad assumere modalità
DettagliFoglio di esercizi N. 1 - Soluzioni
Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 >
DettagliCOME CALCOLARE L INTERVALLO DI CONFIDENZA QUANDO E NECESSARIO STIMARE LA DEVIAZIONE STANDARD? (è quasi sempre così!)
COME CALCOLARE L INTERVALLO DI CONFIDENZA QUANDO E NECESSARIO STIMARE LA DEVIAZIONE STANDARD? (è quasi sempre così!) Per fortua le cose o cambiao poi di molto visto che la uova variabile x µ s x co s x
DettagliDistribuzione normale o gaussiana
Distribuzioe ormale o gaussiaa Ua variabile radom si dice distribuita ormalmete (o secodo ua curva gaussiaa) se la sua fuzioe di desità di probabilità è del tipo: f () ( ) ep co - rappreseta il valore
DettagliEsercitazioni del Corso di Probabilitá e Statistica Lezione 6: Stime di parametri puntuali e per intervalli
Esercitazioi del Corso di Probabilitá e Statistica Lezioe 6: Stime di parametri putuali e per itervalli Stefao Patti 1 19 geaio 005 Defiizioe 1 Ua famiglia di desitá f(, θ) ad u parametro (uidimesioale)
DettagliInteresse e formule relative.
Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Iteresse e formule relative Esercizio Determiare quale somma sarà dispoibile fra 7 ai ivestedo oggi 0000 ad u tasso auale semplice del 5% Soluzioe Il diagramma del
DettagliCampi vettoriali conservativi e solenoidali
Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile
Dettagli3.4 Tecniche per valutare uno stimatore
3.4 Teciche per valutare uo stimatore 3.4. Il liguaggio delle decisioi statistiche, stimatori corretti e stimatori cosisteti La teoria delle decisioi forisce u liguaggio appropriato per discutere sulla
DettagliTest non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche
est o parametrici Il test di Studet per uo o per due campioi, il test F di Fisher per l'aalisi della variaza, la correlazioe, la regressioe, isieme ad altri test di statistica multivariata soo parte dei
DettagliLimiti di successioni
Argometo 3s Limiti di successioi Ua successioe {a : N} è ua fuzioe defiita sull isieme N deiumeriaturaliavalori reali: essa verrà el seguito idicata più brevemeteco{a } a èdettotermie geerale della successioe
DettagliProblemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni
Problemi di Schedulig Defiizioi I problemi di schedulig soo caratterizzati da tre isiemi: Attività (Task) T {T,T 2, T } macchie (Machies) P {P,P 2, P m } Risorse R {R,R 2, R s } Schedulig: assegare m Macchie
DettagliEsercizi riguardanti limiti di successioni
Esercizi riguardati iti di successioi Davide Boscaii Queste soo le ote da cui ho tratto le esercitazioi del gioro 27 Ottobre 20. Come tali soo be lugi dall essere eseti da errori, ivito quidi chi e trovasse
DettagliModelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento
Modelli multiperiodali discreti Cosideriamo ora modelli discreti cioè co u umero fiito di stati del modo multiperiodali, cioè apputo co più periodi. Il prototipo di questa classe di modelli è il modello
DettagliStima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una
Dettagli- 9 - Analisi dei risultati
Dipartimeto di Elettroica e Iformazioe Politecico di Milao - 9 - Aalisi dei risultati Laboratorio di Reti di Telecomuicazioi Prove idipedeti Ogi simulazioe è ua possibile evoluzioe di u sistema. Siamo
DettagliSERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n
SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Applicado la defiizioe di covergeza di ua serie stabilire il carattere delle segueti serie, e, i caso di covergeza, trovare la somma: = + b) = + +. Verificare utilizzado
DettagliCARATTERISTICHE MECCANICHE DI PIETRE NATURALI PER FACCIATE VENTILATE. Di seguito verranno utilizzati i seguenti simboli:
PROPOSTA DI UN PROTOCOLLO DI PROVE PER IL CONTROLLO DELLE CARATTERISTICHE MECCANICHE DI PIETRE NATURALI PER FACCIATE VENTILATE FINALITÀ Nel campo edile l utilizzo di rivestimeti esteri da riportare sulle
DettagliCAPITOLO SETTIMO GLI INDICI DI FORMA 1. INTRODUZIONE
CAPITOLO SETTIMO GLI INDICI DI FORMA SOMMARIO: 1. Itroduzioe. - 2. Asimmetria. - 3. Grafico a scatola (box plot). - 4. Curtosi. - Questioario. 1. INTRODUZIONE Dopo aver aalizzato gli idici di posizioe
DettagliCapitolo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE
Capitoo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE 3.1 LA TEORIA DI WEIBULL I comportameto meccaico dee fibre di giestra e di juta è stato caratterizzato mediate o studio dea resisteza a trazioe dee fibre
DettagliAppunti di STATISTICA
Apputi di STATISTICA! Distribuzioe espoeziale X v.a. cotiua, R X = (0,+ ) Si dice che X ha distribuzioe espoeziale a parametro f X = >0 E (X) = 1/ Var (X) = 1/ e - x x>0 0 altrove (umero reale) se la p.d.f.
DettagliCapitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016
Capitolo 27 Elemeti di calcolo fiaziario EEE 205-206 27. Le diverse forme dell iteresse Si defiisce capitale (C) uo stock di moeta dispoibile i u determiato mometo. Si defiisce iteresse (I) il prezzo d
DettagliCorsi di Laurea in Ingegneria Edile e Architettura Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 6/02/2010. sin( x) log((1 + x 2 ) 1/2 ) = 1 3.
Corsi di Laurea i Igegeria Edile e Architettura Prova scritta di Aalisi Matematica del 6// ) Mostrare che + si( ) cos () si( ) log(( + ) / ) = 3. Possibile soluzioe: Cosiderado dapprima il deomiatore otiamo
DettagliDISTRIBUZIONI DOPPIE
DISTRIBUZIONI DOPPIE Fio ad ora abbiamo visto teciche di aalisi dei dati per il solo caso i cui ci si occupi di u solo carattere rilevato su u collettivo (distribuzioi semplici). I termii formali fio ad
DettagliMatematica con elementi di Informatica
La distribuzioe delle statistiche campioarie Matematica co elemeti di Iformatica Tiziao Vargiolu Dipartimeto di Matematica vargiolu@math.uipd.it Corso di Laurea Magistrale i Chimica e Tecologie Farmaceutiche
DettagliArgomenti. Stima Puntuale e per Intervallo. Inferenza. Stima. Leonardo Grilli. Università di Firenze Corso di Laurea in Statistica Statistica
Uiversità di Fireze Corso di Laurea i Statistica Statistica Leoardo Grilli Stima Cicchitelli cap. 6 Argometi Defiizioe di stimatore Proprietà degli stimatori (campioi fiiti): No distorsioe Efficieza relativa
DettagliMetodi di valutazione delle prestazioni di rete
Metodi di valutazioe delle prestazioi di rete Prof. Ig. Carla Raffaelli Cofroto di diversi approcci Parametri di cofroto: precisioe requisiti di poteza di calcolo requisiti di memoria facilita' di approccio
DettagliIl confronto fra proporzioni
L. Boni Il rapporto Un rapporto (ratio), attribuendo un ampio significato al termine, è il risultato della divisione di una certa quantità a per un altra quantità b Il rapporto Spesso, in maniera più specifica,
DettagliUna funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio
Radicali Per itrodurre il cocetto di radicali che già avete icotrato alle medie quado avete imparato a calcolare la radice quadrata e cubica dei umeri iteri, abbiamo bisogo di rivedere il cocetto di uzioe
DettagliINFERENZA o STATISTICA INFERENTE
INFERENZA o STATISTICA INFERENTE Le iformazioi sui parametri della popolazioe si possoo otteere sia mediate ua rilevazioe totale (o rilevazioe cesuaria) sia mediate ua rilevazioe parziale (o rilevazioe
DettagliLa dispersione cromatica
Fibre ottiche per mpesazioe di dispersioe cromatica La dispersioe cromatica La velocità di propagazioe degli impulsi i u mezzo state di propagazioe b(w è la velocità di gruppo vg=1/db/dw. elle fibre ottiche
DettagliCapitolo uno STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA
Capitolo uo STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA La statistica bidimesioale o bivariata si occupa dello studio del grado di dipedeza di due caratteri distiti della stessa uità statistica. E possibile, ad esempio,
DettagliRisposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere
Eserciio 1 7 puti. Dato il campo vettoriale v, + 1,, i si determii ua fuioe f > i modo tale che il campo vettoriale f v sia irrotaioale, cioè abbia le derivate icrociate uguali; ii si spieghi se i risultati
DettagliSintassi dello studio di funzione
Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:
DettagliIntroduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014)
Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia per maager. Prima versioe, marzo 2013; versioe aggiorata, marzo 2014) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea March 14, 2014 1 Prezzo
DettagliSERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi.
Serie SERIE NUMERICHE Co l itroduzioe delle serie vogliamo estedere l operazioe algebrica di somma ad u umero ifiito di addedi. Def. Data la successioe {a }, defiiamo la successioe {s } poedo s = a k.
DettagliIntroduzione alla Statistica descrittiva. Definizioni preliminari. Definizioni preliminari. Fasi di un indagine statistica. Tabelle statistiche
Itroduzioe alla Statistica descrittiva Defiizioi prelimiari È la scieza che studia i feomei collettivi o di massa. U feomeo è detto collettivo o di massa quado è determiato solo attraverso ua molteplicità
Dettagli