ESEMPIO 1. Immaginiamo come si distribuirebbero le stime campionarie se l operazione di campionamento venisse ripetuta più volte.

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "ESEMPIO 1. Immaginiamo come si distribuirebbero le stime campionarie se l operazione di campionamento venisse ripetuta più volte."

Transcript

1 ESEMPIO Prima dell esplosioe di ua cetrale ucleare, i terrei di ua certa regioe avevao ua produzioe media di grao pari a 00 quitali co uo scarto di 5. Dopo la catastrofe si selezioao 00 uità di superficie di terreo e su ciascua di queste si misura la quatità di grao prodotta. La media di queste 00 osservazioi è pari a Si può riteere, a livello del 5%, che la produzioe media o sia dimiuita dopo la catastrofe? H0 : µ 00 I questo caso l obiettivo o è quello di forire ua stima (itervallare) del parametro, ma quello di verificare se è vera ua certa ipotesi sul valore del parametro.

2 ESEMPIO. Il problema è che, ua volta estratto u campioe, oi dispoiamo di u solo valore stimato e co questo vogliamo verificare l ipotesi che il vero valore del parametro sia 00. Come fare? Immagiiamo come si distribuirebbero le stime campioarie se l operazioe di campioameto veisse ripetuta più volte. µ x 0 xµ z σ

3 ESEMPIO. A questo puto suppoiamo che il vero valore del parametro sia 00. Dove si posizioa la stima putuale lugo questa distribuzioe? E abbastaza vicio al valore ipotizzato? (e cosa vuol dire abbastaza vicio? x oss µ00 µ0 Occorre defiire u area di accettazioe (ovvero ua di rifiuto). z oss

4 ESEMPIO. L area di accettazioe sarà caratterizzata dai valori della variabile ormale stadardizzata z che lasciao alla loro dx e sx ua probabilità bassa (geeralmete per probabilità bassa si itede u valore complessivo pari a 0.05). -z -α/ z -α/ Poiché il valore osservato della stima (corrispodete valore z) cade ella regioe di accettazioe si accetta l ipotesi ulla che il vero valore del parametro sia 00 z oss µ0 Rifiuto H 0 Rifiuto H 0 Accetto H 0

5 ESEMPIO. Ma abbiamo veramete bisogo di cautelarci fissado u limite superiore di accettazioe ache ella coda di destra? Il problema, per come è stato posto idica che o ci si attede u migliorameto della produzioe e quidi possiamo lasciare u solo limite iferiore da superare -z -α Il altri termii l ipotesi viee rifiutata se e solo se la stima osservata (corrispodete valore z) è iferiore al valore critico -z -α (adesso o si prede α/ ma α) z oss µ0 Rifiuto H 0 Accetto H 0

6 ESEMPIO. Se l errore di I tipo da cui vogliamo cautelarci è sempre 0.05 allora -z -α/ z -α/ z oss µ0 -z -α z oss µ0

7 ESEMPIO. e la poteza del test P(rifiutare H 0 quado falsa) -z -α/ z -α/ P(rifiutare H 0 quado falsa) z oss µ0 P(rifiutare H 0 quado falsa) -z -α z oss µ0

8 ESEMPIO. z oss µ0 z.47 p value oss p value a code a coda P-value: probabilità di osservare u valore uguale o superiore alla stima quado è vera l ipotesi ulla (el caso della coda dx). È chiaro che el caso della coda sx va calcolata la probabilità di osservare u valore uguale o iferiore alla stima.

9 ESEMPIO. Riassumedo: Il p-value el caso code: P ( Z z ) < α / P( Z > z ) < α / < oss oss Il p-value el caso coda sx: P ( Z z ) < α < oss Il p-value el caso coda dx: P ( Z z ) < α > oss

10 ESEMPIO. Ua popolazioe ha media scoosciuta e scarto.03. Verificare l ipotesi che la media sia 80, ad u livello del 5%, mediate u campioe di 80 elemeti e co media pari a 80.. Quato vale il p-value u questa situazioe? [Soluzioe: z oss.6486 p-value0.05 (coda dx) ]

11 ESEMPIO 3. Per superare u test attitudiale occorre u puteggio di almeo 75. Si ritiee che la preparazioe degli studeti di ua certa scuola o coseta di poter superare il test. U campioe di 840 studeti proveieti da questa scuola provao il test ed ottegoo u puteggio medio di 7. E questo risultato covicete per poter affermare che i media gli studeti di questa scuola o abbiao la preparazioe adeguata per superare il test? Si assuma che lo scarto ella popolazioe sia pari a 60. N.B.: specificare le ipotesi da testare e la decisioe presa alla luce dei risultati del test. [Soluzioe: p-value0.0735]

12 ESEMPIO 4. Ua popolazioe ha media scoosciuta e scarto 4.. Si vuole che l itervallo i cui o viee rifiutata l ipotesi H0 : µ 80 a livello dell % abbia lughezza pari a.5. Qual è la umerosità campioaria miima per cui ciò accade? Il valore di dipede dal valore ipotizzato 80 della media della popolazioe? Giustificare la risposta [Soluzioe: 99; NO]

13 ESEMPIO 5. U gruppo ambietalista raccoglie u litro d acqua da 45 località scelte a caso lugo u fiume e e misura la quatità di ossigeo disciolto. La media è di 4.6 mg. E forte l evideza che il coteuto medio di ossigeo el fiume sia meo di 5 mg per litro? Si assuma che la quatità di ossigeo el fiume si distribuisca elle diverse località secodo ua ormale co scarto pari a 0.9 mg e si cosideri u livello di sigificatività dell % z.77 α. 33 oss z Rifiuto H 0 p value 0.003

14 ESEMPIO 6. La media di ua popolazioe è scoosciuta, lo scarto è oto. Si fa l ipotesi che la media abbia u certo valore. Ad u campioe si applica il test sulla media: il p-value è pari a Ioltre è oto l itervallo di cofideza a livello del 99%. Dispoedo di queste iformazioi dire se la media campioaria appartiee alla regioe di accettazioe del test: Sì No

15 ESEMPIO 7. La media di ua popolazioe è scoosciuta, lo scarto è oto. Si fa l ipotesi che la media abbia u certo valore. Ad uo stesso campioe si applicao, i relazioe alla stessa ipotesi, due test sulla media: il primo a livello del 5% e il secodo a livello dell %. Se il secodo test porta a rifiutare l ipotesi, il primo test porta ecessariamete a : Accettare Rifiutare.b.: aalizzare il problema graficamete

16 ESEMPIO 8.. Il gomito del teista è u problema legato alla forza co cui si colpisce la palla. U articolo dell Iteratioal Joural of Sport Biomechaics riporta la forza (i ewto) sulla mao dopo l impatto co la palla i 6 giocatori avazati e i 8 itermedi. Saggiare l ipotesi che giocatori avazati e itermedi sperimetio la stessa forza. Avazati Itermedi

17 ESEMPIO 9. La media di ua popolazioe è scoosciuta, lo scarto è oto. Si fa l ipotesi che la media sia pari a 50. Due campioi hao la stessa media campioaria. Il test sulla media, a livello del 5% fatto co il primo campioe porta al rifiuto dell ipotesi (sempre a livello del 5%). E possibile sapere a priori il risultato del test co il secodo campioe? Sì, accetto l ipotesi Sì, rifiuto l ipotesi No.b.: giustificare la risposta

18 ESEMPIO 0. Ua variabile quatitativa defiita su ua popolazioe ha media µ scoosciuta e scarto oto. Dalla popolazioe si estraggoo due campioi per saggiare (allo stesso livello α) l ipotesi che la media della popolazioe sia pari a u dato valore. Il test effettuato co il primo campioe porta a rifiutare l ipotesi ulla metre il secodo porta ad accettarla. Siao x e x le medie dei due campioi: delle tre segueti relazioi e esiste ua corretta? x < x x > x x x Siao p e p i p-value relativi ai due test: delle tre segueti relazioi e esiste ua corretta? p < p p p p > p

19 ESEMPIO. La media di ua popolazioe è scoosciuta metre lo scarto è oto. Se si applica il test a livello del 5%, si coferma l ipotesi che la media sia. Qual è il p-value del test?

20 ESEMPIO. Immagiiamo di saggiare l ipotesi ulla H0 : µ 0 cotro l alterativa H : µ > 0 utilizzado u campioe di 0 uità. I realtà vogliamo cooscere la poteza del test cotro l ipotesi alterativa H z oss : µ. x 0 0 sapedo che lo scarto della popolazioe è pari a Defiiamo u statistica test e e calcoliamo il valore z oss z.645 α Defiiamo ua regole di accettazioe dell ipotesi ulla x oss 0.50

21 ESEMPIO. z -α µ P( x.50 quado H è vera) 0 P x µ0 zoss P( z.83 ) poteza Ricordare che la poteza viee defiita come -β probabilità di rifiutare H 0 correttamete.

22 ESEMPIO 3. A 8 idividui adulti viee misurata la pressioe (a) i codizioi ormali e (b) dopo l appredimeto di ua otizia capace di rederli asiosi. Verificare se l essere i asia aumeta la pressioe rispetto a situazioi ormali Soggetto Pressioe i codizioi ormali Pressioe dopo la otizia

23 ESEMPIO 3. H µ µ : µ µ 0 : a e H a ( x ) ( ) x µ µ ( + ) * * s pooled t + No è verificato l assuto di idipedeza tra le osservazioi

24 ESEMPIO 4. Soggetto Pressioe i codizioi ormali Pressioe dopo la otizia Differeza tra dopo e prima della otizia Come si modifica l ipotesi ulla?

25 ESEMPIO 4. X diff N (, ) µ σ diff diff x µ diff s x diff diff H 0 : µ diff 0 e H : µ diff > 0 x s diff xdiff t

26 ESEMPIO 4. xdiff s diff ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( 45 35) 8 (6,55) 35 t7 5, 6,55 tα ; t0,05;7, Si rifiuta l ipotesi ulla che la media delle differeze delle pressioi i codizioi ormali o asiose sia pari a 0 co ua sigificatività α pari al 5%

27 ESEMPIO 5. Verificare se gli idividui i codizioi di asia maifestao u aumeto della pressioe sistolica che supera mediamete i 30 mmhg H0 : δ 30 e H : δ > 30 x diff s x δ, 6 t 6,55 diff 8 t t α; 0,05;7,895 Si rifiuta l ipotesi ulla che la media delle differeze delle pressioi i codizioi ormali o asiose sia pari a 30 mmhg co ua probabilità d errore α uguale al 5%

28 ESEMPIO 5. Calcolare l itervallo di cofideza della media della v.c. differeza. x diff t * ; α s x diff x diff + t * ; α s x diff 35,36*,6 9, ,36*,6 40,47

29 ESEMPIO 6. Gli ecologisti hao sviluppato diversi metodi per stimare il umero di semi ei campioi di terreo. Due di questi metodi, soo il metodo diretto e quello stratificato. Nella tabella soo riportati i dati relativi al di semi rilevati i 0 campioi, stimato co i due metodi. Saggiare l ipotesi che i due metodi diao gli stessi risultati

30 ESEMPIO 6. Campioe Diretto Stratificato [Soluzioe: accetto l ipotesi ulla]

31 ESEMPIO 7. l efficacia di u certo farmaco viee valutata sulla base della dimiuzioe di u certo parametro serico. A 4 pazieti viee sommiistrato il farmaco e il parametro viee rilevato prima e dopo la sommiistrazioe. Ci si chiede se il farmaco è efficace. paziet e Prima dopo

32 ESEMPIO 8. Ua variabile defiita su ua popolazioe ha distribuzioe ormale co variaza uguale a. Due campioi idipedeti, di 00 elemeti ciascuo, portao etrambi a rifiutare a livello del 5% l ipotesi: H0 : µ 5 Se si cosiderao le 00 osservazioi complessive come u uico campioe accade che la stessa ipotesi allo stesso livello viee: sempre rifiutata sempre accettata talvolta rifiutata, talvolta accettata, a secoda dei valori delle medie dei due campioi iiziali

33 ESEMPIO 9. Si estraggoo campioi casuali : la umerosità del primo campioe è di 0 idividui, la umerosità del secodo è di 6 idividui. Otteiamo le segueti iformazioi sulla variabile X: 0 i x i 0 0 i ( x i x ) i x i 3. 6 i ( x i x) 0.5 Possiamo affermare che le due medie campioarie o differiscoo sigificativamete? Si valuti l ipotesi H 0 : µ µ a livello di sigificatività α 0. calcolado u opportua stima itervallare.

34 ESEMPIO 9. Ricaviamo iazitutto la distaza empirica fra le due medie campioarie: 0 3. x x Questa differeza fra medie è dovuta al caso (i campioi provegoo dalla stessa popolazioe) o è dovuta al fatto che i campioi provegoo da popolazioi diverse co medie diverse? Utilizzo il metodo della stima itervallare per rispodere a questa domada. Gli estremi dell itervallo di cofideza soo dati da: ( ) x x ± t s α, g x x

35 ) ( 0 x x s i i ) ( 6 x x s i i ) ( ) ( ) ( ) ( s s x x s x x ESEMPIO 9.

36 ) ( ) ( ) ( ) ( s s x s x ESEMPIO 9.

37 ESEMPIO 9. Valore della T di Studet critico: Ho (0 + 6 ) 4 gradi di libertà e u livello di cofideza di 0.0 T 0.90, 4.76 ( x ) x ± t 0. ± α, g s x x L itervallo comprede il valore ullo e quidi le medie o soo sigificativamete diverse. ACCETTO l ipotesi ulla.

38 ESEMPIO 0. Saggiare se la cocetrazioe algale ifluisce positivamete sulla crescita (valori i mm) di Daphia maga. I laboratorio si allevao 40 idividui dello stesso ceppo: 0 i ua soluzioe co cocetrazioe algale 0000 cellule/ml 0 i ua soluzioe co cocetrazioe algale 4000 cellule/ml

39 0000/ml (X ) 4000/ml (X ) 0000/ml (X ) 4000/ml (X ) 4,9 3, 3,939 3, 3,9 3, 3,978,964 3,783 3, 4,07 3,003 3,9,847 4,5 3,08 4,095 3,08 4,07 3,04 4,056 3,04 3,900,95 4,73 3,04 4,095 3,98 4,095 3,98 4,73 3,0 4,095 3,08 3,978,964 4,056,964 4,095 3,003

40 H : µ µ µ > µ H0 e H : 0 : µ µ 0 e H : µ µ > 0 media campioaria variaza campioaria X X 0 0 4,0443 3,054 0,058 0,008

41 A questo puto occorre calcolare la variabilità della statistica che si itede utilizzare ovvero la differeza tra le medie campioarie 9* * s p s x x 0.095* *

42 t t α; + t0.95; Si rifiuta l ipotesi ulla di uguagliaza delle medie a favore dell ipotesi alterativa che la crescita sia maggiore ella soluzioe a maggior cocetrazioe algale

43 ESEMPIO. E stata misurata la produzioe di muffe (tempo trascorso prima della loro comparsa) i due formaggi da tavola di composizioe simile: trattati co polifosfati durate il cofezioameto 3 trattati co derivati dell acido salicilico La differeza osservata tra le medie dello sviluppo di coloie ei due gruppi è statisticamete sigificativa?

44 Polifosfati 7,94 9,03 8,8 8,03 8,9 8,0 8,6 8,6 8,8 8,9 7,94 8,9 Acido salicilico 7,30 7,6 6,8 7,08 7,3 7,37 7,4 7,6 6,89 6,96 7,3 7,08 7,7

45 media campioaria variaza campioaria X X 3 8,08 7,09 0,083 0,03 t s pooled 8, *3 7,09 3 ( ) * s + ( ) * * s t α ;

46 ESEMPIO. Col proposito di verificare l efficacia di u fertilizzate, u appezzameto di terreo coltivato a grao è stato ripartito i 0 parcelle di area uguale delle quali 0, scelte a caso, soo state trattate col fertilizzate i questioe. Si vuole verificare, a livello di sigificatività α 0.05, l ipotesi ulla H 0 : µ µ. Il fertilizzate è efficace? I risultati, espressi i ua coveiete uità di misura, soo di seguito riportati. Parcelle trattate Parcelle o trattate

47 Valore della T di Studet critico: Ho (0 + 0 ) 8 gradi di libertà e u livello di cofideza di 0.05 t 0.95, Valore della T di Studet empirico. Ho bisogo di due quatità: ) x x ) s x x

48 ) x x ) x x s ) ( ) ( ) ( ) ( s s ) ( 0 x x s i i ) ( 0 x x s i i

49 s( x x ) ( ) s ( ) + + ( + ( ) s ) t e t e > t 8;0.95 si rifiuta H 0 Il fertilizzate è efficace.

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI E u problema di ifereza per molti aspetti collegato a quello della stima. Rispode ad u esigeza di carattere pratico che spesso si preseta i molti campi dell attività

Dettagli

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

Un problema! La letteratura riporta che i pazienti affetti da cancro. = mesi

Un problema! La letteratura riporta che i pazienti affetti da cancro. = mesi CONFRONTO TRA DUE MEDIE U problema! La letteratura riporta che i pazieti affetti da cacro hao ua sopravviveza media di 38.3 mesi e deviazioe stadard di 43.3 mesi: µ 38.3mesi σ 43.3mesi (la distribuzioe

Dettagli

Il test parametrico si costruisce in tre passi:

Il test parametrico si costruisce in tre passi: R. Lombardo I. Cammiatiello Dipartimeto di Ecoomia Secoda Uiversità degli studi Napoli Facoltà di Ecoomia Ifereza Statistica La Verifica delle Ipotesi Obiettivo Verifica (test) di u ipotesi statistica

Dettagli

STATISTICA 1 parte 2/2 STATISTICA INFERENZIALE

STATISTICA 1 parte 2/2 STATISTICA INFERENZIALE STATISTICA parte / U test statistico è ua regola di decisioe Effettuare u test statistico sigifica verificare IPOTESI sui parametri. STATISTICA INFERENZIALE STIMA PUNTUALE STIMA PER INTERVALLI TEST PARAMETRICI

Dettagli

STATISTICA INFERENZIALE SCHEDA N. 2 INTERVALLI DI CONFIDENZA PER IL VALORE ATTESO E LA FREQUENZA

STATISTICA INFERENZIALE SCHEDA N. 2 INTERVALLI DI CONFIDENZA PER IL VALORE ATTESO E LA FREQUENZA Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.uige/pls_statistica Resposabili scietifici M.P. Rogati e E. Sasso (Dipartimeto di Matematica Uiversità di Geova) STATISTICA INFERENZIALE

Dettagli

Il confronto tra DUE campioni indipendenti

Il confronto tra DUE campioni indipendenti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Cofroto tra due medie I questi casi siamo iteressati a cofrotare il valore medio di due camioi i cui i le osservazioi i u camioe soo

Dettagli

Strumenti di indagine per la valutazione psicologica

Strumenti di indagine per la valutazione psicologica Strumeti di idagie per la valutazioe psicologica 1.2 - Richiami di statistica descrittiva Davide Massidda davide.massidda@gmail.com Descrivere i dati Dovedo scegliere u esame opzioale, uo studete ha itezioe

Dettagli

Le carte di controllo

Le carte di controllo Le carte di cotrollo Dott.ssa Bruella Caroleo 07 dicembre 007 Variabilità ei processi produttivi Le caratteristiche di qualsiasi processo produttivo soo caratterizzate da variabilità Le cause di variabilità

Dettagli

Prova scritta di Statistica per Biotecnologie. 29 Aprile Programma Cristallo 1

Prova scritta di Statistica per Biotecnologie. 29 Aprile Programma Cristallo 1 Prova scritta di Statistica per Biotecologie 9 Aprile Programma Cristallo. Uo dei processi di purificazioe impiegati i ua certa sostaza chimica prevede di metterla i soluzioe e di filtrarla co ua resia

Dettagli

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15 Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del 3-0-15 Puteggi: 1. 3+3+4;. +3 ; 3. 1.5 5 ; 4. 1 + 1 + 1 + 1 + 3.5. Totale = 30.

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie legate alla distribuzione normale. 3. Intervallo bilatero di confidenza bilatero per la frazione p di una popolazione

1. Distribuzioni campionarie legate alla distribuzione normale. 3. Intervallo bilatero di confidenza bilatero per la frazione p di una popolazione Questi esempi vi potrao essere utili come riferimeto ella ricerca di itervalli di cofideza e test di ipotesi statistiche. Per gli aggiorameti potete visitare i siti www.boch.et o www.feaor.com. Per dubbi

Dettagli

Statistica (Prof. Capitanio) Alcuni esercizi tratti da prove scritte d esame

Statistica (Prof. Capitanio) Alcuni esercizi tratti da prove scritte d esame Statistica (Prof. Capitaio) Alcui esercizi tratti da prove scritte d esame Esercizio 1 Il tempo (i miuti) che Paolo impiega, i auto, per arrivare i ufficio, può essere modellato co ua variabile casuale

Dettagli

Test non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche

Test non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche est o parametrici Il test di Studet per uo o per due campioi, il test F di Fisher per l'aalisi della variaza, la correlazioe, la regressioe, isieme ad altri test di statistica multivariata soo parte dei

Dettagli

CONCETTI BASE DI STATISTICA

CONCETTI BASE DI STATISTICA CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto

Dettagli

Analisi statistica dell Output

Analisi statistica dell Output Aalisi statistica dell Output IL Simulatore è u adeguata rappresetazioe della Realtà! E adesso? Come va iterpretato l Output? Quado le Osservazioi soo sigificative? Quati Ru del Simulatore è corretto effettuare?

Dettagli

ESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA E STUDIO DELLE ASSOCIAZIONI

ESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA E STUDIO DELLE ASSOCIAZIONI ESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA E STUDIO DELLE ASSOCIAZIONI ES 1 I u collettivo di 40 pazieti osservati, la media dei globuli biachi era pari a.9 ( 1000/ml 3 ) e la variaza era pari a 0.336. Forire ua

Dettagli

LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI

LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUATITATIVI La variabilità di u isieme di osservazioi attiee all attitudie delle variabili studiate ad assumere modalità

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioi di Statistica Il modello di Regressioe Prof. Livia De Giovai statistica@dis.uiroma.it Esercizio Solitamete è accertato che aumetado il umero di uità prodotte, u idustria possa ridurre i costi

Dettagli

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docete: dott. F. Zucca Esercitazioe # 4 1 Distribuzioe Espoeziale Esercizio 1 Suppoiamo che la durata della vita di ogi membro di

Dettagli

Metodi statistici per l'analisi dei dati

Metodi statistici per l'analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due Motivazioi Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ) per cui soo stati codotti gli esperimeti. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due Esempio

Dettagli

Tecnica delle misurazioni applicate Esame del 4 dicembre 2007

Tecnica delle misurazioni applicate Esame del 4 dicembre 2007 Tecica delle misurazioi applicate Esame del 4 dicembre 7 Problema 1. Il propulsore Mod. WEC viee prodotto da ACME Ic. mediate u processo automatizzato: dati storici cofermao che la lavorazioe di ogi elemeto

Dettagli

Metodi statistici per l analisi dei dati

Metodi statistici per l analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due ttameti Motivazioi ttameti Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ttameti) per cui soo stati codotti gli esperimeti. due ttameti Esempio itroduttivo

Dettagli

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13 Statistica di base Luca Mari, versioe 31.12.13 Coteuti Moda...1 Distribuzioi cumulate...2 Mediaa, quartili, percetili...3 Sigificatività empirica degli idici ordiali...3 Media...4 Acora sulla media...4

Dettagli

Selezione avversa e razionamento del credito

Selezione avversa e razionamento del credito Selezioe avversa e razioameto del credito Massimo A. De Fracesco Dipartimeto di Ecoomia politica e statistica, Uiversità di Siea May 3, 013 1 Itroduzioe I questa lezioe presetiamo u semplice modello del

Dettagli

Sintassi dello studio di funzione

Sintassi dello studio di funzione Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:

Dettagli

Campionamento casuale da popolazione finita (caso senza reinserimento )

Campionamento casuale da popolazione finita (caso senza reinserimento ) Campioameto casuale da popolazioe fiita (caso seza reiserimeto ) Suppoiamo di avere ua popolazioe di idividui e di estrarre u campioe di uità (co < ) Suppoiamo di studiare il carattere X che assume i valori

Dettagli

Statistica. Esercitazione 12. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice

Statistica. Esercitazione 12. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice Esercitazioe 12 Alfoso Iodice D Eza iodicede@uicas.it Uiversità degli studi di Cassio () 1 / 15 Outlie 1 () 2 / 15 Outlie 1 2 () 2 / 15 Outlie 1 2 3 () 2 / 15 Outlie 1 2 3 4 () 2 / 15 Outlie 1 2 3 4 5

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia per maager. Prima versioe, marzo 2013; versioe aggiorata, marzo 2014) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea March 14, 2014 1 Prezzo

Dettagli

8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? 8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA

STATISTICA DESCRITTIVA STATISTICA DESCRITTIVA La statistica descrittiva serve per elaborare e sitetizzare dati. Tipicamete i dati si rappresetao i tabelle. Esempio. Suppoiamo di codurre u idagie per cooscere gli iscritti al

Dettagli

IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras

IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazioe di Gras Date due variabili biarie a e b, i quale misura posso assicurare che i ua popolazioe da ogi osservazioe di a segue ecessariamete quella di b? E

Dettagli

Alcuni parametri statistici di base

Alcuni parametri statistici di base Alcui parametri statistici di base Misure di tedeza cetrale: media mediaa moda Misure di dispersioe: itervallo di variazioe scarto medio variaza deviazioe stadard coefficiete di variazioe Popolazioe di

Dettagli

Statistica 1 A.A. 2015/2016

Statistica 1 A.A. 2015/2016 Corso di Laurea i Ecoomia e Fiaza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispodeti a 48 ore di lezioe frotale e 24 ore di esercitazioe) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 19 Iterdipedeza lieare fra variabili quatitative

Dettagli

Capitolo uno STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA

Capitolo uno STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA Capitolo uo STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA La statistica bidimesioale o bivariata si occupa dello studio del grado di dipedeza di due caratteri distiti della stessa uità statistica. E possibile, ad esempio,

Dettagli

Corso di Elementi di Impianti e macchine elettriche Anno Accademico 2014-2015

Corso di Elementi di Impianti e macchine elettriche Anno Accademico 2014-2015 Corso di Elemeti di Impiati e mahie elettriche Ao Aademico 014-015 Esercizio.1 U trasformatore moofase ha i segueti dati di targa: Poteza omiale A =10 kva Tesioe omiale V 1 :V =480:10 V Frequeza omiale

Dettagli

V Tutorato 6 Novembre 2014

V Tutorato 6 Novembre 2014 1. Data la successioe V Tutorato 6 Novembre 01 determiare il lim b. Data la successioe b = a = + 1 + 1 8 6 + 1 80 + 18 se 0 se < 0 scrivere i termii a 0, a 1, a, a 0 e determiare lim a. Data la successioe

Dettagli

Principi base di Ingegneria della Sicurezza

Principi base di Ingegneria della Sicurezza Pricipi base di Igegeria della Sicurezza L aalisi delle codizioi di Affidabilità del sistema si articola i: (i) idetificazioe degli sceari icidetali di riferimeto (Eveti critici Iiziatori - EI) per il

Dettagli

Università degli Studi di Cassino, Anno accademico Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno

Università degli Studi di Cassino, Anno accademico Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno Uiversità degli Studi di Cassio, Ao accademico 004-005 Corso di Statistica, Prof.. uro Esercitazioe del 01/03/005 dott. Claudio Coversao Esercizio 1 Si cosideri il seguete campioe casuale semplice estratto

Dettagli

n=400 X= Km; s cor =9000 Km Livello di confidenza (1-α)=0,95 z(0,05)=1,96

n=400 X= Km; s cor =9000 Km Livello di confidenza (1-α)=0,95 z(0,05)=1,96 STATISTICA A K (60 ore Marco Riai mriai@uipr.it http://www.riai.it : stima della percorreza media delle vetture diesel di u certo modello al primo guasto 400 X34.000 Km; s cor 9000 Km Livello di cofideza

Dettagli

TEST STATISTICI. indica l ipotesi che il parametro della distribuzione di una variabile assume il valore 0

TEST STATISTICI. indica l ipotesi che il parametro della distribuzione di una variabile assume il valore 0 TEST STATISTICI I dati campioari possoo essere utilizzati per verificare se ua certa ipotesi su ua caratteristica della popolazioe può essere riteuta verosimile o meo. Co il termie ipotesi statistica si

Dettagli

Soluzioni esercizi Capitolo 7

Soluzioni esercizi Capitolo 7 Soluzioi esercizi Capitolo 7 Quado si valuta la relazioe fra due variabili, occorre prestare particolare attezioe al fatto che i modelli statistici specifici per ogi scala di misura siao applicabili: i

Dettagli

Quesito 1. I seguenti dati si riferiscono ai tempi di reazione motori a uno stimolo luminoso, espressi in decimi di secondo, di un gruppo di piloti:

Quesito 1. I seguenti dati si riferiscono ai tempi di reazione motori a uno stimolo luminoso, espressi in decimi di secondo, di un gruppo di piloti: Quesito. I segueti dati si riferiscoo ai tempi di reazioe motori a uo stimolo lumioso, espressi i decimi di secodo, di u gruppo di piloti: 2, 6 3, 8 4, 8 5, 8 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 2,

Dettagli

Analisi Fattoriale Discriminante

Analisi Fattoriale Discriminante Aalisi Fattoriale Discrimiate Bibliografia Lucidi (materiale reperibile via Iteret) Lauro C.N. Uiversità di Napoli Gherghi M. Uiversità di Napoli D Ambra L. Uiversità di Napoli Keeth M. Portier Uiversity

Dettagli

3.1 Il principio di inclusione-esclusione

3.1 Il principio di inclusione-esclusione Capitolo 3 Calcolo combiatorio 3.1 Il pricipio di iclusioe-esclusioe Il calcolo combiatorio prede i cosiderazioe degli isiemi fiiti particolari e e cota il umero di elemeti. Questo può dar luogo ad iteressati

Dettagli

Università degli Studi di Bergamo - Corsi di laurea in Ingegneria Edile e Tessile Indici di posizione e variabilità Esercitazione 2

Università degli Studi di Bergamo - Corsi di laurea in Ingegneria Edile e Tessile Indici di posizione e variabilità Esercitazione 2 Uiversità degli Studi di Bergamo - Corsi di laurea i Igegeria Edile e Tessile Idici di posizioe e variabilità Esercitazioe 2 1. Nella seguete tabella si riporta la distribuzioe di frequeza del cosumo i

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioi di Statistica Itervalli di cofideza Prof. Livia De Giovai statistica@dis.uiroma1.it Esercizio 1 La fabbrica A produce matite colorate. Ua prova su 100 matite scelte a caso ha idicato u peso

Dettagli

1 Metodo della massima verosimiglianza

1 Metodo della massima verosimiglianza Metodo della massima verosimigliaza Estraedo u campioe costituito da variabili casuali X i i.i.d. da ua popolazioe X co fuzioe di probabilità/desità f(x, θ), si costruisce la fuzioe di verosimigliaza che

Dettagli

Costo manutenzione (euro)

Costo manutenzione (euro) Esercitazioe 05 maggio 016 ESERCIZIO 1 Ua società di servizi possiede u parco auto di diverse età. I dirigeti ritegoo che il costo degli iterveti di mautezioe per le auto più vecchie sia geeralmete più

Dettagli

DISTRIBUZIONI DOPPIE

DISTRIBUZIONI DOPPIE DISTRIBUZIONI DOPPIE Fio ad ora abbiamo visto teciche di aalisi dei dati per il solo caso i cui ci si occupi di u solo carattere rilevato su u collettivo (distribuzioi semplici). I termii formali fio ad

Dettagli

Esercitazioni del corso: ANALISI MULTIVARIATA

Esercitazioni del corso: ANALISI MULTIVARIATA A. A. 9 1 Esercitazioi del corso: ANALISI MULTIVARIATA Isabella Romeo: i.romeo@campus.uimib.it Sommario Esercitazioe 4: Verifica d Ipotesi Test Z e test T Test d Idipedeza Aalisi Multivariata a. a. 9-1

Dettagli

CARATTERISTICHE MECCANICHE DI PIETRE NATURALI PER FACCIATE VENTILATE. Di seguito verranno utilizzati i seguenti simboli:

CARATTERISTICHE MECCANICHE DI PIETRE NATURALI PER FACCIATE VENTILATE. Di seguito verranno utilizzati i seguenti simboli: PROPOSTA DI UN PROTOCOLLO DI PROVE PER IL CONTROLLO DELLE CARATTERISTICHE MECCANICHE DI PIETRE NATURALI PER FACCIATE VENTILATE FINALITÀ Nel campo edile l utilizzo di rivestimeti esteri da riportare sulle

Dettagli

Titolo della lezione. Dal campione alla popolazione: stima puntuale e per intervalli

Titolo della lezione. Dal campione alla popolazione: stima puntuale e per intervalli Titolo della lezioe Dal campioe alla popolazioe: stima putuale e per itervalli Itroduzioe Itrodurre il cocetto di itervallo di cofideza Stima di parametri per piccoli e gradi campioi Stimare la proporzioe

Dettagli

Introduzione alla Statistica descrittiva. Definizioni preliminari. Definizioni preliminari. Fasi di un indagine statistica. Tabelle statistiche

Introduzione alla Statistica descrittiva. Definizioni preliminari. Definizioni preliminari. Fasi di un indagine statistica. Tabelle statistiche Itroduzioe alla Statistica descrittiva Defiizioi prelimiari È la scieza che studia i feomei collettivi o di massa. U feomeo è detto collettivo o di massa quado è determiato solo attraverso ua molteplicità

Dettagli

Successioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione

Successioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione Capitolo 2 Successioi 2.1 Defiizioe Ua prima descrizioe, più ituitiva che rigorosa, di quel che itediamo per successioe cosiste i: Ua successioe è ua lista ordiata di oggetti, avete u primo ma o u ultimo

Dettagli

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE. Successioi umeriche a. Defiizioi: successioi aritmetiche e geometriche Cosideriamo ua sequeza di umeri quale ad esempio:,5,8,,4,7,... Tale sequeza è costituita mediate ua

Dettagli

Campionamento stratificato. Esempio

Campionamento stratificato. Esempio ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Campioameto ratificato Ua tecica molto diffusa per sfruttare l iformazioe coteuta i ua variabile ausiliaria (o evetualmete

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea December 18, 2013 1 ichiami su utilità attesa e avversioe al rischio Prima di cosiderare il

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE LORENZO BRASCO. Teoremi di Cesaro Teorema di Stolz-Cesaro. Siao {a } N e {b } N due successioi umeriche, co {b } N strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata. Se esiste

Dettagli

Statistica I, Laurea triennale in Ing. Gestionale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioni

Statistica I, Laurea triennale in Ing. Gestionale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioni Statistica I, Laurea trieale i Ig. Gestioale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioi Lezioe 1 (28/9, ore 11:30). Vedere la registrazioe di Barsati, dispoibile alla pagia http://users.dma.uipi.it/barsati/statistica_2011/idex.html.

Dettagli

Anemia. Anemia - percentuali

Anemia. Anemia - percentuali 1 emia emoglobia 1-13 Data la distribuzioe dell emoglobia i u gruppo di pazieti maschi sottoposti a trattameto: - Circa u paziete su 3 era fortemete aemico (emogl. meo di 1) - La mediaa era fra 13 e 14

Dettagli

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 >

Dettagli

LA GESTIONE DELLA QUALITA : IL TOTAL QUALITY MANAGEMENT

LA GESTIONE DELLA QUALITA : IL TOTAL QUALITY MANAGEMENT LA GESTIONE DELLA QUALITA : IL TOTAL QUALITY MANAGEMENT La gestioe, il cotrollo ed il migliorameto della qualità di u prodotto/servizio soo temi di grade iteresse per l azieda. Il problema della qualità

Dettagli

ESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA SVOLTI IN AULA DAL DOTT. CLAUDIO CONVERSANO

ESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA SVOLTI IN AULA DAL DOTT. CLAUDIO CONVERSANO ESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA SVOLTI IN AULA DAL DOTT. CLAUDIO CONVERSANO ARGOMENTI TRATTATI: VARIABILI CASUALI DISCRETE VARIABILI CASUALI CONTINUE DISEGUAGLIANZA DI TCHEBYCHEFF TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE

Dettagli

Campi vettoriali conservativi e solenoidali

Campi vettoriali conservativi e solenoidali Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile

Dettagli

5. Le serie numeriche

5. Le serie numeriche 5. Le serie umeriche Ricordiamo che ua successioe reale è ua fuzioe defiita da N, evetualmete privato di u umero fiito di elemeti, a R. Solitamete si idica ua successioe co la lista dei suoi valori: (a

Dettagli

Popolazione e Campione

Popolazione e Campione Popolazioe e Campioe POPOLAZIONE: Isieme di tutte le iformazioi sul feomeo oggetto di studio Viee descritta mediate ua variabile casuale X: X ~ f ( x; ϑ) θ = costate icogita Qual è il valore di θ? E verosimile

Dettagli

CAPITOLO SETTIMO GLI INDICI DI FORMA 1. INTRODUZIONE

CAPITOLO SETTIMO GLI INDICI DI FORMA 1. INTRODUZIONE CAPITOLO SETTIMO GLI INDICI DI FORMA SOMMARIO: 1. Itroduzioe. - 2. Asimmetria. - 3. Grafico a scatola (box plot). - 4. Curtosi. - Questioario. 1. INTRODUZIONE Dopo aver aalizzato gli idici di posizioe

Dettagli

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere Eserciio 1 7 puti. Dato il campo vettoriale v, + 1,, i si determii ua fuioe f > i modo tale che il campo vettoriale f v sia irrotaioale, cioè abbia le derivate icrociate uguali; ii si spieghi se i risultati

Dettagli

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x.

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x. ANALISI MATEMATICA Area dell Igegeria dell Iformazioe Appello del 5.0.0 TEMA Esercizio Si cosideri la fuzioe f(x = arcsi log x. Determiare il domiio di f e discutere il sego. Discutere brevemete la cotiuità

Dettagli

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1 SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N:

Dettagli

Esercizi riguardanti limiti di successioni

Esercizi riguardanti limiti di successioni Esercizi riguardati iti di successioi Davide Boscaii Queste soo le ote da cui ho tratto le esercitazioi del gioro 27 Ottobre 20. Come tali soo be lugi dall essere eseti da errori, ivito quidi chi e trovasse

Dettagli

(DA COMPLETARE!!) Esercizi per il corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica per Scienze dell Informazione

(DA COMPLETARE!!) Esercizi per il corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica per Scienze dell Informazione (DA COMPLETARE!!) Esercizi per il corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica per Scieze dell Iformazioe NOTA Quado i problemi soo formulati el liguaggio ordiario, teere presete che la soluzioe

Dettagli

1 Limiti di successioni

1 Limiti di successioni Esercitazioi di matematica Corso di Istituzioi di Matematica B Facoltà di Architettura Ao Accademico 005/006 Aa Scaramuzza 4 Novembre 005 Limiti di successioi Esercizio.. Servedosi della defiizioe di ite

Dettagli

Calcolo Combinatorio (vers. 1/10/2014)

Calcolo Combinatorio (vers. 1/10/2014) Calcolo Combiatorio (vers. 1/10/2014 Daiela De Caditiis modulo CdP di teoria dei segali Igegeria dell Iformazioe - sede di Latia, CALCOLO COMBINATORIO Pricipio Fodametale del Calcolo Combiatorio: Si realizzio

Dettagli

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6 SUCCESSIONI Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La serie

Dettagli

INFERENZA SU UNA O DUE MEDIE CON IL TEST

INFERENZA SU UNA O DUE MEDIE CON IL TEST CAPITOLO VI INFERENZA SU UNA O DUE MEDIE CON IL TEST t DI STUDENT 6.. Dalla popolazioe ifiita al campioe piccolo: la distribuzioe t di studet 6.. Cofroto tra ua media osservata e ua media attesa co calcolo

Dettagli

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016 Capitolo 27 Elemeti di calcolo fiaziario EEE 205-206 27. Le diverse forme dell iteresse Si defiisce capitale (C) uo stock di moeta dispoibile i u determiato mometo. Si defiisce iteresse (I) il prezzo d

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato

Dettagli

Elementi di matematica finanziaria

Elementi di matematica finanziaria Elemeti di matematica fiaziaria 18.X.2005 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2006

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2006 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato

Dettagli

Verifica d Ipotesi. Se invece che chiederci quale è il valore di una media in una popolazione (stima. o falsa? o falsa?

Verifica d Ipotesi. Se invece che chiederci quale è il valore di una media in una popolazione (stima. o falsa? o falsa? Verifica d Iotesi Se ivece che chiederci quale è il valore ua mea i ua oolazioe (stima utuale Se ivece e itervallo che chiederci cofideza) quale è il avessimo valore u idea ua mea su quello i ua che oolazioe

Dettagli

Anno 5 Successioni numeriche

Anno 5 Successioni numeriche Ao 5 Successioi umeriche Itroduzioe I questa lezioe impareremo a descrivere e calcolare il limite di ua successioe. Ma cos è ua successioe? Come si calcola il suo limite? Al termie di questa lezioe sarai

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagia Giovaa Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secodaria di secodo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioi del Quadrifoglio à t i U 2 Radicali I questa Uità affrotiamo

Dettagli

Random walk classico. Simulazione di un random walk

Random walk classico. Simulazione di un random walk Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S = S0 X k, co X k = k= co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si

Dettagli

INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

INTRODUZIONE ALLA STATISTICA Liceo Scietifico -Idirizzo giuridico ecoomico aziedale -Idirizzo operatore turistico Via Rossi/Casacampora, 3-80056 Ercolao (Na) Tel. (+39)08 7396340 (+39)08 7774666 - Fax (+39) 08739669 Cod. Mecc NAISO00G

Dettagli

52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02%

52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02% RISPOSTE MOTIVATE QUIZ D AMMISSIONE 2000-2001 MATEMATICA 51. L espressioe log( 2 ) equivale a : A) 2log B) log2 C) 2log D) log E) log 2 Dati 2 umeri positivi a e b (co a 1), si defiisce logaritmo i base

Dettagli

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:

Dettagli

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln DOMINIO FUNZIONE Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = / Il campo di esisteza è:, l, + Determiare il domiio

Dettagli

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio Radicali Per itrodurre il cocetto di radicali che già avete icotrato alle medie quado avete imparato a calcolare la radice quadrata e cubica dei umeri iteri, abbiamo bisogo di rivedere il cocetto di uzioe

Dettagli

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento Modelli multiperiodali discreti Cosideriamo ora modelli discreti cioè co u umero fiito di stati del modo multiperiodali, cioè apputo co più periodi. Il prototipo di questa classe di modelli è il modello

Dettagli

CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI 1. INTRODUZIONE

CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI 1. INTRODUZIONE CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI SOMMARIO:. Itroduzioe. -. Variabili casuali discrete. - 3. La variabile casuale di Beroulli. - 4. La variabile casuale biomiale. -. La variabile casuale di Poisso.

Dettagli

Esame di Statistica A-Di Prof. M. Romanazzi

Esame di Statistica A-Di Prof. M. Romanazzi 1 Uiversità di Veezia Esame di Statistica A-Di Prof. M. Romaazzi 12 Maggio 2014 Cogome e Nome..................................... N. Matricola.......... Valutazioe Il puteggio massimo teorico di questa

Dettagli

Distribuzioni di probabilità Unità 79

Distribuzioni di probabilità Unità 79 Prerequisiti: - Primi elemeti di probabilità e statistica. - Nozioi di calcolo combiatorio. - Rappresetazioe di puti e rette i u piao cartesiao. Questa uità iteressa tutte le scuole ad eccezioe del Liceo

Dettagli

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale Calcolo della risposta di u sistema lieare viscoso a più gradi di libertà co il metodo dell Aalisi Modale Lezioe 2/2 Prof. Adolfo Satii - Diamica delle Strutture 1 La risposta a carichi variabili co la

Dettagli

PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2013

PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2013 PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 3 Prova scritta del 6//3 Esercizio Suppoiamo che ua variabile aleatoria Y abbia la seguete desita : { hx e 3/x, x > f Y (y) =, x, co h opportua costate positiva.

Dettagli

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione Ecoomia Iterazioale - Soluzioi alla IV Esercitazioe 25/03/5 Esercizio a) Cosa soo le ecoomie di scala? Come cambia la curva di oerta i preseza di ecoomie di scala? Perchè queste oroo u icetivo al commercio

Dettagli