La matematica finanziaria

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1 La matematica fiaziaria La matematica fiaziaria forisce gli strumeti ecessari per cofrotare fatti fiaziari che avvegoo i mometi diversi Esempio: Come posso cofrotare i ricavi e i costi legati all acquisto di u immobile, che avvegoo i mometi diversi? Prof. Paolo Rosato 1

2 Le prestazioi fiaziarie Le prestazioi fiaziarie soo rappresetate da flussi di costo e di ricavo. Perché ua prestazioe fiaziaria sia defiita uivocamete dobbiamo cooscere: l ammotare; la scadeza. Prof. Paolo Rosato 2

3 L iteresse L iteresse è il prezzo d uso del capitale. Il saggio (tasso) d iteresse (r) può essere espresso i termii percetuali (r 5%) o i termii uitari (r 0,05). L iteresse uitario è l iteresse maturato da ua uità di moeta i u ao. Il saggio di iteresse è direttamete proporzioale al rischio (ad u rischio maggiore corrispode u maggiore tasso di iteresse). Prof. Paolo Rosato 3

4 Il motate Il motate è la somma del capitale e dei relativi iteressi. Il motate uitario (q) è la somma fra u capitale pari a 1 e degli iteressi maturati i u ao: M C 0 + C 0 r C 0 (1 + r ) C 0 q ( es. r 0,05 q 1,05). Prof. Paolo Rosato 4

5 Iteresse semplice e composto L iteresse semplice gli iteressi maturati o maturao a loro volta altri iteressi; Si usa quado si cosidera u periodo di tempo uguale o iferiore ad 1 ao. L iteresse composto gli iteressi maturati maturao a loro volta altri iteressi; Si usa quado si cosidera u periodo di tempo superiore ad 1 ao. Prof. Paolo Rosato 5

6 Iteresse semplice: periodo uguale all ao Iteresse I C 0 r Motate M C 0 q Valore scotato C 0 M / q La somma di Euro viee depositata i baca all iteresse del 5%. Si vuol cooscere l ammotare: a) degli iteressi dopo u ao; b) del motate dopo u ao. I C 0 r ,05 50 Euro M C 0 + I C 0 (1+r) C 0 q Euro Prof. Paolo Rosato 6

7 Iteresse semplice: periodo iferiore all ao La durata viee idicata come frazioe di ao: gg/365 Iteresse I C 0 r Motate M C 0 (1 + r ) Valore scotato C 0 M / (1 + r ) La somma di Euro viee depositata i baca per 90 giori all iteresse del 5%. Si vuol cooscere l ammotare: a) degli iteressi; b) del motate. I C 0 r ,05 (90 / 365) 12,39 Euro. M C 0 + C 0 r C 0 (1 + r ) 1.012,39 Euro. Prof. Paolo Rosato 7

8 Iteresse composto: la determiazioe del motate dopo ai: Dopo 1 ao: C 1 C 0 + C 0 r C 0 (1+r) Dopo 2 ai: C 2 C 1 + C 1 r C 1 (1+r) C 2 C 0 (1+r) (1+r) C 2 C 0 q 2 Quidi: C C 0 q C 0 C 1 C 2... C Prof. Paolo Rosato 8

9 Iteresse composto: esempio A quato ammoterà, tra 10 ai (), il capitale di Euro (C 0 ) ivestito i titoli al saggio del 5%? M C 0 q , Euro. Se l iteresse o fosse composto, cioè se gli iteressi o maturassero altri iteressi, il motate sarebbe iferiore: Euro. Prof. Paolo Rosato 9

10 Spostameto di capitali el tempo No è possibile addizioare, sottrarre o cofrotare tra loro valori differiti el tempo, se prima o soo riportati allo stesso mometo. E ecessario idividuare le formule che cosetoo di aticipare o di posticipare ciascu valore. U valore spostato el futuro si trasforma i motate, spostato el passato si trasforma i valore scotato. Prof. Paolo Rosato 10

11 Periodi iferiori o uguali all ao Coefficiete di posticipazioe: (1 + r ) Coefficiete di aticipazioe: 1/(1+r) C 0 Posticipo (1 + r ) M 0 1 / (1 + r ) Aticipo Prof. Paolo Rosato 11

12 Esercizio Il caoe auo del vostro appartameto è suddiviso i due rate aticipate di Euro ciascua. A quato ammota l affitto percepito dal proprietario, riferito a fie ao? Sia r 5%. Posticipo (1 + r ) mesi 12 mesi Ca ( ) ( /2) (1.025) Prof. Paolo Rosato 12

13 Periodi superiori all ao Coefficiete di posticipazioe: q Coefficiete di aticipazioe: 1/q C 0 0 Posticipo q 1 / q Aticipo M Prof. Paolo Rosato 13

14 Esercizio Comperate u uovo computer che pagate i 2 rate da Euro: la prima subito, la secoda fra due ai. Quato costa il computer al mometo attuale (r 6 %)? Aticipo 1 / q / Euro Prof. Paolo Rosato 14

15 U milioe di Euro tra ai scotato ad oggi All aumetare del tempo e/o del saggio dimiuisce il valore Saggio 1 ao 2 ai 3 ai 10 ai 20 ai 1% % % % % % % % % % Prof. Paolo Rosato 15

16 Valore e tasso di scoto Valore attuale di 1 milioe collocato tra vet'ai Valore attuale Saggio Prof. Paolo Rosato 16

17 Le aualità Le aualità (a) soo quelle prestazioi fiaziarie che si verificao ad itervalli auali. Le aualità soo classificate i: posticipate o aticipate, i base alla scadeza di ciascua aualità, rispettivamete alla fie o all iizio dell ao; costati o variabili, i base all ammotare di ciascua aualità; limitate o illimitate, i base alla durata complessiva della serie di prestazioi. Prof. Paolo Rosato 17

18 Aualità variabili e limitate a 0 a 1 a 2... a A 0 A Gli strumeti dispoibili: coefficieti di aticipazioe e posticipazioe. Le accumulazioi iiziale e fiale assumoo rispettivamete la forma: A 0 a 0 + a 1 / q + a 2 / q 2 + a / q A a 0 q + a 1 q a A 0 A / q A A 0 q Prof. Paolo Rosato 18

19 Aualità costati, posticipate, limitate A 0 A a a.. a Accumulazioe fiale: A a q 1 r Accumulazioe iiziale: A 0 a q 1 rq Accumulazioe itermedia: A m A 0 q m A / q -m Prof. Paolo Rosato 19

20 Aualità costati, aticipate, limitate A 0 a a a a A Accumulazioe fiale: A aq q 1 r Accumulazioe iiziale: A 0 aq q 1 rq Accumulazioe itermedia: A m A 0 q m A / q -m Prof. Paolo Rosato 20

21 Aualità costati e illimitate A 0 a a ifiito Trattadosi di aualità illimitate: Posticipate: Aticipate: A 0 A 0 a r aq r Accumulazioe itermedia: A m A 0 q m q 1 lim rq 1 r Prof. Paolo Rosato 21

22 Le periodicità (o poliaualità) Le periodicità o poliaualità (P) soo prestazioi fiaziarie che si ripetoo ad itervalli regolari (), multipli dell ao. P P... P t Prof. Paolo Rosato 22

23 Periodicità costati, posticipate, limitate A 0 A t P P... P t Accumulazioe fiale: A t q q t P 1 1 Accumulazioe iiziale: A 0 P q t 1 ( q 1) q t Prof. Paolo Rosato 23

24 Periodicità costati, aticipate, limitate A 0 P P P P A t 0 2 (t-1) t Accumulazioe fiale: A t q q t Pq 1 1 Accumulazioe iiziale: A 0 Pq q t 1 ( q 1) q t Prof. Paolo Rosato 24

25 Periodicità costati, posticipate, illimitate Trattadosi di periodicità illimitate: lim t q t 1 1 ( 1) t q q q 1 Posticipate: A 0 P q 1 Aticipate: A 0 Pq q 1 Accumulazioe itermedia: A m A 0 q m Prof. Paolo Rosato 25

26 Trasformazioe di periodicità (P) i aualità (a) P P... P t a r P q 1 Prof. Paolo Rosato 26

27 Esercizio U immobile di civile abitazioe richiede, per poter forire u reddito costate, le segueti spese periodiche : a) spese per titeggiatura ogi 5ai (15 /mq); b) spese per riovo impiati ogi 25 ai (150 /mq); c) spese per ristrutturazioe itera ogi 80 ai (1000 /mq). Calcolare la quota aua relativa alle suddette spese. r r r Qa q 1 q 1 q 1 Prof. Paolo Rosato 27

28 Reitegrazioe La quota di reitegrazioe (Q re ) è quell aualità costate e posticipata che viee accumulata per u certo umero di ai allo scopo di costituire/riovare u capitale Q re r ( Vi V f ) q 1 Prevededo di dover ristrutturare u fabbricato tra dieci ai, sosteedo ua spesa di Euro , si vuol cooscere la somma aua posticipata da accatoare al saggio del 5%. 3 0,05 Q re , ,05 1 E Prof. Paolo Rosato 28

29 Ammortameto La quota di ammortameto (Q am ) è quell aualità costate, posticipata e limitata che deve essere corrisposta per estiguere u debito cotratto iizialmete Q am D i rq q 1 La Q am può essere disaggregata i due distite compoeti: quota capitale (Q c ); quota iteressi (Q i ). Prof. Paolo Rosato 29

30 Esercizio Si costruisca il piao di ammortameto di u debito di E da estiguere i tre ai al saggio del 10%, co rate aue, costati e posticipate. Q amm r q Di q , Ao Rata Quota capitale Quota iteressi Debito estito Debito residuo , ,021 3,021 1,000 3,021 6, ,021 3, ,344 3, ,021 3, ,000 0 Prof. Paolo Rosato 30

31 Esercizio A LLa situazioe fiaziaria di u impresa è la seguete: da icassare fra u mese; da versare fra sei mesi; da restituire fra due ai. AAssumedo u tasso di iteresse pari al 6 % auo, calcolare: - l idebitameto totale all attualità; - la rata semestrale posticipata che estigue il debito i sette ai. Idebitameto: A , , , ,61 Prof. Paolo Rosato 31

32 Covertibilità semestrale: Esercizio A Q as 0,03 1, , , ,65 Covertibilità aua: Q aa 0,06 1, ,61 7 1, Q as ,06 Q 12 + Q as aa Q as , ,86 Prof. Paolo Rosato 32

33 Esercizio B LLa costruzioe di u complesso immobiliare richiede i segueti esborsi: - 3 ml di da versare subito; - 5 ml di all ao da versare per i prossimi 3 ai; - 4 ml di da versare fra 4 ai. AAssumedo u tasso di iteresse pari al 6 %, calcolare la rata aua posticipata del mutuo deceale che fiazia la costruzioe. Fabbisogo fiaziario: A Quota ammortameto: 3 1, ,06 1,06 1, ,53 Q a 0,06 1,06 19, , ,65 Prof. Paolo Rosato 33

34 Esercizio C CCompilare il piao di ammortameto trieale, co rate aue posticipate, di u mutuo pari a al tasso di iteresse del 4 %. 0,04 1, ,04 1 Quota ammortameto: , 23 Q a 3 Ao Qa Qi Qc De Dr , ,23 600, , , , ,23 407, , , , ,23 207, , ,00 0,00 Prof. Paolo Rosato 34

35 Esercizio D La mautezioe di u fabbricato richiede le segueti spese: ogi 4 ai; ogi 6 mesi; ogi 10 ai. Assumedo u tasso di iteresse pari al 10 %, calcolare la quota di mautezioe aua. Quota mautezioe: Q m 0,1 6 0, , , , ,41 Prof. Paolo Rosato 35