OPERAZIONI DI PRESTITO

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1 APPUNTI DI ESTIMO La matematica finanziaria si occupa delle operazioni finanziarie, delle loro valutazioni, nonché del loro confronto. Si definisce operazione finanziaria, qualsiasi operazione che prevede lo scambio tra prestazioni riferite a epoche diverse. Le operazioni finanziarie, che si definiscono entro un periodo di tempo più o meno lungo, si rappresentano sempre facendo riferimento ad un asse dei tempi (orizzonte finanziario) in cui si deve definire, per ogni operazione finanziaria, l importo e la scadenza. Si conosce così l orizzonte finanziario, cioè l insieme dei dati che caratterizzano una operazione finanziaria. Quando si fa un confronto fra due prestazioni, bisogna prima di tutto scegliere l epoca di riferimento, dopo di che, riferire tutte le prestazioni a tale epoca. Come si fa questo trasferimento di valore nel tempo? Si deve aggiungere o sottrarre un certo valore monetario alle prestazioni stesse. Quando l epoca di riferimento è antecedente (PRIMA) alla scadenza delle prestazioni, si sottrae un valore monetario al valore della prestazione. Se l epoca di riferimento è successiva (DOPO) alla scadenza, si aggiunge un valore, al valore della prestazione. Se l epoca di riferimento è intermedia si aggiunge un valore a tutte le prestazioni che si trovano in epoca precedente e si sottrae a quelle successive. OPERAZIONI DI PRESTITO Sono operazioni finanziarie che avvengono quando un soggetto mutuante o creditore concede una somma di denaro a un mutuatario o debitore, per un certo tempo t, e quest ultimo dopo la scadenza del tempo t, è obbligato a restituire al creditore, oltre la somma concessa, anche un importo detto INTERESSE (prezzo d uso del capitale). L interesse, pertanto, è il compenso per la rinuncia ai bisogni immediati. Le figure che interessano tale operazione sono: C = capitale t = tempo I = interesse La somma da restituire alla fine del periodo (capitale + interesse) è detta MONTANTE : M = C + I 1

2 Il saggio d interesse (i) rappresenta il prezzo d uso dell unità di capitale nell unità di tempo. REGIME D INTERESSE SEMPLICE E COMPOSTO Si ha regime d interesse semplice, quando l interesse è proporzionale al capitale, al tempo e al saggio d interesse I = C x i x t da cui siccome M = C + I segue M = C + C x i x t da cui M = C(1 + it) Il regime d interesse semplice viene usato per periodi inferiori ad 1 anno. Si ha regime d interesse composto quando gli interessi si sommano al capitale per produrre altri interessi. Si parla di capitalizzazione degli interessi, appunto quando essi si sommano al capitale, e tale somma produrrà altri interessi. Si ha anche regime d interesse composto continuo e discontinuo, se rispettivamente gli interessi si sommano continuamente, oppure se riferiti ad ogni anno. Nel regime d interesse composto discontinuo, la capitalizzazione degli interessi avviene alla fine di ogni anno. In generale quindi si può scrivere come formula del Montante in regime di interesse composto discontinuo: M = C questo si applica per prestiti di lunga scadenza ( > di 1 anno) Il regime di interesse composto discontinuo (con capitalizzazione frazionata) si calcola individuando la frequenza (m), cioè il numero di volte che avviene la capitalizzazione nel corso di un anno. Quando gli interessi si sommano al capitale più volte l anno: se m = 1 il periodo di capitalizzazione è 1 anno se m = 2 il periodo di capitalizzazione è 6 mesi = 6 se m = 3 il periodo di capitalizzazione è 4 mesi = 4 se m = 4 il periodo di capitalizzazione è 3 mesi = 3 2

3 se m = 12 il periodo di capitalizzazione è mensile = 1 Per calcolare il Montante applicheremo questa formula: M = C dove: im = tasso periodale t = numero di periodi di capitalizzazione. Se invece del tasso periodale viene dato il tasso annuo la formula sarà : J = tasso annuo t = numero di anni m = frequenza Esempio: dove : prendiamo un prestito di valore generico (C) per 9 anni, dove il periodo di capitalizzazione è trimestrale (cioè ogni 3 mesi) e il tasso annuo è del 6 %. = 4 a capitalizzazione trimestrale m = 4 frequenza Nel caso in cui il periodo di capitalizzazione del prestito, comprende anche frazioni di anno cioè per esempio 9 anni e 5 mesi: X (1 + fj) f = mesi e si calcolano così: f = f = X (1 + ) oppure X (1 + ) 3

4 OPERAZIONI DI SCONTO Si parla di operazioni di sconto, ogni qual volta si realizza l anticipazione di una somma C scadente in futuro. Il compenso che riceve chi paga il debito prima della scadenza naturale, è detto sconto. L operazione di sconto è una operazione istantanea che si realizza e si esaurisce nel momento in cui viene realizzata ( il prestito ricordate che si svolge nel tempo). Nello sconto dobbiamo calcolare il Valore Attuale (V). Nello sconto si sostituisce ad una somma C (valore nominale) che scade al tempo t, una somma (V) Valore attuale che scade al tempo t = 0. Per cui: V C Sconto (S) = C - V perciò segue che V = C S In pratica, invece di pagare C al tempo t, si paga V al tempo zero, con V C. Ricordiamo che il fattore di montante (1 + it) è funzione crescente nel tempo e il fattore di sconto è il reciproco del fattore di montante. I regimi di sconto sono fondamentalmente tre: Regime di sconto commerciale Regime di sconto semplice Regime di sconto composto Regime di sconto commerciale Si applica per sconti di breve scadenza.nell ipotesi di regime di sconto commerciale : S = C dove d = tasso di sconto Sappiamo che: V = C S quindi V = C (C x t x d) da cui il valore attuale V = C (1 td) Regime di sconto semplice È un regime coniugato con l interesse semplice (fattore di montante) ed è il più utilizzato nella pratica. (1 + it) è il fattore di montante, quindi, il fattore di sconto sarà 4

5 Per calcolarci il nostro valore attuale: V = C x quindi V = Regime di sconto composto Esso è coniugato con il regime d interesse composto (fattore di montante) e si utilizza per periodi lunghi. V = VALUTAZIONE DELLE RENDITE Si definisce rendita finanziaria un insieme di prestazioni o controprestazioni aventi scadenze diverse. Le singole prestazioni, prendono il nome di RATE. Una rendita è una successione di rate. Il problema che noi ci poniamo è quello della valutazione della rendita; valutazione che dovrà essere determinata ad una certa epoca, detta epoca di valutazione. Valutare una rendita significa: calcolare il valore attuale se l epoca di valutazione è antecedente all epoca di scadenza della prima rata, oppure calcolare il valore di montante se è coincidente o successiva all ultima rata. Possono verificarsi 3 casi: 1. Epoca di valutazione antecedente alla scadenza della prima rata; si definisce valore della rendita finanziaria la somma dei valori scontati delle singole rate in base ad un certo regime di sconto; 2. Epoca di valutazione coincidente o susseguente alla scadenza dell ultima rata; si definisce valore della rendita finanziaria la somma del montante delle singole rate, calcolate in base ad un certo regime d interesse. 3. Epoca di valutazione intermedia dove il valore della rendita in questo caso è data dalla somma scontata di tutte le rate la cui scadenza è posteriore all epoca di valutazione, e dalla somma dei montanti delle rate la cui scadenza è anteriore all epoca di valutazione della rendita finanziaria. 5

6 Comunque è importante conoscere nella valutazione di una rendita finanziaria: Epoca di scadenza della rata: rendita con rate anticipate, quando la scadenza è immediata, cioè la rata è esigibile all inizio del periodo stesso ( esempio : canone d affitto) rendita con rate posticipate, (esempio lo stipendio) per le quali la scadenza, nonché l esigibilità è alla fine del periodo stesso. Durata della rata: rendite limitate : se il numero di rate è definito rendite illimitate: se il numero di rate è indefinito (> di 80 rate) Importo della rata: rate variabili: di diverso importo l una dall altra rate costanti: la rata ha sempre lo stesso valore. ANNUALITA COSTANTI POSTICIPATE LIMITATE Le annualità sono valori monetari positivi o negativi che si ripetono ad intervalli regolari di un anno e come abbiamo visto si distinguono in base all epoca di scadenza, alla durata e all importo della rata. Per quanto riguarda le annualità costanti posticipate limitate sono rendite annue che si ripetono in modo regolare per un tempo finito e maturano alla fine di ogni anno. Dobbiamo calcolare il valore di questa rendita al momento n (accumulazione finale). Per questo motivo la rata và moltiplicata per il fattore di montante. La valutazione della rendita è quindi la somma dei montanti all anno n. M = R dove: M = montante; R = importo della rata ; = fattore di montante Ricordate che u = (1 + i) e n corrisponde al numero di anni totali alla fine del periodo. 6

7 Individuiamo ora il valore attuale dell annualità (al momento zero) e per far ciò dobbiamo scontare/anticipare le rate. A = R dove: A = valore attuale; R = importo della rata; = fattore di anticipazione. ANNUALITA COSTANTI ANTICIPATE LIMITATE Sono rendite annue che si ripetono in modo regolare per un tempo finito e maturano all inizio di ogni anno. M = R x u per il montante A = R x u per il valore attuale. Quindi si usano le stesse formule delle rate posticipate, con la differenza che le dobbiamo far slittare di un anno perché appunto maturano un anno prima. ANNUALITA COSTANTI POSTICIPATE ILLIMITATE A differenza della annualità limitate, nelle illimitate è di fondamentale importanza solo il problema dell accumulazione iniziale (valore attuale), in quanto quella finale non è determinabile perché tende all infinito. Sono rendite annue che si ripetono in modo regolare per un tempo infinito e maturano alla fine di ogni anno. Si potrà calcolare allora solo il valore attuale: il fattore di anticipazione sarà in questo caso = attuale si moltiplica l importo della rata (R) per questo fattore: e quindi per ottenere il valore A = R da questa si ottiene che A = Quest ultima formula è un espressione importante nel campo estimativo; cambiando i simboli e rappresentando A come stima attuale del fondo, R come la rendita fondiaria ed i il saggio di capitalizzazione (che è il reciproco del saggio d interesse), ci permette di calcolare il Valore Fondiario con stima analitica per capitalizzazione. 7

8 ANNUALITA COSTANTI ANTICIPATE ILLIMITATE Sono rendite annue che si ripetono in modo regolare per un tempo infinito e maturano all inizio di ogni anno. Anche per queste annualità si considera soltanto il problema dell accumulazione iniziale (valore attuale). Si utilizza la stessa formula precedente, solo che bisogna moltiplicare per u: A = R x u quindi A = R x (1 + i) e si otterrà A = R Abbiamo visto come si calcola il montante e il valore attuale delle annualità costanti posticipate o anticipate, limitate o illimitate. Vogliamo ora vedere come noti il M o A si calcola il valore della rata. Dato il montante si può calcolare l importo della rata. R = M rappresenta anche la quota di reintegrazione. Il fattore è l inverso del fattore di montante nelle rate posticipate Questo valore che otteniamo (R) rappresenta anche la quota di reintegrazione, cioè la quota che si deve accantonare ogni anno e per n anni per ricostituire o reintegrare un capitale e non comprende gli interessi. Dato il valore attuale si può calcolare l importo della rata e questa rata corrisponde alla quota di ammortamento. R = A rappresenta anche la quota di ammortamento. Il fattore è l inverso del fattore di anticipazione La quota di ammortamento si calcola a partire dal valore attuale e si utilizza quando si deve estinguere un debito capitale monetario (prestito, mutuo, ecc ) ed è comprensiva di una quota capitale e di una quota interesse. 8

9 POLIANNUALITA Si definisce rendita poliennale o poliannualità di periodo P, una rendita le cui rate scadono ogni periodo di P anni, cioè scadono in un periodo multiplo all anno. Quindi mentre nelle annualità il periodo che separa 2 rate è 1 anno, nelle poliannualità è di più anni. POLIANNUALITA COSTANTI POSTICIPATE E LIMITATE Sono rendite poliannuali che si ripetono regolarmente per un numero di P anni finito e maturano alla fine di ogni n anni. Si indicano con P = ampiezza del periodo in anni (cioè periodo che separa 2 rate); n = numero di rate presenti nella rendita; R = valore monetario della rata. M = R Questa è l espressione del Montante di una poliannualità di periodo P e durata Pn, costante, posticipata e limitata. Per determinare il valore attuale: A = R x POLIANNUALITA COSTANTI ANTICIPATE E LIMITATE M = R x (Montante) ; A = R x x (Valore attuale) Da notare che le formule sono uguali alle precedenti solo che in questo caso per anticipare si moltiplicano per il fattore. 9

10 POLIANNUALITA COSTANTI POSTICIPATE E ILLIMITATE A differenza delle poliannualità limitate, nelle illimitate è di fondamentale importanza solo il problema dell accumulazione iniziale (valore attuale), in quanto quella finale (montante) non è determinabile perché infinitamente grande. Queste poliannualità sono rendite che maturano alla fine di ogni n anni (periodo P) e si ripetono in modo regolare per un tempo infinito. Questo è il caso delle colture arboree o boschi il cui ciclo o investimento si ripete. Il Montante non si può calcolare, per cui si calcola solo il valore attuale: A = R POLIANNUALITA COSTANTI ANTICIPATE E ILLIMITATE Sono rendite poliannuali maturate all inizio di ogni n anni (periodo P), che si ripetono in modo regolare per un tempo infinito. Anche in questo caso si considera soltanto il problema dell accumulazione iniziale (valore attuale): A = R x 10

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