MATEMATICA FINANZIARIA Appello dell 11 settembre Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR) dott. Riccarelli (AR).

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello dell 11 settembre 2013 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Una banca propone in prestito a un imprenditore, da restituirsi dopo T = 6, con un interesse I calcolato al tasso anuo composto i = 4%. Si determini I. I = Un altra banca propone in prestito la stessa somma per T, al tasso annuo semplice i = 5%. Determinare T in modo che l importo che l imprenditore dovrà restituire sarà lo stesso del presito proposto dalla prima banca. T = Si indichi infine a quale delle due banche si rivolgerà l imprenditore, motivando adeguatamente la risposta. Risposta: Esercizio 2. Si considerino due rendite r 1 e r 2, entrambe immediate e a rata trimestrale costante. La prima è anticipata e perpetua, con rata R 1 = 10. La seconda è posticipata, ha durata 13 trimestri e ha rata R 2 = 100. Si determini anzitutto il valore attuale W del portafoglio x = r 2 r 1, secondo una legge esponenziale di intensità istantanea di interesse δ = W = Si consideri quindi l operazione finanziaria di acquisto al tempo zero del portafoglio x al prezzo W. Se ne determini il tasso interno di rendimento in base annua i e il valore montante M e il valore residuo V tre mesi dopo l acquisto, secondo la legge esponenziale di tasso annuo i. i = % M = V =

2 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma di S, da restituirsi secondo un ammortamento in 6 rate semestrali posticipate, di cui: le prime tre di preammortamento, la quinta e la sesta con la stessa quota capitale, che è metà della quota capitale della quarta rata. Il tasso annuo applicato è i = 7% e ogni rata non può superare i Dopo aver indicato il capitale massimo finanziabile: S max = si compili il piano di ammortamento con S = S max, giustificando adeguatamente i valori inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

3 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui la struttura per scadenza dei fattori di sconto p(0, t) segue la legge: p(0, t) = e 3%t + e 2%t 2 dove il tempo è misurato in. Si calcoli anzitutto la struttura dei tassi, a pronti e a termine, relativa agli t 1 = 2, t 2 = 3, e la si esprima in forma percentuale e su base annua. i(0, 2) = i(0, 3) = i(0, 1, 2) = i(0, 2, 3) = Si calcoli poi l intensità istantanea di interesse relativa ai tempo t 1 e t 2 : δ(0, 2) = δ(0, 3) = Esercizio 5. Si consideri un BTP appena emesso con tasso nominale annuo del 4% e maturità di 5. Si calcoli la duration del BTP se la struttura per scadenza dei tassi è piatta al tasso annuo i = 3%. D = Si consideri un portafoglio investito per il 20% del valore totale nei BTP di cui sopra, per il 50% in BOT a 3 mesi, e per il resto in rendite perpetue con rata annuale. Si calcoli la duration D di tale portafoglio. D =

4 Esercizio 6. Un CCT privo di spread è quotato sul mercato secondario a Sapendo che la maturità del CCT è di 10 mesi si calcoli la duration D del CCT e il valore della prima cedola I 1 che verrà staccata, nell ipotesi che la struttura per scadenza dei tassi sia piatta al livello i = 4.5%. D = I 1 = Si risponda alla stessa domanda precedente se il CCT fosse dotato di uno spread di 40 punti base. D = I 1 =

5 MATEMATICA FINANZIARIA Appello dell 11 settembre 2013 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Una banca propone in prestito a un imprenditore, da restituirsi dopo T = 6, con un interesse I calcolato al tasso anuo composto i = 5%. Si determini I. I = Un altra banca propone in prestito la stessa somma per T, al tasso annuo semplice i = 6%. Determinare T in modo che l importo che l imprenditore dovrà restituire sarà lo stesso del presito proposto dalla prima banca. T = Si indichi infine a quale delle due banche si rivolgerà l imprenditore, motivando adeguatamente la risposta. Risposta: Esercizio 2. Si considerino due rendite r 1 e r 2, entrambe immediate e a rata trimestrale costante. La prima è anticipata e perpetua, con rata R 1 = 10. La seconda è posticipata, ha durata 12 trimestri e ha rata R 2 = 200. Si determini anzitutto il valore attuale W del portafoglio x = r 2 r 1, secondo una legge esponenziale di intensità istantanea di interesse δ = W = Si consideri quindi l operazione finanziaria di acquisto al tempo zero del portafoglio x al prezzo W. Se ne determini il tasso interno di rendimento in base annua i e il valore montante M e il valore residuo V tre mesi dopo l acquisto, secondo la legge esponenziale di tasso annuo i. i = % M = V =

6 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma di S, da restituirsi secondo un ammortamento in 6 rate semestrali posticipate, di cui: le prime tre di preammortamento, la quinta e la sesta con la stessa quota capitale, che è metà della quota capitale della quarta rata. Il tasso annuo applicato è i = 8% e ogni rata non può superare i Dopo aver indicato il capitale massimo finanziabile: S max = si compili il piano di ammortamento con S = S max, giustificando adeguatamente i valori inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

7 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui la struttura per scadenza dei fattori di sconto p(0, t) segue la legge: p(0, t) = e 4%t + e 2%t 2 dove il tempo è misurato in. Si calcoli anzitutto la struttura dei tassi, a pronti e a termine, relativa agli t 1 = 2, t 2 = 3, e la si esprima in forma percentuale e su base annua. i(0, 2) = i(0, 3) = i(0, 1, 2) = i(0, 2, 3) = Si calcoli poi l intensità istantanea di interesse relativa ai tempo t 1 e t 2 : δ(0, 2) = δ(0, 3) = Esercizio 5. Si consideri un BTP appena emesso con tasso nominale annuo del 5% e maturità di 5. Si calcoli la duration del BTP se la struttura per scadenza dei tassi è piatta al tasso annuo i = 3%. D = Si consideri un portafoglio investito per il 20% del valore totale nei BTP di cui sopra, per il 50% in BOT a 3 mesi, e per il resto in rendite perpetue con rata annuale. Si calcoli la duration D di tale portafoglio. D =

8 Esercizio 6. Un CCT privo di spread è quotato sul mercato secondario a Sapendo che la maturità del CCT è di 10 mesi si calcoli la duration D del CCT e il valore della prima cedola I 1 che verrà staccata, nell ipotesi che la struttura per scadenza dei tassi sia piatta al livello i = 4.5%. D = I 1 = Si risponda alla stessa domanda precedente se il CCT fosse dotato di uno spread di 40 punti base. D = I 1 =

9 MATEMATICA FINANZIARIA Appello dell 11 settembre 2013 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Una banca propone in prestito a un imprenditore, da restituirsi dopo T = 6, con un interesse I calcolato al tasso anuo composto i = 6%. Si determini I. I = Un altra banca propone in prestito la stessa somma per T, al tasso annuo semplice i = 7%. Determinare T in modo che l importo che l imprenditore dovrà restituire sarà lo stesso del presito proposto dalla prima banca. T = Si indichi infine a quale delle due banche si rivolgerà l imprenditore, motivando adeguatamente la risposta. Risposta: Esercizio 2. Si considerino due rendite r 1 e r 2, entrambe immediate e a rata trimestrale costante. La prima è anticipata e perpetua, con rata R 1 = 10. La seconda è posticipata, ha durata 11 trimestri e ha rata R 2 = 300. Si determini anzitutto il valore attuale W del portafoglio x = r 2 r 1, secondo una legge esponenziale di intensità istantanea di interesse δ = W = Si consideri quindi l operazione finanziaria di acquisto al tempo zero del portafoglio x al prezzo W. Se ne determini il tasso interno di rendimento in base annua i e il valore montante M e il valore residuo V tre mesi dopo l acquisto, secondo la legge esponenziale di tasso annuo i. i = % M = V =

10 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma di S, da restituirsi secondo un ammortamento in 6 rate semestrali posticipate, di cui: le prime tre di preammortamento, la quinta e la sesta con la stessa quota capitale, che è metà della quota capitale della quarta rata. Il tasso annuo applicato è i = 9% e ogni rata non può superare i Dopo aver indicato il capitale massimo finanziabile: S max = si compili il piano di ammortamento con S = S max, giustificando adeguatamente i valori inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

11 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui la struttura per scadenza dei fattori di sconto p(0, t) segue la legge: p(0, t) = e 5%t + e 2%t 2 dove il tempo è misurato in. Si calcoli anzitutto la struttura dei tassi, a pronti e a termine, relativa agli t 1 = 2, t 2 = 3, e la si esprima in forma percentuale e su base annua. i(0, 2) = i(0, 3) = i(0, 1, 2) = i(0, 2, 3) = Si calcoli poi l intensità istantanea di interesse relativa ai tempo t 1 e t 2 : δ(0, 2) = δ(0, 3) = Esercizio 5. Si consideri un BTP appena emesso con tasso nominale annuo del 6% e maturità di 5. Si calcoli la duration del BTP se la struttura per scadenza dei tassi è piatta al tasso annuo i = 3%. D = Si consideri un portafoglio investito per il 20% del valore totale nei BTP di cui sopra, per il 50% in BOT a 3 mesi, e per il resto in rendite perpetue con rata annuale. Si calcoli la duration D di tale portafoglio. D =

12 Esercizio 6. Un CCT privo di spread è quotato sul mercato secondario a Sapendo che la maturità del CCT è di 10 mesi si calcoli la duration D del CCT e il valore della prima cedola I 1 che verrà staccata, nell ipotesi che la struttura per scadenza dei tassi sia piatta al livello i = 4.5%. D = I 1 = Si risponda alla stessa domanda precedente se il CCT fosse dotato di uno spread di 40 punti base. D = I 1 =

13 MATEMATICA FINANZIARIA Appello dell 11 settembre 2013 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Una banca propone in prestito a un imprenditore, da restituirsi dopo T = 6, con un interesse I calcolato al tasso anuo composto i = 7%. Si determini I. I = Un altra banca propone in prestito la stessa somma per T, al tasso annuo semplice i = 8%. Determinare T in modo che l importo che l imprenditore dovrà restituire sarà lo stesso del presito proposto dalla prima banca. T = Si indichi infine a quale delle due banche si rivolgerà l imprenditore, motivando adeguatamente la risposta. Risposta: Esercizio 2. Si considerino due rendite r 1 e r 2, entrambe immediate e a rata trimestrale costante. La prima è anticipata e perpetua, con rata R 1 = 10. La seconda è posticipata, ha durata 10 trimestri e ha rata R 2 = 400. Si determini anzitutto il valore attuale W del portafoglio x = r 2 r 1, secondo una legge esponenziale di intensità istantanea di interesse δ = W = Si consideri quindi l operazione finanziaria di acquisto al tempo zero del portafoglio x al prezzo W. Se ne determini il tasso interno di rendimento in base annua i e il valore montante M e il valore residuo V tre mesi dopo l acquisto, secondo la legge esponenziale di tasso annuo i. i = % M = V =

14 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma di S, da restituirsi secondo un ammortamento in 6 rate semestrali posticipate, di cui: le prime tre di preammortamento, la quinta e la sesta con la stessa quota capitale, che è metà della quota capitale della quarta rata. Il tasso annuo applicato è i = 10% e ogni rata non può superare i Dopo aver indicato il capitale massimo finanziabile: S max = si compili il piano di ammortamento con S = S max, giustificando adeguatamente i valori inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

15 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui la struttura per scadenza dei fattori di sconto p(0, t) segue la legge: p(0, t) = e 6%t + e 2%t 2 dove il tempo è misurato in. Si calcoli anzitutto la struttura dei tassi, a pronti e a termine, relativa agli t 1 = 2, t 2 = 3, e la si esprima in forma percentuale e su base annua. i(0, 2) = i(0, 3) = i(0, 1, 2) = i(0, 2, 3) = Si calcoli poi l intensità istantanea di interesse relativa ai tempo t 1 e t 2 : δ(0, 2) = δ(0, 3) = Esercizio 5. Si consideri un BTP appena emesso con tasso nominale annuo del 7% e maturità di 5. Si calcoli la duration del BTP se la struttura per scadenza dei tassi è piatta al tasso annuo i = 3%. D = Si consideri un portafoglio investito per il 20% del valore totale nei BTP di cui sopra, per il 50% in BOT a 3 mesi, e per il resto in rendite perpetue con rata annuale. Si calcoli la duration D di tale portafoglio. D =

16 Esercizio 6. Un CCT privo di spread è quotato sul mercato secondario a Sapendo che la maturità del CCT è di 10 mesi si calcoli la duration D del CCT e il valore della prima cedola I 1 che verrà staccata, nell ipotesi che la struttura per scadenza dei tassi sia piatta al livello i = 4.5%. D = I 1 = Si risponda alla stessa domanda precedente se il CCT fosse dotato di uno spread di 40 punti base. D = I 1 =