MATEMATICA FINANZIARIA Schede Esercizi a.a Elisabetta Michetti

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Schede Esercizi a.a Elisabetta Michetti 1 MODULO Principali grandezze finanziarie 1. Si consideri una operazione finanziaria di provvista che prevede di ottenere oggi 3260 euro e di doverne restituire 4380 fra 3 anni. Dopo aver rappresentato tale operazione finanziaria sull asse temporale e mediante i vettori flussi-scadenze, si calcoli: (a) lo sconto riferito al periodo, (b) il tasso di sconto associato all operazione, (c) il fattore di sconto. 2. Avendo a disposizione 2000 euro alla data odierna da investire per un anno, ci vengono proposti due investimenti: l investimento (a) in base al quale il fattore di capitalizzazione riferito al periodo di un anno è pari a e l investimento (b) in base al quale il tasso di interesse riferito allo stesso periodo è Quale investimento conviene? 3. Si consideri una somma pari a 5000 euro disponibile fra 6 anni ed un tasso d interesse i(3, 6) = Si calcoli l importo finanziario equivalente fra 3 anni. 4. Si consideri una somma pari a 1200 euro disponibile al tempo t = 3 e sia il fattore di sconto nel periodo (3, 7). Si calcoli l importo finanziario equivalente al tempo t = 7 e l intensità d interesse associata. 5. Sia i(1, 2) = 0.12 il tasso di interesse associato ad una operazione finanziaria nel periodo di riferimento (1, 2). Si calcoli il tasso di sconto e il fattore di capitalizzazione corrispondenti. Se è disponibile una somma pari a 100 al tempo t = 2, quale è l importo finanziario equivalente al tempo t = 1? 6. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) L operazione finanziaria {( 10, 11); (0, 2)} è una operazione finanziaria a pronti di provvista. (b) Sia r(1, 2) = 1.1 e v(1, 2) = 1.1 allora i due fattori sono coniugati. (c) Sia i(0, 15) = k, k (0, 1), allora d(0, 15) k. 1.2 Leggi e regimi finanziari 1. Sia t 0. (a) Si dica (motivando) se le seguenti funzioni rappresentano possibili leggi di capitalizzazione (o funzioni fattore di montante). (b) In caso affermativo determinare il montante prodotto da un investimento di 1000 euro disponibili al tempo t = 0 per un periodo di due anni, assumendo che t misuri gli anni. 1

2 1.1 r(t) = e 2t3 1.2 r(t) = 1 + ln(2 + t) 1.3 r(t) = ln(4t 2 + 1) r(t) = t r(t) = log 2 (2 t 2 ) 1.6 r(t) = e t (t + 1) 1.7 r(t) = 3t r(t) = 3 2t2 + 8t r(t) = 1 ln(0.3t 2 + 1) 1.10 r(t) = 8 t3 +4t 2 2. Sia t 0. Date le seguenti famiglie di funzioni r α (t) si dica per quali valori di α nell intervallo specificato esse definiscono un regime di capitalizzazione. 2.1 r α (t) = α t2 1 t 2, α > r α (t) = α t2 1+t 2 + 1, α > r α (t) = e αt2 + (α 1)t, α > r α (t) = ln(αt 2 + 1) + 1, α R 3. Sia 0 x < y. (a) Si dica, motivando, se le seguenti funzioni rappresentano possibili leggi di capitalizzazione. (b) In caso affermativo si calcoli l interesse corrispondente ad una operazione finanziaria di investimento di 200 euro dall anno 5 all anno 7 essendo 3 l anno zero, nell ipotesi che il tempo misuri gli anni. 3.1 r(x, y) = 0.5e 2y 2x r(x, y) = (y x) r(x, y) = ln[3(y 2 x 2 )] r(x, y) = e x y 4. Si consideri la seguente famiglia di funzioni r α (x, y) = (1 + α) 2y 2x. Si determini per quali valori di α R essa può rappresentare un regime finanziario di capitalizzazione. 5. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) Sia r(t) una funzione fattore di montante tale che r(10) = 1.8 e sia pari a euro 1800 il montante prodotto da un investimento di una somma di denaro dopo 10 anni. Allora la somma investita al tempo t = 0 è pari a 100 euro. (b) Se r (t) > 0 t 0 allora r(t) è una possibile funzione fattore di montante. (c) Se r α (t) è un regime di capitalizzazione α (0, 2) allora r 1 (t) è una funzione fattore di montante. 2

3 (d) Data r(t 0, t 1 ), se r(t 1, t 1 ) = 1 e r t 1 fattore di montante. > 0 allora essa rappresenta una funzione (e) Sia r(x, y) una funzione fattore di montante e sia 0 < T 0 < t 0 < t 1. r(t 0, t 0 ) < r(t 0, t 1 ). (f) Sia r(t) = 1 + ln(2t + 1) una funzione fattore di montante. Allora Allora esiste la corrispondente funzione fattore di montante a due tempi data da r(t 1, t 2 ) = 1 + ln(2t 2 t 1 + 1). 6. Sia 0 x < y. (a) Stabilire se le seguenti funzioni possono rappresentare una legge finanziaria di attualizzazione. (b) In caso affermativo si consideri una somma di 500 euro disponibile fra 12 mesi e si calcoli lo sconto, il tasso di sconto (riferito all intera OF) e il valore finanziario equivalente rapportandosi a 6 mesi fa, nell ipotesi in cui il tempo misuri i semestri. 6.1 v(x, y) = 1 (y x) v(x, y) = (y x) 6.3 v(x, y) = 1 3(x 2 y 2 ) 6.4 v(x, y) = x3 y v(x, y) = 2 2(x y+1) 3 7. Sia v(x, y) = 1 + ( 1 2) y x. (a) Verificare che si tratta di una legge di attualizzazione. (b) data una somma di 800 euro disponibile fra 7 mesi, calcolare il tasso di sconto associato ad una operazione finanziaria iniziata 9 mesi fa ove il tempo è misurato in quadrimestri. 8. Sia v α (x, y) = α 2 4+y 0.5 x 0.5. (a) Stabilire per quali valori di α essa definisce un regime di attualizzazione. (b) per α = 2 scrivere v(x, y) e determinare la legge di capitalizzazione ad essa coniugata. (c) Data una somma di 100 euro disponibile fra un mese, si calcoli l importo finanziario equivalente fra 11 mesi ove l unità temporale sia misurata in bimestri. 9. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) Sia w(8) = 300 e sia v(x, y) = 1 1+y x. Allora w(4) = 60. (b) Sia r(t) = 2 (1/2)t e v(t) = 2 (1/2)t. Allora le due leggi sono coniugate. (c) Siano r(t) e v(t) due leggi coniugate. Allora w(15) = 1 v(5) w(10). 10. Sia 0 x < y. Date le seguenti funzioni, stabilire se esse definiscono leggi di capitalizzazione r(x, y) o di attualizzazione v(x, y) traslabili ed in caso affermativo scrivere la corrispondente legge ad un tempo r(x, y) = y 2x 3

4 10.2 v(x, y) = 1 y 3 x r(x, y) = 2 (y x)2 + ln[(y x) 4 + e y x+1 ] v(x, y) = x y r(x, y) = y2 x v(x, y) = 0.5[(y x) 2 + 2] 11. Sia 0 x < y. Date le seguenti funzioni, stabilire se esse definiscono leggi di capitalizzazione r(x, y) o di attualizzazione v(x, y) scindibili r(x, y) = 1 + e y x 11.2 v(x, y) = e 0.5(x y) 11.3 r(x, y) = e 2(x y) 11.4 r(x, y) = 3 ln(x y + 1) v(x, y) = 3e 4(x y) v(x, y) = 1 ln(y x+1) Data una forza d interesse δ(t) = 1 t+1 determinare la legge di capitalizzazione associata. 13. Data la seguente legge di capitalizzazione r(t) = 1+t+t 2, calcolare la forza d interesse associata. 14. Data la seguente legge di capitalizzazione r(t) = 1 + ln(t 2 + 1), calcolare la forza d interesse associata. 15. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) r(x, y) = e 2y x è una legge di capitalizzazione traslabile e la corrispondente legge ad un tempo è r(t) = e t. (b) Sia r(x, y) una legge di capitalizzazione traslabile e sia r(t) = t la legge ad un tempo ad essa associata. Allora r(x, y) = 1 + 4y 4x. (c) Sia r(x, y), 0 x < y una legge di capitalizzazione scindibile e sia τ = y x 2. Allora r(x, y) = r(x, x + τ)r(y τ, y). (d) Sia r(x, y) scindibile e tale che r(0, 5) = 1.2 e r(3, 5) = 1.1. Allora r(0, 3) = 1.3. (e) Se r(x, y) è scindibile allora la forza d interesse non dipende da y. (f) Se r(t) = e 2t allora la forza di interesse è costante. (g) Se v(t) = e 3t allora la forza d interesse è 3. 4

5 1.3 Regimi finanziari usuali 1. Si risolvano i seguenti problemi nell ipotesi di regime degli interessi semplici (RIS). 1.1 Si consideri un investimento iniziale pari a 1500 euro. Si determini il montante prodotto dopo 6 mesi nell ipotesi in cui il tasso quadrimestrale sia pari al 2%. 1.2 Si consideri un investimento iniziale di 100 euro per 15 mesi che produce un montante pari a 160 euro. Si calcoli il tasso d interesse semestrale associato all operazione. 1.3 Si determini il capitale inziale che, investito per 27 mesi al tasso bimestrale del 1% produce un montante pari a 2000 euro. 1.4 Si determini per quanto tempo è necessario investire un capitale iniziale di 4000 euro al tasso trimestrale del 2% al fine di ottenere un montante di 4800 euro. 1.5 Si determini il montante prodotto da un investimento di 120 euro avente inizio fra 7 mesi e scadenza fra 3 semestri avendo un tasso d interesse bimestrale pari al 2%. 1.6 Si determini la durata di una operazione finanziaria di investimento di 300 euro avente inizio fra 6 anni che produce un montante pari a 360 euro al tasso del 5% annuo. 1.7 Sia w(10) = Calcolare w(4) essendo il tasso effettivo di sconto annuale pari al 2%. 1.8 Data una somma di 5000 euro disponibile fra 27 mesi, sia 3800 euro il suo valore attuale fra 3 mesi. Calcolare il tasso effettivo d interesse semestrale associato a tale operazione finanziaria. 1.9 Date le seguenti OF di investimento, ove il tempo sia misurato in semestri, calcolare il tasso d interesse annuale ad esse associato. A = {( 500, 540); (1, 3)}; B = {( 1000, 1080); (0.5, 2)}. 2. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) Sia (1 + 10i 2 ) = (1 + 30i 6 ). Allora i 2 e i 6 sono equivalenti nel RIS. (b) Nel RIS, se i m è equivalente ad i n allora 1 + i m = 1 + i n n m. (c) Nel RIS si ha r(2, 5) = r(4, 7). (d) Si consideri il RIS. Allora r(12, 23) = r(9). (e) Nel RIS si ha r(1, 10) = r(1, 8)r(8, 10). (f) Nel RIS si ha r(t 0,t 2 ) r(t 0,t 1 ) < r(t 1, t 2 ) 0 < t 0 < t 1 < t 2. (g) Nel RIS si ha v(10,11) v(11,12) = 1. (h) Nel RIS si ha v(1, 2)v(2, 3) < v(1, 3). 5

6 3. Si risolvano i seguenti problemi nell ipotesi di regime degli interessi anticipati (RIA). 3.1 Si consideri un capitale iniziale pari a 1200 euro e sia dato un tasso d interesse mensile pari al 0.5% e un tasso di sconto mensile pari al 0.45%. Si calcoli il montante prodotto dopo 7 mesi nei due casi stabilendo quale dei due investimenti è più conveniente. 3.2 Sia dato un capitale iniziale pari a 600 euro che produce dopo 5 anni un montante pari a 800 euro. Si calcoli il tasso effettivo d interesse impiegato. 3.3 Si determini il valore al tempo t = 0 di 300 euro disponibili fra 150 giorni essendo il tasso effettivo di sconto giornaliero d g = Data una somma di 1000 euro disponibile fra 19 mesi, si dica in quale istante precedente il suo valore attuale equivalente è pari a 870 euro considerando un tasso effettivo d interesse mensile pari a 1%. 3.5 Dati euro disponibili oggi, si determini il montante prodotto fra 17 mesi essendo il tasso di sconto bimestrale pari a 1.8%. 3.6 Si determini il tasso di sconto trimestrale applicato ad una OF in cui la somma di 1200 euro fra 6 anni è equivalente alla somma di 1000 euro fra due anni. 3.7 Fra 8 mesi è disponibile una somma di 1100 euro. Si dica fra quanti mesi il suo valore attuale è pari a 1050 euro nell ipotesi di tasso d interesse giornaliero i g = Date le seguenti OF, ove il tempo sia misurato in mesi, calcolare il tasso d interesse annuale ad esse associato. A = {( 2000, 2030); (3, 14)}; B = {( 500, 560); (12, 24)}. 4. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) Nel RIA, se w(5) = 100 e d = 0.1, allora w(4) = 90. (b) Nel RIA sia w(10) = 100 e, dato un certo tasso di sconto, sia w(8) = 80. Allora se il tasso di sconto d aumenta si ha in corrispondenza che w(8) diminuisce. (c) Nel RIA r(2, 6) = r(4, 8). (d) Nel RIA r(1, 8) < r(1, 5)r(5, 8). (e) Nel RIA v(10,20) v(11,20) < v(10, 11). 5. Si risolvano i seguenti problemi nell ipotesi di regime degli interessi composti (RIC). 5.1 Determinare il capitale iniziale che, impiegato per 8 anni ad un tasso di sconto annuale del 3%, produce un montante pari a 8700 euro. 5.2 Si dica fra quanti mesi un capitale di 100 euro investito fra 3 mesi al tasso d iteresse mensile del 7% produce un montante di 140 euro. 5.3 Data la seguente legge di capitalizzazione r(t) = e 0.05t, calcolare il tasso effettivo di sconto periodale associato. 6

7 5.4 Si determini la somma da investire oggi al fine di ottenere 2000 euro fra 18 mesi essendo il tasso di sconto annuale pari al 4%. 5.5 Si dica per quanto tempo una somma di 1100 euro deve essere investita al tasso d interesse trimestrale del 3% al fine di realizzare un montante pari a 1180 euro. 5.6 Si calcoli il valore attuale di 2500 euro disponibili tra 17 mesi essendo il tasso nominale convertibile due volte l anno pari al 3.8%. 5.7 Un individuo investe 200 euro al tasso d interesse annuale del 6% per una certa durata t. Dopo questo periodo il montante ottenuto viene reinvestito per due anni al tasso d interesse semestrale del 3%. Sapendo che al termine delle due operazioni si ritira un montante complessivo di 400 euro, determinare la durata t della prima operazione. 5.8 Si richiede lo sconto di una cambiale di 3000 euro che scade fra 9 mesi. Calcolare la somma anticipata essendo i = 13%. Calcolare inoltre il tasso di sconto riferito alla OF e lo sconto applicato. 5.9 Date le seguenti OF, ove il tempo sia misurato in anni, calcolare il tasso d interesse annuale ad esse associato. A = {( 1000, 1030); (0.5, 0.75)}; B = {( 100, 110); (0.2, 1.2)} Si considerino le due seguenti OF di provvista A = {(2000, 2200); (0, 6)}; B = {(200, 250); (3, 10)} si confrontino i tassi di sconto applicati Data una qualunque somma iniziale disponibile, si valuti quale fra le due seguenti proposte di investimento è la più vantaggiosa: (a) investimento con tasso d interesse annuale del 8%, (b) investimento con tasso nominale annuo convertibile due volte del 3.8%. 6. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: ( ) (a) Data la legge esponenziale nel RIC r(t) = e δt, allora si ha che δ = ln 1 1 d. (b) r(t) = e 0.2t descrive una legge di capitalizzazione nel RIC in cui i = 0.2 è il tasso d interesse periodale. (c) Sia C = 10 e i = 10% e sia il tempo misurato in semestri. Allora nel RIC si ha r(2, 8) = r(1, 4). (d) Nel RIC r(1, 10) = r(1, 8) + r(8, 10). (e) Nel RIC r(7,28) r(7,14) = r(14, 28). (f) Se il regime è esponenziale allora la forza d interesse è costante. (g) Se la forza d interesse è costante e pari a δ = 2 allora il regime è esponenziale dato da r(t) = e ln(2)t. (h) Se il tasso nominale annuo convertibile tre volte è 0.03 allora il tasso quadrimestrale d interesse è

8 (i) Sia i = 0.1. Allora nel RIC v(t) = e ln( 1 0.1)t. (l) Sia i = 0.1. Allora nel RIC v(t) = (0.9) t. (m) Nel RIC v(5, 6) = 1 r(8,9). (n) Nel RIC r(3, 5)v(3, 8) = v(5, 8). 7. Avendo richiesto l anticipazione ad oggi di una somma di 1000 euro disponibile fra 6 anni, si dica quale proposta è la più conveniente: A. Anticipazione nel RIC ad un tasso di sconto biennale del 10%. B. Anticipazione nel RIS ad un tasso d interesse semestrale del 3%. C. Si impiega una legge di attualizzazione coniugata ad una legge di capitalizzazione la cui forza d interesse è δ = Stabilire se, dovendo portare allo sconto una cambiale che scade fra 6 mesi ed essendo fissato un certo tasso d interesse annuo, è preferibile il RIA o il RIS. 9. Si investa un capitale nel RIS per 5 mesi al tasso annuo del 3%. Poi la somma complessiva viene impiegata per altri 13 mesi nel RIC al tasso annuo del 4%. Determinare il capitale iniziale sapendo che il montante finale è pari a 1200 euro. Supponiamo di voler successivamente investire i 1200 euro al tasso nominale annuo convertibile due volte del 10% nel RIC e di voler ottenere 1700 euro. Determinare il tempo necessario. 10. Si stabilisca quali fra i seguenti investimenti produce un maggiore interesse (riferito all intera OF): A. Investimento di 100 euro per 3 anni essendo la forza d interesse δ = B. Investimento di 95 euro per 3 anni nel RIA al tasso d interesse trimestrale del 1%. C. Investimento di 110 euro per 3 anni utilizzando la seguente legge di capitalizzazione r(t) = t, ove il tempo è misurato in bimestri. D. Investimento di 98 euro per 3 anni nel RIS al tasso di sconto del 5%. 11. Stabilire fra le due seguenti operazioni di sconto in quale è applicato un tasso di sconto inferiore (riferito all intera OF): A. E anticipato il valore attuale di 3000 euro disponibili fra 6 anni nel RIA al tasso d interesse mensile dello 0.5%. B. E anticipato il valore attuale di 2800 euro disponibili fra 6 anni nel RIC essendo la forza d interesse δ = Si consideri un investimento di 1000 euro per 6 anni e 4 mesi nel RIS essendo il tasso trimestrale d interesse del 1.5%. Dire a quale tasso d interesse annuale lo stesso investimento per la stessa durata produce nel RIC lo stesso montante. 8

9 13. Si determini il tasso d interesse annuale per cui il montante ottenuto nel RIC dopo due anni coincide con quello ottenuto nel RIS dopo 2 anni e 2 mesi, a parità di investimento iniziale. 14. Avendo una cambiale di 1200 euro che scade fra 18 mesi, si stabilisca quale fra le seguenti proposte di anticipazione è la più conveniente: A. Attualizzazione secondo il RIC con tasso di sconto quadrimestrale del 2%. B. Attualizzazione secondo il RIS con tasso di sconto bimestrale del 1.3%. C. Attualizzazione secondo il RIA con tasso di sconto semestrale del 2.4%. 15. Avendo a disposizione 2300 euro, si stabilisca quale fra i seguenti investimenti è il più conveniente: A. Si maturano interessi per i primi 3 mesi secondo il RIC al tasso annuo del 2%. Poi per altri 6 mesi maturano interessi al tasso quadrimestrale del 2.1% secondo il RIS, ed infine per i successivi 15 mesi maturano interessi secondo il RIA ad un tasso di sconto biennale del 2.4%. B. Si maturano interessi per i primi 8 mesi secondo il RIC al tasso d interesse trimestrale del 2.1%. Poi per i successivi 12 mesi maturano interessi al tasso mensile del 2.2% secondo il RIS, ed infine per i restanti 4 mesi maturano interessi secondo il RIA ad un tasso di interesse semestrale del 2.4%. 16. Supponiamo di volerci garantire una somma di 5000 euro fra 4 anni. Si determini quale fra le seguenti opportunità è la più conveniente: A. Attualizzazione secondo il RIC al tasso di sconto semestrale del 2%. B. Attualizzazione secondo il RIA ad un tasso d interesse bimestrale dello 0.7%. C. Attualizzazione per i primi due anni secondo il RIS al tasso d interesse annuale del 3% e successiva attualizzazione per il restante periodo secondo il RIA al tasso di sconto quadrimestrale dello 0.5%. 17. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) Fissato i 2 è preferibile investire una somma per 18 mesi nel RIC piuttosto che investirla nel RIS. (b) Fissato il tasso d interesse annuale, dopo sei mesi il montante prodotto nel RIA è superiore a quello prodotto nel RIS. (c) Fra i regimi usuali dovendo indebitarmi per un periodo superiore all anno, fissato il tasso d interesse annuale, cerco di ottenere che si applichi il RIS. 9

10 2 MODULO Rendite 1. Si consideri una rendita che paga 500 euro fra 5 mesi, una somma X fra 17 mesi e 600 euro fra 22 mesi. Si determini l importo della seconda rata sapendo che il montante prodotto dalla rendita alla scadenza dell ultima rata e al tasso bimestrale dell 1% è pari a 1700 euro. 2. Si consideri una rendita che paga 200 euro fra 3 mesi, 300 euro fra 5 mesi e 200 euro fra un numero X di mesi. Si determini la scadenza dell ultima rata, sapendo che il valore della rendita fra tre mesi al tasso trimestrale del 2% è pari a 600 euro. 3. Si dica a quale tasso di valutazione bimestrale una rendita che paga 100 euro fra 4 mesi, 200 euro fra 8 mesi e 300 euro fra 12 mesi produce un montante fra 12 mesi pari a 650 euro. 4. Si consideri una rendita costituita da 3 rate annue posticipate: la prima di importo X, la seconda di importo 2X e la terza di importo 3X. Si calcoli l importo di ciascuna rata considerando che il valore attuale della rendita è pari a 1000 euro e che è impiegato un tasso annuale di sconto del 8.5%. 5. Calcolare il valore attuale delle seguenti rendite. A Rendita semestrale di 500 euro, pagata alla fine di ogni semestre, di durata 30 mesi, essendo il tasso annuale di valutazione pari al 6%. B Rendita annuale di 1000 euro, pagata alla fine di ogni anno, di durata 6 anni, essendo il tasso trimestrale di valutazione pari al 2%. (NB: se non diversamente specificato la rendita ha inizio subito). 6. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) Sia data la rendita R = {(R 1, R 2, R 3 ); (t 1, t 2, t 3 )} e sia w(r, 5) il suo valore fra 5 anni al tasso annuale di valutazione i. Allora w(r, 2) = w(r, 5)(1 + i) 3. (b) a n i = v(1 vn ) 1 v. 7. Calcolare il prezzo (valore attuale al tempo t = 0) delle seguenti rendite essendo il tasso annuo di valutazione pari al 7%. A Rendita mensile di 200 euro di durata 6 mesi, che ha inizio fra 3 mesi ed è pagata all inizio del mese; B Rendita annuale di 300 euro avente durata 8 anni, che ha inizio subito ed è pagata alla fine di ogni anno; 10

11 C Rendita quadrimestrale di 400 euro di durata 16 mesi, che ha inizio fra 3 mesi ed è pagata all inizio di ogni quadrimestre. 8. Date le due seguenti rendite perpetue, stabilire quale, ad oggi, ha un maggior valore essendo assegnato un tasso d interesse mensile di valutazione del 1.5%. A La rendita ha inizio fra 3 mesi e paga una rata mensile di 100 euro alla fine di ogni mese. B La rendita ha inizio oggi e paga una rata semestrale di 600 euro all inizio di ogni periodo di riferimento. 9. Calcolare il capitale finale accumulato (montante al tempo t = n, ove n sia il periodo al quale si riferisce l ultima rata) nei seguenti casi. A Si versano in un fondo 2000 euro all inizio di ogni anno per 6 anni, essendo il tasso di sconto annuo pari al 12%; B Fra 6 mesi si iniziano a versare 100 euro alla fine di ogni mese per 5 anni, sia i = 0.09; C Si iniziano a versare 800 euro posticiapti fra 12 mesi e si prosegue con versamenti semestrali per 5 anni al tasso nominale annuo pagabile due volte j(2) = 10%. Stabilire inoltre a quale tra esse è attribuito un maggior valore fra 2 anni. 10. Si pagano 10 rate annue posticipate. Si calcoli il fondo accantonato dopo il pagamento della quarta rata (valore al tempo t = 4) sapendo che il tasso annuo è del 7% ed ogni rata è pari a 500 euro. 11. Si decide di accantonare 200 euro posticipati al mese per 9 mesi a partire da oggi. Dopo 2 mesi si riceve una donazione di 500 euro ed anche essa è accantonata. A causa di un imprevisto, si è costretti a dimezzare l importo versato delle ultime due rate. Calcolare il capitale accumulato fra 3 anni nell ipotesi di applicazione di un tasso nominale annuo convertibile 12 volte del 4.8%. 12. Un prestito di euro deve essere rimborsato con 12 rate costanti da versare all inizio di ogni anno a partire dal terzo anno. Determinare l importo della rata essendo il tasso d interesse applicato pari al 6.5%. 13. Data la rendita R = {(150, 200, 310), (1, 2, 3)} ove il tempo sia misurato in semestri, si determini il valore della rendita a rata costante avente le stesse scadenze che produce lo stesso montante, essendo il tasso nominale annuo d interesse convertibile due volte pari al 8%. 14. Si consideri il seguente piano di accumulazione del capitale. Si versano per 2 anni rate trimestrali anticipate di 200 euro; successivamente si versano rate semestrali 11

12 posticipate di 500 euro per 3 anni ed infine per i successivi 3 anni si versano rate di 1000 euro all inizio di ogni anno. Calcolare il capitale così costituito alla fine del periodo assumendo un tasso d interesse semestrale del 3%. Si consideri lo stesso problema nell ipotesi in cui dopo tre anni il tasso diventi pari al 5% annuo. 15. Calcolare il mutuo erogato oggi dato il seguente piano di rimborso: si paga una rata fissa mensile di 300 euro per 8 mesi e successivamente, a mesi alterni, si pagano rate costanti di 400 e 500 euro per altri 12 mesi. Sia dato il tasso mensile del 4% per i primi 4 mesi che si riduce al 2% per i mesi restanti. Si consideri il caso di rendita posticipata. 16. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) a n i = än i 1+i. (b) Sia i = 0.1 allora ä i a i = (c) s n i = ä n i (1 + i) n Si consideri una rendita annua anticipata a rate costanti pari a 500 euro. Sapendo che il tasso trimestrale è del 1% e che il valore attuale della rendita è pari a 5000 euro, si calcoli il numero delle rate e l eventuale rata integrativa da pagarsi unitamente all ultima rata. 18. Sia dato il tasso annuale del 10%. Si consideri un rendita che paga 1000 euro l anno posticipati per i primi 3 anni e 200 euro per i successivi n anni. Si determini la durata della rendita essendo il suo prezzo pari a 4000 euro e l eventuale rata integrativa da pagarsi unitamente alla quarta rata. 19. Si determini a quale tasso d interesse periodale le due rendite producono lo stesso valore attuale: R 1 = {(200, 100, 150); (0, 1, 2)} e R 2 = {(250, 250); (1, 2)}. 20. Si determini a quale tasso una rendita annua posticipata costituita da 4 rate di 1000 euro produce un montante pari a 4300 euro. 2.2 Ammortamenti 1. Redigere il piano di ammortamento del seguente prestito. Prestito di 4000 euro da rimborsare in due rate annuali al tasso annuale di sconto del 7% essendo la prima rata pari a 2200 euro. Calcolare inoltre nuda proprietà e usufrutto in t = 1, essendo il tasso di valutazione pari al 10%. 2. Redigere il piano di ammortamento di un debito di euro sapendo che il rimborso prevedere le seguenti quote capitale: 1000 euro al termine del primo anno, 5500 euro al termine del secondo anno, il residuo al termine del terzo anno, ove il tasso annuo sia pari al 8%. 12

13 3. Redigere un piano di ammortamento a rimborso globale finale di 2000 euro e durata 3 anni, essendo il tasso d interesse pari al % ed essendo gli interessi pagati semestralmente. 4. Redigere un piano di ammortamento semestrale di un prestito di 3000 euro in 2 anni al tasso annuale del 10% in regime italiano. 5. Un prestito di euro viene restituito in 10 anni mediante rate annue posticipate con quote capitale costanti al tasso annuo del 10%. Determinare il debito residuo dopo la sesta rata e l importo della settima rata. 6. Un prestito viene ammortizzato con il metodo italiano versando 16 rate annue. Sapendo che il debito residuo al termine del quarto anno è pari a 4000 euro e che la quota interessi al quarto anno è pari a 320 euro, determinare il debito iniziale ed il tasso d interesse. 7. Costruire un piano di ammortamento bimestrale per la restituzione in un anno di un prestito di 4000 euro a rate costanti, essendo il tasso annuo del 12%. Calcolare nuda proprietà ed usufrutto dopo il pagamento della quarta rata e stabilire quanto sarebbe dovuto in tale momento in caso di estinzione anticipata del debito in assenza di penale. 8. Costruire un piano di ammortamento per la restituzione in 4 anni di un prestito a rata costante, sapendo che l importo della quota interessi I 1 = 90 euro e che il tasso annuo è del 5%. 9. Un prestito di euro viene restituito con rate semestrali posticipate al tasso trimestrale del 2% in 2 anni. Costruire il piano di ammortamento nel caso in cui l importo delle prime due quote capitale sia il doppio delle successive. 10. Si consideri un prestito di 8000 euro al tasso del 6%. Stabilire in quanti anni esso deve essere rimborsato al fine di pagare una rata costante di 3000 euro l anno ed assumendo che, l eventuale rata integrativa sia pagata unitamente alla prima rata. Redigere il piano di ammortamento. 11. Redigere il piano di ammortamento di un prestito di 2000 euro in 8 rate annuali al tasso del 6% in modo tale che si abbia un periodo di preammortamento di 5 anni e successivamente il rimborso avvenga in maniera tale che le quote capitale crescano di 300 euro l anno. 12. Si riceve un prestito di 9000 euro. Si iniziano a pagare annualmente rate aventi quota capitale costante pari a 1500 euro al tasso del 7%. Dopo il quinto anno, per restituire quanto ancora dovuto nei 3 anni successivi, si passa ad un regime francese a parità di tasso. Redigere il piano di ammortamento. 13

14 13. Si devono restituire 5000 euro mensilmente per un anno al tasso mensile del 5%. Si stabilisce inizialmente un ammortamento italiano. Dopo 7 rate si contrae un debito aggiuntivo di 1300 euro da restituire nei 5 mesi rimanenti a rate costanti. Costruire il piano di ammortamento evidenziando gli esborsi complessivi dovuti ad ogni scadenza. 14. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) Nel RIC se una OF è equa al tempo t = 2, allora essa è equa al tempo t = 3. (b) Un prestito di 1000 euro può essere ammortizzato pagando due rate di 510 euro alla fine di ogni anno essendo il tasso d interesse annuale pari al 10%. (c) In un piano di ammortamento si ha D 3 = D 2 R 3 I 3. (d) In un piano di ammortamento si ha E 8 = E 7 C 8. (e) Si consideri un ammortamento italiano di un prestito di euro. Se C k = 2000 allora il numero delle rate è uguale a Criteri di scelta in condizioni di certezza 1. Date le seguenti OF, determinare la più conveniente secondo il criterio del REA essendo il tasso di valutazione impiegato pari al 10% e il tempo misurato in anni. A OF A = {( 40000, R, R, R, R); (0, 1, 2, 3, 4)} con R = 23000; B OF B = {( 40000, R, R); (0, 2, 4)} con R = 17000; C OF C = {( 40000, 20000, 24000, 4000, 15000); (0, 1, 2, 3, 4)}. 2. Si considerino le seguenti OF: A investimento di euro oggi che produce interessi semestrali al tasso annuo del 10% e viene rimborsato fra due anni; B investimento di 6000 euro oggi che saranno restituiti in tre anni secondo un piano di ammortamento annuale di tipo italiano al tasso del 10%. Confrontare le due OF secondo il criterio del REA ad un tasso di valutazione j = Volendo investire 1000 euro per 3 anni si hanno le seguenti alternative: A ricevere 1600 euro fra 3 anni; B ricevere 500 euro alla fine di ogni anno per 3 anni. Calcolare il tasso di svolta secondo il criterio del REA quindi stabilire quale alternativa è da preferirsi se il tasso di valutazione è superiore al tasso di svolta. 4. Date le seguenti OF, determinare quale è da preferirsi secondo il criterio del TRM, essendo il tasso attivo j A = 0.04 e il tasso passivo j P = 0.09 ed il tempo espresso in semestri. 14

15 A OF A = {(100, 20, 30, 200); (0, 2, 4, 6)}; B OF B = {(100, 20, 150, 30, 80); (0, 1, 3, 5, 6)}; C OF C = {( 100, 50, 300); (0, 3, 6)}; D OF D = {(100, 60); (0, 6)}. 5. Date le seguenti OF: A OF A = {( 100, 200, 400, 100); (1, 2, 3, 4)}; B OF B = {( 100, 400, 200, 100); (1, 2, 3, 4)}; ed essendo dato un tasso passivo j P = 0.07 e attivo j A = 0.03, stabilire quale è da preferirsi secondo il criterio del TRM. Confrontare tale scelta con quella ottenuta impiegando il criterio del REA al tasso di valutazione j = 5%. 6. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) Date due OF, OF1 e OF2 e sia fissato un tasso j di valutazione, allora se al tempo t = 4 (fra quattro anni) si ha W 4 (OF 1, j) > W 4 (P F 2, j) allora OF1 è preferita in base al criterio del REA. (b) Date due OF, OF1 e OF2, se REA(OF 1, j) > REA(OF 2, j) allora per ogni j > j si ha REA(OF 1, j ) > REA(OF 2, j ). (c) Date due OF, OF1 e OF2, sia j = 0.09 il tasso di svolta. Allora REA(OF 1, 0.09) REA(OF 2, 0.09) = 0. (d) Date due OF, OF1 e OF2, sia j = 0.12 il tasso di svolta. Sia inoltre il montante prodotto fra 2 anni da OF1 al tasso j pari a 123 euro. Allora il REA(OF 2, j) = 123(1.12) 2. (e) Date due OF, OF1 e OF2, se OF1 è preferita ad OF2 secondo il criterio del TRM allora OF1 è preferita ad OF2 secondo il criterio del REA. (f) Date due OF, OF1 e OF2, se T RM(OF 1) = T RM(OF 2) per j P = 0.07 e j A = 0.03, allora lo stesso vale se j A aumenta di un punto percentuale. 7. Date le seguenti OF: A ricevo oggi 2000 euro da restituire in due rate da 1500 fra due e quattro anni; B ricevo oggi 2000 euro e devo restituire 2800 euro fra 4 anni; stabilire quale è la più conveniente secondo il criterio del TIR. 8. Date le seguenti OF: A OF A = {( 100, 20, 20, 120); (0, 1, 2, 3)}; B OF B = {( 100, 170); (0, 3)}; 15

16 C OF C = {( 100, 130, 10); (0, 1.5, 3)}; scegliere la più conveniente impiegando i seguenti criteri: (a) criterio del TIR, (b) criterio del REA essendo il tasso di valutazione j = 10%, (c) criterio del TRM essendo rispettivamente j A = 0.08 e j P = 0.12 il tasso attivo e passivo. 9. Sia OF = {( 150, 50, 100, 300); (0, 1, 2, 3)}, stabilire se essa ammette TIR ed in caso affermativo determinarlo (approssimando alla seconda cifra decimale). 10. Consideriamo le due seguenti operazioni di finanziamento: A si riceve un prestito di 800 euro da rimborsare in 2 rate distinte, la prima che ammonta a 600 euro dopo un anno, e la seconda di 500 euro dopo 2 anni; B si riceve un prestito 700 euro da rimborsare in 3 rate, una di 300 euro alla fine del primo anno, una di 300 euro alla fine del secondo e una di 600 euro alla fine del terzo. Stabilire col criterio del TIR quale dei due finanziamenti è più conveniente. 11. Sia OF = {(10, 10, 100, 100); (0, 1, 2, 3)}. Stabilire se ammette il TIR. 12. Si acquista un computer a euro, da rimborsare con 2 rate annuali da euro l una. La prima rata sarà però gravata da ulteriori 80 euro per l accensione del finanziamento e da 1,50 euro di bollettino postale, mentre per la seconda rata si dovrà pagare soltanto il bollettino postale. Calcolare il TAN e il TAEG di questo finanziamento. 13. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) Sia il valore di una OF nullo in un certo istante per j = 10%. Allora j è il TIR associato alla OF. (b) Sia j = 0.03 il TIR associato ad una OF. Allora il valore al tempo t = 3 dell OF è diverso da zero per ogni tasso di valutazione j impiegato, con j j. (c) Se W 0 (OF, 0.02) = 0 allora j = 0.02 è il TIR associato alla OF. (d) Ad ogni OF è associato un TIR. (e) Sia j il TIR di una OF. Allora REA(OF, j ) = 0. (f) Sia OF = {( A, A, A, A, A), (0, 3, 5, 7, 9)} con A 0. Allora essa ammette il TIR. (g) Sia OF = {( A, B, C, D, E), (0, 1, 2, 3, 4)} con A, B, C, D, E positivi. Allora essa non ammette TIR. (h) Sia OF = {(x 0, x 1, x 2,..., x n ), (0, 1, 2,..., n)} con x 0 < 0 e x 1 > 0. Allora essa ammette TIR. 16

17 (i) Sia il TIR di una OF di provvista j = 0.12 e si consideri un TIR benchmark di confronto del 11%. Allora l OF proposta è conveniente. (l) Se il TAEG di una OF è pari al 12%, allora il TAN della stessa è inferiore al 12%. 3 MODULO Mercato obbligazionario e titoli 1. Si considerino i seguenti titoli: A BOT a un anno emesso al prezzo P 0 = 94.3, valore nominale 100; B CTZ a due anni, prezzo di emissione che paga 100 alla scadenza. 1.2 Calcolare e confrontare i tassi effettivi di rendimento annuo nell ipotesi in cui i titoli siano detenuti fino alla scadenza. 1.2 Si ipotizzi che all emissione sia stato acquistato il CTZ e che esso sia poi ceduto dopo un anno al prezzo di Calcolare il tasso effettivo di rendimento realizzato dall investitore e stabilire se sarebbe stato più conveniente l investimento A. 2. Calcolare il TIR dei due seguenti titoli e stabilire quale è più conveniente. A BTP a due anni, valore nominale 1000, prezzo d acquisto che paga una cedola annua di 50 euro; B BTP a due anni, valore nominale 1000, acquistato alla pari che paga cedole semestrali al tasso tecnico del 8% annuo. 3. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) Sia i il tasso effettivo di rendimento di un BOT a tre mesi. Allora essendo 100 il valore nominale, il prezzo di emissione è pari a 100(1 + i ) 3. (b) Si consideri un BTP che paga cedole annuali. Se il tasso interno di rendimento coincide con il tasso tecnico allora il titolo è quotato alla pari. (c) Se un titolo che paga cedole è quotato sopra la pari allora il suo TIR è superiore al tasso tecnico. (d) Il TIR di un BTP emesso sopra la pari al tasso tecnico del 10% è inferiore al TIR di un BTP emesso alla pari al tasso tecnico del 11%. 3.2 Tassi a pronti e tassi a termine 1. Si considerino due ZCB aventi scadenza 6 mesi e 2 anni e prezzi 98.5 e 93.2, rispettivamente. Calcolare i relativi tassi a pronti. 17

18 2. Sia t misurato in anni e siano dati i seguenti tassi a pronti: i(0, 1) = 0.04; i(0, 2) = 0.044; i(0, 3) = Determinare i possibili tassi a termine in ipotesi di coerenza del mercato. 3. Sia P = 96 il prezzo di uno ZCB a due anni. Se il tasso a termine i(0, 1, 2) = 0.012, stabilire il prezzo di uno ZCB a un anno nell ipotesi di assenza di arbitraggio. 4. Sono disponibili sul mercato le seguenti operazioni (ad es. è possibile investire in ZCB, aventi diverse scadenze): A OF 1 = {( 95, 100), (0, 1)}; B OF 1 = {( 85, 100), (0, 3)}; C OF 1 = {( 90.25, 100), (1, 3)}. Verificare che è possibile un arbitraggio ed individuare la strategia che consente di realizzarlo. 5. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) Per la condizione di assenza di arbitraggio si ha r(1, 2)r(2, 3) = 1 v(1,3). (b) Se il regime finanziario è scindibile allora non sono possibili arbitraggi non rischiosi. (c) Sia i(0, 6) il tasso a pronti vigente sul mercato. Allora uno ZCB di costo unitario a sei anni è rimborsato al valore (1 + i(0, 6)) 6. (d) Sia i(0, 1, 2) = 0.1. Allora una operazione di investimento di un euro fra un anno produce un montante pari a 1.1 fra due anni. (e) Sia 80 il prezzo di uno ZCB che scade fra 2 anni e 90 il prezzo di uno ZCB che scade fra un anno. Allora in ipotesi di coerenza del mercato il prezzo stabilito oggi di uno ZCB emesso fra un anno che scade dopo un anno è (f) Noti i(0, 7) e i(0, 5, 7) è possibile determinare i(0, 5). (g) Sia i(0, 5, 6) = 0.1. Allora il montante calcolato oggi di un euro impiegato fra 5 anni per la durata di un anno è pari a Si consideri un mercato in cui vengono trattati ZCB con scadenze annuali e strutturato su 4 anni. Ad oggi si osservano i seguenti prezzi a pronti P 1 = 98, P 2 = 95, P 3 = 90, P 4 = 80 per ZCB a 1, 2, 3, 4 anni. Determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti e stimare i(0, 2.5) impiegando una approssimazione lineare. 7. Ad oggi vengono negoziati sul mercato i seguenti titoli: BOT a un anno al prezzo 97.9, BTP a due anni che paga cedole annue al tasso del 3% al prezzo 95.6, BTP a tre anni che paga cedole annue al tasso triennale del 12% al prezzo Determinare i tassi a pronti e i tassi uniperiodali a termine in ipotesi di coerenza del mercato. Stabilire inoltre mediante una approssimazione lineare i(0, 2.5). 18

19 8. Dati tre ZCB con prezzi 97, 94, 91 e scadenze 4 mesi, 8 mesi, un anno, determinare la struttura per scadenza dei tassi a pronti. Data tale struttura, calcolare il prezzo di un BTP con cedole quadrimestrali al tasso del 12% annuo che scade fra 12 mesi e di valore nominale Si consideri la seguente struttura dei tassi a pronti: i(0, 1) = 0.04, i(0, 2) = 0.045, i(0, 3) = A Determinare la struttura dei tassi (uniperiodali) a termine. B Calcolare il prezzo di un BTP a tre anni che paga cedole annue pari a 8 euro. C Calcolare il prezzo fissato oggi di un BOT acquistato fra un anno che scade fra due anni. D Calcolare il montante della seguente rendita: R = {(10, 20, 15), (1, 2, 3)} 10. Si consideri la seguente struttura dei tassi a termine: i(0, 1, 2) = 0.06, i(0, 2, 3) = Determinare la struttura dei tassi a pronti essendo il prezzo di uno ZCB che scade fra un anno pari a 96. Ricavare inoltre i(0, 4) sapendo che la precedente struttura si applica ad un BTP che scade fra 4 anni, prezzato alla pari, che paga cedole annue al tasso del 5%. 11. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) Siano i(0, 2) = 0.08 e i(0, 4) = 0.1. Allora si può stimare linearmente i(0, 3) = 0.9. (b) Se i(0, 1) > i(0, 2) allora i(0, 1, 2) < i(0, 2). (c) Se i(0, 1, 2) = i(0, 2) allora i(0, 1) = i(0, 2). 4 MODULO Indici temporali 1. Si considerino i tre seguenti flussi di cassa. A BOT a 2 anni, valore nominale 110; B BTP a 2 anni, cedola semestrale al tasso annuale del 10%, valore nominale 100; C Rendita R = {(50, 50, 50), (1, 1.5, 2)} ove il tempo misura gli anni. Calcolare la vita a scadenza e la scadenza media aritmetica di ciascuno di essi. 2. Si consideri la seguente struttura dei tassi a pronti: i(0, 1) = 0.05, i(0, 2) = 0.06, i(0, 3) = 0.04 e i(0, 4) = Calcolare vita residua, scadenza media aritmetica e duration dei seguenti titoli: 19

20 A ZCB a 4 anni, valore nominale 100; B BTP a 4 anni, cedole annuali al tasso del 6%, valore nominale Siano dati i seguenti tassi a pronti: i(0, 1) = 8%, i(0, 2) = 9%, i(0, 3) = 6% e le seguenti operazioni finanziarie: A OF A = {(30, 30, 30), (1, 2, 3)}; B OF B = {(10, 10, 80), (1, 2, 3)}. Calcolare la duration e confrontarla con la duration piatta che si ottiene applicando un tasso semestrale del 3%. 4. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) La scadenza media aritmetica di un BOT a due anni è due. (b) Siano OF 1 = {(A, A), (1, 2)} e OF 2 = {(A), (2)} con A > 0. Allora la duration di OF 1 è inferiore alla duration di OF 2. (c) Per uno ZCB la scadenza media aritmetica coincide con la duration. (d) La duration piatta di un BOT a 2 anni è inferiore alla duration piatta di un BTP a 2 anni. 4.2 Indici di variabilità 1. Si considerino i seguenti flussi di cassa: A OF = {(20, 30, 50, 20), (1, 2.5, 3.5, 4)}; B OF = {(35, 10, 75), (1, 2, 5)}; C OF = {(100, 140, 30), (1, 2, 4)}; D OF = {(40, 65, 10), (1, 2, 2.5)}; e si ipotizzi una struttura dei tassi piatta con i = 4%. Stabilire quale operazione è meno sensibile ad un apprezzamento del tasso d interesse (si usi la duration modificata). Stimare inoltre l entità della variazione relativa e assoluta subita dal prezzo nell ipotesi in cui il tasso d interesse aumenti di Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta: (a) Si consideri una struttura piatta dei tassi. Sia D1 la duration del titolo 1 e D2 la duration del titolo 2. Se D1 < D2 allora il prezzo del titolo 1 è più sensibile rispetto a quello del titolo 2 ad una piccola variazione del tasso d interesse. (b) Sia i = 0.1 e sia la duration di un titolo pari a 3. Allora la duration modificata è D M =

21 (c) La duration modificata di uno ZCB a tre anni è tre. (d) Sia D M = 3 la duration modificata di un titolo e sia il suo prezzo pari a 100. Allora se l interesse aumenta di un punto percentuale il prezzo diminuisce di circa 3. 21

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