MATEMATICA FINANZIARIA Appello dell 8 ottobre 2010 programma a.a. precedenti

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello dell 8 ottobre 2010 programma a.a. precedenti Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Corso: dott. Quaranta (SI) prof. Pacati (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l operazione finanziaria di investimento di P = 100 euro, che garantisce il rimborso di C = euro dopo τ = un anno e 27 giorni. Si utilizzi, in questo esercizio, la convenzione che la durata dell anno è di 365 giorni. Si calcolino anzitutto le grandezze periodali: l interesse I = euro il tasso di interesse j = % il tasso di sconto k = % l intensità di interesse γ = giorni 1 l intensità di sconto κ = giorni 1 Si calcolino quindi le grandezze annue, ipotizzando una sottostante legge degli interessi composti: il tasso di interesse i = % l intensità istantanea di interesse δ = anni 1 Si determini infine di quanti giorni g bisogna aumentare la durata dell operazione in modo che, a parità di somma investita e di somma rimborsata, il tasso annuale di interesse (composto) dell operazione risulti il 3%. g = giorni Esercizio 2. Si consideri l operazione finanziaria di acquisto, alla data odierna e al prezzo di P = 200 euro, di una rendita perpetua immediata e posticipata a rata mensile costante di R = 1 euro e se ne calcoli il tasso interno di rendimento i, esprimendolo in forma percentuale e su base annua. Si calcoli quindi il valore (complessivo) W dell operazione finanziaria dopo 10 anni e secondo la legge esponenziale individuata da i e lo si decomponga in valore montante M e valore residuo V. i = % W = euro M = euro V = euro

2 Esercizio 3. Si consideri un mercato in cui, al tempo t 0 = 0, sono quotati: un titolo a cedola nulla che, al prezzo a pronti di 90 euro, rimborsa dopo tre anni 100 euro; un titolo a cedola fissa annuale, di tasso nominale annuo 3.5%, capitale nominale 200 euro, durata due anni e prezzo a pronti di 200 euro; un titolo che rimborsa 100 euro a tre anni al prezzo, contrattato in t 0 e pagabile dopo un anno, di 93 euro. In riferimento allo scadenzario t = {1, 2, 3} anni si determini la struttura per scadenza dei fattori di sconto a pronti, dei tassi di interesse a pronti e dei tassi di interesse a termine. v(0, 1) = v(0, 2) = v(0, 3) = i(0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 3) = % i(0, 0, 1) = % i(0, 1, 2) = % i(0, 2, 3) = % Esercizio 4. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato di titoli obbligazionari, con due contratti: il titolo x, con valore 100 euro e duration 5 anni; il titolo a cedola nulla a un anno y, con valore 300 euro; Si consideri il caso di un investitore con un capitale di 1000 euro. Si determini anzitutto quale è la durata media finanziaria minima D min e quale quella massima D max dei portafogli di questo mercato che l investitore può acquistare senza operare vendite allo scoperto. Infine, nel caso voglia investire tutto il suo capitale in un portafoglio con durata media finanziaria di 4 anni, si determini quante quote α x e α y, dei titoli x e y rispettivamente, deve acquistare. D min = anni D max = anni α x = α y =

3 Esercizio 5. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 ed in riferimento allo scadenzario t = {1, 2, 3} sono quotati i seguenti titoli: x = {10, 10, 10} euro, al prezzo a pronti di 27 euro; y = { 0, 10, 10} euro, al prezzo a pronti di 17.5 euro. Si supponga che il flusso z = {20, 70, 70} euro sia quotato al prezzo a pronti di 140 euro. Si costruisca un arbitraggio non rischioso che coinvolga i due titoli del mercato ed il flusso z, in modo da ottenere un profitto immediato di 15 euro, avendo chiuso in pareggio le posizioni ad istanti successivi. azione (A): acquisto oppure vendita a pronti in 0 di unità del titolo x azione (B): acquisto oppure vendita a pronti in 0 di unità del titolo y azione (C): acquisto oppure vendita a pronti in 0 di unità del titolo z Tabella di payoff : azione (A) (B) (C) totale

4 Esercizio 6. Si consideri l ammortamento di una somma S = 100 euro in 3 anni, a rata annuale posticipata variabile e tasso d ammortamento i = 5% su base annua. Sapendo che C 1 = 30 e R 2 = 50 euro, determinare le altre due rate, decomporre ciascuna rata in quota capitale e quota interesse e calcolare il debito residuo dopo il pagamento di ciascuna rata. [Attenzione: è un ammortamento non standard!] k R k C k I k M k

5 MATEMATICA FINANZIARIA Appello dell 8 ottobre 2010 programma a.a. precedenti Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Corso: dott. Quaranta (SI) prof. Pacati (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l operazione finanziaria di investimento di P = 100 euro, che garantisce il rimborso di C = euro dopo τ = un anno e 27 giorni. Si utilizzi, in questo esercizio, la convenzione che la durata dell anno è di 365 giorni. Si calcolino anzitutto le grandezze periodali: l interesse I = euro il tasso di interesse j = % il tasso di sconto k = % l intensità di interesse γ = giorni 1 l intensità di sconto κ = giorni 1 Si calcolino quindi le grandezze annue, ipotizzando una sottostante legge degli interessi composti: il tasso di interesse i = % l intensità istantanea di interesse δ = anni 1 Si determini infine di quanti giorni g bisogna aumentare la durata dell operazione in modo che, a parità di somma investita e di somma rimborsata, il tasso annuale di interesse (composto) dell operazione risulti il 3.5%. g = giorni Esercizio 2. Si consideri l operazione finanziaria di acquisto, alla data odierna e al prezzo di P = 250 euro, di una rendita perpetua immediata e posticipata a rata mensile costante di R = 1 euro e se ne calcoli il tasso interno di rendimento i, esprimendolo in forma percentuale e su base annua. Si calcoli quindi il valore (complessivo) W dell operazione finanziaria dopo 10 anni e secondo la legge esponenziale individuata da i e lo si decomponga in valore montante M e valore residuo V. i = % W = euro M = euro V = euro

6 Esercizio 3. Si consideri un mercato in cui, al tempo t 0 = 0, sono quotati: un titolo a cedola nulla che, al prezzo a pronti di 88 euro, rimborsa dopo tre anni 100 euro; un titolo a cedola fissa annuale, di tasso nominale annuo 4%, capitale nominale 200 euro, durata due anni e prezzo a pronti di 200 euro; un titolo che rimborsa 100 euro a tre anni al prezzo, contrattato in t 0 e pagabile dopo un anno, di 91 euro. In riferimento allo scadenzario t = {1, 2, 3} anni si determini la struttura per scadenza dei fattori di sconto a pronti, dei tassi di interesse a pronti e dei tassi di interesse a termine. v(0, 1) = v(0, 2) = v(0, 3) = i(0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 3) = % i(0, 0, 1) = % i(0, 1, 2) = % i(0, 2, 3) = % Esercizio 4. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato di titoli obbligazionari, con due contratti: il titolo x, con valore 200 euro e duration 5 anni; il titolo a cedola nulla a un anno y, con valore 400 euro; Si consideri il caso di un investitore con un capitale di 1000 euro. Si determini anzitutto quale è la durata media finanziaria minima D min e quale quella massima D max dei portafogli di questo mercato che l investitore può acquistare senza operare vendite allo scoperto. Infine, nel caso voglia investire tutto il suo capitale in un portafoglio con durata media finanziaria di 4 anni, si determini quante quote α x e α y, dei titoli x e y rispettivamente, deve acquistare. D min = anni D max = anni α x = α y =

7 Esercizio 5. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 ed in riferimento allo scadenzario t = {1, 2, 3} sono quotati i seguenti titoli: x = {10, 10, 10} euro, al prezzo a pronti di 27 euro; y = { 0, 10, 10} euro, al prezzo a pronti di 17.5 euro. Si supponga che il flusso z = {30, 50, 50} euro sia quotato al prezzo a pronti di 117 euro. Si costruisca un arbitraggio non rischioso che coinvolga i due titoli del mercato ed il flusso z, in modo da ottenere un profitto immediato di 10 euro, avendo chiuso in pareggio le posizioni ad istanti successivi. azione (A): acquisto oppure vendita a pronti in 0 di unità del titolo x azione (B): acquisto oppure vendita a pronti in 0 di unità del titolo y azione (C): acquisto oppure vendita a pronti in 0 di unità del titolo z Tabella di payoff : azione (A) (B) (C) totale

8 Esercizio 6. Si consideri l ammortamento di una somma S = 100 euro in 3 anni, a rata annuale posticipata variabile e tasso d ammortamento i = 6% su base annua. Sapendo che C 1 = 30 e R 2 = 50 euro, determinare le altre due rate, decomporre ciascuna rata in quota capitale e quota interesse e calcolare il debito residuo dopo il pagamento di ciascuna rata. [Attenzione: è un ammortamento non standard!] k R k C k I k M k

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