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1 Esercizi di matematica finanziaria 1 Titoli con cedola Esercizio 1.1. Un tesoriere d impresa considera la possibilità d impiego della somma C = 1000 nell acquisto d un titolo, rimborsato alla pari, con cedola annua (tasso cedolare i = 5%) che scade tra m = 3 mesi ed ha attualmente rendimento effettivo composto lordo x = 7%. Calcolare il montante M offerto dopo m mesi dall impiego. Calcolare il valore nominale N acquistato del titolo. Calcolarne il valore secco S al momento dell acquistato. Il montante offerto dall impiego è: M = C(1 + x) m/12 = 1000( ) 3/12 = Il valore nominale acquistato è: N = M 1 + i = = 98.7 Il valore secco al momento dell acquisto è: S = C Ni 12 m 12 = = 93.7 Esercizio 1.2. (Duration) Un titolo paga c 1 = c 2 = 70 tra 1 e 2 anni rispettivamente e poi c 3 = 1070 tra tre anni. Il tasso di mercato corrente è i = 7%. Calcolare il prezzo corrente P del titolo. Calcolare la duration D del titolo. Stimare attraverso D la variazione assoluta P del prezzo corrente indotta da una variazione i = 1% del tasso di mercato =

2 D = P = ( 0.01) 1000 = Esercizio 1.3. Un titolo ha valore nominale 1000, cedole annue con tasso cedolare 12%, scade tra 2 anni e mezzo e sarà rimborsato alla pari. Il suo attuale rendimento annuo è: x = 13% 1. Calcolare il prezzo tel quel attuale A del titolo. 2. Dedurne il corso secco corrispondente A. 3. Calcolare il rendimento immediato r del titolo. 1. I flussi di cassa che il titolo origina sono: Scadenza 1/2 = 0.5 3/2 = 1.5 5/2 = 2.5 Flusso il suo prezzo tel quel è dunque: 2. Il suo corso secco è: A = = / / /2 A = A = = Il rendimento immediato è: r = = % 2

3 Esercizio 1.4. Un titolo con cedole ha valore nominale (e di rimborso) N = Il tasso cedolare dello stesso è g = 8% debbono ancora scadere tre cedole semestrali. La prima scadenza tra m = 2 mesi. Il saggio di rendimento annuo (composto) del titolo è 9%. 1. Determinare i flussi che il titolo genera alle varie scadenze e P, il valore tel quel corrente del titolo. 2. Determinare P, il valore secco corrente del titolo. 3. Calcolare la duration D della sequenza d entrate che il titolo genera. 1. Il flusso che il titolo genera sono i seguenti: Scadenza (anni) Movimento di cassa 2/ / / e, per conseguenza, il prezzo tel quel del titolo è: = / / /12 2. Il suo valore secco è: P = = La duration delle entrate generate dal titoloè: D = / / / = Esercizio 1.5. Si consideri un titolo con cedole che scade tra 8 mesi. Il valore nominale e di rimborso dello stesso è N = Il tasso cedolare è j = 8%. Le cedole sono semestrali. Il suo rendimento annuo effettivo è i = 9%. 1. Calcolare il valore tel quel P. 2. Calcolare il valore secco P. 3. Calcolare la durata media finanziaria D delle entrate che esso genera. 3

4 1. Si ha: = / /12 P = P 4 40 = = D = / / = Esercizio 1.. Un titolo obbligazionario promette il seguente cash-flow: Scadenza Entrata Determinare il suo prezzo odierno (alla data 0) P 0, sulla base del saggio di rendimento annuo effettivo i = 11%. 2. Determinate la duration D del cash-flow. 3. Approssimare, attraverso D, la variazione assoluta P del prezzo provocata da una variazione i = 1% del rendimento annuo effettivo. 1. Si ha: P 0 = = 100 D = = P ( 0.01) = Esercizio 1.7. Si consideri un impiego in un titolo a reddito fisso con le seguenti caratteristiche: valore nominale N = 1000; premio di rimborso R = 10; scadenza m = 8 mesi; TAN j = %, con cedole semestrali. 1. Se ne calcoli il prezzo tel quel P, sapendo che il suo saggio di rendimento annuo effettivo è x = 7.5%. 4

5 2. Se ne calcoli il prezzo secco P. 3. Se ne calcoli il prezzo tel quel proiettato un mese più tardi P, in ipotesi d invarianza del rendimento annuo effettivo. 1. Si ha: P = = / /12 P = P 4 30 = / /12 = Esercizio 1.8. I valori di una quota d un fondo d investimento a varie date sono: Data Valore a Calcolare il rendimento annuo composto r per chi investe da 0 a Determinare per quale valore di a il rendimento annuo composto per chi investe da 0 a 1 è ancora r. 3. Calcolare la duration D del flusso di entrate generato dall investimento che consiste nell acquistare quattro quote del fondo alla data 0, vendendone poi una alla data 1 e tre alla data Si ha: r = = % a = 1000(1 + r) = D = ( ) =

6 Esercizio 1.9. Un obbligazione con valore nominale N = 1000 paga cedole semestrali con tasso cedolare annuo j = %. La sua scadenza è tra 8 mesi. Il suo rendimento annuo effettivo è x = 8%. Determinare il suo prezzo tel quel corrente P. Determinare il suo corso secco corrente P. Determinare la duration D del flusso di cassa che esso genera. D = = / /12 P = P 4 30 = / / =

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