Esercizio 1.1. Il mercato offre oggi al prezzo P = 995 un BOT con valore nominale 1000 e scadenza a 6 mesi.

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1 Esercizi di matematica finanziaria 1 Titoli senza cedola Esercizio 1.1. Il mercato offre oggi al prezzo P = 995 un BOT con valore nominale e scadenza a 6 mesi. 1. Calcolare il rendimento semplice lordo s del titolo. 2. Calcolare il rendimento composto lordo c del titolo. 3. Calcolare il rendimento semplice netto s del titolo nell ipotesi che sugli interessi gravi un imosta con aliquota.5%, dovuta all atto dell acquisto. 1. Il rendimento semplice lordo del titolo è: s = / = 1.005% 2. Il rendimento composto lordo del titolo è: c = ) /6 1 = 1.008% Per calcolare il rendimento semplice netto del titolo, determiniamo dapprima il suo prezzo con imposta inclusa: P = = da cui: s = / = 0.878% Esercizio 1.2. Un buono del tesoro scade tra 1 anno. semplice lordo 7.5% e valore nominale. Ha tasso di rendimento 1. Calcolare il suo prezzo odierno P. 2. Supponendo che il rendimento semplice lordo rimanga fermo, quale sarà il suo prezzo P tra 3 mesi? 3. Sotto tale ipotesi d invarianza di rendimento semplice lordo, qual è il saggio di rendimento semplice r per chi acquisti oggi il titolo al prezzo P e lo rivenda tra tre mesi al prezzo P. 1

2 1. Il prezzo odierno è: P = = Il prezzo a tre mesi, in ipotesi d invarianza del rendimento, è: P = /) = Si ha: r = P P = P 3/ / = % Esercizio 1.3. Si consideri un impiego di tesoreria per 6 mesi, attuato attraverso l acquisto d un BOT che scade tra 9 mesi. La soma impiegata è euro ed il rendimento semplice a 9 mesi) del buono è 5.5%. 1. Calcolare, l ammontare nominale acquistato. 2. Calcolare C, il valore di mercato che il titolo avrà tra 6 mesi in ipotesi d invarianza del suo rendimento semplice. 3. Calcolare il rendimento semplice s dell impiego effettuato a 6 mesi. 1. Il valore nominale è: = ) = L ammontare disponibile a 6 mesi in ipotesi di costanza del rendimento è: C = = Il rendimento semplice dell impiego sui 6 mesi è: s = = 5.43% 2

3 Esercizio 1.4. Si consideri un BOT che scade tra m = 6 mesi con valore nominale = 0 e rendimento semplice annuo lordo r = 10%. 1. Se ne calcoli il prezzo corrente A. 2. Se il titolo sarà venduto tra m = 4 mesi, quale ne sarà il prezzo A, se nel frattempo il suo rendimento semplice r è sceso d un punto percentuale rispetto all originario r? 3. Calcolare il rendimento annuo semplice lordo ρ c lucrato sui 4 mesi di detenzione nelle ipotesi del punto precedente. A = 1 + rm/ = / = A = ove r = r 1% = 9%. Dunque: A = 1 + r m m )/ )/ = Il rendimento semplice ρ s risolve l equazione in ρ: A = A 1 + ρ 4 ) ossia: = ρ 4 ) da cui: ρ s = % Il rendimento composto ρ c soddisfa l equazione: A = A1 + ρ) 4 ossia: da cui: = ρ) 4 ρ c = % 3

4 Esercizio 1.5. Si consideri un impiego di liquidità in BOT. La somma da impiegare è euro L orizzonte di investimento è 2.5 mesi. Il mercato offre un BOT con scadenza 2 mesi e un altro con scadenza 3 mesi. I rendimenti semplici rispettivi sono r 2 = 3% e r 3 = 3.4%. 1. Calcolare i prezzi correnti P 2 e P 3 di euro nominali. Calcolare altresì i valori nominali corrispondenti 2 e 3, alle rispettive scadenze di 2 3 mesi, originati dall impiego della somma di euro. 2. Il tesoriere d impresa ha opinioni precise sull evoluzione dei saggi d interesse. Con riferimento alla scadenza 2 mesi s aspetta di poter reimpiegare per metà mese il nominale del primo buono 2 a tasso 3.35%, mentre s aspetta che il rendimento semplice del secondo tra due mesi e mezzo sarà salito a 3.6%. Calcolare la disponibilità M 2 alla scadenza 2.5, derivante dall acquisto del primo buono e dal reimpiego alle condizioni previste. 3. Calcolare la disponibilità M 3 alla scadenza 2.5, derivante dall acquisto del secondo buono e dalla vendita tra 2.5 mesi alle condizioni previste. Si indichi altresì quale dei due impieghi riesce più conveniente. e: P 2 = / = e P 2 = 2 = = / = ) 2 = e ) 3 = M 2 = ) = Si ha: M 3 = ) = Per conseguenza conviene comprare il secondo BOT. Esercizio 1.6. Un BOT ha valor nominale = 0 e scade tra g = 30 giorni. Il suo tasso annuo di rendimento semplice è r = 4%. 1. Si determini il prezzo odierno P 0 del buono. 4

5 2. Si determini il prezzo P k del buono k giorni più tardi, in ipotesi d invarianza del tasso di rendimento semplice. 3. Qual è il tasso annuo di rendimento semplice ρ k per un investitore che acquisti il buono oggi e lo venda dopo k giorni? 1. Il prezzo odierno del buono è: P 0 = /365 = Il prezzo del buono k giorni più tardi, in ipotesi d invarianza del tasso di rendimento semplice, è: P k = k)/ Il tasso annuo di rendimento semplice per un investitore che acquisti il buono oggi e lo venda dopo k giorni è: ρ k = P k P 0 P 0 k/365 = k)/ k/365 Esercizio 1.7. Un BOT scade tra T anni. Il suo valore corrente è 1 euro. Il saggio annuo di rendimento semplice è r. Indichiamo con r) il corrispondente valore nominale. 1. Individuare l espressione di r). 2. Un investitore programma di vendere il buono a metà della sua vita ossia in T/2). In ipotesi d invarianza del saggio annuo di rendimento semplice, determinare il ricavo nr) da disinvestimento. 3. Calcolare il saggio annuo di rendimento semplice ρr) dell operazione consistente nell acquisto odierno e nella vendita in t/2. nr) = r) = 1 + rt r) 1 + rt/2 = 1 + rt 1 + rt/2 5

6 3. Si ha: ρr) = nr) 1 T/2 = 1+rT 1+rT/2 1 = 2r T/2 2 + rt Esercizio 1.8. Un BOT scade tra 65 giorni. Il suo valore nominale è. Il suo tasso di rendimento annuo semplice è 5%. Determinare il suo prezzo odierno P. Dopo 20 giorni il suo tasso di rendimento annuo semplice è salito al 6% e, per bisogni di liquidità, il titolo viene venduto. Determinare il prezzo di vendita P. Calcolare il tasso di rendimento annuo semplice ρ per l impiego durato 20 giorni. Si ha: Si ha: Si ha: ρ = P = P = /365 = /365 = P P = P 20/ /365 = % Esercizio 1.9. Si consideri un titolo a reddito fisso così caratterizzato valore nominale = 0; premio di rimborso R = 80; scadenza m = 10 mesi; TA j = 5%, con cedole annue. 1. Se ne calcoli il prezzo tel quel P, sapendo che il suo saggio di rendimento annuo effettivo è x = 6%. 2. Se ne calcoli il prezzo secco P. 3. Se ne calcoli il prezzo tel quel proiettato un mese più tardi P, in ipotesi d invarianza del rendimento annuo effettivo. 6

7 3. Si ha: P = / = P = = 9996 P = / = 108 7