Matematica Finanziaria A - corso part time prova d esame del 21 Aprile 2010 modalità A

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1 prova d esame del 21 Aprile 2010 modalità A 1. Un tizio ha bisogno di 600 euro che può chiedere, in alternativa, a due banche: A e B. La banca A propone un rimborso a quote capitale costanti mediante tre rate annue immediate e posticipate al tasso annuo j A = La banca B propone, invece, un rimborso a rate costanti composto da due rate immediate e posticipate al tasso j B = Usando il regime dell interesse composto: a) redigere il piano di ammortamento relativo alla banca A, verificando la condizione iniziale di chiusura; b) redigere il piano di ammortamento relativo alla banca B; c) se il tizio potesse indebitarsi mediante scoperto in conto corrente ad un tasso annuo i = 0.09, quale forma di finanziamento è per lui preferibile, in termini di Valore Attuale Netto? 2. Una società finanziaria propone oggi (t = 0) il seguente investimento: capitale iniziale 800 euro, rimborso mediante due rate di ammontare R 1 la prima e R 2 = 1.5R 1 la seconda; incasso della prima rata tra un anno, incasso della seconda tra due anni. Sapendo che il regime finanziario che regola tale investimento è quello dell interesse semplice e che il tasso annuo è fissato in i = 0.05: a) calcolare il valore delle rate R 1 e R 2 ; b) un cliente della finanziaria decide di accettare l investimento; mano a mano che le rate vengono pagate il cliente le investe nel suo conto corrente che gli garantisce, in regime di interesse composto, un tasso annuo pari a Calcolare il valore montante delle due rate al tempo ; c) il cliente teme che l uso del regime dell interesse semplice per il calcolo delle due rate possa essere stato per lui svantaggioso. Determinare quale tra le due operazioni (investimento di 800 euro nella proposta della finanziaria e reinvestimento dei flussi in conto corrente fino al tempo o deposito per quattro anni della somma iniziale direttamente in conto corrente) si rivela la migliore per il cliente.. Dato l investimento flusso x scadenza (in anni) a) determinare per quale flusso x il tasso interno dell investimento è pari a 0.1; b) usando il valore x trovato, rappresentare graficamente il VAN dell investimento in funzione del costo opportunità del capitale i (se non si è riusciti a trovare x, porre x = 62); c) un tizio con costo opportunità del capitale i = 0.0 ha a disposizione una ricchezza iniziale W 0 = 80 e sta valutando se ricorrere ad un finanziamento per intraprendere l investimento. Tale finanziamento deve essere rimborsato mediante un unico pagamento da effettuarsi al tempo 1. Per quale tasso annuo di finanziamento j l Adjusted Present Value dell operazione complessiva è uguale a 2? (se non si è riusciti a trovare x, porre x = 62). Viene oggi (t = 0) emesso un titolo obbligazionario a cedole annue costanti che paga un premio di rimborso alla sua scadenza T = 20/ pari a, ha valore nominale 100 e tasso cedolare i = 0.0; il titolo ha, oggi, tasso annuo effettivo di rendimento x = Applicando il regime dell interesse composto: a) determinare ammontare e scadenza dei flussi futuri generati dal titolo; b) calcolare, applicando il tasso annuo effettivo di rendimento, corso tel quel, corso secco e durata media finanziaria del titolo; c) un investitore ha comperato il titolo alla sua emissione e decide di venderlo dopo quattro mesi. Ipotizzando che in quell istante il tasso annuo effettivo di rendimento del mercato sarà y = 0.05, calcolare il prezzo del titolo tra quattro mesi ed il tasso interno di rendimento dell operazione effettuata dall investitore. Tale tasso risulta maggiore o minore del tasso di rendimento effettivo iniziale del titolo? Per quale motivo? Giustificare la risposta data.

2 prova d esame del 21 Aprile 2010 modalità B 1. Un tizio ha bisogno di 900 euro che può chiedere, in alternativa, a due banche: A e B. La banca A propone un rimborso a quote capitale costanti mediante tre rate annue immediate e posticipate al tasso annuo j A = La banca B propone, invece, un rimborso a rate costanti composto da due rate immediate e posticipate al tasso j B = Usando il regime dell interesse composto: a) redigere il piano di ammortamento relativo alla banca A, verificando la condizione iniziale di chiusura; b) redigere il piano di ammortamento relativo alla banca B; c) se il tizio potesse indebitarsi mediante scoperto in conto corrente ad un tasso annuo i = 0.09, quale forma di finanziamento è per lui preferibile, in termini di Valore Attuale Netto? 2. Una società finanziaria propone oggi (t = 0) il seguente investimento: capitale iniziale 900 euro, rimborso mediante due rate di ammontare R 1 la prima e R 2 = 1.5R 1 la seconda; incasso della prima rata tra un anno, incasso della seconda tra due anni. Sapendo che il regime finanziario che regola tale investimento è quello dell interesse semplice e che il tasso annuo è fissato in i = 0.0: a) calcolare il valore delle rate R 1 e R 2 ; b) un cliente della finanziaria decide di accettare l investimento; mano a mano che le rate vengono pagate il cliente le investe nel suo conto corrente che gli garantisce, in regime di interesse composto, un tasso annuo pari a 0.0. Calcolare il valore montante delle due rate al tempo ; c) il cliente teme che l uso del regime dell interesse semplice per il calcolo delle due rate possa essere stato per lui svantaggioso. Determinare quale tra le due operazioni (investimento di 900 euro nella proposta della finanziaria e reinvestimento dei flussi in conto corrente fino al tempo o deposito per tre anni della somma iniziale direttamente in conto corrente) si rivela la migliore per il cliente.. Dato l investimento flusso x scadenza (in anni) a) determinare per quale flusso x il tasso interno dell investimento è pari a 0.1; b) usando il valore x trovato, rappresentare graficamente il VAN dell investimento in funzione del costo opportunità del capitale i (se non si è riusciti a trovare x, porre x = 5); c) un tizio con costo opportunità del capitale i = 0.0 ha a disposizione una ricchezza iniziale W 0 = 160 e sta valutando se ricorrere ad un finanziamento per intraprendere l investimento. Tale finanziamento deve essere rimborsato mediante un unico pagamento da effettuarsi al tempo 1. Per quale tasso annuo di finanziamento j l Adjusted Present Value dell operazione complessiva è uguale a? (se non si è riusciti a trovare x, porre x = 5). Viene oggi (t = 0) emesso un titolo obbligazionario a cedole annue costanti che paga un premio di rimborso alla sua scadenza T = 20/ pari a, ha valore nominale 100 e tasso cedolare i = 0.05; il titolo ha, oggi, tasso annuo effettivo di rendimento x = 0.0. Applicando il regime dell interesse composto: a) determinare ammontare e scadenza dei flussi futuri generati dal titolo; b) calcolare, applicando il tasso annuo effettivo di rendimento, corso tel quel, corso secco e durata media finanziaria del titolo; c) un investitore ha comperato il titolo alla sua emissione e decide di venderlo dopo tre mesi. Ipotizzando che in quell istante il tasso annuo effettivo di rendimento del mercato sarà y = 0.05, calcolare il prezzo del titolo tra tre mesi ed il tasso interno di rendimento dell operazione effettuata dall investitore. Tale tasso risulta maggiore o minore del tasso di rendimento effettivo iniziale del titolo? Per quale motivo? Giustificare la risposta data.

3 prova d esame del 21 Aprile soluzioni - modalità A 1. Le risposte sono: (a) la quota capitale è C = 600 = 200. Il piano d ammortamento allora è = = = 1 21 e la condizione di chiusura iniziale è verificata in quanto = 600. (b) la rata costante del secondo ammortamento vale e quindi il piano d ammortamento è R = 600 a = = = = (c) il VAN dei due finanziamenti sono G A (0.09) = = 20.8 e G B (0.09) = = 8.1; dato che G A (0.09) > G B (0.09) il finanziamento A è il migliore. 2. Le risposte sono: (a) l equivalenza finanziaria tra capitale iniziale e rate future è 800 = R R da cui si ricava R 1 = 5.2 e, da questa, R 2 = = (b) il valore capitalizzato al tempo delle due rate è = (c) dato che il valore al tempo del capitale iniziale è = < 905.7, l investimento migliore è quello proposto dalla finanziaria.. Le risposte sono: (a) va risolta l equazione da cui x = x = 0

4 (b) il grafico della funzione VAN G (i) = i + 55 (1+i) 2 è y x 0 60 dato che G (0) = = 5, e che lim i + e quindi la funzione G (i) è decrescente. ( i + 55 (1 + i) 2 ) = 100 G (i) = 60 (1 + i) < 0 per i > 1 (1 + i) (c) il finanziamento necessario per intraprendere l investimento è f 0 = = 20 ed il rimborso al tempo 1 ammonta a f 1 = 20 (1 + j). L APV è ed è uguale a 2 per j = Le risposte sono: (1 + j) = 2 (a) l ultima cedola ed il valore di rimborso vengono pagate alla scadenza (in 20/); la penultima cedola viene pagata in 20/ 1 = 8/. Non ci sono altri flussi. L ammontare delle cedole annue è =. I flussi del titolo sono quindi (b) il corso tel quel è flussi scadenze 0 8/ 20/ C 0 = = il rateo ammonta a r = = 1. e quindi il corso secco è C = = La durata media finanziaria del titolo è D = (c) il prezzo di vendita dopo quattro mesi sarà C = = 1.05 ( 8 ) ( 20 ) = 10.8 e quindi il tasso di rendimento dell investimento y = lo si ricava risolvendo l equazione (1 + y) = Tale tasso è maggiore di quelli effettivi di rendimento in quanto la riduzione del tasso di valutazione da 0.05 a 0.05 comporta un maggior valore in / del titolo rispetto al valore che si sarebbe ottenuto considerando il tasso iniziale 0.05.

5 prova d esame del 21 Aprile soluzioni - modalità B 1. Le risposte sono: (a) la quota capitale è C = 900 = 00. Il piano d ammortamento allora è = = = 2 2 e la condizione di chiusura iniziale è verificata in quanto = 900. (b) la rata costante del secondo ammortamento vale e quindi il piano d ammortamento è (c) il VAN dei due finanziamenti sono R = 900 a = = = G A (0.09) = = e G B (0.09) = = 2.5; dato che G B (0.09) > G A (0.09), il finanziamento B è il migliore. 2. Le risposte sono: (a) l equivalenza finanziaria tra capitale iniziale e rate future è 900 = R R da cui si ricava R 1 = e, da questa, R 2 = = (b) il valore capitalizzato al tempo delle due rate è = (c) dato che il valore al tempo del capitale iniziale è = 98.5 < 997.8, l investimento migliore è quello proposto dalla finanziaria.. Le risposte sono: (a) va risolta l equazione da cui x = x = 0

6 (b) il grafico della funzione VAN G (i) = i (1+i) 2 è y x dato che G (0) = = 10, che e che lim i + e quindi la funzione G (i) è decrescente. ( i (1 + i) 2 ) = 200 G (i) = 0 (1 + i) < 0 per i > 1 (1 + i) (c) il finanziamento necessario per intraprendere l investimento è f 0 = = 0 ed il rimborso al tempo 1 ammonta a f 1 = 0 (1 + j). L APV è ed è uguale a per j = Le risposte sono: (1 + j) = (a) l ultima cedola ed il valore di rimborso vengono pagate alla scadenza (in 20/); la penultima cedola viene pagata in 20/ 1 = 8/. Non ci sono altri flussi. L ammontare delle cedole annue è = 5. I flussi del titolo sono quindi (b) il corso tel quel è il rateo ammonta a flussi scadenze 0 8/ 20/ C 0 = = r = 5 = e quindi il corso secco è C = = La durata media finanziaria del titolo è D = (c) il prezzo di vendita dopo quattro mesi sarà C = = 1.05 ( 8 ) ( 20 ) = e quindi il tasso di rendimento dell investimento y = lo si ricava risolvendo l equazione (1 + y) = Tale tasso è maggiore di quelli effettivi di rendimento in quanto la riduzione del tasso di valutazione da 0.0 a 0.05 comporta un maggior valore in / del titolo rispetto al valore che si sarebbe ottenuto considerando il tasso iniziale 0.0.

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