Esercizi svolti in aula

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1 Esercizi svolti in aula 23 maggio 2012 Esercizio 1 (Esercizio 1 del compito di matematica finanziaria 1 (CdL EA) del ) Un individuo vuole accumulare su un conto corrente la somma di Euro al tempo T=2 anni. A tal fine versa: oggi (t = 0) ; dopo tre mesi e, a partire dall epoca t=6 mesi, 9 rate costanti bimestrali anticipate. Supponendo che il conto corrente riconosca un tasso del 7% annuo, determinare: a) l importo delle rate bimestrali. All epoca T=2 anni, l individuo decide di acquistare un automobile il cui prezzo è pari a A tal fine ha la possibilità di versare come anticipo la somma accumulata in precedenza e di coprire la parte restante del costo dell automobile tramite il versamento di 6 rate semestrali posticipate di importo pari a Euro. Determinare: b) il tasso annuo a cui avviene l operazione di compravendita dell automobile Esercizio 2 (Esercizio 2 del compito di matematica finanziaria 1 (CdL EA) del ) Una società acquista un immobile del valore di Euro. Parte del costo viene ricavato attraverso l emissione sul mercato di 125 titoli a cedola fissa (TCF). Ogni TCF emesso ha le seguenti caratteristiche: Valore Facciale Euro; Cedola semestrale; Scadenza 2,5 anni; Tasso cedolare del 5% nominale annuo; Tasso di rivalutazione del 4% annuo. La società finanzia la parte rimanente del valore dell immobile attraverso un mutuo al tasso del 3% annuo caratterizzato da rate semestrali costanti posticipate. Supponendo che la società non possa pagare una rata semestrale superiore a Euro, si determini: a) il numero di versamenti effettuati dalla società per estinguere il mutuo ed il relativo importo; b) il piano d ammortamento per il rimborso del mutuo contratto. Esercizio 3 (Esercizio 2 del compito di matematica finanziaria 1 (CdL EA) del ) Il signor Verdi acquista oggi (t=0): 200 quote di TCN con valore facciale pari a Euro 100 e scadenza in t=2,5 anni; 5 quote di TCF con cedole trimestrali, scadenza 1,5 anni, valore nominale 1000 e tasso nominale annuo j=15%.

2 a) Calcolare la scadenza media aritmetica e la duration del primo ordine delle due operazioni finanziarie in t = 0. b) A fronte di un portafoglio Z composto da quote dei due titoli descritti in precedenza, calcolare la Variazione Percentuale del Prezzo di tale portafoglio a fronte della variazione del tasso annuo di interesse pari a Di = 0,075 dopo 1 bimestre. Descrivere come cambia il valore del portafoglio in seguito alla variazione di tasso. Utilizzare un tasso annuo del 5,5% per tutti i calcoli finanziari. Esercizio 4 In un mercato caratterizzato da una struttura piatta dei tassi d interesse con tasso effettivo annuo di interesse pari al 6% siano disponibili i seguenti titoli: Un TCN con scadenza in t = 6 mesi e valore facciale pari a 1000 euro Un TCN con scadenza in t = 12 mesi e valore facciale pari a 1000 euro Un TCF con scadenza in t = 3 anni, cedole semestrali, tasso cedolare nominale annuo del 5% e valore facciale pari a 1000 euro a) Determinare i prezzi dei 3 titoli b) Determinare la duration dei 3 titoli c) Ipotizzando che un investitore detenga già 15 quote del primo titolo si determinino le quote da investire nel secondo e terzo titolo se si desidera ottenere un portafoglio di valore pari a euro e duration pari a 2 22 maggio 2012 Esercizio 5 Date le seguenti alternative di investimento: x1={-950;300;300;300;300}/t1={0;1;2;3;4} e x2={- 950;80;80;80;80}/t1={0;1;2;3;4} si valuti quali delle due sia preferibile in base a: a) Il criterio del VAN al tasso di interesse del 7% b) Il criterio del VAN al tasso di interesse del 9% c) Il criterio del TIR Esercizio 6 (Esercizio 1 del compito di matematica finanziaria 1 (CdL EA) del ) Un individuo contrae un prestito di da rimborsare mediante 4 rate trimestrali posticipate di importo pari a a) Assumendo che l operazione finanziaria sia equa si costruisca il piano d ammortamento. b) Supponendo che il prestito venga rimborsato in due rate semestrali ciascuna di importo pari a , stabilire quale delle due alternative risulta più conveniente in base al criterio del TIR.

3 Esercizio 7 (Esercizio 2 del compito di matematica finanziaria 1 (CdL EA) del ) In un mercato sono presenti 3 titoli con le seguenti caratteristiche: Titolo 1: Titolo a Cedola Nulla, prezzo 1.000, valore di rimborso di e duration 3,2 anni; Titolo 2: Prezzo e duration 2,6 anni; Titolo 3: Prezzo 950 ; a) Si determini il numero di quote di Titolo 1 e Titolo 2 in modo tale che il portafoglio così formato abbia valore pari a e duration pari a 2,8 anni. b) Si consideri un portafoglio formato da 5 quote di Titolo 1 e 3 quote di Titolo 3. Tale portafoglio ha duration pari a 3,5 anni. Si determini la duration del titolo 3. c) Si dica, motivando la risposta, quale tra i titoli presenti nel mercato è meno sensibile rispetto ad una eventuale variazione del tasso interno di rendimento. d) Si determini il tasso di interesse del Titolo 1 su base annua. 21 maggio 2012 Esercizio 8 Si determini il valore attuale di una rendita immediata posticipata annua di durata 20 anni con rata iniziale di 1000 euro e crescente in progressione aritmetica di ragione 100 euro usando un tasso di interesse valutazione del 4% annuo. Esercizio 9 Per acquistare un appartamento un individuo chiede un prestito di euro ad una banca che concede un mutuo per 20 anni con rate mensili posticipate costanti al tasso di interesse effettivo annuo del 6,5%. a) Si determini l importo della rata b) Si determini a partire da quale rata l importo della quota capitale sarà superiore alla quota intessi c) Supponendo che il debitore non sia in grado di pagare rate mensili di importo superiore ad 800 euro per quanti anni (interi) dovrà essere ammortizzato il prestito Esercizio 10 Per acquistare un appartamento un individuo chiede un prestito di euro ad una banca che concede un mutuo per 25 anni con rate annue posticipate costanti al tasso di interesse effettivo annuo del 7%. a) Si determini l importo della rata b) Si determini la duration dell ammortamento c) Calcolare il debito residuo all epoca t=8

4 d) Supponendo in t=8 in tasso di interesse annuo sul mercato dei mutui sia pari al 5% calcolare qual è il valore del mutuo per la banca creditrice scomponendolo in nuda proprietà ed usufrutto. Dire, motivando la risposta, se il debitore ha interesse o no a ricontrattare il mutuo. Altri esercizi Esercizio 11 In un mercato caratterizzato da una struttura piatta dei tassi d interesse siano disponibili i seguenti titoli: Un TCN con scadenza in t = 3 anni, valore facciale pari a 1000 euro e prezzo pari a 905 euro Un TCF con scadenza in t = 3 anni, cedole annue, tasso cedolare annuo del 4% e valore facciale pari a 1000 euro a) Si calcoli il prezzo del TCF ipotizzando che esso sia caratterizzato dallo stesso TIR del titolo TCN. b) Si determini la duration del TCF c) Si determini la variazione percentuale del prezzo del TCF in t=0 a fronte di una variazione del tasso di interesse pari a 0,0025. d) Si calcoli il nuovo prezzo del TCF alla luce del nuovo tasso di interesse e lo si confronti con quello approssimato tramite la duration, si commenti il risultato Esercizio 12 Data la seguente opportunità di investimento: x={-4000;3000;2500}/t={0;3;6} con tempo espresso in base annua, si determini il tasso interno di rendimento. Esercizio 13 Date le seguenti opportunità di investimento: x1={-5000;6500}/t1={0;4}; x2={- 5000;500;500;5000}/t1={0;1;2;4}; x3={-5000;250;250;250;5250}/t1={0;1;2;3;4}, con tempo espresso in base annua a) Si stabilisca in base al criterio del TIR quale opportunità sia preferibile per un investitore b) Si calcoli la duration della terza opportunità di investimento Esercizio 14 Sul mercato sia presente un TCF con scadenza in t= 1,5, valore facciale 1000, tasso cedolare semestrale pari al 3% e prezzo pari a 980 a) si determini il tasso interno di rendimento. b) Si determini la duration dell investimento

5 c) Si determini, con approssimazione del primo ordine, la variazione assoluta di valore del titolo a fronte di una variazione del tasso di interesse pari a 0,01 Esercizio 15 Data una rendita immediata semestrale posticipata di durata pari a 10 semestri con rata costante pari a 50 euro e valore attuale pari a 400 euro a) si determini il suo tasso interno di rendimento; b) Si determini la duration della rendita. Esercizio 16 Un prestito di euro è ammortizzato con 10 rate costanti annuali posticipate al tasso di interesse effettivo annuo del 6%: a) Si determini la rata dell ammortamento; b) Si trovi la terza quota capitale e la quarta quota interessi; c) Se in t = 5 il tasso di interesse effettivo annuo prevalente sul mercato è il 4% si determini il valore del prestito per il creditore e la nuda proprietà. Esercizio 17 Date le seguenti alternative di investimento: x1={-300;100;200;100;50}/t1={0;2;3;4;5} e x2={- 300;50;50;50;50;250}/t2={0;1;2;3;4;5} con il tempo espresso in anni, si valuti quali delle due sia preferibile in base al criterio del VAN al tasso di interesse annuo del 5%. Esercizio 18 Un prestito di euro viene ammortizzato in ammortamento a rata costante in 8 rate annue posticipate al tasso di interesse effettivo annuo del 6%, a) Si rappresenti il piano d ammortamento Si ipotizzi che in t= 3 debito sia ricontrattato e ammortizzato in ammortamento a quota capitale costante in 6 anni al tasso effettivo annuo di interesse del 5% b) Si rappresenti il nuovo piano d ammortamento Esercizio 19 In regime di capitalizzazione esponenziale al tasso effettivo annuo del 6%, il montante in t= 15 di due rendite, la prima immediata anticipata con rate mensili di 300 euro di durata 5 anni ed inizio in t=0, la seconda differita di 5 anni rispetto alla prima, anticipata con rate mensili di 600 euro di durata 10 anni,

6 viene impiegato per acquistare una rendita semestrale posticipata di durata 10 anni. Si determini l importo della rata semestrale. Esercizio 20 In un mercato in cui vige una struttura piatta con tasso annuo dell 1%, esistono un TCF con cedole annue pari a 2, valore facciale 100 e scadenza 3 anni e un TCN con valore facciale 100 e scadenza 3 mesi. Determinare la variazione percentuale del valore del portafoglio costituito da 3 unità del TCF e 5 del TCN se il tasso di interesse subisce una variazione pari a i = Esercizio 21 Un TCN ha prezzo 99, scadenza 0.25 anni e valore facciale 100. Un TCF ha prezzo 85, scadenza 10 anni, valore facciale 100 e cedole semestrali. Si determini quale deve essere il tasso nominale annuo del TCF affinché i due titoli abbiano lo stesso TIR. Esercizio 22 Si dimostri se la seguente legge di capitalizzazione: m(t,s) =, ( ) è uniforme rispetto al tempo e scindibile. Esercizio 23 Si dimostri se la seguente legge di capitalizzazione: m(t,s)=1+3i(s-t) è uniforme rispetto al tempo e scindibile.

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