MATEMATICA FINANZIARIA A.A Prova del 4 luglio Esercizio 1 (6 punti)

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1 MATEMATICA FINANZIARIA A.A Prova del 4 luglio 2008 Nome Cognome Matricola Esercizio 1 (6 punti) Dato un debito di , lo si voglia rimborsare mediante il pagamento di 12 rate mensili posticipate costanti differite di 6 mesi, in regime di sconto commerciale, al tasso annuo del 6%. Calcolare la rata mensile e verificare se il TAE è maggiore o minore del 7% annuo composto. Tracciato per la soluzione Detto R l importo della rata incognita, deve essere soddisfatta la seguente equazione contenente l incognita R ed i dati noti del problema:, che, risolta, dà R = Se il TAE dell operazione fosse il 7% annuo composto, dovrebbe essere soddisfatta la seguente identità: Poiché è invece verificata la disuguaglianza Significa che il TAE è maggiore/minore del 7%. 1

2 Esercizio 2 (6 punti) Un portafoglio del valore di è composto di due 0-coupon bonds di durate 3 e 6 anni, in un mercato con struttura piatta a tasso di interesse 6%, nelle misure del 30% investita nel primo titolo e 70% nel secondo titolo. Calcolare la variazione effettiva di valore del portafoglio in conseguenza di una variazione negativa del tasso di mercato dello 0.5% e la sua approssimazione del 1 ordine mediante la duration. Tracciato per la soluzione Le somme A 1 e A 2 investite nei due ZCB sono: A 1 = A 2 = Il valor nominale N 1 investito nel 1 ZCB è: N 1 = Il valor nominale N 2 investito nel 2 ZCB è: N 2 = Le somme A 1 e A 2 investite nei due ZCB, per effetto della variazione di tasso, diventano: A 1 = A 2 = Il valore A del portafoglio diventa: A = La variazione effettiva A del portafoglio è dunque: A = La duration D(6%) del portafoglio è: D(6%) = L approssimazione della variazione di valore del portafoglio mediante la duration è la seguente: A 2

3 Esercizio 3 (5 punti) Un risparmiatore, disponendo di un importo di , vuole avviare un piano di risparmio al tasso di interesse anno composto costante del 6% con 5 rate posticipate, mediante le quali costituire un montante di fra 10 anni. Calcolare la rata. Tracciato per la soluzione Grazie alla disponibilità iniziale di , il montante obiettivo residuo all istante 0 si riduce a.. calcolato mediante la formula Il calcolo della rata costante R da versare periodicamente per raggiungere l obiettivo al 10 anno avviene attraverso la seguente espressione e vale: R = 3

4 Esercizio 4 (6 punti) E dato un portafoglio con due soli titoli, i cui rendimenti aleatori hanno valori attesi µ 1 = 6%, µ 2 =8%, varianze σ 1 2 = 0.49%, σ 2 2 =0.64%. Calcolare la varianza del rendimento del portafoglio composto dei due titoli nelle percentuali α e 1-α sapendo che il coefficiente di correlazione è eguale a 1. Calcolare il portafoglio privo di vendite allo scoperto di varianza minima, il rendimento atteso corrispondente e dare l interpretazione finanziaria del risultato.. Tracciato per la soluzione Detti X 1 e X 2 i rendimenti aleatori dei due titoli e Z il rendimento del portafoglio composto nelle percentuali α e 1-α, il rendimento atteso µ Z la varianza σ Z 2 del rendimento del portafoglio sono i seguenti: µ Z = σ Z 2 = Per calcolare il portafoglio privo di vendite allo scoperto avente minima varianza si procede nel modo seguente: In corrispondenza a tale portafoglio il valore atteso µ Z * e la varianza σ Z 2 * valgono: µ Z * = σ Z 2 * = 4

5 Esercizio 5 (6punti) Siano dati 2 titoli con cedole annue e durata 2 anni dalle seguenti caratteristiche: - le cedole del primo titolo sono calcolate al tasso annuo cedolare del 7% ed il corso è per 100 di nominale - le cedole del secondo titolo sono calcolate al tasso annuo cedolare dell 6% ed il corso è per 100 di nominale Si chiede di individuare la struttura dei tassi implicita, individuabile mediante il principio di non arbitraggio Tracciato per la soluzione Detti B(0,1) e B(0,2) i prezzi degli 0-coupon virtuali presenti sul mercato, devono valere le seguenti equazioni: Che, risolte, danno I tassi di interesse a scadenza h (0) (0,1) e h (0) (0,2) corrispondenti sono i seguenti: 5

6 Esercizio 6 (4 punti) Dati i due investimenti: I 1 = {(-1000,0), (800, 1), (700, 2), (300, 3)} I 2 = {(-1000,0), (700, 1), (600, 2), (500, 3)} Calcolarne il punto di Fisher. Tracciato per la soluzione L equazione che permette di calcolare il tasso di interesse del punto di Fisher è la seguente: Essa ammette/non ammette soluzioni, che nel caso esistano, sono 6

7 MATEMATICA FINANZIARIA A.A Prova del 4 luglio 2008 Esercizio 1 (6 punti) Dato un debito di , lo si voglia rimborsare mediante il pagamento di 12 rate mensili posticipate costanti differite di 6 mesi, in regime di sconto commerciale, al tasso annuo del 6%. Calcolare la rata mensile e verificare se il TAE è maggiore o minore del 7% annuo composto. Traccia di soluzione Detto R l importo della rata incognita, deve essere soddisfatta la seguente equazione contenente l incognita R ed i dati noti del problema: = 12R R = = Se il TAE dell operazione fosse il 7% annuo composto, dovrebbe essere soddisfatta la seguente identità: = Poiché è invece verificata la disuguaglianza > = Significa che il TAE è minore del 7%, precisamente pari al 6.408%. 7

8 Esercizio 2 (6 punti) Un portafoglio del valore di è composto di due 0-coupon bonds di durate 3 e 6 anni, in un mercato con struttura piatta a tasso di interesse 6%, nelle misure del 30% investita nel primo titolo e 70% nel secondo titolo. Calcolare la variazione effettiva di valore del portafoglio in conseguenza di una variazione negativa del tasso di mercato dello 0.5% e la sua approssimazione del 1 ordine mediante la duration. Traccia di soluzione Le somme A 1 e A 2 investite nei due ZCB sono: A 1 = = , A 2 = = Il valor nominale N 1 investito nel 1 ZCB è: N 1 = = Il valor nominale N 2 investito nel 2 ZCB è: N 2 = = Le somme A 1 e A 2 investite nei due ZCB, per effetto della variazione di tasso, diventano: A 1 = A 2 = Il valore A del portafoglio diventa: A = = La variazione effettiva A del portafoglio è dunque: A = La duration D(6%) del portafoglio è: D(6%) = = 5.1 L approssimazione della variazione di valore del portafoglio mediante la duration è la seguente: A /1.06 =

9 Esercizio 3 (5 punti) Un risparmiatore, disponendo di un importo di , vuole avviare un piano di risparmio al tasso di interesse anno composto costante del 6% con 5 rate posticipate, mediante le quali costituire un montante di fra 10 anni. Calcolare la rata. Traccia di soluzione Grazie alla disponibilità iniziale di , il montante obiettivo residuo all istante 0 si riduce a N (0) = = La rata costante R da versare periodicamente per raggiungere l obiettivo al 10 anno vale: R = s =

10 Esercizio 4 (6 punti) E dato un portafoglio con due soli titoli, i cui rendimenti aleatori hanno valori attesi µ 1 = 6%, µ 2 =8%, varianze σ 1 2 = 0.49%, σ 2 2 =0.64%. Calcolare la varianza del rendimento del portafoglio composto dei due titoli nelle percentuali α e 1-α sapendo che il coefficiente di correlazione è eguale a 1. Calcolare il portafoglio privo di vendite allo scoperto di varianza minima, il rendimento atteso corrispondente e dare l interpretazione finanziaria del risultato.. Con i dati del problema, la varianza è la seguente: σ Traccia di soluzione ( α ) 2 + 2α ( 1 α ) = [ 0.07α ( )] 2 2 =.0049α Z 0 α Il minimo di un quadrato perfetto vale 0, perciò α deve soddisfare la seguente equazione: 0.07α+(1-α)0.08 = 0, si ottiene α* = 8 La soluzione trovata, >1, è non ammissibile e perciò la varianza minima è 0.49%, ottenibile mediante il portafoglio composto del solo 1 titolo, con α* = 100% e µ Z * = 6% σ Z *2 = 49% 10

11 Esercizio 5 (6punti) Siano dati 2 titoli con cedole annue e durata 2 anni dalle seguenti caratteristiche: - le cedole del primo titolo sono calcolate al tasso annuo cedolare del 7% ed il corso è per 100 di nominale - le cedole del secondo titolo sono calcolate al tasso annuo cedolare dell 6% ed il corso è per 100 di nominale Si chiede di individuare la struttura dei tassi implicita, individuabile mediante il principio di non arbitraggio Traccia di soluzione Detti B(0,1) e B(0,2) i prezzi degli 0-coupon virtuali presenti sul mercato, devono valere le seguenti equazioni: = 6B(0,1) + 106B(0,2) = 7B(0,1) + 107B(0,2) Il sistema di equazioni, risolto nelle incognite B(01,) e B(0,2), dà le seguenti soluzioni: B B ( 0,1) ( 0,2) 0 ( 0,1) 0 ( 0,2) = = 0, h = 6% h = 6.5% Detti B(0,1) e B(0,2) i prezzi degli 0-coupon virtuali presenti sul mercato, devono valere le seguenti equazioni: Che, risolte, danno I tassi di interesse a scadenza h (0) (0,1) e h (0) (0,2) corrispondenti sono i seguenti: 11

12 Esercizio 6 (4 punti) Dati i due investimenti: I 1 = {(-1000,0), (800, 1), (700, 2), (300, 3)} I 2 = {(-1000,0), (700, 1), (600, 2), (500, 3)} Calcolarne il punto di Fisher. Traccia di soluzione L equazione che permette di calcolare il tasso di interesse del punto di Fisher è la seguente: (1+i) (1+i) (1+i) = (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 200 = 0 Essa ammette unica soluzione i* = 0 12

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