MATEMATICA FINANZIARIA A.A Prova dell 8 febbraio Esercizio 1 (6 punti)

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1 MATEMATICA FINANZIARIA A.A Prova dell 8 febbraio 008 Nome Cognome Maricola Esercizio (6 puni) La vendia raeale di un bene di valore 000 prevede il pagameno di rae mensili posicipae cosani calcolae al asso di scono commerciale annuo dell 8%. Calcolare la raa cosane e dire se, in regime di ineressi composi, il asso annuo effeivo del conrao è maggiore del 0%. Tracciao per la soluzione Dea R la raa del conrao, essa soddisfa l equazione, che, risola, dà R = La condizione asso annuo effeivo del conrao > 0% si raduce nella condizione Essa risula/non risula soddisfaa Esercizio (5 puni) Uno 0-coupon bond di duraa 5 anni è emesso al asso di ineresse composo del 6% e rivenduo dopo 5 anni al asso del 7%. Calcolare il asso annuo composo di compravendia. Tracciao per la soluzione Il prezzo di sooscrizione (0,5) per unià di nominale è pari a (0,5) = Il prezzo di rivendia (5,5) per unià di nominale è pari a (5,5) = Il asso di rendimeno composo r 0,5 da compravendia è il seguene:

2 Esercizio (5 puni) Un soggeo conrae un muuo di 000 che si impegna a rimborsare in rae annue posicipae ricorrendo ad un ammorameno a quoe di capiale cosani. Redigere il piano di ammorameno nell ipoesi che il asso conrauale annuo, variabile, risuli, nei re anni, pari a 0%, %, 8%.. Verificare la condizione di chiusura finanziaria finale. Tracciao per la soluzione Per sendere il piano di ammorameno a quoe di capiale cosani facciamo riferimeno alla condizione di chiusura, che si formula nel modo seguene: La quoa di capiale si deermina nel seguene modo: e vale Le formule di ricorrenza uilizzae per l inero piano di ammorameno sono (N!indicare in modo esplicio il asso di ineresse uilizzao per calcolare le quoe di ineresse): Il piano complessivo: D I C R 0 La condizione di chiusura finanziaria finale richiede: Essa è soddisfaa perché

3 Esercizio 4 (5 puni) E dao un porafoglio con due soli ioli, i cui rendimeni, aleaori, hanno valori aesi µ = 6%, µ =8%, varianze σ = 0.49%, σ =0.64% e coefficiene di correlazione pari a. Scrivere l espressione della varianza del rendimeno del porafoglio composo dei due ioli nelle percenuali α e -α, calcolare il coefficiene α* che rende minima la varianza del porafoglio. Tracciao per la soluzione Dei X e X i rendimeni aleaori dei due ioli e Z = αx + (-α)x il rendimeno del porafoglio composo nelle percenuali α e -α, l espressione per il calcolo della varianza σ Z del rendimeno del porafoglio è la seguene: σ Z = Per oenere il minimo di ale funzione si procede nel modo seguene: Si oiene α* = Il valore di ale minimo è σ Z * = Esercizio 5 (6puni) Siano dai ioli a reddio oalmene incorporao scadeni a, anni, soo l ipoesi che la sruura sia piaa all inerno dei singoli anni. Il secondo iolo viene emesso al prezzo (0,) = 0,9 per ogni unià di nominale. Sul mercao esise un erzo iolo il cui prezzo di non arbiraggio è Ques ulimo iolo scade ra 8 mesi e paga cedole annuali posicipae con asso cedolare dell 8% annuo ed è rimborsao al valore nominale pari a 000. Calcolare il prezzo (0,) per unià di valor nominale del primo iolo, in scadenza fra un anno. Tracciao per la soluzione I faori di scono nel primo e nel erzo semesre, rispeivamene denoai con (0,/) (0,/), in funzione dei faori di scono (0,) e (0,) derivani dagli 0-coupon sul mercao e grazie all ipoesi di sruura piaa nei singoli anni, sono (0,/) = (0,/) = Il iolo con cedole dà luogo ai segueni flussi di cassa, denoai con coppie (a,), essendo a l imporo moneario con segno per l invesiore e l isane, misurao in anni, in cui queso avviene:

4 Per il principio di non arbiraggio deve valere la seguene equazione: L unica incognia è il prezzo per unià nominale (0,) di uno 0-coupon scadene fra un anno, per cui si ha: Esercizio 6 (6 puni) Un invesimeno si compone dei segueni flussi di cassa: I = {( -000,0) ; (500, ) ; (600, ) ; (500, )} Vi sia il finanziameno di una somma pari a 400, da resiuire in due rae cosani calcolae al asso di ineresse del 5%. Calcolare l APV dei flussi di cassa di cassa nei. Tracciao per la soluzione La raa cosane per il rimborso del debio si calcola nel modo seguene e vale: I flussi di cassa del finanziameno sono: I movimeni da capiale proprio sono Il VAN al 0% dell invesimeno è il seguene: L APV, enendo cono del parziale finanziameno, è il seguene: 4

5 MATEMATICA FINANZIARIA ACD A.A Prova del 9 gennaio 008 TRACCIA di SOLUZIONE Esercizio (6 puni) La vendia raeale di un bene di valore 000 prevede il pagameno di rae mensili posicipae cosani calcolae al asso di scono commerciale annuo dell 8%. Calcolare la raa cosane e dire se, in regime di ineressi composi, il asso annuo effeivo del conrao è maggiore del 0%. Il valore auale W(0,d) della rendia cosiuia dalle rae, calcolae a asso di scono commerciale dell 8%, vale W ( 0, d ) = R Dovendo valere W80,d = 000, si ha l equazione 000 = R , che, risola, dà R = = = Se il asso annuo effeivo del conrao fosse >0%, deo i il asso mensile equivalene, dovrebbe valere a 000. Effeuando i calcoli, si oiene: i = i = , > i = a = < 000, se ne deduce perciò che il asso di ineresse annuo effeivo è in i realà < 0%, più precisamene è pari a circa l 8.58%. Esercizio (5 puni) Uno 0-coupon bond di duraa 5 anni è emesso al asso di ineresse composo del 6% e rivenduo dopo 5 anni al asso del 7%. Calcolare il asso annuo composo di compravendia. Il prezzo di sooscrizione (0,5) per unià di nominale è pari a ( 0,5) =.06 5 = Il prezzo di rivendia (5,5) per unià di nominale è pari a 5,5 =.07 0 = 0. ( ) Il asso di rendimeno composo r 0,5 da compravendia è il seguene: r 0,5 = =

6 Esercizio (5 puni) Un soggeo conrae un muuo di 000 che si impegna a rimborsare in rae annue posicipae ricorrendo ad un ammorameno a quoe di capiale cosani. Redigere il piano di ammorameno nell ipoesi che il asso conrauale annuo, variabile, risuli, nei re anni, pari a 0%, %, 8%.. Verificare la condizione di chiusura finanziaria finale. Per sendere il piano di ammorameno uilizziamo la condizione di chiusura elemenare. D La quoa di capiale vale C = 0 = Le relazioni di ricorrenza uilizzae per l inero piano di ammorameno sono: I R D E = i D = C + I = D = E C + C Il piano complessivo è: D I C R i % % % La condizione di chiusura finanziaria iniziale richiede: R ( i ) = A ( + i ) s = s= + s= + s = = Essa è soddisfaa, perché la somma degli addendi a primo membro è eguale al secondo membro 6

7 Esercizio 4 (5 puni) E dao un porafoglio con due soli ioli, i cui rendimeni, aleaori, hanno valori aesi µ = 6%, µ =8%, varianze σ = 0.49%, σ =0.64% e coefficiene di correlazione pari a. Scrivere l espressione della varianza del rendimeno del porafoglio composo dei due ioli nelle percenuali α e -α, calcolare il coefficiene α* che rende minima la varianza del porafoglio. Con i dai del problema, la varianza è la seguene: σ ( α ) α ( α ) = [ 0.08α ( ) 0. ] 0 α α = Z Il minimo di un quadrao perfeo vale 0, perciò α* deve soddisfare la seguene equazione: 0.08α-(-α)0.07 = 0, si oiene α* = 7/5 Esercizio 5 (6 puni) Siano dai ioli a reddio oalmene incorporao scadeni a, anni, soo l ipoesi che la sruura sia piaa all inerno dei singoli anni. Il secondo iolo viene emesso al prezzo (0,) = 0,9 per ogni unià di nominale. Sul mercao esise un erzo iolo il cui prezzo di non arbiraggio è Ques ulimo iolo scade ra 8 mesi e paga cedole annuali posicipae con asso cedolare dell 8% annuo ed è rimborsao al valore nominale pari a 000. Calcolare il prezzo (0,) per unià di valor nominale del primo iolo, in scadenza fra un anno. Il prezzo di non arbiraggio del iolo con cedola ha la seguene espressione: 0, = 0, = ( 0,) ( 0,) ( 0,) ( 0,) = ( 0,) ( 0,) L equazione che deriva dal principio di non arbiraggio, esprimendo il prezzo del iolo con cedole come valore auale delle cedole ( 0,) 80 + ( 0,) = L equazione, risola nell incognia (0), dà: ( 0,) = = E, dunque (0,) = =

8 Esercizio 6 (6 puni) Un invesimeno si compone dei segueni flussi di cassa: I = {( -000,0) ; (500, ) ; (600, ) ; (500, )} Vi sia il finanziameno di una somma pari a 400, da resiuire in due rae cosani calcolae al asso di ineresse del 5%. Calcolare l APV dei flussi di cassa di cassa nei. La raa del finanziameno vale: 0.5 R = 400α = = I movimeni da capiale proprio sono i segueni: I+F = {(-600,0),(5.95,),(5.95,),(500,)} Il VAN e l APV al 0% sono: W W I ( 0,0% ) I +F = = ( 0,0% ) = =