4 La riserva matematica

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1 4 La riserva maemaica 4.1 Inroduzione La polizza, come si è viso, viene cosruia in modo da essere in equilibrio auariale alla daa di sipula = 0 e rispeo alla base ecnica del I ordine: se X è il flusso dei premi puri e Y il flusso delle presazioni, risula V (0, X = V (0, Y. L equilibrio non permane però nel corso della duraa del conrao. Per le polizze a premio unico queso fao è chiaro: ad un isane > 0 che precede la scadenza della polizza l unico premio previso è già sao pagao, menre, se il conrao non si è già concluso (ad esempio per la more dell assicurao, sono ancora previse presazioni. Il disequilibrio ad isani successivi alla sipula sussise anche nel caso di polizze a premio annuo. Esempio Si consideri una polizza misa a premio annuo, per una duraa di n anni, asso ecnico i, capiale assicurao C, sipulaa da un assicurao di eà x. Il flusso dei premi conraualmene previsi è X k = { P 1{Tx>k} se k = 0, 1,..., n 1, 0 alrimeni, dove P = C( n E x + n A x / n ä x è il premio annuo puro. Il flusso delle presazioni Y è C 1 {Tx=k} se k = 1, 2,..., n 1, Y k = C 1 {Tx=k} + C 1 {Tx>k} se k = n, 0 alrimeni. Sia n è un isane generico, che per semplicià assumeremo inero. Si assuma inolre che all isane il conrao sia ancora in essere, cioè che l assicurao sia ancora in via. Se 0 n 1, all isane sono sai pagai premi degli n previsi dal conrao. 12 Il flusso di premi residui è quindi una rendia vializia anicipaa con raa P, duraa n e esa assicuraa di eà x +. Se invece > n 1, non ci sono più premi residui. Se si indica con V (, X il valore dei premi residui in, si ha quindi che V (, X = { P n ä x+1 se n 1, 0 alrimeni. Alla sessa daa le presazioni residue della polizza sono Y +1, Y +2,..., Y n e il flusso delle presazioni residue coincide con il flusso di presazioni di una polizza misa di duraa con duraa n, capiale assicurao C e esa assicuraa di eà x +. Indicando con V (, Y il valore delle presazioni residue in, si ha che V (, Y = C( n E x+ + n A x+. Se n > 1 (per n = 1 la polizza è in realà a premio unico e > 0 si può verificare che risula sisemaicamene V (, X < V (, Y. 12 Poiché i premi annui sono anicipai, si immagina che il premio sia dovuo in +, cioè un isane dopo. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005 pag. 24

2 4.2 La riserva maemaica Si consideri al empo > 0, che per semplicià assumeremo inero, una polizza ancora in essere, sipulaa al empo zero da una esa di eà x anni. Sia X il veore dei premi previsi e Y il veore delle presazioni previse. La riserva maemaica (ai premi puri della polizza al empo è V x = V (, Y V (, X, (143 cioè il valore delle presazioni residue in meno il valore dei premi puri residui in, calcolai enrambi secondo la base ecnica del I ordine. La riserva maemaica definia secondo la (143 è spesso chiamaa riserva maemaica prospeiva, in quano è calcolaa sulla base dei premi e delle presazioni fuure rispeo alla daa di valuazione. Per convenzione, nel calcolo delle riserva maemaica, si considerano già liquidae in le evenuali presazioni posicipae e non ancora liquidai l evenuale premio in scadenza (che è anicipao e le evenuali presazione anicipae. La riserva maemaica complea (dea anche riserva di bilancio, è invece calcolao dopo uo, considerando cioè liquidiai ui i premi e le presazioni dovue in. La (143 definisce la riserva maemaica come differenza fra la riserva presazioni V (, Y e la riserva premi (puri V (, X. La riserva presazioni può essere uleriormene scomposa nella somma della riserva presazioni caso via V (, Y v con la riserva presazioni caso more V (, Y m. Si osservi che, per cosruzione, alla daa di sipula la riserva maemaica risula nulla, menre la riserva di bilancio coincide con il premio puro (il premio unico o il primo premio annuo versao dall assicurao. Esempio In un conrao di capializzazione a premio unico U, con duraa n anni, asso ecnico i e capiale C = U(1 + i n,, si ha menre per 0 < n risula 0V x = 0 0V + x = U = C (1 + i n, V x = C (1 + i (n = V + x. Esempio In una polizza misa a premio unico, con duraa n anni, asso ecnico i, capiale assicurao C ed eà dell assicurao alla sipula x, si ha menre per 0 < n risula 0V x = 0 0V + x = U = C ( n E x + n A x, V x = C ( n E x+ + n A x+ = V + x. Nauralmene, la riserva presazioni caso via in è C n E x+, menre la riserva presazioni caso more alla sessa daa è C n A x+. Esempio In una polizza di rendia vializia differia posicipaa a premio annuo, con differimeno n anni, asso ecnico i, raa della rendia assicuraa R ed eà dell assicurao alla sipula x, si ha 0V x = 0 0V + x per 0 < < n, durane il differimeno, risula = P = R n a x nä x ; V x = R n a x+ P n ä x+ V + x = V x + P ; c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005 pag. 25

3 per n, durane il perido di godimeno della rendia, si ha infine V x = R a x+ = V + x. Durane il periodo di differimeno la riserva presazioni è R n a x+ e la riserva premi è P n ä x+. Nel periodo di godimeno della rendia la riserva premi è nulla e la riserva presazioni coincide con la riserva maemaica. Poiché non sono previse presazioni caso more, la relaiva riserva è nulla e la riserva presazioni caso via coincide con la riserva presazioni. Esempio Si consideri una polizza a premio di capiale differio C per n anni con conroassicurazione, asso ecnico i ed eà alla sipula x, con premio annuo puro P e premio annuo di ariffa Π. Al empo 0 < < n la riserva premi (puri è P n ä x+, la riserva presazioni caso via è C n E x+, la riserva presazioni caso more è n k=+1 kπ k 1 1 q x+ (1 + i (k, che, con il cambiameno di variabile j = k, può essere scria nella forma n j=1 n ( + jπ j 1 1 q x+ (1 + i j = Π j=1 La riserva maemaica è quindi n j 1 1q x+ (1 + i j + Π j j 1 1 q x+ (1 + i j j=1 = Π ( n A x+ + n IA x+. V x = C n E x+ + Π ( n A x+ + n IA x+ P n ä x+. Osservazione Si noi l analogia conceuale fra la riserva maemaica di una polizza e il debio residuo di un muuo: è in enrambi i casi il valore (neo del conrao residuo. Osservazione Tue le polizze via sono cosruie in modo ale che, durane la loro via conrauale, la riserva maemaica non diveni negaiva. Ciò significa che l assicuraore congegna il conrao in modo ale da essere sempre debiore e mai crediore nei confroni dell assicurao. Osservazione La riserva maemaica o, meglio, la riserva maemaica complea, è una grandezza bilancisica: essendo il valore neo degli impegni residui dell assicuraore, quesi deve meerla a bilancio, invesendola in aivi a coperura. Esempi di calcolo della riserva maemaica sono proposi nella carella Excel lab3.xls. 4.3 Uno schema conrauale generale Nella raazione che segue, per non dovere ripeere i risulai per le varie ipologie conrauali, faremo riferimeno ad un conrao generico, che chiameremo polizza generica, che prevede: c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005 pag. 26

4 premi (anicipai pagabili in caso via: alla scadenza inera k il premio pagabile in caso via sarà indicao con P k. presazioni caso more (posicipae: alla scadenza inera k la presazione pagabile in caso di more a quella daa sarà indicaa con C m k ; presazioni caso via anicipae: alla scadenza inera k la presazione anicipaa pagabile in caso di via a quella daa sarà indicaa con C va k ; presazioni caso via posicipae: alla scadenza inera k la presazione posicipaa pagabile in caso di via a quella daa sarà indicaa con C vp k. Supporremo infine che, nel caso di more dell assicurao al empo k, il conrao si concluda con il pagameno della presazione caso more Ck m. Le polizze a premio unico rienrano nello schema ponendo P 0 = U e P k = 0 per k > 0. Le polizze che prevedono n premi annui (anicipai cosani P rienrano nello schema ponendo P k = P per 0 k n 1 e P k = 0 per k n. La disinzione fra presazioni caso via anicipae e posicipae è necessaria per ricomprendere nello schema le presazioni di rendia (immediaa o differia, che può essere anicipaa o posicipaa. Per le polizze che prevedono una presazione di capiale differio in caso di via alla scadenza n si assumerà convenzionalmene che ale presazione sia di ipo anicipao: è infai una presazione che copre il danno cosiuio dal fao che l assicurao è in via nel periodo [n, T x ed è pagaa all inizio del periodo. Lo schema conrauale delineao è sufficienemene generale da comprendere ue le ipologie conrauali descrie nella sezione 3, con l eccezione dei conrai di capializzazione (che non sono polizze via e delle polizze a ermine fisso, del reso poco frequeni. I risulai che oerremo saranno quindi validi per ue le ipologie conrauali, con le eccezioni appena espose. Se si considera una polizza generica sipulaa al empo zero da una esa di eà x, ancora in essere al empo, la riserva maemaica V x è calcolaa considerando già liquidaa la presazione caso via posicipaa C vp via anicipaa C vp e non ancora pagai i premio P e la presazione caso. La relazione ra riserva maemaica e riserva di bilancio è quindi V + x = V x + P C va. (144 Si noi che il compleameno della riserva prevede il premio P vada sommao (e non sorao, perché nel calcolo della riserva maemica si sorae la riserva premi che comprende anche P. Per un moivo simmerico nella (144 la presazione C va va soraa (e non sommaa, perché nel calcolo della riserva maemaica ale presazione si considera non ancora pagaa e quindi compare nella riserva presazioni con il segno posivo. 4.4 L equazione di Foure Teorema (equazione di Foure. Se si considera al empo una polizza generica in essere a quella daa, sipulaa al empo zero da una esa di eà x e con asso ecnico i, vale la relazione V x + P C va dove, come al solio, v = (1 + i 1. = +1 V x p x+ v + C m +1 q x+ v + C vp +1 p x+ v, (145 Dimosrazione. Considerando separaamene le presazioni caso more, caso via posicipae, caso via anicipae e i premi (anicipai e endendo presene le convenzioni sul calcolo della riserva maemaica in, si ha che V x = C+k m k 1 1q x+ v k + C vp +k kp x+ v k + C+k va kp x+ v k P +k k p x+ v k. k>0 k>0 k 0 k 0 c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005 pag. 27

5 Se scorporiamo il primo addendo di ciascuna delle quaro somme (k = 1 nelle prime due e k = 0 nelle seconde due oeniamo V x = C+1 m 0 1q x+ v + C vp +1 1p x+ v + C va P + C+k m k 1 1q x+ v k + C vp +k kp x+ v k + C+k va kp x+ v k P +k k p x+ v k. k>1 k>1 k 1 k 1 Osservando che, in base alle relazioni (42 e (49, risula kp x+ = p x+ k 1 p x++1 per k 1, k 1 1q x+ = p x+ k 2 1 q x++1 per k > 1, si ha che nelle quaro somme rimase si può raccogliere il faore comune p x+ v, oenendo V x = C+1 m 0 1q x+ v + C vp +1 1p x+ v + C va P + C+k m k 2 1q x++1 v k 1 + C vp +k k 1p x++1 v k 1 + C+k va k 1p x++1 v k 1 k>1 k>1 k 1 P +k k 1 p x++1 v k 1 p x+ v. k 1 Operando nelle somme il cambiameno di variabile j = k 1 (e quindi k > 1 divena j > 0, k 1 divena j > 0 e +k divena +1+j e ricordando che 0 1 q x+ = q x+ e che 1 p x+ = p x+ si oiene V x = C+1 m q x+ v + C vp +1 p x+ v + C va P + C+1+j m j 1 1q x++1 v j + C vp +1+j jp x++1 v j + C+1+j va jp x++1 v j j>0 j>0 j 0 P +1+j j p x++1 v j p x+ v. j 0 Osservando che l espressione nella parenesi onda del membro desro è la riserva maemaica in + 1 e riarrangiando i ermini dell equazione si oiene la esi. L equazione di Foure sabilisce una relazione ricorrene ra la riserva maemaica in e quella in + 1. Se la si scrive risola rispeo a +1 V x si oiene +1V x = V x + P C va = V x + P C va p x+ v C+1 m q x+ v C vp +1 p x+ v p x+ v C m +1 1 p x+ p x+ (146 C vp +1 (147 e quesa relazione può essere usaa per il calcolo ricorrene della riserva, a parire dalla condizione iniziale 0 V x = 0. Si osservi che, usando la (144, l equazione di Foure può essere scria nella forma V + x = +1 V x p x+ v + C m +1 q x+ v + C vp +1 p x+ v. (148 Esempio Per una polizza di capiale differio C a premio annuo, con duraa del differimeno n, eà dell assicurao alla sipula x, asso ecnico i e premio annuo P = C n E x / n ä x, l equazione di Foure assume la forma per ogni = 0, 1,..., n 1. V x + P = +1 V x p x+ v c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005 pag. 28

6 Esempio Per una polizza misa a premio annuo, con capiale assicurao C, duraa n, eà dell assicurao alla sipula x, asso ecnico i e premio annuo puro P = C ( n E x + n A x / n ä x, l equazione di Foure assume la forma per ogni = 0, 1,..., n 1. V x + P = +1 V x p x+ v + C q x+ v Esempio Si consideri una polizza di rendia vializia differia posicipaa con conroassicurazione a premio annuo, con raa della rendia R, duraa del differimeno n, eà dell assicurao alla sipula x, asso ecnico i e premio annuo puro P e di ariffa Π. Durane il differimeno ( < n l equazione di Foure assume la forma V x + P = +1 V x p x+ v + Π q x+ v. Nel periodo di godimeno della rendia ( n si ha invece V x = +1 V x p x+ v + R p x+ v. Se, ferme resando le rimaneni condizioni conrauali, la rendia assicuraa fosse anicipaa anziché posicipaa, la forma dell equazione durane il differimeno rimarrebbe invariaa (ma i valori numerici di P e Π sarebbero diversi a parià di raa R. Nel periodo di godimeno della rendia ( n si avrebbe invece nv x R = +1 V x p x+ v. Esempi di uso dell equazione di Foure sono proposi nella carella Excel lab4.xls. 4.5 Premio di rischio e premio di risparmio Si consideri una polizza generica. Se si risolve l equazione di Foure (145 rispeo al premio P, si sosiuisce p x+ = 1 q x+ e si riarrangiano un po i ermini: P = +1 V x p x+ v + C+1 m q x+ v + C vp +1 p x+ v + C va V x (149 = C+1 m q x+ v + +1 V x (1 q x+ v V x + C va + C vp +1 (1 q x+ v (150 = ( C+1 m C vp +1 +1V x qx+ v + ( +1V x v V x + C vp +1 v + Cva (151 si oiene una scomposizione noevole del premio P. Se si pone P R = ( C m +1 C vp +1 +1V x qx+ v (152 e si ha che P S = +1 V x v V x + C vp +1 v + Cva (153 P = P R + P S. (154 Il primo addendo della scomposizione (154 è il premio di rischio P R. È uguale al capiale soo rischio C+1 m Cvp +1 +1V x probabilizzao e sconao. Nel caso l assicurao deceda al empo + 1, l assicuraore dovrà corrispondere la presazione caso more C+1 m e non pagherà la presazione caso via posicipaa C vp +1 ; poiché avrà a dispozione la riserva +1V x, se quesa sarà minore della presazione nea C+1 m Cvp +1 egli subirà una perdia pari al capiale soo rischio. Nauralmene, nel caso opposo di riserva maggiore della presazione nea, il capiale soo rischio è negaivo e l assicuraore avrà un guadagno anziché una perdia. Il premio di c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005 pag. 29

7 rischio è quindi il valore auale auariale in della perdia che l assicuraore subirà per il caso more al empo + 1. La (152 quanifica quindi la pare del premio P che copre (in aspeaiva la perdia dell assicuraore per il caso more al empo + 1. Il secondo addendo della scomposizione è il premio di risparmio P S. È quello che rimane del premio P dopo che è saa scorporaa la componene di rischio; va a finanziare la presazione anicipaa caso via in, la presazione posicipaa caso via in + 1 e quelle (via e more successive. La scomposizione (154 è paricolarmene significaiva per polizze a premio annuo, ma può essere effeuaa anche per polizze a premio unico. In ale caso, essendo nulli i premi successivi al primo, si avrà che premio di rischio e premio di risparmio sono uguali in valore assoluo ma di segno opposo. La noazione usaa per indicare il premio di rischio e il premio di risparmio è quella della radizione auariale; gli apici R e S sono le iniziali di Risiko (ed.: rischio e sparen (ed.: risparmiare. Esempio In una polizza emporanea caso more a premio annuo (puro P, con capiale assicurao C, duraa n anni, asso ecnico i ed eà alla sipula x, il premio di rischio e il premio di risparmio al empo assumono la forma P R = ( C m V x qx+ v= [C (1 n 1 A x++1 + P n 1 ä x++1 ] q x+ v, P S = +1 V x v V x =C ( n 1 A x++1 v n A x+ P ( n 1 ä x++1 v n ä x+. In quesa ipologia conrauale non ci sono capiali caso via nel corso della duraa della polizza che complicano la logica delle espressioni. Il premio di rischio è il valore auale auariale dell inegrazione di riserva che l assicuraore deve operare al empo +1 per pagare la presazione caso more. Il premio di risparmio va a incremenare ( la riserva in + 1 per finanziare le presazioni successive: si ha infai +1 V x = V x + P S (1 + i. Esempio In una polizza misa a premio annuo (puro P, con capiale assicurao C, duraa n anni, asso ecnico i ed eà alla sipula x, il premio di rischio e il premio di risparmio al empo assumono la forma P R P S = ( C m V x qx+ v = [C (1 n 1 E x++1n 1 A x++1 + P n 1 ä x++1 ] q x+ v, = +1 V x v V x = C ( n 1 E x++1 v + n 1 A x++1 v n E x+ n A x+ P ( n 1 ä x++1 v n ä x+. Si osservi che per = n 1, la scomposizione dell ulimo premio annuo fornisce Per = n 1, la scomposizione dell ulimo premio annuo è P R n 1 = (C m n n V x q x+n 1 v = 0, P S n 1 = P P R n 1 = P, che mosra come l ulimo premio annuo sia uo premio di risparmio. Esempio In una rendia vializia immediaa, posicipaa e emporanea a premio annuo (puro P, con raa della rendia R, duraa n anni, asso ecnico i ed eà alla sipula x, il premio di rischio e il premio di risparmio al empo assumono la forma P R P S = ( C vp +1 +1V x qx+ v = [R (1 + n 1 a x++1 P n 1 ä x++1 ] q x+ v, = +1 V x v + C vp +1 v V x = R ( n 1 a x++1 v n a x+ P ( n 1 ä x++1 v n ä x+. Il premio di rischio è negaivo, perché in caso di more dell assicurao al empo + 1 l assicuraore ha un profio in quano omee di versare la raa e incamera la riserva. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005 pag. 30

8 Esempi di calcolo del premio di rischio e del premio di risparmio sono proposi nella carella Excel lab4.xls. 4.6 La riserva rerospeiva Sempre nel caso della polizza generica, se si pare dall equazione di Foure scria nella forma V x + P C va = +1 V x (1 q x+ v + C m +1 q x+ v + C vp +1 (1 q x+ v, (155 poiché nel membro sinisro compare P = P S + P R e nel membro desro compare P R = C m +1 q x+ v C vp +1 q x+ v +1 V x q x+ v, semplificando il premio di rischio si oiene V x + P S C va = ( +1V x + C vp +1 v, (156 cioè +1V x = ( V x + P S C va (1 + i C vp +1. (157 La (157 è un espressione paricolarmene significaiva perché mosra come la riserva in +1 si oenga parendo dalla riserva in, ogliendo la presazione caso via anicipaa in, aumenando il risulao del premio di risparmio, capializzando il uo al asso ecnico e ogliendo la presazione caso via posicipaa in + 1. Nell espressione non compaiono espliciamene la presazione caso more in + 1, né le probabilià di sopravvivienza. Parendo dalla solia condizione iniziale 0 V x = 0 e applicando ricorsivamene la (157 si oiene 0V x = 0, (158 ( 1V x = 0V x + P0 S C0 va (1 + i C vp 1 (159 ( = P0 S C0 va (1 + i C vp 1, (160 ( 2V x = 1V x + P1 S C1 va (1 + i C vp 2 (161 ( ( = P0 S C0 va (1 + i 2 + P1 S C1 va (1 + i C vp 1 (1 + i Cvp 2, (162 ( 3V x = 2V x + P2 S C2 va (1 + i C vp 3 (163 2 ( 2 = Pk S Ck va (1 + i 3 k C vp k+1 (1 + i3 k 1, ( k=0 k=0 (165 1 ( V x = Pk S Ck va (1 + i k 1 C vp k+1 (1 + i k 1. (166 k=0 k=0 La (166 è la soluzione in forma chiusa dell equazione ricorrene (157 e mosra come la riserva in sia il monane puramene finanziario dei premi di risparmio incassai fino a (escluso, privai delle presazioni caso via anicipae pagae fino alla sessa daa, meno il monane puramene finanziario delle presazioni caso via posicipae liquidae fino a (compreso. Mosra quindi come la riserva venga cosiuia dal monane dei premi di risparmio al asso ecnico, a cui dal quale vengono però via via prelevae le risorse finanziarie per pagare le presazioni caso via. Il risulao è paricolarmene significaivo per forme conrauali che non prevedono presazioni caso via prima di una cera scadenza (ad esempio polizze di c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005 pag. 31

9 capiale o rendia differia e polizze mise: fino a quella scadenza la riserva maemaica è il monane finanziario dei premi di risparmio. In base a queso risulao risula chiaro come l assicuraore debba gesire la polizza. Nell ipoesi del I ordine egli riesce infai a invesire esaamene al asso ecnico e paga le presazioni secondo quano previso dalla base demografica del I ordine. In quese ipoesi, quindi, se l assicuraore ogni anno: incassa i premi puri (a inizio anno, paga le presazioni caso via anicipae (a inizio anno, invese quello che rimane; paga le presazioni caso more (a fine anno, paga le preszioni caso via posicipae (a fine anno, si rirova con un valore degli aivi che è esaamene uguale alla riserva maemaica, cioè al valore residuo neo del suo impegno verso gli assicurai. È quindi copero. Nauralmene non è assoluamene deo che le ipoesi del I ordine si verifichino nella realà, ma se sono sufficienemene prudenziali l assicuraore ha una cera garanzia di rimanere copero. L espressione (166 viene soliamene chiamaa la riserva rerospeiva. Per la polizza generica che abbiamo considerao abbiamo viso quindi che la riserva rerospeiva coincide con la riserva prospeiva. Queso fao non è vero in generale: ci sono forme assicuraive nelle quale le due grandezze non coicidono. Si osservi che, per la polizza generica, la differenza fra la forma prospeiva e rerospeiva della riserva è conceualmene analoga alla differenza fra valore monane e valore residuo in una operazione puramene finanziaria: anche in quel caso, se l operazione finanziaria è equa alla daa di valuazione, le due grandezze coincidono. 4.7 La riserva come variabile aleaoria Occorre osservare che la riserva maemaica V x al empo è saa definia per polizze ancora in essere alla daa. Per la polizza generica, ciò significa che la riserva maemaica è saa definia solo per una polizza in cui l assicurao sia in via al empo. In paricolare, prima del empo, la riserva maemaica non è noa ma è una variabile aleaoria, che varrà V x se l assicurao sarà in via al empo, zero se sarà moro al empo. In forma compaa si può scrivere la riserva maemaica in come V x 1 {Tx>}. Di quesa variabile aleaoria si può ] calcolare l aspeaiva: in zero vale ad esempio E 0 [V x 1 {Tx>} = V x p x. c C. Pacai 2005, Appuni IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005 pag. 32