Osservabilità (1 parte)

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1 eoria dei sisemi - Capiolo 9 sservabilià ( pare) Inroduzione al problema della osservabilià: osservazione e ricosruzione. Sai indisinguibili e sai non osservabili...3 Soospazi di osservabilià e non osservabilià in [,]...3 Crierio di osservabilià...6 Classi di indisinguibilià...8 Proprieà di inclusione...8 Sisemi empo-discrei lineari empo-invariani...9 Sisemi empo-coninui lineari empo-invariani... Esempio: sisema del ordine non osservabile... 7 Analogia ra osservabilià e raggiungibilià nei sisemi lineari empo-invariani INRDUZINE AL PRBLEMA DELLA SSERVABILIÀ: SSERVAZINE E RICSRUZINE Come abbiamo viso in precedenza, la conrollabilià di un sisema è una proprieà che riguarda l influenza che l ingresso esercia sullo sao (e quindi sull uscia) del sisema sesso. Un alra proprieà (duale della conrollabilià) è invece quella della osservabilià, la quale indaga sull influenza che l evoluzione dello sao esercia sull uscia. Abbiamo già parlao, inroducendo i sisemi, del problema della osservabilià. Richiamiamo perciò le nozioni fondamenali. Supponiamo perciò di avere un generico sisema; supponiamo che, nell inervallo [,[, venga applicao al sisema un cero ingresso noo u ( ) e supponiamo che il sisema risponda, sempre nell inervallo [,[, con una cera uscia y ( ) noa anch essa. Ci chiediamo se, a parire SL da quese informazioni, è possibile ricavare quale fosse lo sao iniziale x() da cui è pario il sisema e quale sia lo sao finale x() in cui è arrivao. Come vedremo, non è deo che quesi sai siano deerminabili. Il problema della osservazione di un sisema (o, meglio, dello sao di un sisema) si può suddividere in due pari fondamenali: quando si è ineressai a deerminare lo sao iniziale x(), allora si parla di problema di osservazione propriamene dea; quando, invece, si è ineressai a deerminare lo sao finale x(), allora si parla di problema di ricosruzione. Nauralmene, se si riesce a deerminare x(), è sempre possibile deerminare lo sao finale x(), dao che x( ) = ϕ,, x( ), u ( ( )) Il conrario, invece, sappiamo che è possibile solo se il sisema è reversibile.

2 Appuni di ERIA DEI SISEMI - Capiolo 9 Ad ogni modo, noi siamo ineressai solo al problema della osservazione, ossia della deerminazione dello sao iniziale del sisema. Esisono diversi modi di affronare queso problema: a) un primo approccio consise nel chiedersi se x() sia deerminabile in corrispondenza di un qualsiasi ingresso (ovviamene ra quelli ammissibili) applicao al sisema; b) un alro approccio consise invece nel chiedersi se x() è deerminabile solo in corrispondenza di uno specifico ingresso (sempre ra quelli ammissibili); c) si può anche provare ad individuare un paricolare ingresso che consena di deerminare x(); d) ci si può inolre chiedere se x() sia deerminabile in corrispondenza di uno specifico ingresso e di una specifica uscia, ossia se sia sufficiene la conoscenza di un solo ingresso e della corrispondene risposa; e) viceversa, ci si può chiedere se x() sia deerminabile in corrispondenza di più ingressi e delle corrispondeni uscie, ossia se siano necessari più esperimeno sul sisema. La nosra analisi sarà limiaa ai sisemi lineari. Per quesi sisemi, possiamo subio osservare due cose a proposio dei puni appena elencai: in primo luogo, i casi (a) e (b) sono la sessa cosa: infai, si verifica che, se è possibile simare x() in corrispondenza di solo ingresso, allora è possibile farlo per qualsiasi ingresso; sesso discorso per i casi (d) ed (e): infai, se la sima di x() non è possibile mediane sola coppia ingresso-uscia, allora non lo sarà per nessun alra coppia, ossia non avrà senso fare alri esperimeni ed alre misure sul sisema. Quese due caraerisiche dei sisemi lineari possono essere giusificae in modo molo semplice: l andameno emporale dello sao e quello dell uscia di un sisema lineare sono esprimibili nella forma x( ) = ϕ L (,, x) + ϕ F (,, u( ) 4 43 ) risposa libera ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) risposa forzaa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) y = η, x = η, ϕ L,, x + ϕ F,, u = η, ϕ L,, x + η, ϕ F,, u uscia libera uscia forzaa In base a quese espressioni, se conosciamo l ingresso u ( ) possiamo subio calcolare l uscia forzaa, la quale dipende da ale ingresso menre non dipende in alcun modo dallo sao iniziale; se poi conosciamo anche l uscia y ( ) complessiva, basa sorarre, da quesa, l uscia forzaa per oenere l uscia libera. Di conseguenza, il problema da porsi è quello di deerminare lo sao iniziale a parire dall uscia libera e ale uscia libera non dipende dall ingresso, ossia è sempre la sessa a prescindere dall ingresso. Possiamo dunque svincolarci dall ingresso e porci il seguene problema: noa l uscia y = η ϕ x,, ( ) libera L ( ), L (,, ) nell inervallo di osservazione [ ] dobbiamo deerminare in modo univoco lo sao iniziale x=x().

3 Il problema della osservabilià (pare ) SAI INDISINGUIBILI E SAI NN SSERVABILI Premesso queso, richiamiamo una definizione anch essa già daa in precedenza. Supponiamo che esisano due diversi sai x e x del sisema che godono della seguene proprieà: ( ( x u( )) ) x u( ) ( ( ) ) [ ] η ϕ σ,, ',, σ = η ϕ σ,, '',, σ σ, Quesa proprieà dice in praica che i due sai x e x, soo l applicazione dello sesso ingresso u ( ), producono lo sesso movimeno di uscia nell inervallo [,]. E chiaro che, quando accade una cosa del genere, la conoscenza dell ingresso e dell uscia non è in alcun modo sufficiene a farci individuare lo sao di parenza: ale sao porebbe infai essere x ma anche x. Quando quella proprieà vale per qualsiasi ingresso u ( ) Ω, si dice che i due sai in esame sono indisinguibili nell inervallo [,]. Nel caso in cui il sisema sia lineare, in base a quano deo prima, l indisinguibilià va evidenemene riferia all uscia libera, per cui la definizione è la seguene: Def. Dao un sisema lineare, due sai x ed x si dicono indisinguibili nell inervallo [,] se, in corrispondenza di un qualsiasi ingresso u ( ) Ω, producono la sessa uscia libera nell inervallo [,], ossia ( L ( x ) ) L ( x ) ( ) [ ] η ϕ σ,, ', σ = η ϕ σ,, '', σ σ, Un caso paricolare si ha quando lo sao iniziale x() è lo sao nullo: in queso caso, infai, l uscia libera è nulla a sua vola; d alra pare, ci sono alri sai, diversi da quello nullo, che producono una uscia libera nulla: si raa perciò di ui gli sai indisinguibili dallo sao nullo e a ali sai si dà l aribuo di sai non osservabili. In praica, quindi, diciamo che Def. Uno sao x X di un sisema lineare è non osservabile se esso è indisinguibile dallo sao nullo (nell inervallo considerao), ossia se ( L (,, x), ) = σ [,] η ϕ σ σ SSPAZI DI SSERVABILIÀ E NN SSERVABILIÀ IN [,] Consideriamo adesso un sisema empo-coninuo (regolare a dimensioni finie) e lineare, descrio perciò dalle equazioni &x = F( σ) x + G( σ) u y = H( σ) x Fissao un generico sao iniziale x=x(), il movimeno libero (di sao) del sisema è ( ) = Φ (, ) x σ σ L x 3

4 Appuni di ERIA DEI SISEMI - Capiolo 9 e quindi il corrispondene movimeno libero di uscia è ( σ) = ( σ) ( σ) = ( σ) Φ ( σ, ) y H x H x L L Sulla base di queso, possiamo per prima cosa far vedere che l insieme degli sai non osservabili rappresena uno spazio veoriale. In base alla definizione daa nel paragrafo precedene, dire che uno sao x X è non osservabile (o indisinguibile dallo sao nullo) significa dire che, prendendo ale sao come sao iniziale, esso produce una uscia libera idenicamene nulla (nell inervallo di empo considerao): avendo allora rovao che l uscia libera ha equazione y ( σ L ) = H( σ ) Φ ( σ, ) x, possiamo affermare che x X è non osservabile se e solo se H σ Φ σ, x = ( ) ( ) Allora, se x ed x sono due sai non osservabili (cioè indisinguibili dallo sao nullo), risulerà sicuramene H σ Φ σ, x = H ( ) ( ) ( σ) Φ( σ, ) Se facciamo una combinazione lineare di x ed x, in base alla linearià del sisema abbiamo che il che significa che anche lo sao c x x = ( σ) ( σ )( ) H Φ, cx + c x = + c x è non osservabile. Queso ci dice proprio che l insieme X, e lo degli sai non osservabili in [,] è uno spazio veoriale: lo indichiamo con ( ) chiamiamo soospazio di non osservabilià in [,]. In modo analogo a quano abbiamo viso per la raggiungibilià e la conrollabilià, il complemeno X,, rispeo allo spazio di sao X, racchiude ui gli sai osservabili in [,] e prende il di ( ) bome di insieme di osservabilià in [,] : si raa, quindi dell insieme degli sai di X che non X,. E imporane soolineare che non si raa però di uno spazio veoriale ed apparengono a ( ) è per queso che si definisce un soospazio di osservabilià in [,] : queso spazio veoriale, X X, rispeo ad X, ma gode che indichiamo con (, ), è ancora un insieme complemenare a ( ) anche della proprieà di essere orogonale ad X ( ) relazioni complemenarieà: orogonalià:, : ciò significa, quindi, che sussisono le (, ) (, ) (, ) = (, ) X X = X X X (la prima condizione dice che la somma direa dei soospazi di osservabilià e non osservabilià fornisce uo lo spazio di sao del sisema) Ci poniamo allora il problema di come è possibile deerminare quesi soospazi. Ancora una vola, il discorso non è molo diverso da quello seguio a proposio di raggiungibilià e osservabilià. Dobbiamo prima inrodurre una nuova marice che si cosruire a parire dalla marice di Φ σ,, e dalla marice di ingresso H(σ): ransizione di sao del sisema, indicaa con ( ) n (, ) = Φ (, ) ( ) ( ) Φ (, ) Q σ H σ H σ σ dσ 4

5 Il problema della osservabilià (pare ) Quesa marice prende il nome di gramiano di osservabilià e serve a inrodurre il seguene risulao: eorema - Dao un sisema lineare descrio da una equazione di sao nella forma x& = F( σ) x + G( σ ) u, fissai l isane iniziale X, di non e l isane finale, il soospazio ( ) osservabilià nell inervallo [,] corrisponde al nucleo del gramiano di osservabilià, menre il soospazio X (, ) coincide con il range del gramiano di osservabilià: (, ) = [ (, )] (, ) = [ (, )] X Nucleo Q X Range Q Dimosrazione Dao che X (, ) = X (, ) esempio la prima., ci basa dimosrare una sola delle due relazioni, ad Per far vedere che X (, ) coincide con Nucleo[ Q(, ) ] (, ) [ (, ) ] e che X (, ) Nucleo [ Q (, )]. Cominciamo a dimosrare che X (, ) Nucleo[ Q (, ) ] (, ), allora x Nucleo[ Q(, ) ]. Dire che x X ( ) X Nucleo Q x X è sufficiene far vedere che : dobbiamo far vedere che, se, (ossia che x è uno sao non osservabile in [,]) significa dire, in base a quano viso prima, che H σ Φ σ, x = ( ) ( ) Consideriamo allora l espressione del gramiano di osservabilià: (, ) = Φ (, ) ( ) ( ) Φ (, ) Q σ H σ H σ σ dσ Pos-moliplicando ambo i membri per x, oeniamo Q (, ) x = Φ ( σ, ) H ( σ) H( σ) Φ( σ, ) dσ x = Φ ( σ, ) H ( σ) H( σ) Φ( σ, ) xdσ = = Il fao che risuli Q(, ) x = dice proprio che x Nucleo[ Q(, ) ]. Adesso, per dimosrare l implicazione inversa, ossia X (, ) Nucleo[ Q (, ) ] possiamo far vedere che, se x Nucleo[ Q(, ) ], allora x X (, ). Dire che x Nucleo[ Q(, ) ] significa dire che Q(, ) x = e quindi anche che ( ) x Q, x =, 5

6 Appuni di ERIA DEI SISEMI - Capiolo 9 Sosiuendo l espressione del gramiano di osservabilià, quesa equivale a x Φ ( σ, ) H ( σ) H( σ) Φ( σ, ) dσ x = Porando uo all inerno dell inegrale, oeniamo (, ) ( ) ( ) Φ(, ) x Φ σ H σ H σ σ xdσ = y Si osserva che l argomeno dell inegrale è il prodoo del veore = ( σ) ( σ ) y H Φ, x per il suo rasposo: considerando che il prodoo di un veore per il suo rasposo è il quadrao della norma euclidea del veore sesso, abbiamo dunque che ( ) Φ (, ) H σ σ x dσ = Da qui consegue che H( σ) Φ ( σ, ) x = per [ ] non osservabile: quindi x X (, ). σ, e cioè che lo sao x sia uno sao CRIERI DI SSERVABILIÀ Abbiamo dunque rovao il modo di deerminare i soospazi di raggiungibilià e di non raggiungibilià. A queso puno, ci chiediamo QUAND sia possibile la sima di x(), noi l ingresso e l uscia del sisema nell inervallo [,]. Sussise il seguene risulao: eorema - Dao un sisema lineare descrio da una equazione di sao nella forma x& = F( σ) x + G( σ ) u, fissai l isane iniziale e l isane finale, noi l ingresso u ( ) e l uscia y ( ), condizione necessaria e sufficiene per poer simare, in modo univoco, lo sao iniziale x() è che [ ] ρ Q(, ) = n Se, invece, risula ρ[ ] Q(, ) < n, la sima di x() non può essere faa in modo univoco, ma solo a meno di una componene non osservabile cosiuia da un qualsiasi Nucleo Q(, ) veore di [ ] 6

7 Il problema della osservabilià (pare ) Dimosrazione Sia y( σ ) l uscia libera del sisema. Consideriamo la quanià Φ ( σ ) H ( σ) y( σ) inegriamo quesa quanià ra l isane iniziale e l isane finale, abbiamo che,. Se (, ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) (, ) Φ σ H σ y σ dσ = Φ σ H σ H σ Φ σ xdσ = = Φ ( σ, ) H ( σ) H( σ) Φ( σ, ) dσ x Q(, ) x = dove x è lo sao iniziale del sisema. Dire che il rango della marice Q(,) deve essere pari ad n significa dire che quesa marice (che è quadraa di ordine n) è non singolare e quindi inveribile: possiamo perciò riscrivere quella relazione nella forma (, ) Φ (, ) ( ) ( ) x = Q σ H σ y σ d σ L argomeno di quell inegrale è perfeamene noo, per cui lo sao iniziale x è univocamene deerminabile. Nel caso in cui, invece, ρ[ Q(, ) ] < n, la marice Q(,) è singolare e quindi non inveribile. Di conseguenza, la relazione Φ ( σ, ) ( σ) ( σ) σ (, ) H y d = Q x rappresena un sisema di n equazioni in n incognie (che sono le componeni di x) che ammee soluzioni (proprio perché la marice dei coefficieni Q(,) è singolare). Quese infinie soluzioni sono nella forma [ ( )] x = x + Nucleo Q, dove x è una soluzione paricolare del sisema, menre Nucleo[ Q(, ) ] rappresena la componene non osservabile di cui parla la esi del eorema. Facciamo infine osservare che il sisema è senz alro compaibile, dao che lo sao iniziale x(), a prescindere dal fao che sia deerminabile o meno, è ceramene una soluzione del sisema sesso. Quindi, se ρ[ Q ] n dell ingresso e dell uscia; viceversa, se risula ρ[ ] (, ) =, siamo in grado di deerminare x() parendo solo dall andameno Q(, ) < n, allora possiamo solo individuare una classe di sai, indisinguibili ra loro, che porebbero fare ui da sao iniziale. Nel caso in cui riusciamo a deerminare lo sao iniziale, il sisema si dice osservabile nell inervallo [,] ed è una caraerisica riferia all inero sisema, nel senso che la possibilià di deerminazione di x() non è specifica per un x() paricolare, ma per un x() del uo generico. 7

8 Appuni di ERIA DEI SISEMI - Capiolo 9 CLASSI DI INDISINGUIBILIÀ Q(, ) = n, essendo X Range Q = ; possiamo allora riformulare il crierio di osservabilià dicendo che il sisema x& = F( σ) x + G( σ ) u è osservabile in [,] se e solo il soospazio di osservabilià ha dimensione pari ad n. Nauralmene, se dim X (, ) = n, si ha anche che dim X (, ) =, ossia che il soospazio di non osservabilià coniene, come unico elemeno, lo sao nullo, il che significa che solo lo sao nullo produce una uscia libera nulla. Se, invece, il sisema non è osservabile, ossia se ρ[ Q(, ) ] < n, i due soospazi X (, ) e X, avranno ciascuna una dimensione finia: possiamo allora porre Facciamo osservare inolre quano segue: la condizione ρ[ ] (, ) = [ (, ) ], equivale anche a dim X (, ) n ( ) [ (, )] dim (, ) dim (, ) r = ρ Q = X n r = X In quesa siuazione, se x è un possibile sao iniziale, l insieme degli sai x X x = x + Nucleo Q, racchiude ui e soli i possibili sai iniziali del sisema che { [ ( )]} producono una uscia libera nulla (cioè appuno sono indisinguibili ra loro e con lo sao nullo): si pone allora C. I.( x) = x X x = x + Nucleo Q, = x X x = x + X, { [ ( )]} ( ) e si dice che C. I.( x) è la classe di sai indisinguibili da x. vviamene, se il sisema è osservabile, ossia se dim X (, ) n appuno X (, ) = Nucleo Q(, ) =. [ ] { } { } =, risula C I x { x}..( ) =, ossia PRPRIEÀ DI INCLUSINE Abbiamo dunque deo che l insieme X ( ), è uno spazio veoriale che racchiude ui gli sai x X non osservabili, ossia ui gli sai che producono una uscia libera nulla nell inervallo [,]. Vogliamo allora vedere che cosa accade a queso insieme se aumeniamo con coninuià il valore di, ossia quindi l ampiezza dell inervallo di osservazione. Consideriamo perciò due isani successivi < ed i corrispondeni soospazi X (, ) e X (, ). Consideriamo un generico x X (, ) : queso significa che il sisema, parendo da x all isane, produce una uscia libera nulla fino all isane ; allora, l uscia libera sarà anche nulla x X,. In generale, possiamo cioè affermare che se uno ra e, il che significa che ( ) sao non è osservabile in [, ], non è osservabile anche in [, ] con < : in formule, quesa proprieà è espressa dalla relazione (, ) (, ) X X In ermini concrei, quesa proprieà dice che, sposando via via il empo finale, oeniamo sempre più informazioni dalla conoscenza dell uscia ed è quindi possibile che uno sao non osservabile fino all isane diveni invece osservabile in un isane successivo. 8

9 Il problema della osservabilià (pare ) Quindi, se consideriamo un uleriore isane 3 >, risulerà (, ) (, ) (, ) X X X 3,, all aumenare di, non può aumenare, ma può solo ridursi o, u al più, rimanere invariao. Nauralmene, quando parliamo di riduzione di uno spazio veoriale ci riferiamo al fao che diminuisce la sua dimensione. Allora, ci sarà sicuramene un isane X, non si riduce più, ossia olre il quale la e così per isani via via successivi. In generale, cioè, il soospazio X ( ) = $ olre il quale ( ) dimensione non può più scendere: allora, il soospazio X ( ), $ conerrà necessariamene ui gli sai x X che, a prescindere dall isane finale di osservazione, deerminano una uscia libera nulla. Per brevià, possiamo dunque porre X,$ = X ( ) ( ) Nauralmene, se il sisema fosse anche empo-invariane, non sarebbe nemmeno necessario conoscere l isane e quindi il soospazio conenene gli sai che producono una uscia idenicamene nulla a prescindere dall isane finale si indica brevemene con X. SISEMI EMP-DISCREI LINEARI EMP-INVARIANI Passiamo allora allo sudio del problema della osservabilià con riferimeno ai sisemi (regolari a dimensioni finie) lineari e empo-invariani. In paricolare, ci riferiamo, per il momeno, ai sisemi empo-discrei, la cui rappresenazione in forma di sao è x( + ) = Fx( ) + Gu( ) y( ) = Hx( ) Daa la empo-invarianza, consideriamo come isane iniziale l isane =; siano x = x( ) lo sao iniziale e y( ) = Hx( ) il corrispondene valore iniziale dell uscia (ovviamene ci riferiamo all uscia libera, per cui, nel seguio, l aggeivo libera sarà sooineso). All isane =, l uscia è y( ) = Hx( ) e lo sao x() può essere ricavao araverso l equazione del movimeno, che per un sisema di queso ipo è x( ) = F x Abbiamo perciò che y( ) = Hx( ) = x In modo del uo analogo, per gli isani successivi abbiamo che y( ) = Hx( ) = x 3 y( 3) = Hx( 3) = x... n y( n ) = Hx( n ) = x... 9

10 Appuni di ERIA DEI SISEMI - Capiolo 9 Facciamo osservare che ci siamo fermai al valore dell uscia all isane =n-: vedremo più avani per quale moivo è inuile considerare uleriori valori dell uscia. Ci meiamo dunque nelle ipoesi di conoscere ui quesi valori dell uscia e di voler deerminare il valore dello sao iniziale. Inano, posiamo riscrivere le relazioni di prima in forma mariciale: y( ) H y( ) y( ) = y( n ) Quesa relazione mariciale rappresena un sisema lineare in n incognie, che sono le n componeni dello sao iniziale x. Possiamo anche affermare che si raa di un sisema ceramene compaibile, viso che almeno il reale sao di parenza (che noi speriamo di calcolare) è una sua soluzione. Il problema che dobbiamo porci è allora se e quando il sisema ammee sola soluzione: solo in queso caso, infai, noi poremo deerminare univocamene lo sao iniziale x. La marice dei coefficieni del sisema è H K =... n Essa prende il nome di marice di osservabilià. Affinché il sisema ammea sola soluzione, la marice dei coefficieni deve avere rango pari ad n, per cui possiamo affermare che il sisema ammee una sola soluzione (il che significa che lo sao iniziale è deerminabile in modo univoco) se e solo se ρ( K ) = n. Quesa marice di osservabilià ha dimensione np * n : queso significa che n è il valore massimo del rango che essa può avere, viso che possiamo rovare al più n righe linearmene indipendeni, per cui il sisema ammee una sola soluzione se K è a rango massimo. Se, invece, risula ρ( K ) < n, allora il sisema ammee soluzioni e quindi, ancora una vola, non riusciamo a deerminare in modo univoco lo sao iniziale, ma solo delle classi di indisinguibilià: ciò significa che, se x è una qualsiasi soluzione paricolare del sisema, poremo u al più dire individuare l insieme n x { [ ]} C.I.( x) = x X x = x + Nucleo K A queso puno siamo in grado di capire per quale moivo, ai fini della deerminazione dello sao iniziale, è sufficiene conoscere i valori dell uscia solo dall isane = all isane =n-. Supponiamo, ad esempio, di conoscere anche il valore y( n) = n x dell uscia all isane =n: il sisema da risolvere divena

11 Il problema della osservabilià (pare ) y( ) H y( ) y( ) = y( n ) y( n) E immediao accorgersi che la marice dei coefficieni di queso sisema ha lo sesso rango della marice K : il moivo è che, in base al eorema di Cayley - Hamilon, il blocco n può essere espresso come combinazione lineare dei blocchi precedeni. In alre parole, quindi, il valore y( n) = n x non è una uleriore informazione sull uscia, viso che può essere ricavaa come combinazione lineare dei valori precedeni. Deo anche in alre parole, possiamo dire che lo sao iniziale o può essere deerminao conoscendo l uscia dopo n passi oppure non può essere deerminao affao, anche valuando l uscia dopo più di n passi. A queso puno, ci chiediamo a cosa corrisponde, per sisemi di queso ipo, l insieme X, ossia lo spazio veoriale conenene ui gli sai non osservabili del sisema, ossia ancora lo spazio veoriale conenene ui gli sai che producono una uscia (libera) nulla: dire che x X significa dunque dire che y( ) = = Hx n y( ) = = Hx( ) = x y( ) = = Hx( ) = x 3 y( 3) = = Hx( 3) = x... In forma mariciale, abbiamo la relazione n x n y( n ) = = Hx( n ) = x H = Abbiamo cioè un sisema omogeneo, nelle n incognie rappresenae dalle componeni dello sao iniziale, la cui marice dei coefficieni è ancora una vola la marice di osservabilià K : la soluzione o le soluzioni di queso sisema cosiuiscono ui e soli gli sai conenui in X, per cui possiamo scrivere che X = Nucleo( K ) n x

12 Appuni di ERIA DEI SISEMI - Capiolo 9 vviamene, sapendo che il soospazio di osservabilià X è il complemeno orogonale di X, da qui scaurisce immediaamene che X = Range( K ) N.B. Facciamo osservare che la marice di osservabilià K non è, in generale simmerica, ed è per queso moivo che è sao necessario lasciare l operaore rasposo. SISEMI EMP-CNINUI LINEARI EMP-INVARIANI Passiamo adesso allo sudio deagliao della osservabilià per sisemi empo-coninui (regolari a dimensioni finie), lineari e empo-invariani, descrii in forma di sao da equazioni nella forma &x = Fx + Gu y = Hx Il problema che ci poniamo è sempre lo sesso: noo l andameno emporale dell uscia libera y( ) = He F x( ), è possibile deerminare univocamene lo sao di parenza x()?, f ; Facciamo l ipoesi di conoscere l andameno y ( ) dell uscia libera in un cero inervallo [ ] facciamo anche l ipoesi, per comodià, che sia p =, ossia che il sisema abbia sola uscia (per cui y ( ) è una funzione scalare). In base al eorema di Cayley-Hamilon, possiamo scrivere che per cui l espressione dell uscia libera divena ( ) ( ) ( )... ( ) F e = I + F + F + + n F n n [ ( ) ( ) ( ) n ( ) ] F y( ) = He x( ) = H x( ) Adesso, definiamo il cosiddeo prodoo scalare ra due funzioni f e g : f < f, g >= f( ξ) g( ξ) dξ Usando quesa definizione, possiamo calcolare i prodoi scalari ra le funzioni,... e l uscia libera: abbiamo che ( ) ( ) ( ) n [ n n ] [ n n ] [ n n ] <, y >= < > H+ < > + < > < > x( ) <, y >= < > H+ < > + < > < > x( ) <, y >= < > H+ < > + < > < > x( )... <, y >= < n n [ n > + < n > + < n > + + < n n > ], H,,..., x( )

13 Il problema della osservabilià (pare ) Scrivendo quese relazioni in forma mariciale, abbiamo quano segue: <, y > < > < > < >... < n > H < >, y < > < > < > < >... n <, y > = < > < > < >... < n > x( ) < > n n, y < n > < n > < n > < n n > Essendo noa l uscia ed essendo noe le funzioni ( ) ( ) ( ) n K,,...,, i prodoi scalari sono ui dei numeri noi, per cui il primo membro di quesa relazione è un veore di ermini noi di dimensione n: lo indichiamo brevemene con, y. La marice che coniene i prodoi scalari ra le funzioni ( ) ( ) n ( ) noi: essa prende il nome di marice di Gram associaa alle funzioni ( ) ( ) ( ),,..., è a sua vola una marice (quadraa di ordine n) composa da ermini indichiamo brevemene con G. Infine, la marice H K =... n,,..., e la n è anch essa compleamene noa e prende ancora una vola il nome di marice di osservabilià. In conclusione, quindi, abbiamo oenuo il sisema G K x( ) =, y Queso è un sisema di n equazioni nelle n incognie cosiuie dalle n componeni dello sao iniziale x(). Si raa, inolre, di un sisema ceramene compaibile, viso che almeno il reale sao iniziale rappresena una sua soluzione. ale sao rappresena l unica soluzione del sisema se e solo se il rango della marice dei coefficieni G K è pari ad n. Vediamo allora di indagare maggiormene sul rango di quesa marice G K. Inano, applicando la disuguaglianza di Sylveser, abbiamo che ( ) ( G ) + ( K ) c ( G K ) min ( G ), ( K ) ρ ρ ρ ρ ρ La dimensione comune alle marici G e K è chiaramene n; inolre, il fao che le funzioni ( ) ( ) ( ),... siano, per definizione, linearmene indipendeni nell inervallo [, f ] ci n garanisce che la marice G sia non singolare: raandosi di una marice quadraa di ordine n, ρ G = n. La disuguaglianza divena dunque deduciamo che ( ) ( ) ( K ) ( G K ) min n, ( K ) ρ ρ ρ 3

14 Appuni di ERIA DEI SISEMI - Capiolo 9 Per quano riguarda la marice di osservabilià, sappiamo solo che ρ( K ) n ρ( K ) = ρ K : di conseguenza, oeniamo min, ( ) ( ) ( K ) ( G K ) ( K ) ρ ρ ρ n e queso implica che da cui scaurisce che ρ ( G K ) = ρ( K ) Allora, richiedere che la marice dei coefficieni del sisema G K x( ) =, y abbia rango pari ad n significa richiedere che la marice di osservabilià abbia rango n. Possiamo perciò concludere enunciando il seguene eorema: eorema - Lo sao iniziale x() di un sisema empo-coninuo lineare empo-invariane (olre che regolare a dimensioni finie) è univocamene deerminabile, risolvendo il sisema G K x( ) =, y, se e solo se risula ρ( K ) = n, ossia se la marice di osservabilià è a rango pieno In modo analogo a quano fao per i sisemi empo-discrei, vogliamo adesso vedere come si ricavano i soospazi di osservabilià X e di non osservabilià X. Il discorso da fare è idenico a quello fao nel caso empo-discreo. Pariamo dalla deerminazione di X, ossia dello spazio veoriale conenene ui gli sai che F producono una uscia (libera) nulla: dire che x X significa dunque dire che y( ) = He x = e quindi anche che <, y > < >, y <, y > = < > n, y Quindi, il sisema da risolvere per rovare x divena G K x = D alra pare, abbiamo deo che la marice G è una marice senz alro non singolare, per cui quella relazione si riduce a K x = Si raa di un sisema omogeneo, nelle n incognie rappresenae dalle componeni dello sao iniziale, la cui marice dei coefficieni è ancora una vola la marice di osservabilià K ; la soluzione o le soluzioni di queso sisema cosiuiscono ui e soli gli sai conenui in X, per cui possiamo scrivere anche qui, come nel caso empo-discreo, che 4

15 Il problema della osservabilià (pare ) X X = Nucleo = Range ( K ) ( K ) uo queso vale nell ipoesi che p=, ossia che il sisema abbia sola uscia. Possiamo però verificare facilmene che i risulai sono idenici nel caso in cui il numero p di uscie è del uo generico. Inano, possiamo sempre scrivere l uscia libera nella forma n [ ( ) ( ) ( ) n ( ) ] F y( ) = He x( ) = H x( ) con la differenza, rispeo a prima, che la quanià y() rappresena adesso un veore di p funzioni. Possiamo anche definire il prodoo scalare ra due funzioni veoriali f e g: f < f, g >= f( ξ) g( ξ) dξ Al conrario di prima, la quanià <f,g> rappresena dunque non uno scalare, ma un veore di p scalari. Con quesa posizione, possiamo ancora calcolare i prodoi scalari ra le funzioni,... e l uscia libera: abbiamo che ( ) ( ) ( ) n [ n n ] [ n n ] [ n n ] <, y >= < > H+ < > + < > < > x( ) <, y >= < > H+ < > + < > < > x( ) <, y >= < > H+ < > + < > < > x( )... <, y >= < n n [ n > + < n > + < n > + + < n n > ], H,,..., x( ) Quese n relazioni sono, in queso caso, relazioni mariciali, ognuna equivalene a p relazioni scalari. Scrivendo uo in forma mariciale, abbiamo quano segue: <, y > < > < > < >... < n > H < > < > < > < > < >, y... n < >, y = < > < > < >... < n > x( ) < > n n, y < n > < n > < n > < n n > Il veore a primo membro è un veore colonna formao da np componeni (ue noe) e lo indichiamo ancora una vola con, y. La marice che coniene i prodoi scalari ra le funzioni ( ) ( ) ( ),... è invece una marice (quadraa di ordine np ) composa anch essa da ermini n noi: la indichiamo quesa vola con ~ G. Infine, la marice K 5

16 Appuni di ERIA DEI SISEMI - Capiolo 9 H K =... n (di dimensioni np * n ) è anch essa compleamene noa. In conclusione, quindi, abbiamo oenuo ancora una vola un sisema nella forma ~ G K x( ) =, y con la differenza, rispeo al caso precedene, che le equazioni sono np e non più n. Si raa, inolre, di un sisema ceramene compaibile, viso che almeno il reale sao iniziale rappresena una sua soluzione. ale sao rappresena l unica soluzione del sisema se e solo se il rango della marice dei coefficieni ~ G K è pari ad n. Vediamo allora di indagare maggiormene sul rango di quesa marice ~ G K. Cominciamo dalla marice G ~. E possibile dimosrare che esise una permuazione di righe e colonne di quesa marice ale da porre la marice sessa in una forma diagonale a blocchi, dove i blocchi sono in numero pari proprio a p e sono ui pari alla marice G rovaa nel caso di sola uscia: ~ G G... G... = G Allora, avendo deo che la marice G è una marice di rango n, deduciamo che il rango della marice ~ G è pari a pn. Sfruando quesa informazione, consideriamo ancora una vola la disuguaglianza di Sylveser: ( ) ~ ~ ~ ( G ) + ( K ) c ( G K ) min ( G ), ( K ) ρ ρ ρ ρ ρ La dimensione comune alle marici G ~ e K è chiaramene np ; inolre, abbiamo appena deo ρ G ~ = np, per cui la disuguaglianza divena che ( ) ~ ρ ρ ρ ( K ) ( G K ) min ( np, ( K )) Per quano riguarda la marice di osservabilià, sappiamo solo che ρ( K ) np ρ( K ) = ρ K : di conseguenza, oeniamo ancora una vola che ( ) ( ) min, ( K ) ( G K ) ( K ) ρ ρ ρ n e queso implica che 6

17 Il problema della osservabilià (pare ) da cui scaurisce che ρ ( G ~ K ) = ρ( K ) Quindi, possiamo concludere che a prescindere dal numero di uscie del sisema, lo sao iniziale x() è univocamene deerminabile, ~ risolvendo il sisema G K x( ) =, y, se e solo se risula ρ( K ) = n, ossia se la marice di osservabilià è a rango pieno. Valgono, ovviamene, le sesse considerazioni anche per quano riguarda la deerminazione dei soospazi di osservabilià e non osservabilià: si rova cioè che X X = Nucleo = Range ( K ) ( K ) Esempio: sisema del ordine non osservabile Consideriamo un sisema rappresenao, in forma di sao, dalle segueni equazioni: x& x x& = x y = x [ ] u + La prima domanda che ci poniamo è se la sima dello sao iniziale può essere faa in modo univoco nell ipoesi di conoscere l andameno dell uscia libera del sisema. Per rispondere a quesa domanda, in base a quano viso prima, dobbiamo semplicemene verificare se il rango della marice di osservabilià K è pari all ordine del sisema oppure no. Essendo n=, la marice di osservabilià è K = H = = Quesa marice ha deerminane nullo, per cui il rango è minore di, ed ha almeno un elemeno non nullo, per cui ρ( K ) = < n =. Deduciamo che la sima dello sao iniziale non può essere faa in modo univoco: possiamo solo individuare una classe di sai indisinguibili, ossia un insieme di sai indisinguibili ciascuno dei quali può essere lo sao iniziale ricercao. Andiamo allora a deerminare i soospazi di osservabilià e di non osservabilià. Le relazioni da usare sono X = Nucleo K ( ) X = X = Range ( K ) (da quese relazioni e dal fao che ρ( K ) = si deduce che sia X sia X hanno dimensione ). Per rovare X Nucleo( ) = K soddisfano il sisema K x =, ossia dobbiamo semplicemene rovare ui i veori x X che 7

18 Appuni di ERIA DEI SISEMI - Capiolo x x = In forma esplicia, queso sisema è x x = 3x + 3x = a ed è soddisfao da ui i veori del ipo x = a con a numero reale qualsiasi. Preso, ad esempio, a=, possiamo scrivere che X = sp Graficamene, possiamo schemaizzare la siuazione nel modo seguene: X = R x X x Per calcolare, invece, il soospazio di osservabilià, possiamo sia usare la relazione X = Range( K ) sia deerminare il soospazio orogonale a X. Seguendo, in paricolare, quesa x seconda srada, è chiaro che i veori x = x orogonali ai veori del ipo a a sono ui i veori a del ipo : preso, ancora una vola, a=, deduciamo che a X = sp X = R x X X x 8

19 Il problema della osservabilià (pare ) ρ K = < n =, non è possibile simare in modo univoco lo sao x() di parenza del sisema; allora, consideriamo uno sao arbirario x = : si raa di uno sao non osservabile, viso che non appariene ad X, A queso puno, ci poniamo il seguene problema: abbiamo deo che, essendo ( ) ma che non appariene nemmeno a X. Vogliamo allora rovare la classe di indisinguibilià cui esso appariene, ossia l insieme di ui gli sai che, presi come sai iniziali, producono la sessa uscia libera prodoa da x preso anch esso come sao iniziale. Per fare queso, è sufficiene applicare la formula { [ K ]} [ K ] C. I.( x) = x X x = x + Nucleo = x + Nucleo = x + X a Avendo rovao che il generico sao apparenene a X è del ipo x = a, possiamo scrivere dunque che C. I.( a a x ) = x + = + a = a + a R x C. I.( x) X (,) X x Quindi, ui gli sai appareneni alla rea passane per (,) e parallela alla biserice del e 3 quadrane sono sai che, presi come sao iniziale, producono la sessa uscia libera prodoa da (,) preso come sao iniziale. Possiamo allora dire, con riferimeno a queso esempio, che ue le classi di indisinguibilià sono delle ree parallele ad X ; anche X è una classe di indisinguibilià, ma si raa di una classe paricolare, dao che è relaiva all elemeno nullo. Anzi, proprio il fao che X sia la classe di indisinguibilià relaiva all elemeno nullo fa si che si rai dell unica classe di indisinguibilià che è uno spazio veoriale. 9

20 Appuni di ERIA DEI SISEMI - Capiolo 9 ANALGIA RA SSERVABILIÀ E RAGGIUNGIBILIÀ NEI SISEMI LINEARI EMP-INVARIANI In queso paragrafo, vogliamo far vedere che esise una srea analogia (sarebbe meglio parlare di dualià ) ra la conrollabilià e la raggiungibilià di un sisema. Per far vedere queso, consideriamo i segueni due sisemi empo-coninui (regolari a dimensioni finie) lineari empo-invariani: sisema S sisema S x& = Fx + Gu y = Hx z& = F z + H v w = G z Facciamo l ipoesi che i due sisemi siano dello sesso ordine (il che significa che i veori di sao x e z hanno lo sesso numero di componeni) e sia n queso ordine. Soo quesa ipoesi, si dice che il sisema S è il duale del sisema S. Possiamo allora far vedere facilmene che le proprieà di raggiungibilià del primo sisema coincidono con quelle di osservabilià del secondo. Per sudiare la raggiungibilià di S, basa considerare la marice di raggiungibilià K = [ G FG F G F n... G ] e ricordare che il soospazio di raggiungibilià è X Range( ) = K. r In modo analogo, per sudiare l osservabilià di S, basa considerare la marice di osservabilià H H K = F... H F n e ricordare che il soospazio di osservabilià è X = Range( K ). D alra pare, usando proprio ques ulima relazione e ricordando come sono fae le marici di uscia H e di sao F del sisema S, abbiamo che H H F X = Range = Range... H F [ ] ( ) n = Range K G G F G ( F ) n n ([ ] ) ( K ) ( K ) = Range G FG F G = Range = Range = X = Abbiamo dunque rovao che X r =X ed è ovviamene possibile dimosrare anche che X =X r. Vale dunque il seguene principio di dualià : r

21 Il problema della osservabilià (pare ) eorema - Il soospazio di raggiungibilià (di osservabilià) di un sisema lineare empo-invariane ( F, G, H) coincide con il soospazio di osservabilià (raggiungibilià) del suo F, H, G sisema duale ( ) Queso risulao giusifica l analogia dei risulai oenui sulla conrollabilià e sulla raggiungibilià ed è inolre molo uile in quano spesso permee di riporare problemi di osservabilià a problemi duali di raggiungibilià. Auore: SANDR PERIZZELLI sio personale: hp://users.iol.i/sandry succursale: hp://digilander.iol.i/sandry

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