Università degli Studi di Milano-Bicocca - Facoltà di Economia Matematica Generale Modulo B - 15 Luglio Soluzione

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1 Universià degli Sudi di Milano-Bicocca - Facolà di Economia Maemaica Generale Modulo B - 5 Luglio 00 Eserciio. Dare la definiione di rango di una marice. Enunciare il Teorema di Rouchè-Capelli., verifi- 0. (a) Daa la marice A = eilveoreb = care ch = è una soluione di Ax = b. (b) Risolvere il sisema omogeneo Ax = 0. (c) Sfruando i risulai dei puni (a) e (b), deerminare ue le soluioni del sisema Ax = b.. Si rimanda al libro di eso. (a) Essendo Ax = 0 effeivamene soluione di Ax = b. =, il veor è (b) Non c è bisogno di applicare il eorema di Rouchè-Capelli, in quano il sisema omogeneo Ax = 0 è sempre possibile. In paricolare, si osserva facilmene che la marice A = 0 ha rango, es- 0 sendo de =, quindi il sisema ammee soluioni. Con semplici passaggi si oiene: x = x + y = R x = y = R = x y =, R.

2 (c) Ricordando una delle proprieà dell insieme delle soluioni di un sisema lineare, ogni soluione del sisema Ax = b si può esprimere come somma di una soluione paricolare di Ax = b e di una soluione del sisema omogeneo associao Ax = 0,dunque: x y = +, R x y = + +, R. Eserciio. Enunciare almeno una condiione sufficiene, ma non necessaria, affinchè una funione f, f :[a, b] R, sia inegrabile secondo Riemann in [a, b].. Provare con un esempio che la condiione enunciaa al puno () è solo sufficiene affinchè una funione sia Riemann-inegrabile. Z x e. Daa la funione F (x) = e d, scrivere l equaione della rea angene a F (x) nel puno x 0 =ln.. Una condiione sufficiene, ma non necessaria per l inegrabilià secondo Riemann è la coninuià in [a, b]; un alra condiione è la monoonia in [a, b]. ½ se 0 x. Si consideri ad esempio la funione f (x) = se ; f (x) <x non è coninua in uo l inervallo [0, ], in quano non è coninua nel puno x =, uavia è Riemann-inegrabile nell inervallo [0, ].. La funione inegranda f (x) = e x e x è coninua sull inervallo [, ln ], quindi è inegrabile in queso inervallo; per il Teorema fondamenale del calcolo inegrale si ha F 0 (x) =f (x) = e x e x, quindi F 0 (ln ) = 6. Inolre F (ln ) = = Z ln Z ln e x e x dx = µ Z ln µ dx = + e x ln = e Z ln dx = dx = 9e +8e.

3 L equaione della rea angene in x 0 =lnè quindi: y F (ln ) = F 0 (ln ) (x ln ) y 9e +8e = 6 e (x ln ) Eserciio. Dare la definiione di successione monoona decrescene/non crescene.. Enunciare il crierio del confrono per le serie.. Sabilire il caraere della seguene serie: P + ne (/n) n=. n +. Si rimanda al libro di eso.. Si rimanda al libro di eso.. Si ha, per n +,a n = ne(/n) n n + n+ n, ed essendo lim n + n = +, la serie assegnaa è divergene.

4 Universià degli Sudi di Milano-Bicocca Facolà di Economia Maemaica Generale Modulo B - 5 Luglio 00 Eserciio. Dare la definiione di marice inversa. Enunciare una condiione necessaria e sufficiene per l inveribilià di una marice., verifi-. (a) Daa la marice A = eilveoreb = 0 care ch = è una soluione di Ax = b. (b) Risolvere il sisema omogeneo Ax = 0. (c) Sfruando i risulai dei puni (a) e (b), deerminare ue le soluioni del sisema Ax = b.. Si rimanda al libro di eso. (a) Essendo Ax = 0 =, il veor è effeivamene soluione di Ax = b. (b) Non c è bisogno di applicare il eorema di Rouchè-Capelli, in quano il sisema omogeneo Ax = 0 èsemprepossibile. Inparicolare,siosserva facilmene che la marice A = ha rango, es- 0 sendo de =, quindi il sisema ammee 0 soluioni. Con semplici passaggi si oiene: x +y = y = R x =0 y = R = x y = 0, R. (c) Ricordando una delle proprieà dell insieme delle soluioni di un sisema lineare, ogni soluione del sisema Ax = b si può esprimere come somma di una soluione paricolare di Ax = b e di una soluione 4

5 Eserciio del sisema omogeneo associao Ax = 0,dunque:, R x y = +, R. + x y = 0 +. Enunciare almeno una condiione sufficiene, ma non necessaria, affinchè una funione f, f :[a, b] R, sia inegrabile secondo Riemann in [a, b].. Provare con un esempio che la condiione enunciaa al puno () è solo sufficiene affinchè una funione sia Riemann-inegrabile. Z x e. Daa la funione F (x) = e d, scrivere l equaione della rea angene a F (x) nel puno x 0 =ln4.. Una condiione sufficiene, ma non necessaria per l inegrabilià secondo Riemann è la coninuià in [a, b]; un alra condiione è la monoonia in [a, b].. Si consideri ad esempio la funione f (x) =x nell inervallo [, ] ; f (x) non è monoona in [, ], uavia è Riemann-inegrabile.. La funione inegranda f (x) = e x e x è coninua sull inervallo [, ln 4], quindi è inegrabile in queso inervallo; per il Teorema fondamenale del calcolo inegrale si ha F 0 (x) =f (x) = e x e x, quindi F 0 (ln 4) = 4 e: F (ln 4) = = Z ln 4 Z ln 4 e x e x dx = µ Z ln 4 µ dx = + e x ln 4 = 4e Z ln 4 dx = dx = e 8e 4. L equaione della rea angene in x 0 =ln4è quindi: 5

6 y F (ln 4) = F 0 (ln 4) (x ln 4) y e 8e 4 = (x ln 4) 4e 4 Eserciio. Dare la definiione di successione monoona decrescene/non crescene.. Enunciare il crierio del confrono asinoico per le serie.. Sabilire il caraere della seguene serie: P + (n +)e (/n ) n=. n. Si rimanda al libro di eso.. Si rimanda al libro di eso. (n ) +)e(/n. Si ha, per n +, a n = n+ n n lim n + n =+, la serie assegnaa è divergene. n, ed essendo 6

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