( ) ( ) Esempio di Prova di MATEMATICA E FISICA - MIUR PROBLEMA 1 (traccia di soluzione di S. De Stefani)

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1 Esempio di Prova di MATEMATICA E FISICA - MIUR PROBLEMA (raccia di soluzione di S. De Sefani) Assegnae due cosani reali a e (con >), si consideri la funzione ) così definia: )=. A seconda dei possiili valori di a e, discuere se nel grafico della funzione è presene un puno di massimo o di minimo. Deerminare i valori di a e in corrispondenza dei quali il grafico della funzione ), in un piano caresiano di coordinae,), ha un massimo nel puno,.. Assumendo, d ora in avani, di avere =4 e =, sudiare la funzione )=4 verificando, in paricolare, che si ha un flesso nel puno 4,. Deerminare l equazione della rea angene al grafico nel puno F. 3. Supponendo che la funzione ) rappreseni, per, la carica elerica (misuraa in C) che araversa all isane di empo (misurao in s) la sezione di un cero conduore, deerminare le dimensioni fisiche delle cosani e sopra indicae. Sempre assumendo =4 e =, esprimere l inensià di correne ) che fluisce nel conduore all isane ; deerminare il valore massimo ed il valore minimo di ale correne e a quale valore essa si assesa col rascorrere del empo. 4. Indicando, per, con ) la carica oale che araversa la sezione del conduore in un dao inervallo di empo,, deerminare a quale valore ende ) per +. Supponendo che la resisenza del conduore sia =3 Ω, scrivere (senza poi effeuare il calcolo), un inegrale che fornisca l energia dissipaa nell inervallo di empo,. Soluzione Puno Poiché a >, possiamo esaminare due casi: > oppure <. La derivaa prima della funzione q( ) = a e è daa da ( ) ( ) q'( ) = a e + e = ae +. Quindi, se > la derivaa prima q '( ) ae ( ) un minimo relaivo (e assoluo) per = + è posiiva per =. e la funzione q( ) ha

2 Se < la funzione q( ) ha un massimo relaivo (e assoluo) per =. Imponiamo che il massimo della funzione sia il puno 8 q() = e q '() = 8 B. Si oiene il sisema, e ovvero 8 a e = e a e ( + ) = da cui si oengono i valori a = 4 e =.

3 Puno La funzione )=4 ha dominio R, inerseca gli assi in (, ) ed è posiiva per >. Poiché si ha lim )=, non esise asinoo oliquo a sinisra. lim )= F.I.= lim = F.I.=.. lim = L asse delle ascisse è asinoo orizzonale a desra. )= ) la funzione cresce per <, decresce per >, ha un massimo in ;. )= 4) la funzione è concava per < 4, convessa per > 4, ha un flesso in 4;. La rea angene al grafico in F ha equazione = 4). Puno 3 La cosane a, se q è una carica, ha la dimensione fisica di una inensià di correne [a] =, e si misura in ampere (A), essendo il rapporo ra una carica e un empo. La cosane ha invece le dimensioni fisiche del reciproco di un empo: [] = e si misura quindi in s -. Nel eso, la definizione, come grandezza fisica, della funzione q( ) non è chiara. Assumiamo che q( ) sia una carica e che dq sia la carica elerica infiniesima che fluisce araverso la sezione di un dq conduore nell inervallo di empo infiniesimo d. Si ha quindi i( ) d =. Perano q( ) = i( ) d e quindi è la quanià di carica che ha araversao una sezione del conduore nell inervallo di empo [, ]. La derivaa di q( ) è perano l inensià di correne isananea. Il grafico di q( ) è il seguene. 3

4 q L inensià di correne all isane corrisponde alla derivaa prima della funzione, già calcolaa in precedenza: )= con. Essendo 4, la funzione decresce per < 4 e cresce per > 4, quindi presena un minimo in 4;. La correne ha valore massimo nell isane iniziale ( = s) ed è pari a 4 A. Il valore minimo assuno dalla correne, nell isane di empo = 4 s, vale circa -,54 A. Si noi che dopo s la correne si invere. Si ha inolre: lim lim forma inde.. lim Quando il empo ende all infinio, l inensià di correne ende a zero. i. 4

5 Puno 4 La definizione di Q( ) nel eso è amigua e poco chiara e non si comprende esaamene quale sia la prima richiesa di queso puno 4. Proailmene si chiede di rovare il seguene inegrale: ( ) '( ) [ ( ) ] 4 (misuraa in coulom). Q = i d = q d = q = e Si ha + H. lim Q = i( ) d = lim 4 e = 4 lim = 4 lim = e e L energia dissipaa per effeo Joule nel circuio, nell inervallo di empo [, ], è daa da ( '( )) 3 e ( ) e ( ) W = R i d = R q d = d = d che lasciamo indicao (come richieso dal eso). Giudizio sul prolema Livello di difficolà simao Basso Medio Alo Molo alo Formulazione del prolema Scorrea Amigua Poco chiara Si raa di un prolema conesualizzao L argomeno è presene nelle Indicazioni Nazionali L argomeno è presene nel QdR di Maemaica L argomeno è presene nel QdR di Fisica Di solio, viene svolo nella praica didaica usuale? È un argomeno presene nei liri di eso di Ma/Fis? Verifica conoscenze / ailià/ compeenze fondamenali? Per la risoluzione del prolema è uile usare una calcolarice grafica? No Sì Sì Sì Parzialmene No No No In modo acceaile Correa Molo chiara Ben conesualizzao Non è espliciao / Non Non è espliciao / Non Non è espliciao / Non Sì No Non sempre No Non sempre Sempre Sì Solo parzialmene No Sì No Parzialmene 5