Meccanica introduzione

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2 Meccanica inroduzione La meccanica e quella pare della Fisica che sudia il moo dei corpi. Essa e cosiuia dalla cinemaica e dalla dinamica. La dinamica si occupa dello sudio del moo e delle sue cause. La cinemaica sudia il moo da un puno di visa descriivo ramie le grandezze empo, posizione, velocia ed accelerazione senza occuparsi delle cause del moo sesso. La meccanica classica, cioe la meccanica che sudieremo nel presene corso, descrive in modo correo il moo di corpi macroscopici che si muovono con velocia rascurabili rispeo alla velocia della luce nel vuoo. Definiamo puno maeriale un oggeo di cui possiamo rascurare le dimensioni rispeo alle lunghezze che inervengono nella descrizione del suo moo. La descrizione del moo di un puno maeriale e complea quando siamo in grado di descriverne la posizione in funzione del empo.

3 Veore posizione Il moo di un corpo puo essere descrio rispeo ad un sisema di assi caresiani Oxyz fisso rispeo al sisema di riferimeno usao. Definiamo veore posizione r di una paricella P quel veore che ha la coda nell origine del sisema di assi caresiani scelo e la puna nel puno occupao dalla paricella. Il veore posizione sara una funzione veoriale del empo. Le componeni caresiane del veore posizione corrispondono alle coordinae caresiane x() y() z() della paricella P perano: r()x() i + y() j + z() k. Veore sposameno Quando il puno maeriale si muove da A a B nell inervallo di empo f - i il suo veore posizione cambia da r i ad r f. Definiamo veore sposameno r r f -r i

4 Veore velocia Definiamo velocia media del puno nell inervallo di empo f - i il veore dao dal rapporo fra il veore sposameno ed il empo necessario per realizzare queso sposameno. v r Quando l inervallo di empo f - i durane il quale osserviamo il moo divena sempre piu piccolo, la direzione del veore sposameno ende a quella angene alla raieoria nel puno A. Definiamo velocia isananea il veore v v lim r dr La velocia isananea e uguale alla derivaa del veore posizione rispeo al empo. La direzione del veore velocia isananea in un puno e quella della rea angene la raieoria in quel puno menre il verso e quello del moo. Nel S.I. la unia di misura della velocia e il mero al secondo m/s. Da quano viso si ha che le componeni caresiane del veore velocia sono la derivaa rispeo al empo delle componeni del veore posizione dr d dx dy dz v ( xi + yj+ zk) i + j+ k v x i + v y j + v z k

5 Veore accelerazione Supponiamo che, nell inervallo di empo f - i, il veore velocia isananea cambi di v v f -v i dove v i a v f sono le velocia agli isani i e f. Definiamo accelerazione media il veore : a v Nel S.I la unia di misura della accelerazione e quindi il mero al secondo quadrao m/s. La accelerazione isananea e definia come: a lim v d v d x i d y d z + j + k a x i + a y j + a z k Quindi le componeni caresiane del veore accelerazione sono la derivaa seconda rispeo al empo delle componeni caresiane del veore posizione.

6 Moo ad accelerazione cosane Consideriamo il moo di un puno maeriale che si muove con accelerazione cosane a. Per ale ipo di moo, deo anche moo uniformemene accelerao, ci proponiamo di rovare le equazioni orarie del moo aa() ; vv() ; rr() La prima equazione oraria e banale: aa()a Per ricavare la seconda equazione oraria occorre inegrare la prima fra un generico isane iniziale 1 ed un generico isane finale. d v a d v a d v a v -v 1 a ( - 1 ) v v 1 + a ( - 1 ) Se si ipoizza che il moo cominci all isane 1, indicando la velocia iniziale v 1 v e la velocia finale v v si oiene la equazione generalizzaa v v + a Per ricavare la erza equazione oraria inegriamo la seconda equazione oraria fra un generico isane iniziale 1 ed un generico isane finale. d r v + a d r v + a 1 dr v 1 + a r -r 1 v ( - 1 )+1/ a ( - 1 ) r r 1 + v ( - 1 ) +1/ a ( - 1 ) Se si ipoizza che il moo cominci all isane 1, indicando la velocia iniziale v 1 v la posizione iniziale r 1 r e la posizione finale r r si oiene la equazione generalizzaa r r + v +1/ a 1 1 1

7 Quindi le re equazioni orarie per un moo ad accelerazione uniforme sono a a ; v v + a ; r r + v +1/ a Ognuna di quese equazioni orarie, come ue le equazioni veoriali, puo essere proieaa sugli assi x, y, z fornendo re equazioni scalari che legano le componeni caresiane dei veori. Dalla aa oeniamo a x a x ; a y a y, ; a z a z Dalla v v + a oeniamo: v x v x +a x ; v y v y +a y ; v z v z +a z Dalla r r + v +1/ a oeniamo: x x +v x +1/a x ; y y +v y +1/a y ; zz +v z +1/a z Noiamo che: Un moo ad accelerazione cosane avviene sempre in un piano individuao dai veori a e v Il moo puo essere considerao come la composizione di re moi indipendeni lungo gli assi x, y, z. Infai la componene x della posizione dipende solo dalle componeni x di velocia iniziale ed accelerazione e cosi via. Cio puo essere di aiuo nella risoluzione dei problemi. Un moo con accelerazione cosane a e un moo a velocia cosane. Tale moo (a velocia cosane) deve necessariamene essere un moo reilineo (cioe che avviene lungo una rea) con direzione e verso idenificai dal veore velocia v Un moo reilineo a velocia cosane prende il nome di moo reilineo uniforme. Dao un corpo che si muove con componene della accelerazione cosane lungo un asse, (ad es. l asse x) combinando le leggi orarie per la velocia e per la posizione (v x v x +a x ; xx +v x +1/a x ) si oiene: v x v x +a x (x-x ) Tale relazione puo essere uile nella risoluzione di problemi.

8 Moo parabolico Un ipico esempio di moo con accelerazione cosane e quello di corpo lanciao con velocia iniziale v in prossimia della superficie erresre. Infai, rascurando l ario con l aria, ui i corpi doai di massa che si muovono in prossimia della superficie erresre sono doai di una accelerazione di gravia a g rivola verso il basso dove g g 9.81 m/s Per sudiare ale moo piano e consigliabile scegliere come riferimeno un sisema di assi caresiani Oxyz con il piano xy coincidene con il piano del moo (idenififao dai veori g e v ), l asse y parallelo al veore g e rivolo verso l alo, e l origine coincidene con la posizione della paricella al empo. In al modo il veore accelerazione g ha componene non nulla solo rispeo all asse y e ue le componeni di velocia ed accelerazione sono nulle rispeo all asse z, semplificando la risoluzione del problema. (In generale, nella risoluzione dei problemi bisogna sempre cercare un sisema di assi caresiani rispeo al quale la descrizione del moo in esame risuli piu semplice.) v ox v o cos θ i v oy v o sen θ i a oy -g; a ox x o y o V oy V o V y V y Vo y Le equazioni orarie per il moo lungo l asse x saranno: a x a ox ; v x v ox +a ox v ox ; xx o + v ox +1/ a ox v ox Avremo un moo reilineo uniforme lungo l asse x. Le equazioni orarie per il moo lungo l asse y saranno: a y a oy -g; v y v oy +a oy ; yy o + v oy + 1/a oy Avremo un moo reilineo uniformemene accelerao lungo l asse y.

9 Eliminando la variabile dalle leggi orarie per il moo lungo gli assi y ed x oeniamo la equazione della raieoria xv ox ; x/v ox yv oy +1/a oy (v oy /v ox )x +1/(a oy /v ox ) x Ricordando che: v ox v o cos θ i ; v oy v o sen θ i ; a oy -g Si ha che: y x g θ i -1/ g [1/(v o cos θ i )] x Abbiamo quindi oenuo una equazione del ipo yax+bx Cioe la equazione di una parabola passane per l origine e con l asse parallelo all asse y. Perano: una paricella che si muove con accelerazione cosane a ed ha una velocia iniziale non parallela al veore accelerazione a percorrera una raieoria parabolica. Noiamo che per le componeni delle velocia nel moo considerao abbiamo : v x v ox ; v y v oy -g Cioe la componene della velocia lungo l asse x e cosane con il empo menre la componene della velocia lungo y diminuisce con il empo V oy V y V y V oy

10 Esempio: Due palline vengono lasciae andare allo sesso isane dalla sessa quoa h. La pallina 1 con velocia iniziale nulla, la pallina con velocia iniziale v rivola nel verso posiivo dell asse x. Trascurando la inerazione con l aria deerminare: 1) in che isane le due palline giungono al suolo. ) la disanza percorsa dalla pallina lungo l asse x nell isane in cui occa il suolo. Le equazioni per il moo lungo l asse y per le due palline saranno uguali yyo+voy+1/aoy h+-1/g Perano ue e due le palline raggiungeranno la quoa y allo sesso isane ale che h-1/g (h/g)1/ y La equazione per il moo lungo l asse x per la pallina sara : x xo+vox+1/aox vo Perano all isane (h/g)1/ al quale la pallina occa il suolo essa avra percorso una disanza xv (h/g)1/ x

11 Esempio: massima alezza e giaa di un proieile Un proieile viene sparao con velocia iniziale v formane un angolo θ i con l orizzonale. Deerminare la quoa massima h raggiuna dal proieile e la disanza R (giaa) percorsa dal proieile rascurando l inerazione con l aria. Ho che: v oy v o sen θ i ; v ox v o cos θ i ; a oy -g; a ox ; x o y o v o Per il moo lungo l asse x abbiamo: 1) x x o +v ox +1/a ox v ox ; ) v x v ox +a ox v ox Per il moo lungo l asse y abbiamo: 3) y y o +v oy +1/a oy v oy -1/g ; 4) v y v oy +a oy v oy -g Per calcolare la quoa massima dalla equazione 4) oeniamo il empo necessario per raggiungere la quoa yh dove avremo v y v oy -g v oy /g Sosiuendo nella equazione 3) oeniamo la quoa massima h v oy (v oy /g)-1/g(v oy /g) (v oy /g)(1-1/) (v o sen θ i ) /g

12 Per calcolare la giaa considero le precedeni equazioni 1) e 3) per il moo lungo gli assi x e y 1) x v ox ; 3) yv oy -1/g Dalla 3) oengo il empo per percorrere la disanza R imponendo y v oy -1/g (v oy -1/g ) Quesa ha soluzioni: (corrisponde all isane iniziale quando il proieile e nell origine) v oy /g (corrisponde all isane finale quando il proieile occa il suolo) Sosiuendo nella equazione 1) ho: R v ox (v oy /g )(/g) v o sen θ i cos θ i ricordando che sen(θ) cos(θ) sen(θ) R (1/g) v o sen( θ i ) la giaa e quindi massima per θ i 9 cioe θ i 45 Fissao il modulo della velocia iniziale esisono sempre due angoli di lancio θ i che danno la sessa giaa R.

13 Alcuni quesii di verifica 1) Cosa inendiamo quando diciamo proieare una equazione veoriale sui re assi x,y,z di un sisema caresiano? )Siee in grado di definire i veori posizione, velocia ed accelerazione? 3)Conoscee ed avee capio il significao delle leggi orarie per il moo ad accelerazione cosane? 4)Saprese spiegare perche un moo ad accelerazione cosane e un moo piano? 5)Lanciae verso l alo in direzione vericale con la sessa velocia iniziale due corpi rispeivamene di massa m 1 1 kg ed m 1 kg. Quale dei due raggiunge la quoa maggiore? Spiegae. 6)Lasciae cadere dalla sessa quoa con velocia iniziale nulla due corpi rispeivamene di massa m 1 1 kg ed m 1 kg. Quale dei due raggiunge il suolo prima? Spiegare. Le velocia dei due corpi quando quesi occano il suolo saranno differeni?