Fisica Cinematica del punto

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1 Fisica - Cinemaica del puno 5

2 a d accelerazione angenziale a dφ u + u N a N a + a N accelerazione normale (cenripea) Cenro e raggio di curaura La raieoria localmene può essere approssimaa da una circonferenza ds Moo nel piano: accelerazione dφ dφ d a u raggio di curaura (aria lungo la raieoria!) ds + u N a N ds C + a dφ a a + a N d a u a a N d a Modulo: N Moo reilineo u Moo curilineo uniforme (solo cambiameno di direzione) d a a + N 4

3 Componeni caresiane dell accelerazione a d Moo nel piano: accelerazione u + u N a + a N Proieiamo l accelerazione sugli assi del sisema caresiano di riferimeno a y a N d dy u y a u au + ayu + uy y O u Componeni caresiane in funzione dell accelerazione angenziale e cenripea π a a cosα + an cos α d cosα + sinα d a y sinα + cosα Viceersa: a α a ( ) ( ) a Accelerazione elocià Noo il eore elocià in funzione del empo: a( ) d( ) + a( )

4 Coordinae polari (r, θ): Angoloθ() aggio Moo circolare Caso paricolare di moo curo nel piano raieoria: circonferenza Modulo elocià (in generale) non uniforme r cons Coordinae curilinee Posizione misuraa lungo la raieoria: s( ) θ ( ) Coordinae caresiane: ( ) cosθ ( ) y( ) sinθ ( ) y() () θ () () P s()

5 y θ Moo circolare + Consideriamo il puno P in due isani, θ θ Velocià angolare (isananea): Velocià angolare in funzione di e : ω dθ s( ) θ ( ) ω ds θ ( ) θ Sposameno angolare: Velocià angolare media: θ θ θ ω θ m θ dθ ω lim θ ( + ) θ + Deriaa rispeo al empo dell angolo ) θ ( Velocià angolare: Proporzionale al modulo della elocià (se aria nel empo, lo fa anche ω) Inersamene proporzionale a

6 Generica raieoria nel piano u θ u 9 Moo circolare: elocià u r Velocià (in generale) per moo nel piano: per moo circolare dr ur + r dθ uθ dθ uθ Modulo della elocià: ( oeniamo il risulao già roao) nel caso generale dθθ ( ) ( ) ω ( ) Moo circolare uniforme r( ) cosane La elocià angolare è cosane Accelerazione: ω cons d cons ω cons a( ) u + u N a u N a a ( ω) Accelerazione cenripea: ω proporzionale al quadrao della elocià angolare

7 y() Moo circolare uniforme θ () () P a s() s Accelerazione: a s( ) θ u N Descriiamo il moo lungo la raieoria: s ( ) s + θ ( ) θ + ω Sposameno, elocià, accelerazione: s( ) θ ( ) ω ω cosane a ω ω accelerazione cosane e cenripea Moi proieai sugli assi: ( ) cosθ ( ) cos( ω +θ) y( ) sinθ ( ) sin( ω +θ) Moo periodico π con periodo π ω Moi armonici (sfasai di π/) con pulsazione pari alla elocià angolare del moo circolare ω ω P

8 Saellii di Gioe Velocià e accelerazione Calliso Ganimede Europa Assumiamo orbie circolari e co-planari Sa ω Sa () Da erra ediamo il moo proieao ψ () Galileo, 69 Jupier ψ () J-Sa cos( ω Sa ) () << d E J anψ ψ de-j J-Sa () cos( ωsa) de-j de-j Osserazione: - Misura periodo Sa - Misura del massimo scosameno angolo ψ ma Earh Disanza erra-gioe (noa) J-Sa ψ mad E - J

9 Saellii di Gioe Velocià e accelerazione Europa Ganimede Calliso Dalle osserazioni possiamo facilmene oenere: J-Sa Sa Nome Diamero Massa Disanza media da Gioe Periodo orbiale 3643 km 8,93 kg 4 8 km,77 giorni Europa 3 km 4,8 kg 67 km 3,55 giorni Ganimede 56 km,48 3 kg 7 4 km 7,6 giorni Calliso 48 km,8 3 kg 88 7 km 6,69 giorni Velocià angolare? Velocià angenziale? Accelerazione cenripea? ω π ω Misure per π 5 4 s (4. s )(4. km) 7km/s a ω 5 ω (7 km s )(4 s ) km s.68 m s

10 Saellii di Gioe Velocià e accelerazione Europa Ganimede Calliso Dalle osserazioni possiamo facilmene oenere: J-Sa Sa Nome Diamero Massa Disanza media da Gioe Periodo orbiale 3643 km 8,93 kg 4 8 km,77 giorni Europa 3 km 4,8 kg 67 km 3,55 giorni Ganimede 56 km,48 3 kg 7 4 km 7,6 giorni Calliso 48 km,8 3 kg 88 7 km 6,69 giorni Velocià angolare? Velocià angenziale? Accelerazione cenripea? Cal ω ω Cal Cal per Calliso? ω ω Cal a a Cal Cal ω ω Cal Cal. 45

11 Moo circolare: accelerazione ω Accelerazione angenziale e normale in funzione di quanià angolari ω a a N a d u + a + a N ( ) ω( ) u N Caso generale (non-uniforme): Per un moo circolare possiamo definire una accelerazione angolare media ω α lim d ω ω ω α m a a N se aria aria anche ω, e iceersa e accelerazione angolare (isananea) ω dω d θ ω / an a α u +ω u N a ω dω d α a

12 θ () α() + ω( ) ω α( ) Moo circolare dθ d θ ω α ω( ) ω + α( ) Moo circolare uniformemene accelerao + θ ( ) θ ω( ) Accelerazione cenripea reilineo ( ) + + a ( ) + a a ( ) a ω + + θ ( ) θ ω( ) α cosane α ω + α θ + ( ω + α ) θ + + a N ω ( ω + α ) analogia eore circolare θ ( ) θ + ω + α ω ( ) ω + α a( ) α u + ω u N ω α Per a α Moo uniforme accelerazione cenripea

13 d θ ω Modulo: ω Moo circolare quanià scalare Noazione eoriale per la elocià angolare:ω dθ Direzione: orogonale alla circonferenza ω y r Verso: il moo appare aniorario iso dalla puna di ω O Con quesa definizione abbiamo: ω r π ω sin ω Possiamo applicare il eore a qualunque puno dell asse ω r ω r sinφ ω ω ω φ O' y r

14 Moo nei pressi della superficie erresre y Consideriamo il moo di un puno maeriale lanciao da erra con una cera elocià iniziale raieoria? Alezza massima? a gu y Giaa? Velocià finale? u y θ O u u Accelerazione (noa) Velocià Posizione ( ) ( ) r ( ) r ( ) + + a( ) ( ) gu y y g u y Il moo si maninene nel piano ) ( g, ( cos ) θ ( sin ) θ y cosθ sinθ g y ( cos θ ) reilineo uniforme g ( sin θ) g uniformemene accelerao