MOTI. branca della fisica che studia il moto dei corpi e le forze che lo fanno variare

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1 MOTI Meccanica: branca della fisica che sudia il moo dei corpi e le forze che lo fanno ariare Cinemaica: Dinamica: descrie il moo dei corpi senza fare riferimeno esplicio alle forze che agiscono su di essi è lo sudio della relazione esplicia ra le forze ed il loro effeo sul moo Per descriere un moo è necessario specificare la posizione del corpo in ogni isane. E quindi necessario definire un sisema di coordinae: Coordinae Caresiane Caso Mono-dimensionale O Coordinaa- spesso indicaa con X Origine delle Coordinae (posizione dell osseraore Oggeo Coordinaa- spesso indicaa con - X O Oggeo Origine delle Coordinae (posizione dell osseraore Moi - Capiolo e 4 HRW

2 Caso Bidimensionale Coordinae Caresiane Ascissa X Ordinaa Y Coordinae Polari Disanza Radiale r Angolo θ y O O r θ ---> (X,Y ---> (r, θ E oiamene possibile rasformare le coordinae caresiane in polari e iceersa y r cos ( θ r sin( θ r θ r + y aan y Moi - Capiolo e 4 HRW

3 Coordinae Caresiane Coordinae Caresiane Caso Tridimensionale z y Coordinae Sferiche y z r sin r sin r cos ( θ cos( ϕ ( θ sin( ϕ ( θ Coordinae Cilindriche r cos y r sin z z ( θ ( θ Moi - Capiolo e 4 HRW 3

4 Per descriere un moo è necessario, una ola specificaa la posizione del corpo, definire lo sposameno, la elocià e l accelerazione. Sposameno: Lo sposameno di un corpo è il eore il cui modulo è la disanza fra la posizione iniziale e la posizione finale del moo misuraa lungo la rea che li congiunge. La direzione è quella delle rea che congiunge la posizione iniziale con la posizione finale. Il erso è quello riolo dalla posizione iniziale alla posizione finale Tano più la posizione iniziale e la finale disano nel empo ano meno preciso risula essere il eore sposameno. Per definire lo sposameno è necessario aer definio in precedenza sia l origine del sisema di coordinae che il sisema di coordinae da usare. Alrimeni non sapremmo da doe far parire il eore posizione. s p p 0 A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più icine nel empo il eore sposameno diena sempre più simile ad un segmeno della raieoria. Porando queso ragionameno al limie è possibile definire il eore sposameno infiniesimo ds che descrie lo sposameno ra due posizioni infiniamene icine ds ds dsdsds ds Il eore sposameno infiniesimo risula quindi essere un segmenino della raieoria. La raieoria risula essere composa dall iniluppo di ui i eori sposameno Moi - Capiolo e 4 HRW 4

5 ATTENZIONE La Traieoria è il percorso del corpo nel piano y (o yz La Traieoria iene isualizzaa in un piano caresiano con le coordinae (X,Y,Z. come assi Moi - Capiolo e 4 HRW 5

6 Il Diagramma Orario NON è la Traieoria Nel Diagramma orario l asse delle X rappresena il Tempo, quello delle Y la coordinaa Un moo mono-dimensionale si rappresena in un Diagramma orario a D Un moo bi-dimensionale si rappresena in un Diagramma orario a 3D Moi - Capiolo e 4 HRW 6

7 Per descriere un moo è necessario, una ola specificao lo sposameno, definire quano elocemene un corpo si muoe Velocià: La elocià di un corpo è, per definizione, il rapporo fra lo spazio percorso (cioè lo sposameno e l inerallo di empo impiegao per percorrerlo Poiché ho bisogno del eore sposameno, anche la elocià dorà essere un eore. Modulo: eore sposameno * /inerallo di empo Direzione: quella del eore sposameno Verso: quella del eore sposameno Tano più la posizione iniziale e la finale disano nel empo ano meno preciso risula essere il eore elocià A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più icine nel empo il eore elocià diena sempre più icino alla angene alla raieoria. Porando queso ragionameno al limie è possibile definire il eore elocià isananea ( che dà la elocià di un puno maeriale nell isane. La elocià isananea risula essere angene alla raieoria s s is s s ds lim [] [ m] [] s Moi - Capiolo e 4 HRW 7

8 Diagramma Orario Cura di Velocià is ds Moi - Capiolo e 4 HRW 8

9 c c b b is lim c b c c b b ds In un Diagramma Orario la elocià isananea calcolaa nel puno generico X rappresena il coefficiene angolare della rea angene la raieoria nel puno X ( ds( Moi - Capiolo e 4 HRW 9

10 Per descriere un moo è necessario, una ola specificao lo sposameno e la elocià, definire quano elocemene un corpo cambia la sua elocià Accelerazione: L accelerazione di un corpo è, per definizione, il rapporo fra il eore elocià isananea e l inerallo di empo associao Poiché ho bisogno del eore elocià, anche la accelerazione dorà essere un eore. Modulo: eore elocià * /inerallo di empo Direzione: dipende da caso a caso Verso: dipende da caso a caso Tano più la elocià iniziale e la finale disano nel empo ano meno preciso risula essere il eore accelerazione A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più icine nel empo è possibile definire il eore accelerazione isananea a( che dà la accelerazione di un puno maeriale nell isane. a a is d lim [ ] a [ m] [] s Noa: Lo sposameno infiniesimo è un segmenino di raieoria La elocià isananea è sempre angene alla raieoria L accelerazione può aere un orienameno qualsiasi rispeo alla raieoria Moi - Capiolo e 4 HRW 0

11 k d k k a d k Moi - Capiolo e 4 HRW

12 Moi - Capiolo e 4 HRW

13 Moi - Capiolo e 4 HRW 3 Sposameno infiniesimo dz z z dy y y d s s ds dz dy d ds ds ds ds z y z y ( Velocià isananea Accelerazione isananea s d s d s d s d d d d d a z y z y a a a a s z y z y ( ( ( ( ( ( ( ( ( a a a a z y ( ( ( ( (

14 Equazione Oraria s f ( empo s s y log ( 3 s s s y s 3 s s s 3 L equazione oraria permee di deerminare le componeni del eore posizione del corpo in sudio in qualsiasi isane di empo Moi - Capiolo e 4 HRW 4

15 Analogamene una equazione del ipo g( d f ( empo y Permee di conoscere le componeni della elocià di un corpo in qualsiasi empo y Un discorso Analogo ale per l accellerazione Accellerazione, Velocia e Sposameno sono legae ra loro da relazioni maemaiche Moi - Capiolo e 4 HRW 5

16 Esempi alla laagna: 0 - Esercizi - Calcolo della elocià e dell accellerazione noo lo sposameno - Calcolo dello sposameno noa la elocià Moi - Capiolo e 4 HRW 6

17 Moo Circolare Coordinae Caresiane D Coordinae Polari D y r θ sposameno lungo le y sposameno lungo le a a y y d elocià lungo le dy elocià lungo le y d accelerazione lungo le d y accelerazione lungo le y y (meri ( meri ( m / s ( m / s ( m / s ( m / s θ sposameno r sposameno a a θ r θ r dθ elocià dr elocià angolare radiale angolare radiale ( rad ( meri ( rad / s ( m / s d θ accelerazione angolare d r accelerazione radiale Ma in un moo circolare r cosane r 0 e a r 0 Riduco il problema in D ( rad / s ( m / s Nuoe Osserabili Periodo (T : empo necessario per fare un giro Frequenza (ν : /T (Hz Moi - Capiolo e 4 HRW 7

18 Moi - Capiolo e 4 HRW 8 Moo Circolare Coordinae Polari (D r θ ( ( ( ( ( ( ( s r s r T r a a (m/s d d a accelerazione angenziale a r (m/s d angenziale elocià m angenziale sposameno r π ν π ω ϑ θ ( ( ( ( ( ( / ( ( s s T (rad/s θ d d a accellerazione angolare a s rad dθ angolare elocià rad sposameno angolare θ θ θ π ω ν ω π ω ω ω Noa: Quando ω è cosane prende il nome di pulsazione

19 Esercizi sul moo circolare uniforme: Velocià angenziale/velocià angolare Coordinae Radiali Coordinae caresiane Moi - Capiolo e 4 HRW 9

20 Forze Il ermine forza nel senso comune indica una razione od una spina Nell indicare una forza si usa una freccia in quano una razione o spina ha sempre una inensià (il modulo una direzione ed un erso. Da un puno di isa fisico quindi la forza è un eore. Se la forza è una quanià reale dee poer essere misurabile, per essere misurabile dee indurre degli effei che possono essere quanificai. Prima legge di Newon Un corpo rimane nel suo sao di quiee o nel suo sao di moo reilineo a elocià cosane se una forza risulane non nulla non lo cosringe a ariare il suo sao di moo oppure Un corpo non soggeo a forze o la cui risulane di ue le forze a lui applicae è nulla permane nel suo sao di quiee o nel suo sao di moo reilineo uniforme L assenza di forze (o il fao che la loro somma eoriale sia il eore nullo quindi implica l assenza di una ariazione di moo, cioè l assenza di accelerazione. Un corpo senza accelerazione si dice in equilibrio Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW

21 Esempio Incidene Sradale Esempio Le cinure di sicurezza nelle auo Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW

22 Seconda legge di Newon Se una forza risulane ΣF non nulla agisce su un corpo di massa m il modulo della conseguene accelerazione a è direamene proporzionale al modulo della forza risulane ed inersamene proporzionale alla massa. La direzione ed il erso dell accelerazione è uguale alla direzione e erso della forza risulane. ΣF a ΣF m ma La massa (quello che noi quanifichiamo come la quanià di maeria risula essere il ermine di proporzionalià ra forza ed accelerazione. Maggiore è la massa di un corpo maggiore dorà essere la forza necessaria per dare al corpo una daa accelerazione. Le dimensioni della forza sono: [ ] [ ] [ m ] Kg [] s Forza [ N ] Newon L equazione di newon è di naura eoriale e quindi può essere scomposa nelle sue componeni (caresiane, sferiche, cilindriche ΣF ΣF ΣF ΣF y z ma ma ma y z ma Poiché la massa è uno scalare compare ale e quale in ue le re equazioni Un corpo è quindi in equilibrio quando la somma di ue le forze ageni è nulla Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 3

23 Composizione delle forze Forza risulane La macchina si muoe con elocià cosane. Quano sarà la forza oale? Il piede è fermo! Quano saranno le ensioni dei fili Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 4

24 Esempi alla laagna Calcolo legge del moo reilineo uniforme Calcolo legge moo uniformemene accelerao Noa: Anche quesi argomeni raai esclusiamene in Aula sono argomeno di esame Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 4

25 Forza Graiazionale/Forza Peso In prima approssimazione, per un osseraore sulla superficie erresre, è la forza che aira qualsiasi corpo erso il suolo. E una forza cosane (non cambia nel empo ed uniforme (è la medesima in qualsiasi puno dello spazio F - mg Puna erso il basso F - m g Accelerazione di graià, 9.8 m/s Massa Inerziale Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 6

26 Esempio: Cadua libera Calcolare posizione, elocià ed accelerazione di un corpo di massa M in cadua libera dopo,,3,4,5 secondi Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 7

27 Le equazioni di moo di un corpo in cadua libera NON dipendono dalla massa del corpo sesso. Quindi in assenza di ario un sasso una piuma impiegano il medesimo empo per arriare a erra C e un bel filmao fao dagli asronaui sulla Luna Sio: hp://esuius.jsc.nasa.go/er/seh/feaher.ai -Al Inio- Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 8

28 Forza Peso Il Peso di un corpo è il modulo della forza nea richiesa per eiare che il corpo cada, quindi per conrobilanciare la forza di graià agene sul corpo Apple: IP000 Forza peso Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 9

29 Forza Normale La forza normale è la forza eserciaa da una superficie quando, deformandosi, sosiene il corpo appoggiao. La forza Normale è sempre perpendicolare alla superficie e di indica con la leera N Se il corpo ha massa M Kg quano ale N? Che differenza c e ra la Forza Normale e la Forza Peso? Sono Sempre Uguali? Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 0

30 N F g 30 Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW

31 Forza di Ario Saico F k La forza di ario saico è la forza necessaria per meere in moo un corpo di massa M su una superficie k Il corpo è in quiee, non applico nessuna forza. Il corpo rimane fermo. Inizio ad applicare una forza F < F k Il corpo rimane fermo. Aumeno F ma sempre F < F k Il corpo rimane fermo. Ora F F k Il corpo rimane fermo. Se F > F k il corpo acquisisce una accelerazione a. F k µ k N µ k < µ k dipende dal maeriale k Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW

32 Forza di Ario Dinamico F d La forza di ario dinamico è la forza che si oppone a qualsiasi moo di un corpo m che sriscia su un maeriale K N F d Fd N F d µ d N µ d < F d agisce solo se il corpo è in moo F d è sempre opposa alla direzione di moo µ d dipende dal maeriale K µ d < µ k Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 3

33 Tensione Quando un filo è fissao ad un corpo soggeo ad una forza, il filo è soo ensione. Il filo esercia sul corpo una forza di razione T applicaa al puno di fissaggio del filo e direa lungo il filo La ensione della corda è il modulo di ale forza Quano ale T nei re casi (i re corpi sono fermi? Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 4

34 Forza Elasica Un maeriale elasico è un maeriale che ha la capacià di riacquisare la forma iniziale dopo essere sao compresso o deformao (p.es. la molla La forza necessaria per allungare o accorciare una molla (caso D è linearmene proporzionale all allungameno sesso. La cosane di proporzionalià k è dea cosane elasica F k( 0 La osserabile 0 rappresena l esensione della molla quando non è soggea a forze, l osserabile indica l auale esensione della molla Se comprimo la molla la forza che esercio è negaia < ( 0 F k 0 < 0 Se esendo la molla la forza che esercio è posiia > ( 0 F k 0 > 0 Per moii di semplicià si considera sempre la molla di esensione nulla, cioè 0 0. E facile correggere i calcoli in caso conrario Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 5

35 Forza Cenrifuga L auisa dell auomobile sene una forza che lo pora erso l eserno. Quesa forza è dea forza cenrifuga La forza cenrifuga è una forza apparene, una forza cioè che iene senia solo se l osseraore non è fermo o in moo reilineo uniforme. Per un osseraore in moo circolare uniforme la forza cenrifuga può essere espressa come: F mω r Doe ω è la elocià angolare ed r il raggio di curaura Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 6

36 Forza di Coulomb Il modulo F della forza che una carica puniforme q esercia su un alra carica puniforme q è direamene proporzionale al prodoo delle due quanià di carica ed inersamene proporzionale al quadrao della disanza q q F k r k è una cosane di proporzionalià dea cosane elerosaica di Coulomb. La direzione della forza è quello della congiungene le due cariche puniformi ed il erso è araio per due cariche di segno opposo e repulsio per due cariche dello sesso segno. 4πε [ N ][ m] [ C] Due cariche puniformi di Coulomb pose ad mero di disanza subiscono ciascuna una forza araia/repulsia pari a N -q -q -q + q Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 5

37 Forza di Lorenz E daa una paricella di carica Q in moo reilineo uniforme con elocià che improisamene enra in un campo magneico cosane B orogonale alla elocià B z y F lorenz La paricella carica subisce la forza di Lorenz. F q B L inensià della forza di Lorenz è : F q B sin( ϑ B F F F y z q q q ( B B y ( B B z ( B B z y z y y z Nulla se è parallela a B Perpendicolare al eore elocià Perpendicolare al eore Campo Magneico Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 6

38 Forze in naura In naura esisono 4 forze fondamenali, con cui è possibile descriere ui i fenomeni naurali noi: Forza Graiazionale m m G r r F è responsabile di ui i fenomeni asronomici e ed è la forza che percepiamo nel modo più immediao Legge di graiazione uniersale di Newon Relaiià Generale Forza Eleromagneica lega gli eleroni al nucleo ed è responsabile di ui i fenomeni elerici Equazioni di Mawell Forza Nucleare fore.lega i maoni più elemenari della maeria sessa. Maniene unie le paricelle ed impedisce ai nuclei di disinegrarsi per la reciproca repulsione fra prooni. La forma esplicia complea è uora ignoa Forza Nucleare debole. Assicura la produzione di luce e calore per opera della fusione nucleare, è responsabile dei decadimeni radioaii. Qualsiasi alra forza deria da quese quaro La forma esplicia non è compleamene noa Forza peso Forza di ario Forza iscosa Forza elerosaica Forza di Lorenz F mg j g 9.80m/ s F kn F 0 k qq r 4πε r F 0 F q B Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 7

39 Esempio Composizione di Moi! Cadua libera Apple: IP000 Bomber Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 8

40 Esempio: Moo Parabolico Un proieile di massa m, iene sparao con elocià 5 m/s ad un angolo di 40 rispeo al suolo. Quale è la giaa del cannone e quale è la massima alezza raggiuna dal proieile (rascurare l ario. Quale sarebbe l angolo che massimizza la giaa. Alri esempi: Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 9

41 Apple: Tiro al Volo Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 0

42 Esempio La elocià e l accellerazione sono molo differeni Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW

43 Applicazione delle leggi di Newon Cadua libera con ario Solleameno di un peso Slia con ario Noa: Anche quesi argomeni raai esclusiamene in Aula sono argomeno di esame Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW

44 Terza legge di Newon Se un corpo esercia una forza su un secondo corpo, il secondo corpo esercia sul primo corpo una forza uguale in modulo e direzione ma opposa in erso. F F Le due forze sono ideniche ma engono eserciae su corpi diersi, con masse differeni. Quindi l effeo indoo da quese due forze ideniche può essere sensibilmene differene. Esempio F 36 N m asronae 000 kg m uomo 9 kg a a asronae uomo m / s m / s Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 3

45 Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 4

46 Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 5

47 Esempio Che forza deo applicare per aere la corda orizzonale Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 6

48 Esercizi con esempi di Forza. Noa: Anche quesi argomeni raai esclusiamene in Aula sono argomeno di esame Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 7

49 Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 8 Moo Circolare Coordinae Polari (D r θ ( ( ( ( ( ( ( s r s r T r a a (m/s d d a accelerazione angenziale a r (m/s d angenziale elocià m angenziale sposameno r π ν π ω ϑ θ ( ( ( ( ( ( / ( ( s s T (rad/s θ d d a accellerazione angolare a s rad dθ angolare elocià rad sposameno angolare θ θ θ π ω ν ω π ω ω ω Noa: Quando ω è cosane prende il nome di pulsazione

50 Moo circolare Uniforme Moo in cui : cosane ω cosane ω pulsazione T cosane T Periodo ν cosane ν frequenza Un corpo che si muoe in moo circolare uniforme subisce una forza non nulla (dea cenripea SEMPRE direa erso il cenro F m r F mω r Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 9

51 Esempio alla laagna Le equazioni del moo roaorio Forza e Moo - Capiolo 5 e 6 - HRW 30

52 Energia A Agisce solo la graia, rascuriamo l ario Per sapere la elocià nel puno A non mi è sufficiene sapere la elocià iniziale Vo ma anche conoscere accuraamene la curaura della slia. I coni inolre sono esremamene complessi poiché la forza agene sul corpo cambia in ogni puno, cambiando la curaura della roaia. Esise una scorciaoia? Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW

53 Laoro ed Energia Il conceo di laoro inuiiamene quanifica la faica che una persona o una macchina deono fare per sposare un oggeo. Maggiore è lo sposameno del corpo, maggiore è la forza impiegaa per spingere, maggiore sarà la faica e inuiiamene maggiore dorà essere il laoro compiuo. Inuiiamene il laoro dorà quindi essere legao sia allo sposameno che all inensià della forza E chiaro che la componene della forza che laora è quella che induce direamene lo sposameno, cioè quella parallela alla sposameno dl F ds dl F ds cos( θ Il laoro infiniesimo dl fao da una forza F per sposare un corpo di un rao ds si definisce come il prodoo scalare ra la forza e lo sposameno Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW

54 Il laoro: E un numero, infai non necessia di una direzione o di un erso E nullo se la forza è nulla E nullo se lo sposameno è nullo Spingere conro una cassa che rimane ferma non da laoro E nullo se lo sposameno è perpendicolare alla forza La forza di Lorenz è a laoro nullo E posiio se la forza è parallela allo sposameno (laoro moore E negaio se la forza è opposa allo sposameno (laoro resisene Il laoro si misura in Joule: [ F][ s] [ kg][ m] [ m] [] s [ kg][ m] [] s Laoro [ J ] Joule La definizione si può semplificare in alcuni casi paricolari e solo in quesi!! Caso D Non è più necessario il prodoo scalare dl Fds Sposameno Reilineo + Si può passare alla forma inegrale L F s cos(θ Forza cosane In ui gli alri casi per calcolare il laoro è necessario risolere un inegrale di linea L F ds l( A, B l B A Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW 3

55 Il laoro è la conseguenza dell applicazione di una forza, cioè di una accelerazione, è quindi associao ad una ariazione di elocià. Il calcolo del laoro secondo la definizione implica un processo di inegrazione che è il più delle ole lungo e complesso Tuaia per una forza e parallela alla raieoria (reilinea: F ma dl F ds Forza cosane e parallela alla raieoria ( reilinea L F s Fs ma s mas 0 ( L m + as 0 ( Vero m per un m moo unif. accelerao ed s 0 0 m ( A Energia Cineica in A, E cin A Il laoro L fao da una forza F cosane per porare un corpo di massa m dal puno A al puno B può essere espresso dalla differenza dell energia cineica calcolaa in B ed in A Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW 4

56 Il laoro è la conseguenza dell applicazione di una forza, cioè di una accelerazione, è quindi associao ad una ariazione di elocià. Il calcolo del laoro secondo la definizione implica un processo di inegrazione che è il più delle ole lungo e complesso dl F ds dl F dl B A dl B A m ds d m d L( A B F ( m d( ( m B m d m A Piu in generale: m d m Energia Cineica in A, A E cin A Il laoro L fao da una qualsiasi forza F o somma di quese per porare un corpo di massa m dal puno A al puno B può essere espresso dalla differenza dell energia cineica calcolaa in B ed in A Teorema del laoro e dell energia cineica Quando una forza risulane non-nulla compie un laoro L su un corpo, l energia cineica del corpo aria dal suo alore iniziale E cin,0 al alore finale E cin,f e la differenza fra l energia cineica finale e quella iniziale è uguale al laoro compiuo dalla forza. L unià di misura dell energia cineica è oiamene il Joule Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW 5

57 Esempi alla laagna: Calcolo del laoro da forze differeni Graiazionale Ec. Ec. mediane la definizione mediane il eorema L-Ecin Noa: Anche quesi argomeni raai esclusiamene in Aula sono argomeno di esame Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW 6

58 ESEMPIO Ragioniamo sulla Forza di Graia sulla superficie erresre F - mg Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW 7

59 Nel caso di una forza semplice come la forza peso F- mg j il laoro risula essere indipendene dalla raieoria legao solo alla quoa iniziale e finale Noi cioè due puni A e B qualsiasi è possibile conoscere il laoro necessario per andare da A a B semplicemene con la formula mg(h B -h A Energia Poenziale (Forza Peso - Per la forza peso e quindi possibile cosruire, in ogni puno dello spazio una funzione, Energia poenziale U(P. L Energia poenziale di una massa m in un puno P è definia come il laoro necessario per porare la massa m dal puno P ad un puno di riferimeno precedenemene deerminao. h P P F mg j h rif rif L( P rif mgh U ( P L( P rif U ( P mgh rif rif + mgh + mgh P P rif Poiché per la forza peso il laoro non dipende dalla raieoria ma unicamene dalla posizione di parenza e da quella di arrio allora l Energia Poenziale è uniocamene definia in ogni puno dello spazio Forze Conseraie Se il laoro compiuo da una forza nello sposare un corpo da una posizione ad un alra è indipendene dal cammino percorso, la forza è dea conseraia Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW 8

60 Poiché in un campo conseraio il laoro fao per andare dal puno A al puno B non dipende dal percorso fao è possibile immaginare una raieoria che a puno A al puno di riferimeno per il calcolo del poenziale e da queso al puno P. L( A P L( A rif + L( rif mg mg ( hrif ha + ( hp hrif ( h h mg( h h rif + U ( A U ( P A P P rif ( U ( P U ( A Quindi la differenza del alore dell energia poenziale calcolaa nel puno A e nel puno P fornisce il laoro necessario per porare un corpo dal puno P al puno A. Per calcolare il laoro quindi la fisica ha a disposizione re differeni ecniche: La prima mediane, la definizione, implica una processo di inegrazione in più dimensioni che spesso può essere complesso o non risolibile analiicamene. L F ds l( A, B La seconda per mezzo del eorema del Laoro e dell Energia Cineica, banale se si conoscono le elocià iniziale e finale. L m B m A La erza, nell ipoesi di forza conseraia, per mezzo dell energia poenziale. L ( U ( B U ( A In quesa ulima ecnica è necessario sapere SOLO ed ESCLUSIVAMNTE il alore dell energia poenziale nei due puni A e B. Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW 9

61 L energia cineica e l energia poenziale sono quindi due quanià molo legae ra loro infai enrambe esprimono il laoro fao per andare ra due puni A e P L( A L( A P mp m P U ( A U ( P A E cin, P E cin, A E E cin, P cin, P E cin, A U ( A U ( P + U ( P U ( A + E cin, A Un corpo in cadua a mano a mano che diminuisce di quoa aumena di elocià ma diminuisce di energia Poenziale In alre parole è come se l energia poenziale si rasformasse in energia cineica Principio di conserazione dell energia (meccanica La somma dell energia poenziale e dell energia cineica possedue da un corpo in un puno P si dice Energia Meccanica. L Energia Meccanica di un corpo, in un sisema isolao, si consera in ogni puno della sua raieoria Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW 0

62 Più in Generale Forze Conseraie Se il laoro compiuo da una forza nello sposare un corpo da una posizione ad un alra è indipendene dal cammino percorso, la forza è dea conseraia Per una forza conseraia è quindi possibile definire la funzione Energia Poenziale Energia Poenziale per una forza generica Per una forza conseraia e quindi possibile cosruire, in ogni puno dello spazio una funzione, Energia poenziale U(P. L Energia poenziale in un puno P è definia come il laoro necessario per porare il corpo dal puno P ad un puno di riferimeno precedenemene deerminao. U ( P l( P rif F ds Ogni forza conseraia ha la proprieà che il laoro che essa compie su un corpo lungo un cammino chiuso è nullo Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW

63 Esempi di forze conseraie Forza Peso: F mg j U ( P mgh P Forza Elasica: ( P k p F k i U Forza Graiazionale: m m m m F G r U ( P G r r p Forza Elerosaica: q q q q F r U ( P 4πε 0 r 4πε 0 r p Non ue le forze sono conseraie, una forza è non conseraia se il laoro che compie su un corpo dipende dal cammino percorso (p.es. la forza di ario Poenza La poenza è la rapidià con cui iene compiuo il laoro L ed è definia come la deriaa del laoro rispeo al empo dl P [ P] Wa [ kg][ m] [] s 3 Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW

64 Cure di Poenziale E possibile meere in grafico l andameno del poenziale di una daa forza Forza Peso m kg g 9.8 m/s U ( h mgh Energia Poenziale Alezza L Energia Poenziale della forza peso è una funzione lineare dell alezza. Maggiore è l alezza maggiore è l energia poenziale. Oiamene la forza peso non ha puni di equilibrio Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW 3

65 Cure di Poenziale E possibile meere in grafico l andameno del poenziale di una daa forza Energia Poenziale Forza Elasica K 3.5 N/m Allungameno U ( k L Energia poenziale della forza elasica è una parabola con un minimo nel puno ad allungameno zero. Un minimo di poenziale (anche relaio indica un puno di equilibrio sabile del sisema. Un puno cioè doe il corpo non è soggeo a forze. Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW 4

66 Esempi alla laagna Corpo in cadua libera + Energie Uso del principio di conserazione energia ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Noa: Anche quesi argomeni raai esclusiamene in Aula sono argomeno di esame Laoro ed Energia Meccanica - Cap. 7 HRW 5

67 Moo Armonico Un maeriale elasico è un maeriale che ha la capacià di riacquisare la forma iniziale dopo essere sao compresso o deformao (p.es. la molla La forza necessaria per allungare o accorciare una molla (caso D è linearmene proporzionale all allungameno sesso. La cosane di proporzionalià k è dea cosane elasica F k( 0 La osserabile 0 rappresena l esensione della molla quando non è soggea a forze, l osserabile indica l auale esensione della molla Se comprimo la molla la forza che esercio è negaia < ( 0 F k 0 < 0 Se esendo la molla la forza che esercio è posiia > ( 0 F k 0 > 0 Per moii di semplicià si considera sempre la molla di esensione nulla, cioè 0 0. E facile correggere i calcoli in caso conrario Moo Armonico - Cap Graiazione HRW

68 Per il principio di azione e reazione la forza che esercia la molla è di modulo e direzione uguale ma opposa in erso F k( 0 Che per semplicià iene scria con 0 0 F k Il moo associao ad una forza del ipo F -k è deo moo armonico semplice e l andameno della coordinaa in funzione del empi è rappresenao da una sinusoide Moo Armonico - Cap Graiazione HRW

69 L escursione massima dalla posizione di equilibrio A è dea ampiezza del moo. L inerallo di empo T impiegao per compiere un ciclo è deo Periodo. ν w T π T Frequenza Pulsazione o Velocià angolare F k ma k d m k Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 3

70 Equazione Oraria del moo armonico F k ma k d m k d ω d k m Equanzione Armonica k m ω L' equazione ha una soluzione del ipo o ( ( e o ω φ sin o 0 ω ( ω + φ ( ω + φ cos sono 0 o due sin o ( φ ( φ cos cosani o e che φ sono due dipendono cosani dalle condizioni iniziali Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 4

71 Esempio Sia K 6 Condizioni N / M iniziali m 0.0Kg per 0 5 e 0 F 6 0.0a 6 5 sin 00 cos ( 40 + π / ( 40 + π / a 8000 sin (40 + π / d d 600 X (meri Diagramma Orario empo (secondi elocia (m/s Diagramma di Velocià empo (secondi Diagramma di Accelerazione acc. (m/s empo (secondi Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 5

72 La forza elasica, che induce una oscillazione armonica, è una forza conseraia con poenziale F ds Rif. A ds F U( A L( A Rif F ds K ds Kd U( A Se X rif U( A 0 KX K A X X rif A Rif A + KX A X X Rif A KX rif X X Rif A Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 6

73 La forza elasica o il poenziale armonico sono gli sereoipi di un gran numero di sisemi fisici, in praica di ui i fenomeni in cui è presene una oscillazione come ad esempio il pendolo Pendolo Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 7

74 Pendolo F ma mg j+ τ F F y mg sin τ mg cos ( θ ( θ 0 θ Y τ X ma mg sin τ mg cos ( θ ( θ θ -mg Lo sposameno su una circonferenza può essere scrio come rθ se l angolo θ è sufficienemene piccolo allora sin( θ θ l equazione che descrie dal pendolo F ma d m ( r d θ m mr d θ F mg sin ( θ mgθ mr d θ mgθ g θ θ sin 0 θ0 sin r ( ω Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 8

75 Legge di Graiazione Uniersale Ogni oggeo nell unierso con massa esercia una forza di arazione graiazionale erso qualsiasi alro oggeo massio e subisce l arazione graiazionale di ui gli alri oggei massii dell unierso In realà anche gli oggei senza massa (i fooni,. subiscono ed eserciano l arazione graiazione graiazionale La mela aira la Terra La Terra aira la mela La Luna aira la Terra La Terra aira la Luna E un ipico esempio della III legge di Newon (legge di azione e reazione Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 9

76 Legge di Graiazione Uniersale Una paricella puniforme di massa M aira graiazionalmene (ed è araa graiazionalmene una massa puniforme M con una forza di modulo: F G MM r E direzione lungo la rea congiungene le due masse Quesa legge è alida per una paricella dell amosfera erresre, per una paricella puniforme della famosa mela, della luna, delle selle o di qualsiasi alro corpo presene nell unierso G m 3 /(Kg s Cosane di graiazione uniersale Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 0

77 Noa: La legge è era per paricelle puniformi, cosa succede per un corpo come la Terra che ha una forma..? Principio di Sorapposizione: Dao un insieme di paricelle puniformi, la forza graiazionale nea eserciaa su ciascuna di esse è daa dalla somma dei singoli effei. F n Ne F i i Un corpo con una forma ed un olume può essere quindi scomposo in olumei infiniesimi a cui applicare il principio di sorapposizione F Ne n i F i n df Vol Moo Armonico - Cap Graiazione HRW

78 Noa: Si può dimosrare che una sfera di maeriale uniforme di massa M da un puno di isa graiazionale è perfeamene equialene ad un puno maeriale della medesima massa poso al suo cenro. Quindi una sfera di maeriale uniforme aira una paricella posa al suo eserno come se ua la massa fosse concenraa nel suo cenro. Noa: Sulla Superficie erresre la forza di graià ale: F F MM G r G 9.8M Mg M R T T M ( M Mg Noa: La forza graiazionale è una forza conseraia e quindi ammee un poenziale Moo Armonico - Cap Graiazione HRW

79 L energia poenziale di una massa puniforme nel puno generico A si può calcolare a parire dalla definizione sessa di energia poenziale. L energia poenziale possedua da una massa puniforme m 0 nel puno A ( A,y A,z A immersa in un campo graiazionale generao dalla massa puniforme M è dao dal laoro necessario porare la carica da A ad un puno di riferimeno P Mm U ( A F ds G r l l 0 r ds M m 0 A( A,y A,z A Poiché il laoro non dipende dalla raieoria posso scegliere una raieoria facile per andare da A a P Mi muoo su un arco di circonferenza di cenro in M da A al puno B Poiché lo sposameno è orogonale alla forza (radiale il laoro è nullo Mi muoo in direzione radiale da B a P B m 0 P( rif,y rif,z rif U ( A A > P Mm G r 0 dr Mm 0 U ( A G ds GMm dr GMm Noare che GMm la forza è r r aniparallela A > P B > P r allo sposmeno B rp rb U ( A GMm 0 rp ra GMm0 ra rrif Se considero il puno di riferimeno all infinio l energia poenziale di una massa puniforme m 0 posa nel puno A all inerno del campo graiazionale generao dalla massa M disane da m 0 r A è dao da: Mm ( A G r A U 0 P Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 3

80 Le re leggi di Keplero per il moo planeario sono delle conseguenze della legge di graiazione uniersale Legge Tui i pianei si muoono su orbie elliiche, di cui il sole occupa uno dei fuochi Legge Il segmeno che collega un pianea al sole descrie aree uguali in empi uguali 3 Legge Il quadrao del periodo di un pianea è proporzionale al cubo del semiasse maggiore della sua orbia T R A 3 A T R B 3 B T R C 3 C T R D 3 D Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 4

81 Gli asronaui sullo Space-Shule senono la forza di graià erresre? Filmao Calcoliamola F Superficie G M T M r As G M R T T M As 9.8M As F orbia G As ( R + R ( T M T orb M G M T M As 7.3M As Se la forza di graià è /3 quella sulla superficie erresre perché lo shule non precipia? Lo sesso ale per la Luna! Perché la Luna non colpisce la erra Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 5

82 Come faccio a mandare in orbia un saellie? Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 6

83 Lo Space Shule come qualsiasi alro saellie in orbia (Luna compresa ruoa aorno alla erra Poichè il suo moo NON è reilineo uniforme allora senirà una forza cenrifuga ω T F g F cen Un saellie enra in orbia quando F g F Cen G M T M r M r sa T M ω r G ω sa 3 Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 7

84 Noa sull energia meccanica Forza Elasica E U E E se m ( A E ( A + U ( A ( A k m ( A k m sempre sempre ( A > 0 sempre E ( A 0 il corpo è fermo a molla non esa m k A A > > 0 0 Forza Graiazionale E U E E se ( A E ( A + U ( A ( A ( A può ( A E ( A < 0 infai sia A il puno oe 0 E m k m m R m G ( A E ( A + U ( A se 0 E ( A U ( A Gmm E m k ( A mm r m k A A A > essere 0 < allora 0 la morale: il sempre sempre posiia, negaia o nulla massa moo è A non m può confinao allonanarsi piu di R da m Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 8

85 E U E E se ma ( A E ( A + U ( A ( A ( A G può ( A E ( A > 0 essere allora non infai non esise un puno oe 0 m sia per assurdo A oe 0 E m k m m m mm r m > 0 < 0 sempre posiia, negaia o nulla A sempre legaa a ( A Ek ( A + U ( A se 0 Em( A U ( A E ( A > 0 eu ( A < 0 assurdo m k A A è m Moo Armonico - Cap Graiazione HRW 9

86 Conserazione della quanià di moo Le leggi della dinamica sono in grado di preedere come un corpo risponde alle forze. A ole però sono necessari calcoli esremamene complessi. Esempio Una palla da baseball colpisce una mazza. La forza che la mazza applica alla palla cresce parendo dal alore zero fino ad un alore massimo (quando la palla enra in pieno conao con la mazza fino a riornare a zero quando la palla si allonana dalla mazza. Il comporameno preciso della forza è esremamene complicao e il più delle ole ignoo Se quello che ineressa sudiare è il moo della pallina è sufficiene conoscere la elocià iniziale e finale della palla, ciò che è accaduo durane l uro non sere Impulso Prodoo ra la forza F per l inerallo di empo durane il quale agisce impulso impulso impulso F ma d( m d m d p m d d( m Quanià di moo Prodoo ra la massa e la elocià Impulso e quanià di moo sono eori Uri - Cap. 0 HRW

87 Teorema impulso - quanià di moo Se su un corpo agisce una forza risulane F, l impulso della forza risulane è uguale alla ariazione della quanià di moo del corpo Dai due corpi che urano ra loro Forze inerne: Forze che I corpi all inerno del sisema eserciano l uno sull alro (uro Forze eserne: Forze eserciae sui corpi del sisema da ageni eserni al sisema (p.es. Graià ( F + F m ( f, 0, ( F + F m ( f, 0, e, e, ( Fe, + Fe, + F + F m ( f, 0, + m( f, 0, ( ΣFe + ΣFin m f, + m f, m 0, m0, ( ΣFe + ΣFin p f p0 Per il principio di azione e reazione la somma delle forze inerne è nulla ( ΣFe p f p0 Se la somma delle forze eserne è nulla p p0 0 p f p 0 f Uri - Cap. 0 HRW

88 Principio di conserazione della quanià di moo La quanià di moo oale (la risulane della somma eoriale delle quanià di moo dei singoli corpi di un sisema oe la risulane delle forze eserne è nulla rimane cosane (si consera. Esempio p 0 m o f p f f m m + m f f E p Esempio M, o o m m 0, p 0, E f M, f 0, E cin, o + m0, + m m f m E f, cin. f + m + f m f, m m f, 0, 0, m m m m f m + m f, + m + 0, f m f, m m ( 0, f,( 0, + f, ( m 0, f, f, m m + m f, 0, m f, Uri - Cap. 0 HRW 3

89 Apple Uri - Cap. 0 HRW 4

90 Momeno Angolare Si definisce momeno angolare di un corpo di massa m, elocià rispeo ad puno P il eore L: L r m r p mr ω P r L Noa: L è un eore Dipende dal Puno P E sempre orogonale alla elocià ed al eore posizione Noa: Il momeno angolare è calcolao SEMPRE rispeo ad un puno P r L0 Un corpo che si muoe radialmene rispeo al puno P ha momeno angolare nullo L r m r m sin ( 0 0 P r L Un corpo che si muoe di moo circolare uniforme con cenro nel puno P ha momeno angolare cosane ( mr L r m r m sin 90 Uri - Cap. 0 HRW 5

91 Un corpo con momeno angolare non nullo non è deo che abbia una raieoria crua L Un corpo che si muoe in moo reilineo uniforme può aere momeno angolare non nullo P r θ L ( ϑ ( r ( m r ( m sin Momeno della forza M Si definisce momeno della forza M di un corpo rispeo ad puno P il prodoo eoriale ra la forza che agisce sul corpo e il eore che congiunge P al corpo: M r F P r M F Noa: M è un eore Dipende dal Puno P E sempre orogonale alla Forza ed al eore posizione Noa: Il momeno della forza è calcolao SEMPRE rispeo ad un puno Uri - Cap. 0 HRW 6

92 A parire dalle definizione di momeno angolare e momeno della forza è possibile riscriere la seconda equazione di Newon in ermini di M ed L F ma r F r M d ( r m d d m d L Il momeno della forza è pari alla deriaa rispeo al empo del momeno angolare Uri - Cap. 0 HRW 7

93 Principio di conserazione del Momeno Angolare: Se il momeno delle forze eserne ageni su un sisema è nullo, allora il Momeno Angolare Toale L o si consera. Vale sia eorialmene che per una sola componene In un sisema composo da un corpo: Quando si consera Lz il corpo si muoe con elocià angolare cosane Quando si consera L allora il moo aiene su un piano L esempio ipico sulla conserazione del momeno angolare è la ballerina che ruoando su se sessa rirae le braccia. La sua elocià angolare aumena L mr mr ω Forza Cenrale Una forza si dice cenrale quando la sua inensià dipende solo ed esclusiamene dalla disanza della sorgene ed il erso è radiale La forza di graià è una forza cenrale La forza elerosaica è una forza cenrale Uri - Cap. 0 HRW 8