PROBLEMA 1. Soluzione. ε = = =

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1 MOULO PROBLEMA 1 Una barra d acciaio di lunghezza l = m e sezione rasversale di area A = 50, è sooposa a una solleciazione di razione F = 900 da. Sapendo che l allungameno assoluo della barra è l = 1,5, deerminare il valore del modulo di elasicià longiudinale E. Per la legge di Hooke si ha: dove la ensione inerna normale vale: e l allungameno relaivo vale: = E ε F = = = 156 A 50 l 15, ε = = = l 000 0, Perano, il valore del modulo di elasicià longiudinale E assume il valore: 156 E = = = ε ,

2 MOULO PROBLEMA Calcolare la forza necessaria per allungare di un millimero un filo di rame avene le segueni caraerisiche: lunghezza l = m; diamero d = 4 ; modulo di elasicià longiudinale E = /. L espressione della ensione inerna normale è: in cui A rappresena l area della sezione del filo, che vale: L espressione dell allungameno relaivo ε è: Per la legge di Hooke deve essere: e sosiuendo le espressioni di e ε si oiene: da cui si ricava l inensià della forza F: = F A π d π 4 A = = = 1, ε = l l = E ε F A E = l l F EA = l , 57 1 = = 770, 5 l 000

3 MOULO PROBLEMA Una lamiera in acciaio di larghezza l = 1 m, spessore s = 10 e ensione di snervameno R el = 5 /, presena una fila di 1 fori di diamero d = ed è soggea a una forza di razione F = da. Verificarne la resisenza. L area della sezione resisene vale: Si osservi che la presenza dei fori è causa di concenrazione di ensioni, ma i maeriali meallici duili, in caso di solleciazioni saiche, non risenono di ale fenomeno, per cui la ensione massima è uguale alla ensione nominale e assume il seguene valore: Il valore della ensione aissibile è: A = ( ) 10 = max = = R el ams = = = g, S , Confronando la ensione massima con quella aissibile, ossia secondo l equazione di sabilià, si ha: per cui la lamiera è in condizioni di sicurezza. max < ams

4 MOULO PROBLEMA 4 Un corpo cilindrico di alluminio, di diamero d = 15, è sooposo a una forza di razione = 5500 ( Fig. 4). Sapendo che il modulo di elasicià longiudinale vale E = /, il coefficiene di Poisson è v = 0,7, deerminare il valore della conrazione rasversale subia dal corpo. Fig. 4 Rappresenazione dell allungameno l e della deformazione rasversale ε di un corpo cilindrico soggeo a solleciazione assiale di razione. La ensione inerna normale, che nasce nella sezione rasversale del corpo, vale: all espressione della legge di Hooke: si ricava il valore della deformazione relaiva ε: = = 5500 A π = E ε 1 ε = = , La deformazione rasversale ε assume il seguene valore: ε = υε= 0, 7 0, = 0, per cui il valore assoluo della conrazione rasversale d del diamero è: d= ε d= 0, = 0, 005 =, 5 µ m

5 MOULO PROBLEMA 5 Una rave in acciaio è rigidamene inseria in una sruura che subisce uno sbalzo ermico = 5 C. Poiché la rave, di lunghezza l =, m, può subire una variazione di lunghezza l = 0,5, considerando per l acciaio il coefficiene di dilaazione lineare α = / C e il modulo di Young E = /, deerminare il conseguene sao di ensione. Se la rave fosse libera, a causa dello sbalzo ermico subirebbe l allungameno assoluo: 6 l' = α l= = 0, 96 Poiché la rave è vincolaa e può subire l allungameno l = 0,5, la pare di deformazione l* impedia vale: corrispondene all allungameno relaivo: * l = l' l= 0, 96 0, 5 = 0, 46 * l 046, ε = = =, l La ensione inerna normale, conseguene a ale allungameno, per la legge di Hooke, vale: = E ε= , = 8, 8

6 MOULO PROBLEMA 6 Un albero di rasmissione di diamero d = 45 e lunghezza l =,4 m, gira alla frequenza di roazione n = 600 giri/min. Sapendo che l angolo di orsione è ϑ = 5 e il modulo di elasicià angenziale dell acciaio vale G = /, deerminare la poenza rasmessa. L espressione della poenza è: P= M ω = M π n 60 Il momeno orcene vale: M ϑ GIp 0, = = = = 1160 m l 400 in cui il valore del momeno quadraico polare I p della sezione circolare piena è: I = π d = π 45 = p e l angolo di orsione, espresso in radiani, vale: 5 π ϑ = = 180 0, 087 rad Perano il valore della poenza rasmessa è: P = 1160 π 600 = W

7 MOULO PROBLEMA 7 Una rave a sezione reangolare appoggiaa alle esremià, di lunghezza l = 100 e spessore s = 0, è soggea al carico complessivo, disribuio su ua la sua lunghezza, Q = 600 da. Considerando che la ensione aissibile del maeriale è ams = 140 /, deerminare il valore della larghezza della rave necessaria per resisere in sicurezza. Agli appoggi, la forza di aglio T è uguale al valore delle reazioni vincolari: RA Q+ RB = 0 1 Q RB l= 0 R R A B = = 000 = Q = 000 Al cenro della rave il momeno fleene M f è massimo e vale: T Q = = 000 M = Ql = f 8 La larghezza b della rave si deermina dall espressione del modulo di resisenza a flessione, considerando la sola solleciazione di flessione, ossia mediane l equazione di sabilià a flessione: M W f f ams all equazione di sabilià si ricava il valore minimo del modulo di resisenza: W f M f = = = 648, e dall espressione del modulo di resisenza si oiene la larghezza della rave: ams W = 1 bs f 6 6 b= 648, 6 = 96, 4 0 ale valore è arroondao a 97. In corrispondenza degli appoggi viene eseguia la verifica a aglio con: τ τ max ams

8 e: τ ams ams 140 = = = 80 8, poiché: T 000 τ max = = = 0 97, A la rave è ampiamene verificaa alla solleciazione di aglio:, 808,

9 MOULO PROBLEMA 8 L albero pora elica di una nave, di diamero d = 600, rasmee una poenza P = 100 kw alla frequenza di roazione n = 175 giri/min. Sapendo che la spina propulsiva dell elica è = 1500 k e che il carico di roura del maeriale vale R m = 650 /, verificare le condizioni di sicurezza dell albero. Solleciazioni compose: forza assiale e momeno orcene Queso ipo di solleciazione composa si verifica negli alberi di rasmissione, ai quali sono applicae due coppie di uguale inensià e verso opposo su due piani orogonali all asse geomerico dell albero, e una spina assiale di razione o compressione. Un ipico esempio è il caso degli alberi propulsori delle eliche delle navi, sooposi all azione dei momeni orceni della coppia morice del moore e della coppia resisene dell elica, applicai alle esremià, olre alla spina assiale di compressione rappresenaa dalla spina propulsiva dell elica. Una qualsiasi sezione circolare rasversale dell albero, presena una disribuzione uniforme delle ensioni dovue alla forza assiale e una disribuzione delle ensioni τ dovue al momeno orcene, variabile lungo il diamero della sezione, assumendo valori massimi sul conorno. Indicando con d e A, rispeivamene, il diamero e l area della sezione, con la forza normale e con M il momeno orcene, le ensioni indoe dalle singole solleciazioni nel piano della sezione assumono le segueni espressioni: Poiché le due ensioni sono di ipo diverso, cosiuiscono un sisema di ensioni biassiale, riducibile a un sisema monoassiale equivalene, caraerizzao dalla ensione ideale id di ipo normale, la cui espressione è: Ai fini della verifica della resisenza dell albero, nei puni più solleciai della sezione, il valore della ensione ideale non deve superare quello della ensione aissibile del maeriale: = + τ id = = A π d 4 M M τ = = W π d 16 = + τ id Calcolaa l area A della sezione dell albero, si deermina la ensione inerna normale generaa dalla spina propulsiva dell elica: ams π d π 600 A = = = = = = 5, A 8 74

10 all espressione della poenza di una coppia: P= M ω = M π n 60 si ricava il valore del momeno orcene che sollecia l albero: P M = 60 n = m = π eerminao il valore del modulo di resisenza a flessione della sezione: si ricava il valore della ensione inerna angenziale τ indoa dalla solleciazione di orsione: Perano, la ensione ideale id vale: d W = π = π600 = M τ = = = 4, 59 W = + τ = 5, + 4, 59 = 74 id Il valore della ensione aissibile saica ams, per un grado di scurezza g R =,7, è: Tale valore è riferio a condizioni di solleciazione saica, menre l albero è solleciao a faica, per cui occorre considerare la ensione aissibile a faica amf, che in prima approssimazione si può rienere uguale a 1/ di quella saica: con ale valore si ha: ossia: la resisenza dell albero è dunque garania. 650 ams = = 7 41, amf ams = = 80, id amf 74 80,