25.2. Osservazione. Siccome F(x, y, z) = 0 è un equazione e non un identità, una superficie non contiene tutti gli 3 punti dello spazio.

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1 . Cono e cilindro.. Definiione. Diremo superficie il luogo geomerico dei puni dello spaio le cui coordinae soddisfano un equaione del ipo F che viene dea equaione caresiana della superficie. Se F è un polinomio in e a coefficieni cosani allora diremo che è una superficie algebrica. Inolre il grado del polinomio si dice ordine della superficie algebrica... Osservaione. Siccome F è un equaione e non un idenià una superficie non coniene ui gli puni dello spaio... Esempi. - è un piano - 6 è una sfera - è l unione di due piani - 6 è l unione di una sfera e un piano - è una superficie che ha solo un puno reale - [ ][ ] è la superficie che ha solo due puni reali - è una superficie sena puni reali.4. Definiione. Diremo curva il luogo dei puni comuni a due superfici. Quindi una curva è il luogo geomerico dei puni dello spaio le cui coordinae soddisfano un sisema di equaioni del ipo F G che vengono dee equaioni caresiane della curva. Una curva si dice piana se esise un piano che coniene ui i suoi puni. Alrimeni si dice sghemba... Esempi. - è una rea - 9 è una circonferena - è una curva che ha solo un puno reale - è una curva che ha solo un puno reale - è una curva sena puni reali - è una curva sena puni reali

2 .6. Definiione. Diremo cono una superficie Γ luogo dei puni di ree dee generarici del cono dello spaio passani per uno sesso puno V deo verice del cono. Inolre una curva Ω che inconri ogni generarice in un puno si dice direrice del cono quindi la direrice ha puni..7. Equaione caresiana di un cono. Per semplicià raeremo un cono Γ ale che: la direrice sia una curva piana Ω oenua come inerseione di una superficie di equaione caresiana F e di un piano π di equaione caresiana a b c d ; il verice V non apparenga al piano π; quindi a b c d. Un generico puno P dello spaio appariene al cono se e solo se il puno P appariene ad una rea ρ passane per V e per un puno P della curva Ω. Siccome P π e V π il veore [P V] è sicuramene diverso dal veore nullo. Per cui come parameri direori della rea ρ possiamo prendere l m n [P V]. Quindi una erna di equaioni parameriche della rea ρ è daa da Da cui si ha che le coordinae del puno P Ω π sono dae da.8. Dall idenià a b c d dovua al fao che P π oeniamo d c b a da cui enendo cono che a b c d si ha che.9 d c b a d c b a ϕ. Dall idenià F dovua al fao che P enendo cono di.8 e.9 oeniamo. ϕ ϕ ϕ F. che è proprio l equaione caresiana del cono Γ.

3 .. Esempio. Sia la superficie di equaione F e π il piano di equaione. Trovare l'equaione del cono Γ di verice V π avene come direrice la curva Ω oenua come inerseione della superficie e del piano π. Dalla.9 si ha che. Quindi. Dalla.8 si ha che Dalla. si ha che Moliplicando uo per oeniamo ovvero 7 che è l'equaione caresiana del cono. Si noi che la precedene equaione è un equaione algebrica omogenea di grado nelle variabili e... Cono con direrice sul piano XY. Traiamo ora il caso paricolare in cui il piano π è il piano XY ovvero il piano di equaione. In al caso la curva Ω si rappresena con un'equaione del ipo F. Inolre siccome il verice V non appariene a π si ha che. Essendo a b d e c dalla.9 si ha subio che e. Quindi dalla.8 si ha Per cui l equaione. divena semplicemene. F

4 .4. Osservaione. Se F è un equaione algebrica in e di grado n ovvero F è un polinomio in e di grado n allora nella. possiamo moliplicare uo per n e oeniamo un equaione del ipo G dove G è un polinomio omogeneo di grado n in e... Esempio. Trovare l equaione caresiana del cono di verice V e avene come direrice la parabola Ω di equaione F. Dalla. si ha Moliplicando uo per oeniamo ovvero 8. Tale equaione è un equaione algebrica omogenea di grado nelle variabili e.6. Esempio. Trovare l equaione caresiana del cono di verice V e avene come direrice la curva Ω di equaione F ln. Dalla. si ha ln ln ovvero ln ln ln Moliplicando per oeniamo l equaione [ ] ln ln..7. Esempio. Trovare l equaione caresiana del cono di verice V e avene come direrice la curva Ω di equaione F sin. Per la. si ha sin ovvero sin

5 .8. Definiione. Sia Γ un cono di verice V. Se la direrice Ω sul piano π è una circonferena di cenro H ale che la rea s passane per H e V è perpendicolare a π allora diremo che Γ un cono roondo. La rea s viene dea asse del cono. Tale cono è la superficie delle ree che passano per V e formano con la asse s un angolo cosane θ deo aperura del cono con <θ<π/..9. Osservaione. Sia Γ il cono roondo della definiione precedene. Se indichiamo con r il raggio della circonferena Ω e con h la disana ra i puni V e H allora si ha che r h an θ... Equaione del cono roondo avene il verice V su una rea s e aperura θ. Sia H H H H un puno di s diverso da V e sia h la disana ra H e V. Sia l m n una erna di parameri direori della rea s. Il piano π di equaione l H m H n H passa per H ed è perpendicolare a s. Inolre il puno V non appariene a π. Sia la sfera di cenro H H H H e raggio r h an θ ha equaione F H H H r La circonferena Ω π è una direrice del cono. Ora si usano la.9 e la.... Esempio. Trovare l equaione caresiana del cono roondo avene il verice in V come asse la rea s : e aperura θ π/6. Sulla rea s prendiamo il puno H diverso da V. La disana di H da V è h 8. Siccome è una erna di parameri direori di s il piano π ha equaione. La sfera di cenro H e raggio r h an θ 8/ ha equaione caresiana F 8. Dalla.9 oeniamo / 4 da cui 4 / 4. Infine dalla. si ha che Moliplicando uo per 4 oeniamo ovvero

6 .. Cono roondo con asse parallelo all'asse Z. Sia Γ un cono roondo di verice V e asse parallelo all'asse Z. Se il verice V non appariene al piano XY cioè allora una direrice di Γ è una circonferena Ω del piano di cenro H. Se il raggio di Ω è r allora la sua equaione è F r. Per la. l equaione del cono sarà r da cui si oiene r Moliplicando per oeniamo. r Ques'ulima è un equaione omogenea di secondo grado nelle variabili e..4. Definiione. Sia una sfera di cenro C e raggio r. Sia V un puno eserno a. Sia Γ la superficie luogo delle ree usceni da V e angeni a. Non è difficile rendersi cono che i puni di angena di ali ree con la sfera formano una circonferena Ω. Quindi Γ è un cono che viene deo cono circoscrio alla sfera. Inolre la circonferena Ω è una direrice di ale cono... Osservaione. Sia Γ il cono circoscrio alla sfera della definiione precedene. Indichiamo con s la rea passane per i due puni disini C e V e con π il piano sul quale giace la circonferena Ω. Non è difficile rendersi cono che la rea s è perpendicolare a π e che il cenro H di Ω è proprio il puno di inerseione di s con π. Quindi Γ è un cono roondo..6. Equaione di un cono circoscrio ad una sfera. Sia : F la sfera di cenro C C C C e raggio r e sia V un puno eserno alla sfera. Quindi dv C > r. Sia Γ il cono roondo di verice V circoscrio alla sfera. Per rovare l equaione del cono Γ siccome abbiamo già l equaione di dobbiamo rovare l equaione di π. Poiché il veore non nullo a b c C C C [CV] è perpendicolare al piano π e il piano π passa per il cenro H della circonferena Ω si ha subio che un equaione caresiana di π è a H b H c H. Quindi dobbiamo rovare le coordinae del cenro H H H H della circonferena Ω. Siccome H è un puno inerno al segmeno CV il veore [CH] ha la sessa direione e lo sesso verso del veore [CV]. Per cui esise un unico numero reale posiivo ω < ale che [CH] ω[cv].

7 Uiliando l idenià veoriale [OH] [OC][CH] [OC] ω[cv] si rovano le coordinae di H H H H C C C ωa b c C ωa C ωb C ωc A queso puno dobbiamo rovare il valore di ω. Se indichiamo con h la lunghea del veore [CH] e con u la lunghea del veore [CV] allora da [CH] ω[cv] si ha che h ωu. Inolre se è una rea passane per V e angene alla sfera in un puno A allora consideriamo il riangolo CAV reangolo in A. La lunghea del caeo CA è uguale al raggio r della sfera. Poiché A è un puno della circonferena Ω il segmeno AH si rova sul piano H e quindi è perpendicolare al segmeno CV. Per cui il segmeno CH è la proieione del caeo CA sull ipoenusa CV. Tenendo cono del primo eorema di Euclide si ha subio che r uh Per cui alla fine si ha che r ωu ωa b c ovvero ω r /a b c. Infine avendo le equaioni di π e di roviamo l'equaione del cono usando la.9 e la...7. Esempio. Trovare l'equaione del cono di verice V 6 e circoscrio alla sfera di equaione F 4. Il cenro della sfera è C C C C il raggio della sfera è r. Troviamo l'equaione del piano π : a H b H c H Da a b c C C C 6 si ha che ω r /a b c / <. Quindi le coordinae di H sono H H H C ωa C ωb C ωc 9/ /. Per cui l'equaione di π è 9/ 6 /. Per cui d. Dalla.9 oeniamo / 8 da cui 8 / 8. Tenendo cono che F 4 dalla. si ha che Moliplicando uo per 8 oeniamo ovvero che è l'equaione del cono. Si osservi che ale equaione è un equaione algebrica omogenea di grado nelle incognie e 6.

8 .8. Definiione. Diremo cilindro una superficie luogo di ree dee generarici del cilindro dello spaio aveni ue la sessa direione. Una curva che inconri ogni generarice in un puno si dice direrice del cilindro quindi la direrice ha puni..9. Equaione caresiana di un cilindro. Per semplicià raeremo un cilindro Φ ale che: la direrice sia una curva piana Ω oenua come inerseione di una superficie di equaione F e di un piano π di equaione a b c d ; le generarici abbiano la direione di un veore v l m n non parallelo a π; cioè albmcn. Un generico puno P dello spaio appariene al cilindro Φ se e solo se il puno P appariene ad una rea ρ parallela al veore v l m n e passane per un puno P della curva Ω. Quindi una erna di equaioni parameriche della rea ρ è daa da l m n Da cui si ha che le coordinae del puno P Ω π sono dae da l. m n Dall idenià a b c d dovua al fao che P π e dalla. oeniamo a l b m c n d da cui enendo cono che al bm cn si ha che a b c d. ϑ. al bm cn Dall idenià F dovua al fao che P e dalla. oeniamo. F l m n Sosiuendo in ques ulima il valore di rovao in. si ha. F lϑ mϑ nϑ che è proprio l equaione caresiana del cilindro Φ.

9 .4. Esempio. Scrivere l equaione del cilindro con generarici parallele al veore v e direrice Ω π dove : F 4 e π :. Siccome l m n e a b c dalla. si ha che. Per cui dalla. si ha n m l Tenendo cono della. nel nosro caso si ha che 4. Sosiuendo il valore di si ha 4 e infine Esempio. Scrivere l equaione del cilindro che proiea orogonalmene sul piano XY la circonferena Ω inerseione della sfera di equaione F e del piano π :. Quindi a b c d. Siccome le generarici del cilindro sono parallele all asse Z prendiamo v. Per la. si ha che. Per cui dalla. si ha Tenendo cono della. nel nosro caso si ha che. Sosiuendo il valore di si ha e infine.6. Osservaione Il cilindro Φ dell eserciio precedene ha le generarici parallele all asse Z. Inolre il piano π di equaione inconra ogni generarice in un sol puno. Quindi la curva piana Ω che si oiene inersecando Φ con π è una direrice del cilindro. La curva Ω è la conica di equaione sul piano XY.

10 .7. Cilindro con direrice sul piano XY. Traiamo ora il caso in cui il piano π è il piano XY ovvero il piano di equaione. In al caso la curva Ω si rappresena con un'equaione del ipo F. Siccome il veore v l m n è un veore non parallelo al piano π si ha che n. Essendo a b d e c dalla. si ha subio che /n e l equaione del cilindro è Quindi da. si ha l l / n m m / n n n / n Per cui l equaione. divena semplicemene l m F. n n.8 Essendo n possiamo sempre scegliere il veore v in modo che sia n. In al caso si ha.9 F l m.4. Esempio. Scrivere l equaione del cilindro avene per direrice la conica Ω del piano XY di equaione e le generarici parallele alla rea s : 4. Una erna di parameri direori di s è la erna l m n 4. Per la.8 si ha l equaione ovvero e infine Esempio. Scrivere l equaione del cilindro avene per direrice la curva Ω del piano XY di equaione cos e le generarici parallele alla rea s :. Una erna di parameri direori di s è la erna l m n. Per la.9 si ha l equaione cos..4. Esempio. Scrivere l equaione del cilindro avene per direrice la circonferena del piano XY di equaione e le generarici parallele alla rea s :. Una erna di parameri direori di s è la erna l m n. Per la.9 si ha l equaione..4. Esempio. Scrivere l equaione del cilindro avene per direrice la curva Ω del piano XY di equaione e e le generarici parallele al veore v 4. Per la.9 si ha l equaione 4 e

11 .44. Cilindro con direrice sul piano XY e generarici parallele all asse Z. Se il veore v è parallelo all asse Z ovvero v l m n l equaione del cilindro è.4 F.46. Osservaione. In modo analogo si può dimosrare che un cilindro con direrice sul piano XZ e generarici parallele all asse Y si può rappresenare con un equaione caresiana del ipo G e che un cilindro con direrice sul piano YZ e generarici parallele all asse X si può rappresenare con un equaione caresiana del ipo H. In generale si porebbe dimosrare il seguene.47. Teorema. Nello spaio la superficie rappresenaa da un equaione caresiana in due sole variabili è un cilindro con le generarici parallele all asse del sisema di riferimeno avene il nome della variabile che manca e viceversa..48. Definiione. Sia Φ un cilindro avene come direrice una curva piana Ω e le generarici parallele ad un veore v non parallelo al piano π conenene Ω. Se Ω è una circonferena e v è perpendicolare al piano π allora diremo che Φ un cilindro roondo o cilindro circolare reo. La rea s parallela a v e passane per il cenro H di Ω viene dea asse del cilindro. Tale cilindro è la superficie delle ree parallele all asse s ed aveni da essa disana uguale al raggio r della circonferena Ω..49. Definiione. Sia una sfera di cenro C e raggio r. Sia v un veore non nullo. Sia Φ la superficie luogo delle ree parallele a v e angeni a. Non è difficile rendersi cono che i puni di angena di ali ree con la sfera formano una circonferena Ω. Quindi Φ è un cilindro che viene deo cilindro circoscrio alla sfera. Inolre la circonferena Ω è una direrice di ale cilindro... Osservaione. Sia Φ il cilindro circoscrio alla sfera della definiione precedene e sia π il piano conenene la circonferena direrice Ω. Non è difficile rendersi cono che il veore v è perpendicolare al piano π. Quindi Φ è un cilindro roondo.

12 .. Equaione del cilindro roondo... Del cilindro sono noe l equaione della sfera e del piano π. In al caso veore v è un qualunque veore perpendicolare al piano π. La circonferena direrice Ω è l inerseione di π e.... Del cilindro sono noe l equaione dell asse s e il raggio r di Ω. In al caso il veore v è un qualunque veore parallelo all asse s. Scelo a piacere un puno H H H H sulla rea s sia π il il piano passane per H e perpendicolare al veore v. Infine sia la sfera di cenro H e raggio r. La circonferena direrice Ω è l inerseione di π e.... Il cilindro è circoscrio ad una sfera e ha le generarici parallele ad un veore v. In al caso sia π il piano passane per il cenro C della sfera e perpendicolare a v. La circonferena direrice Ω è l inerseione di π e... Esempi... Sia Ω la circonferena oenua come inerseione della sfera di equaione caresiana e del piano π di equaione caresiana. Un veore perpendicolare a π è v l m n. Per la. si ha /6. Per la. si ha. Sosiuendo il valore di si ha 4 6 ovvero Trovare l equaione caresiana del cilindro circolare reo avene per asse la rea s di equaioni e passane per il puno A. Un veore parallelo all asse s è il veore v l m n. Il piano π passane per A è perpendicolare all asse s ha equaione. Il puno d inerseione di π con l asse s è H. Il raggio della circonferena Ω è uguale alla disana del puno A dall asse s ovvero la disana di A da H. Quindi r 8. Un equaione della sfera di cenro H e raggio r è 8. Dalla. si ha. Per la. si ha l m n 8 ovvero 8... Trovare l equaione del cilindro circoscrio alla sfera e avene le generarici parallele alla rea di equaioni. Il cenro di è C / /. Si ha che v. Il piano π ha equaione //. Per la. si ha che /. Per la. si ha l m n l m n