APPUNTI INTEGRATIVI Provvisori circa: Risposta in Frequenza: Introduzione ai Filtri Passivi e Attivi. Filtri del I ordine

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1 APPUNTI INTEGATIVI Provvisori circa: isposa in Frequenza: Inroduzione ai Filri Passivi e Aivi Filri del I ordine. Passa-Basso Consideriamo la funzione di ree: Trasferimeno in ensione ai capi di un condensaore ideale di capacià C poso in serie ad un resisore ideale di resisenza : H () s VC () s E() s sc C () s sc C () la corrispondene risposa in frequenza si oiene sosiuendo alla variabile s della funzione di ree, la quanià immaginaria j (dove, come noo f è la pulsazione [radiani/secondo] e f è la frequenza [Hz]). Si avrà dalla (): H () j C() j C a funzione di ree è, per la () un numero complesso funzione della pulsazione che può espresso in forma euleriana: () H ()() j H e (3) () dove la funzione: H () C C (4) rappresena il modulo della funzione di ree, menre ()() arcg C ne rappresena l argomeno, cioè la fase. (5) Si definisce pulsazione di aglio quel paricolare valore della pulsazione, che indicheremo con, ale che: H ().77 (6) Si oiene allora, in virù della (4): H ()()() C C C C () C C C (7)

2 In virù della (7) la () si scrive: H () s () s (.bis) icordando che in un circuio serie -C il prodoo C è pari alla cosane di empo del circuio, possiamo dire che la pulsazione di aglio è pari all inverso della cosane di empo. In corrispondenza della pulsazione di aglio la fase (5) assume il valore: arcg C, che, in base alla (7) permee di ricavare: ()() C ()()()( arcg ) C arcg arcg (8) C 4 Si riengono passai ui quei segnali che possiedono un modulo superiore a quello relaivo alla pulsazione di aglio. Quindi, per la (4) e la (6) si ha: C passae C passae passae C C C C (9) Dalla proprieà (9) si evince che il segnale prelevao sul condensaore di una serie -C ha proprieà filrani di ipo Passa-Basso ( passano le pulsazioni più piccole della pulsazione di aglio). In Figura, è riporao a iolo d esempio l andameno del modulo (4) della funzione di rasferimeno in ensione per un filro passa-basso -C con = k e C =.59μF e relaiva frequenza di aglio di khz. H( j).5 arg( H( j) ) arg H j C Fig. Andameno del modulo Andameno della fase

3 Filro Aivo Una realizzazione di filro aivo passa basso del I ordine è realizzabile araverso il circuio in Fig.. Vi A Iu Vu u Fig. Schema di un Filro aivo passa basso del I ordine Applicando il meodo dei nodi si ha, infai: G G sc G sc VA ViG G sc G sc Vu Iu G sc Iu ViG G sc Vu Vu G G V G i G sc s C () s C G con ponendo G G C unica differenza ra la funzione di ree () e la (.bis) è il segno. Ciò non alera, ovviamene, l andameno del modulo, menre causerà un opposizione di fase, cosa eliminabile se il segnale d uscia dallo sadio filrane fosse nuovamene usao come ingresso di un amplificaore inverene ad amplificazione uniaria. ()

4 . Passa-Alo Consideriamo la funzione di ree: Trasferimeno in ensione ai capi di un induore ideale di induanza poso in serie ad un resisore ideale di resisenza : H () s V () s s s E() s s s la risposa in frequenza si oiene sosiuendo alla variabile s della funzione di ree, la quanià immaginaria j (dove, come noo f è la pulsazione [radiani/secondo] e f è la frequenza [Hz]). Si avrà dalla (): H () j j j a funzione di ree è, per la () un numero complesso funzione della pulsazione che può espresso in forma euleriana: () H ()() j H e (3) () () dove la funzione: H () (4) rappresena il modulo della funzione di ree, menre ne rappresena l argomeno, cioè la fase. ()() arcg (5) Come deo, si definisce pulsazione di aglio quel paricolare valore della pulsazione, che indicheremo con, ale che: H ().77 (6) Si oiene allora, in virù della (4): H () (7) In virù della (7) la () si scrive: H () s s () s (.bis)

5 icordando che in un circuio serie - il rapporo / è pari alla cosane di empo del circuio, possiamo dire che la pulsazione di aglio è pari all inverso della cosane di empo. In corrispondenza della pulsazione di aglio la fase (5) assume il valore: ()() arcg, che, in base alla (7) permee di ricavare: ()()()() arcg arcg arcg (8) Si riengono passai ui quei segnali che possiedono un modulo superiore a quello relaivo alla pulsazione di aglio. Quindi, per la (4) e la (6) si ha: 4 passae passae passae passae passae passae passae passae (9) Dalla proprieà (9) si evince che il segnale prelevao sull induore di una serie - ha proprieà filrani di ipo Passa-Alo ( passano le pulsazioni più grandi della pulsazione di aglio). In Figura 3, è riporao a iolo d esempio l andameno del modulo (4) della funzione di rasferimeno in ensione per un filro passa-alo - con = k e = 59.55mH e relaiva frequenza di aglio di khz..5 H( j).5 arg( H( j) ) arg Hj Fig.3 Andameno del modulo Andameno della fase

6 Filro Aivo Una realizzazione di filro aivo passa alo del I ordine è realizzabile araverso il circuio in Fig.. A Vi Vu u A Fig. Schema di un Filro aivo passa basso del I ordine Applicando il meodo dei nodi si ha, infai: G9 s C5 C6 G9 sc5 G9 sc5 G9 sc5 G sc Iu VA Vi sc6 Vu Iu 9 5 Vi sc6 G9 sc5 Vu Vu sc6 sc6 s V G i G9 sc5 9 s C5 () s C G9 con ponendo C C C unica differenza ra la funzione di ree () e la (.bis) è il segno. Ciò non alera, ovviamene, l andameno del modulo, menre causerà un opposizione di fase, cosa eliminabile se il segnale d uscia dallo sadio filrane fosse nuovamene usao come ingresso di un amplificaore inverene ad amplificazione uniaria. Si noi come nella realizzazione aiva il filro non ha induori, cosa che lo rende adao a realizzazioni inegrae. ()

7 Filri del II ordine Prendiamo ora in considerazione un circuio serie --C e proponiamoci di considerare le re funzioni di rasferimeno che si oengono considerando di prelevare il segnale come ensione ai capi del resisore, dell induore e del condensaore rispeivamene. Filro Passivo Passa Banda Se prendiamo il segnale sul resisore, di un circuio serie --C oerremo la seguene funzione di rasferimeno in ensione: H () s sc sc s C sc s C() s s sc C s Bs H () s () s s () s Bs C () dove chiaramene si è poso: B e ed il cui significao verrà preso evidenziao. a C funzione di ree relaiva ad un filro passa banda del secondo ordine presena uno zero per s =. Vediamo dunque di capire le proprieà in frequenza della funzione di ree sosiuendo, come di consueo, alla variabile s la quanià jω. a () diviene: j jb H () j () j () jb C Calcoliamo rispeivamene il modulo e la fase della (): B jb B jb () jb ()() B H () j B ()() B () (3) B()() () arcg arcg B B Considerando la (3) si vede che essa presena un massimo per: d H () j d d d d 4 4 ()( ) d ()() B B d () 3 3 d ()()()()()() B B B B B B max dih B H () j Hmax ()() B (4) (5) () () arcg B

8 Quindi rappresena la pulsazione di risonanza, cioè quel valore della pulsazione che rende il circuio come fosse resisivo puro (si annullano le reaanze capaciiva ed induiva). Menre agli esremi del campo di definizione di H(j) avremo: lim() H j e lim() H j, dunque, per quano deo, la funzione di rasferimeno () descrive un filro passa banda, in quano solo un insieme (banda) di frequenze porerà al superameno del modulo della H(j) del valore. Calcoliamo dunque il valore delle pulsazioni di aglio: ()() B B B ()() B () B () B essendo B sicuramene posiivo B B per B () B B per B () la differenza ra le due pulsazioni di aglio è 4 4 B B B B B 4 4 (6) da ciò si evince che il valore di B è coincidene con l ampiezza della banda passane. Consideriamo, a iolo d esempio un caso in cui sia C = 5.33 μf e = mh. Al variare di ra.5 e si avranno gli andameni in Figura di modulo e di fase della funzione di rasferimeno in ensione calcolaa sul resisore: Andameno del modulo della funzione di ree

9 Andameno dell argomeno (fase) della funzione di ree Si definisce faore di merio, Q, il rapporo ra il modulo della ensione sull induore (o sul condensaore) e il modulo della ensione sul resisore alla pulsazione di risonanza: Q ovvero Q C. In base al espressione della banda passane, si rova che: Q. Ciò compora che ci si può esprimere sia in ermini di banda passane che di faore di merio per descrivere il grado di seleivià del filro passa banda. E alresì chiaro che la seleivià è ano più ala quano più piccola è il valore della resisenza. B Filro Passivo Passa Basso Se prendiamo il segnale sul condensaore C, di un circuio serie --C oerremo la seguene funzione di rasferimeno in ensione: H () s sc s C sc s C() s s sc C H () s () s Bs () dove chiaramene si è poso: B e. C a funzione di ree relaiva ad un filro passa basso del secondo ordine non presena zeri. Vediamo dunque di capire le proprieà in frequenza della funzione di ree sosiuendo, come di consueo, alla variabile s la quanià jω. a () diviene:

10 () () jb Bj B H () j ()()() j () Calcoliamo rispeivamene il modulo e la fase della () nella forma ()() H j H j e : H () j ()() B (3) () B arcg per (4) Si vede dalla (3) che lim() H j menre lim() H j B arcg per, dunque, la funzione di rasferimeno ( ) descrive un filro passa basso, in quano solo un insieme di basse frequenze porerà al superameno del modulo della H(j) del valore. Calcoliamo dunque il valore delle pulsazioni di aglio: ()() B 4 ()() B 4 () B 4 poso x B x x B B 4 4 B B x dovendo essere sicuramene posiivo 4 4 (5) Ovviamene la funzione (3) possiede un puno di massimo calcolabile, nel caso presene, semplicemene eguagliando a zero la derivaa del suo denominaore: d ()() B d B 4() B 4 m 4 (6) Se, in base alla (6), si desidera avere il massimo valore del modulo della funzione di ree nel puno, allora si rova che deve essere: m

11 B (7) Ciò compora che, in al caso, la pulsazione di aglio, in base alla (5), diviene: (8) Ovviamene la (7) implica che la resisenza sia unicamene deerminaa una vola che si sia fissao il valore di : * (9) Consideriamo, a iolo d esempio un caso in cui sia C = 5.33 μf e = mh, cioè una frequenza di * risonanza di khz e una resisenza 8.886, calcolaa ramie la (9). Al variare di inorno al * valore. Si avranno gli andameni in Figura di modulo e di fase della funzione di rasferimeno in ensione calcolaa sul condensaore: Andameno del modulo della funzione di ree

12 Andameno dell argomeno (fase) della funzione di ree Filro Passivo Passa Alo Se prendiamo il segnale sull induore, di un circuio serie --C oerremo la seguene funzione di rasferimeno in ensione: H () s s s C s s C sc s () s s sc C s H () s () s Bs () dove chiaramene si è sempre poso: B e. C a funzione di ree relaiva ad un filro passa alo del secondo ordine possiede uno zero di moleplicià in s. Vediamo dunque di capire le proprieà in frequenza della funzione di ree sosiuendo, come di consueo, alla variabile s la quanià jω. a () diviene: jb ()() jb H () j ()()()()() () Bj B B j () Calcoliamo rispeivamene il modulo e la fase della () nella forma ()() H j H j e : H () j B (3)

13 B arcg per () B arcg per (4) Si vede dalla (3) che lim() H j menre lim() H j, dunque, la funzione di rasferimeno () descrive un filro passa alo, in quano solo un insieme di ale frequenze porerà al superameno del modulo della H(j) del valore. Calcoliamo dunque il valore delle pulsazioni di aglio: B 4 4 () B B ()() B B 4 poso x B x x 4 4 B B 4 4 x dovendo essere sicuramene posiivo (5) Ovviamene la funzione (3) possiede un puno di massimo calcolabile, nel caso presene, semplicemene eguagliando a zero la derivaa del suo denominaore: 4 4 d B d B 4 4 B 4 4 m 4 4 B 4 (6) Se, in base alla (6), si desidera avere il massimo valore del modulo della funzione di ree per, allora si rova che deve essere nullo il denominaore dell ulima delle (6), da cui: m B (7) Ciò compora che, in al caso, la pulsazione di aglio, in base alla (5), diviene:

14 (8) come già rovao per il passa basso. Ovviamene la (7) implica che la resisenza sia unicamene deerminaa una vola che si sia fissao il valore di : * (9) Consideriamo, a iolo d esempio un caso in cui sia C = 5.33 μf e = mh, cioè una frequenza di * risonanza di khz e una resisenza 8.886, calcolaa ramie la (9),. Al variare di inorno al * valore. Si avranno gli andameni in Figura di modulo e di fase della funzione di rasferimeno in ensione calcolaa sull induore: Andameno del modulo della funzione di ree Andameno dell argomeno (fase) della funzione di ree

15 Filro Passivo Elimina Banda Se prendiamo il segnale somma della ensione sull induore e sul condensaore C, di un circuio serie --C oerremo la seguene funzione di rasferimeno in ensione: H () s s C() s sc s C C s C sc s C() s s sc C H () s () s s Bs () dove chiaramene si è poso: B e. C a funzione di ree relaiva ad un filro elimina banda del secondo ordine presena due zeri immaginari coniugai per s j. Vediamo dunque di capire le proprieà in frequenza della funzione di ree sosiuendo, come di consueo, alla variabile s la quanià jω. a () diviene: Bj Calcoliamo rispeivamene il modulo e la fase della (): H () j () () H () j ()() B ()() H ()() j H j e jb j () ()() B B () arcg (3) (4) Si vede dalla (3) che H () j menre sia lim() H j, sia lim() H j, dunque, la funzione di rasferimeno () descrive un filro elimina banda, in quano solo un insieme di frequenze sarà al di soo del modulo della H(j) del valore. Calcoliamo dunque il valore delle pulsazioni di aglio:, ()() B ()() B () B 4 poso x B x x B B 4 4 B B 4 4 x dovendo essere sicuramene posiivo (5)

16 Se operassimo una raslazione dell asse delle ascisse in modo da definire un nuovo sisema di ' pulsazioni fiizio ale che per il nuovo asse la propria origine coincida con la pulsazione di ' risonanza, cioè per, avremo che l ampiezza della banda eliminaa misuraa nei due sisemi di riferimeno è la sessa, ma semplificheremmo noevolmene i calcoli perchè avremmo: ' ' B B B B B B B B B Dalla (6) si evince che la banda eliminaa vale proprio B che era il valore della banda passane nel filro passa banda. Si riporano gli andameni in Figura di modulo e di fase della funzione di rasferimeno in ensione calcolaa sulla serie induore-condensaore: (6) Andameno del modulo della funzione di ree Elimina Banda

17 Andameno dell argomeno (fase) della funzione di ree Elimina Banda Esempi di Filri Aivi del II ordine Si consideri il circuio in figura: y 4 () s y 5 () s Vi y () s y() s A y 3 () s B Vu u A Gcarico che risolviamo con il meodo dei nodi: A y y y3 y4 y y4 VA yv i B y y y5 y5 VB u y4 y5 y5 G carico V u I u vincolo operazionale : V B ()

18 quindi riarrangiando il sisema si ha, immediaamene: A y y y3 y4 y y4 VA yv i B y y y y () 5 carico u u u y y y G V I y y y3 y4 y4 VA yv i y y I 5 u y4 () y5 Gcarico V u Cramer : V u y y y y y V i y y y y () Se si vuole realizzare un filro passa banda che abbia lo sesso comporameno di quello descrio nel paragrafo dedicao al filro passivo --C passa banda si dovrà porre: y y V Bs i Vu V i y y y3 y4 y5 y y4 s Bs (3) da cui si vede che, a meno del segno, che se si prende y4 sc4 e quindi y G, si dovrà e porà porre y sc e di conseguenza y 5 G 5 e y 3 G 3. Operando in al modo si avrà: Vu G C s Bs V G C s G C s G C C s s Bs i C C G C s ()() G G G C C G s Bs s s CC4 CC4 G B C4 () C C4 G5 B CC4 () G G3 G5 CC4 Bs (4) Così se si vuole realizzare un filro corrispondene ad uno passivo dove C = 5.33 μf e = mh e =.68, cioè con rad / s (frequenza di risonanza khz) e banda passane B rad / s si avrà: G C4 () C C4 G5 CC4 () G G3 G5 6 4 CC4 vincoli di esisenza dei parameri:

19 G B B CB G B G C deve essere G G5 G G G 5 GC G5 C ( ) B B G5 C (5) e C C G G G C C G5 G5. (6) Assegnao, ad esempio il valore 75 G.33m si oiene che deve G G 4. F. essere: C B Preso allora 5 k G5 m che soddisfa la disequazione della (5) dovua al vincolo d esisenza dei parameri, si avrà che: C ( ) F. 6 4 Non rimane ora che calcolare G G e verificare l alra disequazione della (6) di 4 C C vincolo. Si rova che G Il filro si presena dunque: 3 G5 carico e la risposa sul resisore di carico (il cui valore di resisenza non influenza mai le presazioni del filro) è riporaa in Figura:

20 Andameno della funzione di rasferimeno del filro passa banda aivo precedenemene dimensionao