Circuiti in regime sinusoidale

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1 ircuii in regime sinusoidale are versione del 3--5 oenza assorbia da un bipolo in regime sinusoidale v i cos cos oenza assorbia dal bipolo p v i cos cos cos cos cos cos

2 oenza assorbia da un bipolo in regime sinusoidale 3 oenza assorbia da un bipolo in regime sinusoidale a poenza isananea è daa dalla somma di un ermine sinusoidale con pulsazione poenza fluuane e di un ermine cosane l ermine cosane rappresena il valore medio sul periodo della poenza isananea T pm p d cos T ampiezza del ermine oscillane è Se la ensione e la correne non sono in fase, esisono degli inervalli in cui la poenza isananea è negaiva 4

3 Energia assorbia in un periodo W T T p d p m T T cos 5 Faore di poenza A parià di e il valore medio sul periodo della poenza isananea aumena all aumenare di cos cos è deo faore di poenza ale se la ensione e la correne sono in fase Aumenando il faore di poenza si riduce fino ad annullarsi quando ensione e correne sono in quadraura er > il faore di poenza divena negaivo e vale se la ensione e la correne sono in opposizione di fase cos in ogni periodo l energia assorbia dal bipolo è cos in ogni periodo l energia assorbia dal bipolo è quesa condizione si può verificare solo se il bipolo è aivo per un bipolo passivo si ha necessariamene cos 6

4 7 oenza assorbia da un resisore cos p m p alore medio sul periodo > 8 oenza assorbia da un induore cos cos p cos m p l valore medio sul periodo è nullo

5 oenza assorbia da un condensaore p cos pm cos cos l valore medio sul periodo è nullo 9 omponeni aiva e reaiva della correne Nel caso generale, si può scomporre la correne isananea nella somma di due ermini: uno in fase con la ensione come nei resisori componene aiva: i A uno in quadraura con la ensione come negli induori e nei condensaori componene reaiva: i i cos cos[ coscos A ] sen sen coscos sen cos / i i

6 omponeni aiva e reaiva della correne appresenazione nel piano complesso j j j A j e sen e sen e cos oenza isananea aiva e reaiva Scomposizione della poenza isananea oenza isananea aiva oenza isananea reaiva p p i v i v i i v p A A A cos cos cos cos cos cos cos p A sen sen sen sen cos p

7 oenza isananea aiva e reaiva 3 oenza isananea aiva e reaiva a poenza isananea aiva non cambia mai segno se cos > è sempre il valore medio sul periodo coincide con quello della poenza isananea: cos flusso unidirezionale di energia se cos > l energia è assorbia dal bipolo e converia in energia di ipo diverso, quindi soraa al circuio a poenza isananea reaiva è una funzione sinusoidale del empo con pulsazione il valore medio sul periodo è nullo flusso bidirezionale di energia accumulaa nel bipolo e poi resiuia al circuio 4

8 oenza aiva oenza aiva: valore medio sul periodo della poenza isananea aiva = valore medio sul periodo della poenza isananea unià di misura wa, W T T p A d T T p d cos 5 oenza reaiva oenza reaiva: valore massimo della poenza isananea reaiva col segno di Q maxp sgn sen unià di misura della poenza reaiva è il vol-ampere reaivo A Q è un indice dell enià degli scambi energeici associai alla poenza isananea reaiva onvenzionalmene si aribuisce segno alla poenza reaiva assorbia dagli induori segno alla poenza reaiva assorbia dai condensaori 6

9 oenza apparene oenza apparene: è definia dalla relazione S unià di misura della poenza apparene è il vol-ampere A a poenza apparene coincide con l ampiezza del ermine oscillane della poenza isananea S è deerminaa dalle ampiezze della ensione e della correne Fornisce una misura della solleciazione a cui è sooposo il bipolo massima ensione e massima correne 7 Triangolo delle poenze appresenazione grafica delle relazioni ra poenza aiva reaiva e apparene S Q S cos Q S sen Q g 8

10 oenza complessa Si definisce poenza complessa la quanià N * * indica il coniugao di nserendo le espressioni di e si oiene j j j N e e e cos j sen jq Quindi si ha en mn cos sen Q N arg N S 9 onservazione delle poenze complesse Teorema di Bouchero poesi: ircuio con l lai ersi di riferimeno sceli per ui i lai secondo la convenzione dell uilizzaore ondizioni di regime sinusoidale k, k k,..., l fasori delle ensioni e delle correni a somma delle poenze complesse assorbie dai componeni del circuio è nulla e somme delle poenze aive e delle poenze reaive assorbie dai componeni sono nulle l l l l * Nk k k k Qk k k k k Dimosrazione: fasori k e k soddisfano le leggi di Kirchhoff. Se i fasori delle correni soddisfano la K, anche i loro coniugai la soddisfano a proprieà deriva direamene dal eorema di Tellegen

11 Addiivià delle poenze complesse Si assume che il lao l del circuio sia cosiuio da un bipolo Si divide il circuio in due pari una formaa dal solo lao l una formaa dagli alri lai che complessivamene cosiuiscono un bipolo er il eorema di Bouchero vale la relazione N l è la poenza erogaa dal bipolo l, cioè la poenza assorbia dal bipolo formao dagli alri componeni a poenza complessa assorbia da un bipolo formao da più componeni collegai ra loro è pari alla somma delle poenze assorbie dai singoli componeni a sessa proprieà vale per le poenze aive e per le poenze reaive, l k k l l k k l l k k l Q Q N N oenza complessa in funzione di Z e Y * * * * * * m m e e Y Z Y Z Y Y Z Z N B X Q Y Z jb jx,, B X Q

12 Segni delle pari reali e immaginarie di Z e Y Si considera un bipolo formao da componeni,, passivi Dalle espressioni delle poenze complesse in funzione di Z e Y e dalla proprieà di addiivià delle poenze, a seconda del ipo di componeni conenui nel bipolo, si ricavano le segueni condizioni: omponeni Q e[z] m[z] e[y] m[y] Sinesi di impedenze E possibile realizzare un bipolo che alla pulsazione ha impedenza Z jx, con e X, e quindi ammeenza Y = Z = jb, con e B, mediane un resisore e un induore collegai in serie o in parallelo S S X B 4

13 Sinesi di impedenze E possibile realizzare un bipolo che alla pulsazione ha impedenza Z jx, con e X, e quindi ammeenza Y = Z = jb, con e B, mediane un resisore e un condensaore collegai in serie o in parallelo S S X B 5 alori efficaci Si definisce valore efficace o valore r.m.s. roo mean square di una funzione a periodica di periodo T la quanià A eff T T a d n paricolare, se a è sinusoidale, risula A eff A cos d A [ cos ] d A 6

14 alori efficaci Espressioni della poenza aiva e reaiva in funzione dei valori efficaci Q cos sen cos sen oenza assorbia da un resisore eff eff eff eff eff eff cos l valore efficace di una ensione correne sinusoidale corrisponde al valore di una ensione correne cosane che applicaa a un resisore dà luogo ad una dissipazione di poenza pari al valore medio sul periodo della poenza assorbia dal resisore in regime sinusoidale 7 alori efficaci E possibile definire la rasformaa di Seinmez anche facendo riferimeno ai valori efficaci invece che ai valori massimi A j A A e S e a e cos j sen j j a S A e[ A e ] e[ A e ] A cos e e a rasformaa così definia conserva le sesse proprieà della rasformaa basaa sui valori massimi e impedenze e le ammeenze essendo definie come rappori ra fasori non cambiano se si fa riferimeno ai valori efficaci espressione della poenza complessa diviene * N e e e 8

15 Trasformaore ideale in regime sinusoidale v kv k i i k k e ensioni alla pora e alla pora sono in fase ra loro e correni alla pora e alla pora sono in opposizione di fase 9 Trasformazione dell impedenza di carico k kz k Z k Z Zeq k Z impedenza equivalene di un rasformaore ideale con il secondario caricao da un impedenza Z è pari all impedenza di carico moliplicaa k 3

16 Trasferimeno di impedenza k k Z k k k Z Un impedenza in serie al secondario può essere poraa in serie al primario moliplicaa per k 3 Trasferimeno di impedenza k k Z k k k Z Un impedenza in parallelo al secondario può essere poraa in parallelo al primario moliplicaa per k 3

17 Teorema del massimo rasferimeno di poenza aiva Si considera un bipolo formao da un generaore di ensione sinusoidale in serie con un impedenza Z caricao da un impedenza Z Z jx Z jx Al variare di Z, la poenza aiva cedua al carico è massima quando vale la condizione Z Z* adaameno coniugao n quese condizioni la poenza aiva poenza disponibile vale d 8 eff 4 33 Teorema del massimo rasferimeno di poenza aiva dimosrazione orrene e ensione nel carico Z Z Z Z Z oenza aiva cedua al carico Al variare di X il denominaore è minimo e quindi è massimo se X X n quese condizioni * e Z Z e * Z Z Z Z [ X X ] Z Z 34

18 Teorema del massimo rasferimeno di poenza aiva dimosrazione Al variare di il massimo si oiene per 4 cioè infai: è posiivo per > e si annulla per e la derivaa di si annulla solo per queso puno deve corrispondere a un massimo Quindi deve essere, X X Z Z* n quese condizioni si ha max d 8 35 endimeno n condizioni di adaameno coniugao la poenza aiva erogaa dal generaore vale * e 4 l rendimeno definio come rapporo ra la poenza aiva erogaa dal generaore e la poenza aiva cedua al carico è a condizione di adaameno coniugao non rappresena una soluzione oimale nel caso in cui è imporane oenere rendimeni elevai 36

19 Adaameno del carico Se il valore dell impedenza di carico non può essere scelo liberamene, si può realizzare la condizione di adaameno coniugao inserendo ra il bipolo -Z e il carico una ree a due pore ale che l impedenza Z in visa all ingresso della pora sia pari a Z* ree di adaameno oiché si vuole che la poenza aiva erogaa dal bipolo -Z sia assorbia dall impedenza Z, la ree di adaameno deve essere formaa esclusivamene da componeni privi di perdie come condensaori induori, e rasformaori ideali 37 Esempio Un possibile meodo per realizzare l adaaore consise nell uilizzare un rasformaore ideale e un bipolo puramene reaivo valori di k e X devono essere sceli in modo che Z in Z* Z in jx k Z k X j k X Z in k Z jx k jk X X 38

20 Esempio Se il bipolo reaivo è collegao in parallelo a una pora del rasformaore è più semplice porre la condizione nella forma Y in Y* Y in Y B jb j B k k k Y in Y jb k k j B B k 39 ifasameno Disribuzione dell energia elerica schema semplificao inea di disribuzione eneraore Uilizzaore mpedenza equivalene della linea: Z jx ondizioni di funzionameno oimali: Ampiezza della ensione sul carico praicamene indipendene dalla correne normalmene gli uilizzaori sono progeai facendo riferimeno a un valore nominale della ensione sono ollerai scosameni di pochi perceno dal valore nominale prefissao inima dissipazione di poenza nella linea 4

21 ifasameno inea di disribuzione eneraore Uilizzaore Al crescere dell ampiezza della correne nella linea si riduce l ampiezza della ensione sul carico Z aumenano le perdie per effeo Joule lungo la linea 4 ifasameno Fissaa l ampiezza ensione, a parià di poenza aiva assorbia dal carico l ampiezza della correne è inversamene proporzionale al faore di poenza cos ampiezza della componene aiva della correne è fissaa dal valore della poenza aiva Al diminuire del faore di poenza cioè all aumenare dell angolo aumena l ampiezza della componene reaiva della correne e quindi l ampiezza della correne oale er ridurre le perdie occorre aumenare il faore di poenza del carico 4

22 ifasameno Un basso faore di poenza risula svanaggioso per il forniore di energia elerica Se il valore medio mensile del faore di poenza risula inferiore a ceri limii vengono applicae delle maggiorazioni sul coso dell energia e norme auali, per impiani a bassa ensione con poenza impegnaa 5 kw, prevedono: per cos.9 nessuna penale per.7 cos.9 pagameno di una penale commisuraa al rapporo ra l inegrale della poenza reaiva energia reaiva e quello della poenza aiva energia aiva nel periodo di faurazione i limii sono prossimi ai valori di cos per cui l energia aiva e quella reaiva sono uguali cos.77 e l energia reaiva è pari al 5% dell energia aiva cos.894 per cos<.7 obbligo da pare dell uene di prendere provvedimeni per aumenare il faore di poenza 43 ifasameno er aumenare il faore di poenza si ricorre al rifasameno del carico Si collega in parallelo all uilizzaore un bipolo puramene reaivo con reaanza di segno opposo a quella del uilizzaore sesso Se il carico è ohmico-induivo X U, caso più comune la reaanza X deve essere negaiva condensaore 44

23 ifasameno Dimensionando opporunamene la reaanza X si può fare in modo che gli scambi di poenza reaiva avvengano prevalenemene ra il carico e il bipolo di rifasameno, riducendo gli scambi di poenza reaiva con il generaore la componene reaiva della correne nel carico circoli prevalenemene nel bipolo di rifasameno, riducendo l ampiezza della correne reaiva nella linea 45 ifasameno a poenza reaiva assorbia complessivamene dal carico e dal bipolo di rifasameno è Q Q er porare il faore di poenza da cos ad un valore acceabile cos la poenza reaiva assorbia dal bipolo di rifasameno deve essere Q Se il bipolo di rifasameno è un condensaore capacià = si ha Q Quindi la capacià di rifasameno vale Q Q Q g g g g g g eff 46

24 isonanza serie Bipolo serie in regime sinusoidale Si sudia il comporameno del bipolo al variare della pulsazione Z j j Z j argz arcg ulsazione di risonanza: er m[z] Z è minimo argz 47 isonanza serie Z j Z prevale la reaanza capaciiva prevale la reaanza induiva la reaanza si annulla 48

25 isonanza serie argz arcg la correne è in anicipo sulla ensione la ensione è in anicipo sulla correne la ensione e la correne sono in fase 49 isonanza serie 5

26 5 isonanza serie oenza complessa assorbia: oenza aiva: oenza reaiva: Q Q Q j Z N Q 5 isonanza serie orrene nell induore: Energia nell induore: Tensione del condensaore: Energia nel condensaore: n condizioni di risonanza: n condizioni di risonanza l energia oale accumulaa nel bipolo si maniene cosane cos i i cos i w sen v j sen v w sen sen w w w

27 53 Faore di merio n condizioni di risonanza, si definisce faore di merio la quanià er un bipolo serie, se l ampiezza della correne in condizioni di risonanza è si oiene espressione dell impedenza del bipolo può essere posa nella forma T Q jq j j Z T Q Energia accumulaa Energia dissipaa in un periodo 54 urve di risonanza er caraerizzare la risposa in frequenza di un bipolo serie, di solio si considera la funzione di rasferimeno Se è fissao, H rappresena anche il rapporo ra la correne nel bipolo al variare di e la correne in condizioni di risonanza jq Z H H

28 urve di risonanza 55 urve di risonanza 56

29 arghezza di banda Se è fissao, l ampiezza della correne nel bipolo, e quindi la poenza aiva assorbia, sono massime per n quese condizioni si ha a poenza aiva assorbia può essere espressa in funzione di come H H arghezza di banda a meà poenza, B: ampiezza dell inervallo compreso ra le pulsazioni e per cui risula = / B All aumenare di Q il modulo di H presena un picco sempre più sreo nell inorno di a larghezza di banda diminuisce con l aumenare del faore di merio 57 arghezza di banda a poenza aiva assorbia dal bipolo vale = / se è verificaa la relazione Q Q e soluzioni posiive di quesa equazione sono, Q 4Q o Quindi si ha B Q B er valori sufficienemene elevai di Q in praica per Q, si può rienere B, Q 58

30 isonanza parallelo Bipolo parallelo in regime sinusoidale Si sudia il comporameno del bipolo al variare della pulsazione Y j j j Y argy arcg ulsazione di risonanza: er m[y] Y è minimo argy 59 isonanza parallelo Y j Y prevale la susceanza induiva prevale la susceanza capaciiva la susceanza si annulla 6

31 isonanza parallelo argy arcg la ensione è in anicipo sulla correne la correne è in anicipo sulla ensione la ensione e la correne sono in fase 6 isonanza parallelo 6

32 63 isonanza parallelo oenza complessa assorbia: oenza aiva: oenza reaiva: Q Q Q * j Y N Q 64 isonanza parallelo Tensione del condensaore: Energia nel condensaore: orrene nell induore: Energia nell induore: n condizioni di risonanza: n condizioni di risonanza l energia oale accumulaa nel bipolo si maniene cosane cos v v cos v w sen i j sen i w sen sen w w w

33 65 Faore di merio er un bipolo parallelo il faore di merio è n queso caso l ammeenza può essere espressa come T Q jq j j Y 66 arghezza di banda er caraerizzare la risposa in frequenza di un bipolo serie, di solio si considera la funzione di rasferimeno Se è fissao, H rappresena anche il rapporo ra la ensione nel bipolo al variare di e la ensione in condizioni di risonanza andameno di H in funzione di coincide con quello viso per il bipolo serie a larghezza di banda in queso caso vale jq Y H H Q B