Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in evoluzione dinamica

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1 Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- Uniersià degli Sudi di assino serciazioni di leroecnica: circuii in eoluzione dinamica nonio Maffucci er oobre

2 Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- ircuii dinamici del primo ordine S Nel seguene circuio è assegnaa la correne nell induore all isane = icaare la correne sull induore per > graficarne l andameno e simare la duraa del ransiorio aluando l equialene di Noron ai capi dell induore: eq = = 7 Ω I cc = = si oiene la ree equialene in figura descria dalle equazioni: di i = Icc = dalle quali si ricaa facilmene l equazione differenziale nell incognia i ( di i Icc = doe τ = = ms τ τ eq isolendo l equazione caraerisica dell omogenea associaa λ = λ = / τ = 7 s τ 7 possiamo esprimere la soluzione generale nella forma: i ( = Ke i ( P doe i P ( rappresena il ermine di regime sazionario In ale condizione l induore è equialene ad un coro-circuio per cui: [] i ( = I = P i = per i () = 4 > = H = kω = Ω I 4 eq i S Nel seguene circuio all'isane = si apre l'inerruore alcolare la ensione sul condensaore per ogni isane = ( Per < il circuio è in regime sazionario quindi il condensaore si compora come un circuio apero Per ale ragione si ha: ( = = Per > applicando la KT all'unica maglia e la caraerisica del condensaore si oiene facilmene l'eq differenziale di primo ordine nell'incognia ( d d i = i = = doe τ = τ τ a radice dell equazione caraerisica dell omogenea associaa è pari a λ = / τ = s quindi la soluzione generale si esprime nella forma: ( = Ke P ( doe P ( è una soluzione paricolare che si può aluare calcolando la soluzione di regime Poiché per si ende ad un regime sazionario il condensaore si compora come un circuio apero ai capi del quale ci sarà P ( = = 8 esa da deerminare la cosane K che si oiene dalla condizione iniziale oenua imponendo la coninuià della ariabile di sao ( ( ) = ( ) = K 8 K = da cui ( = 8 e > = 8 = = kω = mf S Dao il seguene circuio aluare la ensione ( per > a cosane K si oiene imponendo la coninuià della ariabile di sao i ( all isane = : i ( ) = 4 = i ( ) = K K = 8 4 e ( = > ( = ) = = mf = Ω = 4 Ω 7 da cui i ( = 8e per > il cui andameno nel empo è graficao a lao a duraa del ransiorio è simaa in 4 τ = 4 ms /au 7 isulao: ( = 7 7e 4

3 Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- S 4 onsiderao il seguene circuio che o all isane = laora in regime sazionario calcolare la correne nell'induore per ogni isane graficare l andameno e simare la duraa del ransiorio ( i x e ( ( i ( i y = Ω = Ω = mh < > S Il seguene circuio è a riposo o a = isane in cui si chiude l'inerruore alcolare: a) la cosane di empo τ del circuio; b) la ensione ai capi del condensaore per > (racciarne anche il grafico) = ( = cos( ω ω = rad / s = Ω = Ω = Ω = mf Per < il circuio è in regime sazionario quindi l'induore si compora come un coro circuio Per ale ragione poso a = // si ha: ( ) = a i = < a Per aluare la soluzione per > si può procedere come nell esercizio aluando dapprima l equialene di Noron ai capi dell induore: eq = e I cc ( = e quindi ricaare l equazione differenziale nell incognia i ( di i Icc = doe τ = 8 μs τ τ eq lernaiamene si possono oiamene applicare le leggi di Kirchhoff alla ree di parenza: di ix i y = e i y = i ix = iy i da cui di e i = τ a radice dell equazione caraerisica dell omogenea associaa è λ = / τ = s quindi la soluzione generale si esprime nella forma: [] i ( = Ke i P ( doe i P ( è la soluzione di regime sazionario: i P ( = Imponendo la coninuià della correne i ( : ( ) = i ( ) = K K = 4 i da cui: i ( = 4e > Il ransiorio si esinguerà in circa 4 τ = ms /au a) Per calcolare la cosane di empo basa aluare la resisenza dell equialene di Théenin iso ai capi del condensaore: eq = ( // ) = Ω τ = eq = 7 ms b) Per < il circuio è a riposo quindi c ( ) = c ( ) = Per > ricaando la ensione a uoo dell equialene di Théenin iso ai capi del condensaore si ha: ( = pplicando le leggi di Kirchhoff al circuio oenuo sosiuendo ai capi di il generaore equialene di Théenin si ricaa l equazione differenziale nell incognia c : dc c = τ τ a radice dell equazione caraerisica dell omogenea associaa è pari a λ = / τ = 8 s quindi la soluzione generale si esprime nella forma: ( = exp( 8 ( c doe cp ( è la soluzione di regime sinusoidale aluabile araerso il meodo fasoriale Poso: j = = = = = j = = ω e applicando ripeuamene la regola del pariore di ensione si ha poso x = // : x c j8 = c = = 7e [] x da cui: cp ( = 7 cos( 8) Dalla condizione iniziale si ha: c ( ) = = 7 cos( 8) = -4 Quindi in deiia si oiene la ensione - - c ( = 4exp( 8 7 cos( 8) > - il cui andameno è racciao nella figura a lao c cp - - [s]

4 Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- S Il seguene circuio è in regime sazionario o a = isane in cui si apre l'inerruore alcolare la ensione ai capi dell induore in ogni isane e racciarne il grafico 4 isulao: ( = per < ; ( = 88e per > S 7 Il seguene circuio è in regime sazionario o a = isane in cui si chiude l'inerruore alcolare la ensione sul condensaore in ogni isane e racciarne l andameno 4 isulao: ( = 7 per < ; ( = 4 874e per > S 8 a seguene ree dinamica è a riposo per < a) Tracciare l andameno della ensione ai capi di per > b) alcolare l energia dissipaa da nell inerallo < < ms j ( ( i = ( ssendo ( = i ( è opporune risolere il problema nell incognia i ( ariabile di sao Per < il circuio è a riposo quindi i ( = Per < < T aluando l equialene di Noron ai capi di si oiene: j ( eq = e I cc ( = J da cui l equazione differenziale nell incognia i ( : - J i = = T = H = kω = = Ω = = F = = kω = Ω J = 4 = Ω = mh T = ms = Ω di i I cc = con τ = = ms τ τ eq omogenea associaa fornisce un equazione caraerisica aene radice λ = / τ = s a soluzione assume quindi la forma: i ( = Ke i P ( doe i P ( è la soluzione di regime sazionario quindi assumendo come coro circuio: i P ( = J = 4 esa da deerminare la cosane K che si oiene dalla condizione iniziale: i ( ) = i ( ) = = K 4 K = 4 da cui ( = i ( = 48( e ) per < Per < T > T l'equazione differenziale sarà di i = τ e quindi ua la soluzione coincide con la soluzione dell omogenea i ( = He doe H è una cosane arbiraria deerminaa imponendo la condizione iniziale per = T 4(-e da cui i ( T ) = i ( T ) ) = He H = 44 ( = i ( 8e per > T andameno della soluzione è racciao nel grafico a lao Per calcolare l energia dissipaa da nell inerallo [ ] con = ms basa inegrare la poenza isananea assorbia: W W ( ( T ( ( ( 48 ) = = = ) = 48 J T T [] 4 [ms] ( e T ) 8 e 7 8

5 Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- S a seguene ree rappresena un semplice circuio di carica e scarica di un condensaore a carica aiene ra l'isane = e l'isane = T inerallo in cui l'inerruore resa chiuso Per > T inece il condensaore iene collegao al reso della ree araerso la chiusura dell'inerruore B Supponendo la ree a riposo per < aluare: a) la ensione sul condensaore ( per < < T ; b) l'energia massima W max erogabile da per > T ; e ( isulao: a) ( = 4e 447sin( ) per < < T ; b) Wmax = 8 4 J ; S Nella seguene ree è noa la ensione ai capi del condensaore all isane di chiusura dell inerruore = aluare la correne i( nel resisore per > i( isulao: i( = 8e / sin( 4) S Nella seguene ree l inerruore si chiude all isane = isane in cui la correne circolane in è noa alcolare: a) il circuio equialene di Theenin ai capi di per > ; b) la correne che circola nell induore per > = T ( i ( isulao: a) eq = Ω = / τ b) i ( = 4e con τ = 4 ms ( = = = T e ( B apero chiuso T = sin( = Ω apero = mf = i () = = sin( = mf T = s = Ω ( ) = = Ω = 4Ω = mh = Ω ircuii dinamici del secondo ordine S a seguene ree è in regime sazionario o all isane = alcolare la ensione sul condensaore in ogni isane graficarne l andameno e simare la duraa del ransiorio e ( i ( i ( Per < il circuio è in regime sazionario quindi il condensaore si compora come un circuio apero e l'induore come un coro circuio Per ale ragione: ( = = i( = = Per la coninuià delle ariabili di sao si arà: ( ) = ( ) = e i( ) = i( ) = eoluzione dinamico del circuio per > sarà descria dalle segueni equazioni deriae imponendo le leggi di Kirchhoff e le caraerisiche dei bipoli: di d i = e i = Da ali equazioni si periene al sisema delle equazioni di sao: di e i d i = = equazioni differenziale nell incognia ( sarà quindi d d e = equazione caraerisica dell omogenea associaa è la seguene: λ λ = e fornisce le radici λ = α ± j β = ( ± j) a soluzione dell omogenea associaa può quindi essere espressa nella forma: ( ( = e α [ k cos( β k sin( β )] ale soluzione a aggiuna la soluzione di regime sazionario che per effeo delle considerazioni sole precedenemene sarà banalmene pari a: p ( = a soluzione generale per > assume quindi la forma: ( = e α [ k cos( β k sin( β] per < per > = Ω = μh = μf

6 Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- e cosani arbirarie si deerminano imponendo la coninuià delle ariabili di sao nell isane = Tale proprieà impone le segueni condizioni iniziali su ( e su ( : ( ) = = k k = d ( ) = i( ) = = αk a soluzione è quindi: αk β βk k = = ( ) = e [cos( sin( ] S Il seguene circuio è in regime sazionario o a = alcolare: a) il alore delle grandezze di sao all'isane = b) la correne i ( per > j ( ) i ( j( = Ω = μh = μf < > andameno della ensione in ogni isane di empo è riporao nel grafico a lao a cosane di empo della ree è pari a τ = / α = μs menre il periodo delle delle oscillazioni naurali è pari a T = π / β = 8 μs Durane il ransiorio quindi è isibile meno di una oscillazione naurale complea [] [us] S Nella seguene ree sono assegnai i alori delle grandezze di sao all isane = alcolare la ensione sul condensaore per > e ( isulao: ( = e [cos(87 7sin(87 ] per > ( - - ( ) = i( ) = = per > = Ω = μh = μf a) Per < il circuio è in regime sazionario quindi il condensaore si compora come un circuio apero e l'induore come un coro circuio Per ale ragione: i ( = j( / = ( = j( / = < Per la coninuià delle ariabili di sao si ha: c ( ) = c ( ) = e i ( ) = i ( ) = b) Per > il circuio è in eoluzione libera Per oenere le equazioni di sao si possono imporre le equazioni di Kirchhoff e le caraerisiche come fao nell esercizio Un meodo più efficace consise nella risoluzione preliminare del circuio resisio associao Queso circuio può essere sudiao applicando ad esempio il meodo dei poenziali nodali modificao onsiderando c come nodo di riferimeno e osserando che il poenziale del nodo a è pari a c menre quello del nodo b è pari a si ha: a = i i i j = i e ariabili non di sao saranno esprimibili come: b j _ i = i i = i j c icordando le caraerisiche dei bipoli dinamici da quese equazioni si oengono immediaamene le equazioni di sao della ree: di i d i j = = icaando dalla prima e sosiuendola nella seconda si oiene l'equazione differenziale: d i di i = la cui equazione caraerisica fornisce λ = α ± j β = ( ± j) a soluzione è quindi: i ( = exp( α[ k cos( β ksin( β] doe le cosani k k anno deerminae imponendo le condizioni iniziali su i e su di / : di ( ) i ( ) αk i ( ) = = k = = = αk βk k = = β Perano la soluzione sarà: i ( = exp( [cos( sin( ] >

7 Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- S 4 Il seguene circuio è in regime sinusoidale o = isane in cui il generaore si spegne alcolare la correne i ( in ogni isane e racciarne l andameno S on riferimeno al seguene circuio in regime sazionario per < calcolare la ensione ( e la poenza p ( assorbia dal condensaore in ogni isane j ( ) ( i cos( j( = Ω = mh = mf < > e ( - ( = Ω = μh = μf < > Per < il circuio è in regime sinusoidale quindi si può ricorrere al meodo fasoriale ponendo: J = = = j = = Per il pariore di correne la correne dell'induore sarà I = J = 7 j = 4exp( j) j pplicando la K si ricaa: I = J I = 7 j da cui la ensione: = Z & I i ( = 4cos( ) = 74exp( 4 j) ( = 74cos( 4) Per la coninuià delle ariabili di sao: c ( ) = c ( ) = 7 i ( ) = i ( ) = 7 Per > il circuio è in eoluzione libera pplicando la KT all'unica maglia si oiene: di i = Deriando ale equazione e sosiuendoi la caraerisica di si oiene l'equazione differenziale d i di i = la cui equazione caraerisica ammee le radici λ = 74 e λ = 7 a soluzione si può esprimere quindi nella forma: = k exp( λ k exp( λ ) [] i ( doe le cosani k k sono deerminae dalle condizioni iniziali su i e su di / : i ( ) = 7 = k k di ( ) i ( ) = = 8 = λk λ k isolendo ale sisema si oengono: k = 4 8 k = quindi per > la soluzione è daa da: i ( = 48exp( 74 exp( [s] ndameno della soluzione in ogni isane Per < il circuio è in regime sazionario quindi il condensaore si compora come un circuio apero e l'induore come un coro circuio Per ale ragione: i ( = / = ( = / = < Per la coninuià delle ariabili di sao si ha: c ( ) = c ( ) = e i ( ) = i ( ) = Osseriamo che essendo i c ( = si ha banalmene p ( = ( i ( = c c c Per > il circuio è forzao dal generaore a parire dalle condizioni iniziali indiiduae precedenemene isolendo il circuio resisio associao mosrao in figura: i e = i = si oengono le equazioni di sao: d = e i i di i = icaando i dalla prima e sosiuendola nella seconda si oiene l'equazione differenziale: d c dc de e c = 'equazione caraerisica dell'omogenea associaa fornisce: λ = α ± j β = ( ± j) quindi la soluzione si può esprimere nella forma: ( P = e α [ k cos( β k sin( β] ( ) doe P ( è una soluzione paricolare che può essere scela come la soluzione di regime a cui il circuio ende per (regime sazionario): P ( = / = e cosani k k anno deerminae imponendo le condizioni iniziali su e su d / : d c = i a ensione sul condensaore per > è quindi: ( ) = = k k = ; ( ) ( ) e ( ) = 8 = α k βk k e ( - i i = - 4

8 Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- Maffucci: ircuii in eoluzione dinamica er- ( = e [cos( sin( ] = 8e [cos( 7)] a poenza assorbia per > si può aluare in due modi: possiamo calcolare preliminarmene la correne che circola nel condensaore: p ( = ( i d ( i ( = = 4e ( = e 4 sin( 7) da cui: [sin(4 ) 7] 4e sin( 7) W llo sesso risulao si periene ricordando l espressione dell energia di un condensaore: Per la coninuià delle ariabili di sao si ha: c ( ) = c ( ) = e i ( ) = i ( ) = Il circuio da analizzare per > è disegnao a lao Dal circuio resisio associao si ricaano le equazioni: i ( i i = = da cui è semplice oenere le equazioni di sao della ree: ( d i di = - = icaando dalla seconda e sosiuendola nella prima si oiene l'equazione differenziale: ( i p d ( ) d ( = = [8e cos( 7) ] S Il seguene circuio rappresena un semplice sisema rasmeiore-canale-riceiore alcolare la ensione sul riceiore ( U ) in ogni isane e racciarne l andameno S 44 isulao: ( = per < ; ( = 74e 74e per < < T ; ( = e 44 U ( e S ( 4 e = S = nh = pf per > T S 7 a ree in figura è in regime sazionario o = isane in cui si chiude l'inerruore alcolare la correne i ( per > = = ( i U T = ns = Ω = = / Ω = mh = mf ( e S T d i di i = e radici dell'equazione caraerisica dell'omogenea associaa sono: λ = λ = quindi la soluzione si può esprimere nella forma: i ( = k e ke i P doe i P ( è una soluzione paricolare che può essere scela come la soluzione di regime a cui il circuio ende per (regime sazionario): i P ( = / = ( ) e cosani k k anno deerminae imponendo le condizioni iniziali su i e su di / : di i ( ) = = k k ; = ( ) = = k k da cui: k = k = 4 e quindi la soluzione per > è i ( = e 4e S 8 a ree in figura è in regime sazionario per < Deerminare: a) le grandezze di sao all isane = b) la correne nel condensaore e la ensione nell induore all isane = c) la ensione sul condensaore per > d) la ensione sull induore per > i ( i ( j ( ( ( < j( sin( ω > ω = rad/s = Ω = μh = μf Il circuio da analizzare per < è disegnao a lao ssendo in regime sazionario il condensaore si compora come un circuio apero e l'induore come un coro circuio: i ( = / = ( = / = ( < ) ( i ( isulao: a) ( ) = ( ) = i ) = b) i ( ( ) = > c) ( = 8e cos( ) cos( ) per d) ( = 44cos( 4) e [sin( ) sin( 48)] per >