Esercitazioni di Teoria dei Circuiti: circuiti in evoluzione dinamica

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1 Unersà degl Sud d assno sercazon d Teora de rcu: crcu n eoluzone dnamca prof nono Maffucc maffucc@uncas er oobre 7

2 Maffucc: rcu n eoluzone dnamca er-7 rcu dnamc del prmo ordne S Nel seguene crcuo è assegnaa la correne nell nduore all sane = caare la correne sull nduore per > grafcarne l andameno e smare la duraa del ransoro = V per > () = 4 = H = kω = Ω Valuando l equalene d Noron a cap dell nduore: eq = = 7 Ω I cc = = s oene la ree equalene n fgura descra dalle equazon: = I d cc = dalle qual s rcaa faclmene l equazone dfferenzale nell ncogna ( d I cc = doe τ = = ms τ τ eq solendo l equazone caraersca dell omogenea assocaa λ = τ I λ = / τ = 7 s eq 7 P possamo esprmere la soluzone generale nella forma: ( = Ke ( doe P ( rappresena l ermne d regme sazonaro In ale condzone l nduore è equalene ad un coro-crcuo per cu: ( = I = P [] 4 a cosane K s oene mponendo la connuà della arable d sao ( all sane = : ( ) = 4 = ( ) = K K = 8 da cu ( = 8e per > 7 l cu andameno nel empo è grafcao a lao a duraa del ransoro è smaa n 4 τ = 4 ms /au

3 Maffucc: rcu n eoluzone dnamca er-7 S Nel seguene crcuo all'sane = s apre l'nerruore alcolare la ensone sul condensaore per ogn sane ( = = 8 V = V = kω = mf Per < l crcuo è n regme sazonaro qund l condensaore s compora come un crcuo apero Per ale ragone s ha: ( = = V Per > applcando la KT all'unca magla e la caraersca del condensaore s oene faclmene l'eq dfferenzale d prmo ordne nell'ncogna ( d d = = = doe τ = τ τ a radce dell equazone caraersca dell omogenea assocaa è par a qund la soluzone generale s esprme nella forma: ( = Ke P ( λ = / τ = s doe P ( è una soluzone parcolare che s può aluare calcolando la soluzone d regme Poché per s ende ad un regme sazonaro l condensaore s compora come un crcuo apero a cap del quale c sarà P ( = = 8 V esa da deermnare la cosane K che s oene dalla condzone nzale oenua mponendo la connuà della arable d sao ( da cu ( = 8 e > ( ) = ( ) = K 8 K = S Dao l seguene crcuo aluare la ensone ( per > e ( = V > ( = ) = V = mf = Ω = 4 Ω sulao: 97 ( = 7 7e V

4 Maffucc: rcu n eoluzone dnamca er-7 S 4 onsderao l seguene crcuo che fno all sane = laora n regme sazonaro calcolare la correne nell'nduore per ogn sane grafcare l andameno e smare la duraa del ransoro ( x e ( ( ( y V = V = Ω = Ω = mh < > Per < l crcuo è n regme sazonaro qund l'nduore s compora come un coro crcuo Per ale ragone poso = // s ha: a ( ) = a = < a Per aluare la soluzone per > s può procedere come nell eserczo aluando dapprma l equalene d Noron a cap dell nduore: eq = e I cc ( = e qund rcaare l equazone dfferenzale nell ncogna ( d I cc = doe τ = 8 µ s τ τ lernaamene s possono oamene applcare le legg d Krchhoff alla ree d parenza: d eq x y = e y = x = y da cu a radce dell equazone caraersca dell omogenea assocaa è qund la soluzone generale s esprme nella forma: [] ( = Ke P ( doe P ( è la soluzone d regme sazonaro: P ( = Imponendo la connuà della correne ( : ( ) = ( ) = K K = 4 da cu: ( = 4e > Il ransoro s esnguerà n crca 4 τ = ms d e = τ λ = / τ = s - 4 /au 4

5 Maffucc: rcu n eoluzone dnamca er-7 S Il seguene crcuo è a rposo fno a = sane n cu s chude l'nerruore alcolare: a) la cosane d empo τ del crcuo; b) la ensone a cap del condensaore per > (raccarne anche l grafco) = ( = cos( ω ω = rad / s = Ω = Ω = Ω = mf a) Per calcolare la cosane d empo basa aluare la ressenza dell equalene d Théenn so a cap del condensaore: eq = ( // ) = Ω τ = eq = 7 ms b) Per < l crcuo è a rposo qund c ( ) = c ( ) = Per > rcaando la ensone a uoo dell equalene d Théenn so a cap del condensaore s ha: V( = pplcando le legg d Krchhoff al crcuo oenuo sosuendo a cap d l generaore equalene d Théenn s rcaa l equazone dfferenzale nell ncogna c : dc c V = τ τ a radce dell equazone caraersca dell omogenea assocaa è par a qund la soluzone generale s esprme nella forma: ( = exp( 8 ( c cp λ = / τ = 8 s doe cp ( è la soluzone d regme snusodale aluable araerso l meodo fasorale Poso: j = Z& = = Z& = = j Z& = = ω e applcando rpeuamene la regola del parore d ensone s ha poso Z& x = Z& // Z& : Z& x VZ& c j8 V = Vc = = 7e [V] Z& Z& Z& x da cu: cp ( = 7 cos( 8) V Dalla condzone nzale s ha: c ( ) = = 7 cos( 8) = -4 Qund n defna s oene la ensone c ( = 4exp( 8 7 cos( 8) V > - l cu andameno è raccao nella fgura a lao c [s]

6 Maffucc: rcu n eoluzone dnamca er-7 S Il seguene crcuo è n regme sazonaro fno a = sane n cu s apre l'nerruore alcolare la ensone a cap dell nduore n ogn sane e raccarne l grafco = = V = H = kω = = Ω sulao: ( = per < ; ( = 88e V per > 4 S 7 Il seguene crcuo è n regme sazonaro fno a = sane n cu s chude l'nerruore alcolare la ensone sul condensaore n ogn sane e raccarne l andameno = = V = F = = kω = Ω 4 sulao: ( = 7 V per < ; ( = e V per > S 8 a seguene ree dnamca è a rposo per < a) Traccare l andameno della ensone a cap d per > b) alcolare l energa dsspaa da nell nerallo < < ms ( j ( ( - J j ( T J = 4 = Ω = mh T = ms = Ω ssendo ( = ( è opporune rsolere l problema nell ncogna ( arable d sao Per < l crcuo è a rposo qund ( = Per < < T aluando l equalene d Noron a cap d s oene: eq = e ( = J da cu l equazone dfferenzale nell ncogna ( : I cc

7 Maffucc: rcu n eoluzone dnamca er-7 d I cc = con τ = = ms τ τ omogenea assocaa fornsce un equazone caraersca aene radce a soluzone assume qund la forma: ( = Ke P eq ( λ = / τ = s doe P ( è la soluzone d regme sazonaro qund assumendo come coro crcuo: P ( = J = 4 esa da deermnare la cosane K che s oene dalla condzone nzale: ( ) = ( ) = = K 4 K = 4 < T da cu ( = ( = 48( e ) per < Per > T l'equazone dfferenzale sarà d = τ e qund ua la soluzone concde con la soluzone dell omogenea ( = He doe H è una cosane arbrara deermnaa mponendo la condzone nzale per = T da cu 4(-e ( T ) = ( T ) = He ) H = 44 ( = ( 8e V per > T [V] andameno della soluzone è raccao nel grafco a lao 4 [ms] Per calcolare l energa dsspaa da nell nerallo [ fn ] con fn = ms basa negrare la poenza sananea assorba: W W ( ( fn fn ) = fn ( = ) = 48 J T ( fn T ( = T 48 ( e ) fn T 8 e 7

8 Maffucc: rcu n eoluzone dnamca er-7 S 9 a seguene ree rappresena un semplce crcuo d carca e scarca d un condensaore a carca aene ra l'sane = e l'sane = T nerallo n cu l'nerruore resa chuso Per > T nece l condensaore ene collegao al reso della ree araerso la chusura dell'nerruore B Supponendo la ree a rposo per < aluare: a) la ensone sul condensaore ( per < < T ; b) l'energa massma W max erogable da per > T ; e ( = T ( = T B apero chuso apero T = sn( V = Ω = mf T = s sulao: a) ( = 4e 447 sn( ) V b) Wmax = 8 4 J ; per < < T ; S Nella seguene ree è noa la ensone a cap del condensaore all sane d chusura dell nerruore = Valuare la correne ( nel ressore per > ( ( = e ( = sn( ) V = Ω = mf ( = Ω ) = V sulao: ( = 8e / sn( 4) S Nella seguene ree l nerruore s chude all sane = sane n cu la correne crcolane n è noa alcolare: a) l crcuo equalene d Theenn a cap d per > ; b) la correne che crcola nell nduore per > ( = = V () = = Ω = 4 Ω = mh sulao: a) eq = Ω = V / τ b) ( = 4e con τ = 4 ms 8

9 Maffucc: rcu n eoluzone dnamca er-7 rcu dnamc del secondo ordne S a seguene ree è n regme sazonaro fno all sane = alcolare la ensone sul condensaore n ogn sane grafcarne l andameno e smare la duraa del ransoro e ( ( ( ( V per < = V per > = Ω = µ H = µ F Per < l crcuo è n regme sazonaro qund l condensaore s compora come un crcuo apero e l'nduore come un coro crcuo Per ale ragone: Per la connuà delle arabl d sao s arà: ( = = V ( = = ( ) = ( ) = V e ( ) = ( ) = eoluzone dnamco del crcuo per > sarà descra dalle seguen equazon derae mponendo le legg d Krchhoff e le caraersche de bpol: d d = e = Da al equazon s perene al ssema delle equazon d sao: d e d = = equazon dfferenzale nell ncogna ( sarà qund d d = equazone caraersca dell omogenea assocaa è la seguene: λ λ = e fornsce le radc λ = α ± j β = ( ± ) a soluzone dell omogenea assocaa può qund essere espressa nella forma: j e ( = e α [ k cos( β k sn( β )] ale soluzone a agguna la soluzone d regme sazonaro che per effeo delle consderazon sole precedenemene sarà banalmene par a: ( = V a soluzone generale per > assume qund la forma: ( = e α [ k cos( β k sn( β] p 9

10 Maffucc: rcu n eoluzone dnamca er-7 e cosan arbrare s deermnano mponendo la connuà delle arabl d sao nell sane = Tale propreà mpone le seguen condzon nzal su ( e su ( : ( ) = = k k = d a soluzone è qund: ( ) αk = ( ) = = αk βk k = β = ( = e V [cos( sn( ] andameno della ensone n ogn sane d empo è rporao nel grafco a lao a cosane d empo della ree è par a τ = / α = µs menre l perodo delle delle oscllazon naural è par a T = π / β = 8 µ s Durane l ransoro qund è sble meno d una oscllazone naurale complea - - [V] [us] S Nella seguene ree sono assegna alor delle grandezze d sao all sane = alcolare la ensone sul condensaore per > e ( ( ( ) = V ( ) = = V per > = Ω = µ H = µ F sulao: ( = e [cos(87 7 sn(87 ] V per >

11 Maffucc: rcu n eoluzone dnamca er-7 S Il seguene crcuo è n regme sazonaro fno a = alcolare: a) l alore delle grandezze d sao all'sane = b) la correne ( per > j ( ) ( j( = = Ω = µ H = µ F < > a) Per < l crcuo è n regme sazonaro qund l condensaore s compora come un crcuo apero e l'nduore come un coro crcuo Per ale ragone: ( = j( / = ( = j( / = V < Per la connuà delle arabl d sao s ha: c ( ) = c ( ) = V e ( ) = ( ) = b) Per > l crcuo è n eoluzone lbera Per oenere le equazon d sao s possono mporre le equazon d Krchhoff e le caraersche come fao nell eserczo Un meodo pù effcace consse nella rsoluzone prelmnare del crcuo resso assocao Queso crcuo può essere sudao applcando ad esempo l meodo de poenzal nodal modfcao onsderando c come nodo d rfermeno e osserando che l poenzale del nodo a è par a c menre quello del nodo b è par a s ha: a = j = e arabl non d sao saranno esprmbl come: b j _ = = j c cordando le caraersche de bpol dnamc da quese equazon s oengono mmedaamene le equazon d sao della ree: d d j = = caando dalla prma e sosuendola nella seconda s oene l'equazone dfferenzale: d d = la cu equazone caraersca fornsce λ = α ± j β = ( ± ) a soluzone è qund: j ( = exp( α[ k cos( β k sn( β )] doe le cosan k k anno deermnae mponendo le condzon nzal su e su d / : d ( ) ( ) αk ( ) = = k = = = αk βk k = = β Perano la soluzone sarà: ( = exp( [ cos( sn( ] >

12 Maffucc: rcu n eoluzone dnamca er-7 S 4 Il seguene crcuo è n regme snusodale fno = sane n cu l generaore s spegne alcolare la correne ( n ogn sane e raccarne l andameno j ( ) ( cos( ) j( = = Ω = mh = mf < > Per < l crcuo è n regme snusodale qund s può rcorrere al meodo fasorale ponendo: J = Z& = Z& Z& = j Z& = Z& Z& = Per l parore d correne la correne dell'nduore sarà I Z& = J Z& Z& pplcando la K s rcaa: V = Z & = 7 j = 4exp( j) Per la connuà delle arabl d sao: I j ( = 4cos( ) I = J I = 7 9 j da cu la ensone: = 74 exp( 4 j) ( = 74 cos( 4) V c ( ) = c ( ) = 7V ( ) = ( ) = 7 Per > l crcuo è n eoluzone lbera pplcando la KT all'unca magla s oene: d = Derando ale equazone e sosuendo la caraersca d s oene l'equazone dfferenzale d d = la cu equazone caraersca ammee le radc λ = 74 e λ = 7 a soluzone s può esprmere qund nella forma: ( = k exp( λ k exp( λ ) 4 [] doe le cosan k k sono deermnae dalle condzon nzal su e su d / : ( ) = 7 = k k d = ( ) ( ) = 8 = λ k λ solendo ale ssema s oengono: k = 4 98 k = 9 qund per > la soluzone è daa da: ( = 498 exp( 74 9exp( 7 k [s] ndameno della soluzone n ogn sane

13 Maffucc: rcu n eoluzone dnamca er-7 S on rfermeno al seguene crcuo n regme sazonaro per < calcolare la ensone ( e la poenza p ( assorba dal condensaore n ogn sane e ( - ( V = V = Ω = µ H = µ F < > Per < l crcuo è n regme sazonaro qund l condensaore s compora come un crcuo apero e l'nduore come un coro crcuo Per ale ragone: ( = / = ( = / = V < Per la connuà delle arabl d sao s ha: c ( ) = c ( ) = V e ( ) = ( ) = Osseramo che essendo c ( = s ha banalmene p ( = ( ( = c c c Per > l crcuo è forzao dal generaore a parre dalle condzon nzal ndduae precedenemene solendo l crcuo resso assocao mosrao n fgura: e = = s oengono le equazon d sao: d = e d = caando dalla prma e sosuendola nella seconda s oene l'equazone dfferenzale: d c d c c = 'equazone caraersca dell'omogenea assocaa fornsce: λ = α ± j β = ( ± ) qund la soluzone s può esprmere nella forma: de ( P e = e α [ k cos( β k sn( β] ( ) j doe P ( è una soluzone parcolare che può essere scela come la soluzone d regme a cu l crcuo ende per (regme sazonaro): P ( = / = V e ( e cosan k k anno deermnae mponendo le condzon nzal su e su - - d / : d c = ( ( ) = = k k = ; ( ) ( ) e ) = 8 = α k βk k = a ensone sul condensaore per > è qund:

14 Maffucc: rcu n eoluzone dnamca er-7 ( = e [cos( sn( ] = 8e [cos( 79)] V a poenza assorba per > s può aluare n due mod: possamo calcolare prelmnarmene la correne che crcola nel condensaore: p ( = ( d ( ( = = 4e ( = e 4 sn( 7) da cu: [sn(4 ) 7] 4e sn( 7) W llo sesso rsulao s perene rcordando l espressone dell energa d un condensaore: p ( = d ( = d [8e cos( 79) ] S Il seguene crcuo rappresena un semplce ssema rasmeore-canale-rceore alcolare la ensone sul rceore ( U ) n ogn sane e raccarne l andameno S U e S ( ( = V T = ns S = U = Ω = nh = pf ( e S T 44 sulao: ( = V per < ; ( = 74e 74e V per < < T ; ( = e e 9 9 per > T 9 S 7 a ree n fgura è n regme sazonaro fno = sane n cu s chude l'nerruore alcolare la correne ( per > = ( = V = / Ω = mh = mf Il crcuo da analzzare per < è dsegnao a lao ssendo n regme sazonaro l condensaore s compora come un crcuo apero e l'nduore come un coro crcuo: ( = / = ( = / = V ( < ) ( ( 4

15 Maffucc: rcu n eoluzone dnamca er-7 Per la connuà delle arabl d sao s ha: c ( ) = c ( ) = V Il crcuo da analzzare per > è dsegnao a lao Dal crcuo resso assocao s rcaano le equazon: = = da cu è semplce oenere le equazon d sao della ree: d = - d = e ( ) = ( ) = caando dalla seconda e sosuendola nella prma s oene l'equazone dfferenzale: ( ( ( d d e radc dell'equazone caraersca dell'omogenea assocaa sono: λ = λ = qund la soluzone s può esprmere nella forma: ( = k e ke = P doe P ( è una soluzone parcolare che può essere scela come la soluzone d regme a cu l crcuo ende per (regme sazonaro): P ( = / = ( ) e cosan k k anno deermnae mponendo le condzon nzal su e su d ( ) = = k k ; = ( ) = = k k d / : da cu: k = k = 4 e qund la soluzone per > è ( = e 4e S 8 a ree n fgura è n regme sazonaro per < Deermnare: a) le grandezze d sao all sane = b) la correne nel condensaore e la ensone nell nduore all sane c) la ensone sul condensaore per > d) la ensone sull nduore per > ( ( j ( ( ( sulao: a) ( ) = V ( ) = ) = b) ( ( ) = V > c) ( = 8e cos( 9) cos( ) V per d) ( = cos( ) e [sn( )] V per > ω = = µ H = µ F = < j( = sn( ω > rad/s = Ω