Soluzioni di reti elettriche lineari PAS Introduzione
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- Gemma Bono
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2 Soluzioni di rei eleriche lineari PAS Inroduzione Domanda: Cosa sono le rei eleriche lineari in regime Periodico Alernao Sinusoidali PAS? Risposa: Sono rei lineari in cui i generaori hanno dipendenza dal empo di ipo sinusoidale ed isofrequenziale NB per noi sinusoidi sin ω e cosinusoidi cos ω sono la sessa cosa!!!
3 Soluzioni di rei eleriche lineari PAS Inroduzione In un circuio lineare, in regime PAS ue le variabili sono PAS ed isofrequenziali Conseguenemene in un circuio lineare, alimenao da generaori PAS, isofrequenziali è noo a priori che: ue le grandezze ensioni, correni hanno un dipendenza dal empo di ipo sinusoidale ue le grandezze ensioni, correni hanno pulsazione uguale a quella dei generaori
4 Soluzioni di rei eleriche lineari PAS Inroduzione La soluzione di una ree in regime consise nella ricerca delle grandezze a regime ensioni, correni fin qui niene di nuovo e nelle specifico nella ricerca di quei parameri che definiscono univocamene la grandezza sinusoidale di ciascun correne e ciascuna ensione della ree è qui qualcosa di nuovo c è!!!
5 Soluzioni di rei eleriche lineari PAS Inroduzione Comunque siee sceici e supponiamo di voler deerminare la correne non essendo più il regime sazionario, devo rovare una funzione del empo i.e. come varia la correne nel empo o, alernaivamene, qual è la dipendenza della correne dal empo
6 Soluzioni di rei eleriche lineari PAS Inroduzione Le leggi di Kirchoff coninuano a valere vr vl M
7 Soluzioni di rei eleriche lineari PAS Inroduzione vr vl M M e v v = R L 0
8 Soluzioni di rei eleriche lineari PAS Inroduzione vr vl M Le caraerisiche ensione correne per ciascun ipo di bipolo pure v v R L = R i di = L d
9 Soluzioni di rei eleriche lineari PAS Inroduzione vr vl di e Ri L = d 0 M di L + Ri = d e 1 equazione, nell incognia di ineresse i La ricavo risolvendo 1 equazione differenziale, lineare, a coefficieni cosani, del 1 ordine
10 Soluzioni di rei eleriche lineari PAS Inroduzione Consideriamo ora il circuio seguene ed anche in queso caso supponiamo di voler deerminare risolvere l incognia i
11 Soluzioni di rei eleriche lineari PAS Inroduzione = v v v e M LKT C L R vr M vl vc = v v v e M LKT C L R
12 Soluzioni di rei eleriche lineari PAS Inroduzione = v v v e M LKT C L R 0 1 C C L R V d i C v d di L v i R v + = = = vr M vl vc 0 0 = C V d i C d di L Ri e M LKT
13 Soluzioni di rei eleriche lineari PAS Inroduzione LKT 2 d i M L 2 + R di d + 1 C i = de d 1 equazione, nell incognia di ineresse i La ricavo risolvendo 1 equazione differenziale, lineare, a coefficieni cosani, del 2 ordine
14 Inroduzione Quindi per risolvere un circuio lineare, in regime PAS devo risolvere sisemi di equazioni differenziali del 1 e del 2 ordine? La risposa è negaiva perché, forunaamene, esise una relazione biunivoca ra grandezze sinusoidali isofrequenziali e numeri complessi in alri ermini daa una grandezza sinusoidale esise un solo numero complesso che la rappresena e viceversa dao un numero complesso esise una sola grandezza sinusoidale da esso rappresenaa.
15 Inroduzione Queso numero complesso è definio FASORE! Rappresenando le grandezze sinusoidali con i rispeivi fasori la soluzione della ree non passa più araverso la soluzione di equazioni differenziali bensì araverso la soluzione di equazioni algebriche MA le ensioni e le correni saranno sempre grandezze sinusoidali!!!
16 Inroduzione Riprendiamo. in un circuio lineare, in regime PAS ue le variabili sono PAS ed isofrequenziali Conseguenemene in un circuio lineare, alimenao da generaori PAS, isofrequenziali è noo a priori che: ue le grandezze ensioni, correni hanno un dipendenza dal empo di ipo sinusoidale ue le grandezze ensioni, correni hanno pulsazione uguale a quella dei generaori
17 Inroduzione - Esempio v1 i1 v3 e = 400 cos V i2 i3 i1 = I1 cos φ1 A i2 = I2 cos φ2 A i3 = I3 cos φ3 A v1 = V1 cos φ4 V v3 = V3 cos φ5 V
18 Inroduzione - Esempio Conseguenemene NON è incognia la dipendenza dal empo ma alcuni suoi parameri, nella faispecie: valor massimo fase e = 400 cos V i1 = I1 cos φ1 A i2 = I2 cos φ2 A i3 = I3 cos φ3 A v1 = V1 cos φ4 V v3 = V3 cos φ5 V
19 Procedimeno generale di soluzione 1. Disegno il circuio nel dominio dei fasori 1a - sosiuisco ogni generaore con il fasore corrispondene 1b - sosiuisco ogni bipolo passivo con l impedenza corrispondene 1c - sosiuisco ogni incognia variabile con il fasore corrispondene 2. Fisso i versi convenzionali di ue nel grandezze 3. Scrivo le caraerisiche ensione-correne dei bipoli appareneni a ciascun lao della ree 4. Analizzo la ree con le regole usuali i.e. scrivo un sisema di L equazioni in L incognie 5.
20 Procedimeno generale 5. risolvo le incognie fasori 6. Ricavo le grandezze sinusoidali anirasformando i fasori corrispondeni
21 Trasformazione di una grandezza sinusoidale elerica nel fasore corrispondene f = F MAX cos ω + φ F = F MAX / 2 e jφ rappr. polare F = F MAX / 2 cosφ + j F MAX / 2 sinφ rappr. caresiana
22 Trasformazione di una grandezza sinusoidale elerica nel fasore corrispondene - Esempio i = 100 cos π I = 100/ 2 e jπ = 70,71 e jπ rappr. polare I = 100/ 2 cosπ + j 100/ 2 sinπ I = - 70,71 rappr. caresiana
23 AniTrasformazione di un fasore nella grandezza sinusoidale corrispondene F = F EFF e jφ rappr. polare F = F EFF cosφ + j sinφ rappr. caresiana f = 2 F EFF cos ω + φ
24 Trasformazione ed AniTrasformazione in sinesi DOMINIO DEL TEMPO f = F MAX cos ω + φ DOMINIO DEI FASORI F = F EFF e jφ rappr. polare F EFF = F MAX / 2 F MAX = 2 F EFF φ = φ
25 Meodo simbolico in sinesi Leggi di Kirchoff equazioni differenziali Leggi di Kirchoff equazioni simboliche algebra dei complessi Grandezze sinusoidali v, i Fasori rappresenaivi delle ensioni e delle correni V, I
26 Bipoli passivi Caraerisiche ensione-correne Bipolo Resisore Dominio del empo v = R i Dominio dei fasori V = RI Induore v = L di/d V = jωl I Condensaore i = C dv/d I = jωc V
27 Bipoli passivi Impedenza, Ammeenza Bipolo Resisore Impedenza Z R Ammeenza Y 1/R Induore jωl 1/jωL Condensaore 1/jωC = -j 1/ωC jωc
28 Imporane! I fasori sono STRUMENTI la rappresenazione fasoriale è uno srumeno La deerminazione direa delle i e delle v non è una quesione di possibilià ma di OPPORTUNITÀ
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