Interruttore ideale. + v(t) i(t) t = t 0. i(t) = 0 v(t) = 0. i(t) v(t) v(t) = 0 i(t) = 0. Per t > t 0. interruttore di chiusura

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1 Inerruore ideale inerruore di chiusura { i() = 0 v() = 0 inerruore di aperura { v() = 0 i() = 0 per < 0 per > 0 per < 0 per > 0 v() i() = 0 v() i() = 0 Esempio: inerruore ideale di aperura Per < 0, i() è inderminaa } (dipende dal circuio) Poenza dissipaa p() = v() i() = 0 Per > 0, v() è inderminaa (dipende dal circuio) i() v()

2 Inerruore ideale inerruore di chiusura { i() = 0 v() = 0 inerruore di aperura { v() = 0 i() = 0 per < 0 per > 0 per < 0 per > 0 v() i() = 0 v() i() = 0 Caso Esempio: reale inerruore ideale di aperura Nell inervallo Per < 0, i() è δ inderminaa (inervallo di aperura), } v(), i() e la (dipende poenza dal dissipaa circuio) p() sono diverse Poenza da zero. dissipaa Gli inerruori sono caraerizzai p() da: = v() i() = 0 Per > 0, v() è inderminaa l inervallo δ (inerruori rapidi, exrarapidi, ecc.) (dipende dal circuio) la massima correne e la massima ensione i() v() δ

3 2 C Scarica del condensaore v C () = 0 i() v R () R Il circuio è formao da re componeni il condensaore C il resisore R l inerruore, che si chiude per = 0 Si supponga che v C () = V 0, per < 0 V 0 condizione iniziale Per < 0 i() = 0 v C () = V 0 v R () = 0 Per > 0, inerruore chiuso : v C () = v R () Deerminazione equazione risolvene i() = - C d v C () / d Aenzione ai segni coordinai sul condensaore = - C d v R () / d = - C d R i() / d RC di() / d i() = 0 Equazione risolvene

4 2 C Scarica del condensaore v C () = 0 i() v R () R Il circuio è formao da re componeni il condensaore C il resisore R l inerruore, che si chiude per = 0 Si supponga che v C () = V 0, per < 0 V 0 condizione iniziale Per < 0 i() = 0 v C () = V 0 v R () = 0 Per > 0, inerruore chiuso : v C () = v R () Risoluzione Deerminazione equazione equazione risolvene risolvene Si i() scelga = - C d i() v C = () A / e d α = - C d v R RC () / A d α= e - α C d A R e i() α / = d 0 Equazione Aenzione caraerisica RC α = 0 ai segni coordinai RC di() / d i() = 0 α = - / RC sul condensaore RC di() / d i() = 0 i() = A e / RC Equazione risolvene Inegrale generale

5 2 C Scarica del condensaore v C () = 0 i() v R () R Il Si circuio definiscono è formao gli isani da re componeni il = condensaore 0 - (lim per C 0 da sinisra) il = resisore 0 (lim per R 0 da desra) Non l inerruore, essendo possibili che si disconinuià chiude per = di 0 ensione Si supponga sul condensaore che v C () = V 0, per < 0 V 0 v C (0 )= v C (0 - ) = V 0 condizione iniziale Per < 0 i() = 0 v C () = V 0 v R () = 0 Per > 0, inerruore chiuso : v C () = v R () ; i() = A e / RC Risoluzione Deerminazione Calcolo dell inegrale equazione equazione paricolare risolvene risolvene RC di() / d i() = 0 Si i() i(0 scelga = ) = - C A d i() e v C = / () RC A / e d α = A - C = d v v R RC () A d α e - α C d A R e i() α =0 C (0 ) / R = V 0 / R / = d 0 Equazione Aenzione caraerisica RC α = 0 i() ai segni = (Vcoordinai 0 / R) e RC di() / d i() = 0 α = - / RC / RC l inegrale paricolare è sao calcolao uilizzando la sul inegrale condensaore paricolare i() = A e / RC Equazione condizione risolvene iniziale Inegrale generale

6 3 Scarica del condensaore i() < 0 i() = 0, v C () = V 0, v R () = 0 C v C () = 0 v R () R > 0 i() = (V 0 / R) e / RC v C () = v R () = V 0 e / RC τ = RC cosane di empo

7 3 Scarica del condensaore i() < 0 i() = 0, v C () = V 0, v R () = 0 C v C () = 0 v R () R > 0 i() = (V 0 / R) e / RC e / τ v C () = v R () = V 0 e / RC τ = RC cosane di empo e / τ cosane di empo τ in secondi ( s ) Dal valore di τ dipende la velocià di decadimeno della ensione e della correne v C () V 0 R = 0 MΩ, C = mf, τ = 0 4 s (più di 2 ore e 45 minui) R = 0 Ω, C = 0 pf, τ = 0-0 s = 00 ps τ

8 3 Scarica del condensaore i() < 0 i() = 0, v C () = V 0, v R () = 0 C v C () = 0 v R () R > 0 i() = (V 0 / R) e / RC e / τ v C () = v R () = V 0 e / RC τ = RC cosane di empo e / τ cosane di empo τ in secondi ( s ) Dal valore di τ dipende la velocià di decadimeno della ensione e della correne V 0 v C () V 0 grandi valori di τ R = 0 MΩ, C = mf, τ = 0 4 s (più di 2 ore e 45 minui) R = 0 Ω, C = 0 pf, τ = 0-0 s = 00 ps τ

9 3 Scarica del condensaore i() < 0 i() = 0, v C () = V 0, v R () = 0 C v C () = 0 v R () R > 0 i() = (V 0 / R) e / RC e / τ v C () = v R () = V 0 e / RC τ = RC cosane di empo e / τ cosane di empo τ in secondi ( s ) Dal valore di τ dipende la velocià di decadimeno della ensione e della correne V 0 v C () V 0 piccoli grandi valori di di τ τ R = 0 MΩ, C = mf, τ = 0 4 s (più di 2 ore e 45 minui) R = 0 Ω, C = 0 pf, τ = 0-0 s = 00 ps τ

10 3 Scarica del condensaore i() < 0 i() = 0, v C () = V 0, v R () = 0 C v C () = 0 v R () R > 0 i() = (V 0 / R) e / RC e / τ v C () = v R () = V 0 e / RC τ = RC cosane di empo e / τ cosane di empo τ in secondi ( s ) Dal valore di τ dipende la velocià di decadimeno della ensione e della correne V 0 v C R () V 0 piccoli grandi valori di di τ τ R = 0 MΩ, C = mf, τ = 0 4 s (più di 2 ore e 45 minui) R = 0 Ω, C = 0 pf, τ = 0-0 s = 00 ps τ

11 3 Scarica del condensaore i() < 0 i() = 0, v C () = V 0, v R () = 0 C v C () = 0 v R () R > 0 i() = (V 0 / R) e / RC e / τ v C () = v R () = V 0 e / RC τ = RC cosane di empo e / τ cosane di empo τ in secondi ( s ) Dal valore di τ dipende la velocià di decadimeno della ensione e della correne R = 0 MΩ, C = mf, τ = 0 4 s (più di 2 ore e 45 minui) R = 0 Ω, C = 0 pf, τ = 0-0 s = 00 ps V 0 V 0 /R vi() C R () i() piccoli = grandi (V 0 / R) valori e di di / RC > τ τ 0 V 0 τ

12 C M. Salerno Laplace 3 Scarica del condensaore v C () = 0 i() v R () R Dal valore di τ dipende la velocià di E R decadimeno = R i 2 () ddella ensione e - della correne R = 0 MΩ, = R C (V= 0 /R mf, ) 2 e τ 2 = / 0 RC 4 d s 0 (più di 2 ore e 45 minui) = [ -½ C V 0 2 e 2 / RC ] 0 R = 0 Ω, C = 0 pf, τ = 0-0 s = ½ C V 2 = 00 ps 0 Conservazione < 0 i() dell energia = 0, v C () = V 0, v R () = 0 Per < 0, l energia E C immagazzinaa > 0 i() = (V 0 / R) e / / RC τ dal condensaore è E C = ½ C V 2 0 Per > 0, v C l energia () = v R () E= V 0 e / / RC τ R assorbia dal resisore è: E τ = RC cosane R = ½ C V 2 di empo 0 cosane di empo τ in secondi ( s ) V 0 V 0 /R E C = E R vi() C R () i() piccoli = grandi (V 0 / R) valori e di di / RC > τ τ 0 V 0 τ

13 C M. Salerno Laplace 3 Scarica del condensaore v C () = 0 i() v R () R Dal valore di τ dipende la velocià di EQ R decadimeno = i() R i 2 d () ddella ensione e 0- della correne = R = 0 MΩ, = (V R C (V 0 /R ) e = 0 /R mf, ) 2 e / RC d 0 τ 2 = / 0 RC 4 d s 0 (più di 2 ore e 45 minui) = [ -C V = [ 0 e / RC -½ C V 2 ] 0 e 2 / RC 0 ] 0 R = 0 Ω, = 0 pf, τ = 0-0 s = C V 0 = ½ C V 2 = 00 ps 0 Conservazione Deerminazione < 0 i() dell energia dell area = 0, v C () Q = della V 0, forma v R () = 0 d onda Per di < correne 0, l energia i() E C immagazzinaa > 0 i() = (V / R) e / / RC τ dal Si ha condensaore Q = C V è E C = ½ C V 2 0 indipendene 0 da R Q è Per la quanià > 0, v C l energia () oale = v R () di Ecarica = V 0 e / / RC τ R assorbia elerica dal che resisore ransia nel è: circuio E τ = RC cosane R = ½ C per V 2> 0 di empo 0 cosane di empo τ in secondi ( s ) V 0 V 0 /R E C = E R vi() C R () i() piccoli = grandi (V 0 / R) valori e di di / RC > τ τ 0 V 0 Q τ

14 C M. Salerno Laplace 3 Scarica del condensaore v C () = 0 i() v R () R Dal valore di τ dipende la velocià di EQ R decadimeno = i() R i 2 d () ddella ensione e 0- della correne = R = 0 MΩ, = (V R C (V 0 /R ) e = 0 /R mf, ) 2 e / RC d 0 τ 2 = / 0 RC 4 d s 0 (più di 2 ore e 45 minui) = [ -C V = [ 0 e / RC -½ C V 2 ] 0 e 2 / RC 0 ] 0 R = 0 Ω, = 0 pf, τ = 0-0 s = C V 0 = ½ C V 2 = 00 ps 0 Conservazione Deerminazione < 0 i() dell energia dell area = 0, v C () Q = della V 0, forma v R () = 0 d onda Per di < correne 0, l energia i() E C immagazzinaa > 0 i() = (V / R) e / / RC τ dal Si ha condensaore Q = C V è E C = ½ C V 2 0 indipendene 0 da R Q è Per la quanià > 0, v C l energia () oale = v R () di Ecarica = V 0 e / / RC τ R assorbia elerica dal che resisore ransia nel è: circuio E τ = RC cosane R = ½ C per V 2> 0 di empo 0 L area della forma d onda i() è cosane invariane di Eempo C = rispeo Eτ R in secondi a R ( s ) V 0 V 0 /R v C R () piccoli grandi valori i() i() = (V 0 / R) e di di / RC > τ τ 0 V 0 Q τ al variare di R R minore R maggiore

15 4 Analisi nel dominio del empo Meodo di analisi di un circuio conenene inerruori: a) deerminare l equazione differenziale risolvene L ordine dell equazione differenziale risolvene è deo ordine del circuio (il circuio RC è un circuio del primo ordine). L ordine di un circuio non è mai maggiore della somma del numero dei condensaori e degli induori preseni b) deerminare l inegrale generale L inegrale generale dipende da un numero di cosani arbirarie pari all ordine del circuio c) deerminare l inegrale paricolare Le cosani arbirarie preseni nell espressione dell inegrale generale devono essere calcolae in funzione delle condizioni iniziali (scele fra le ensioni iniziali dei condensaori e le correni iniziali degli induori)

16 4 Analisi nel dominio del empo Meodo di analisi di un circuio conenene inerruori: Il meodo è deo analisi nel dominio del empo perché a) deerminare l equazione differenziale risolvene ue le grandezze eleriche considerae sono funzioni L ordine dell equazione differenziale risolvene è deo ordine del circuio (il del empo e le equazioni differenziali uilizzano il circuio RC è un circuio del primo ordine). L ordine di un circuio non è mai maggiore della somma del numero dei condensaori e degli induori preseni b) deerminare empo come l inegrale variabile indipendene generale L inegrale generale dipende da un numero di cosani arbirarie pari all ordine del In presenza circuio di inerruori è spesso necessario c) suddividere deerminare l asse l inegrale dei empi paricolare in più rai conigui ed Le cosani arbirarie preseni nell espressione dell inegrale generale devono essere effeuare analisi indipendeni calcolae in funzione delle condizioni iniziali (scele fra le ensioni iniziali dei condensaori e le correni iniziali degli induori)

17 4 Analisi nel dominio del empo Meodo di analisi di Nel un caso circuio della scarica conenene del condensaore inerruori: è presene Il meodo è deo analisi nel dominio del empo perché a) C = 0 un solo inerruore che si chiude per = 0 deerminare R l equazione differenziale risolvene ue le grandezze eleriche considerae sono funzioni L ordine V 0 dell equazione differenziale L analisi è risolvene effeuaa è considerando deo ordine del i segueni circuio (il circuio RC è un circuio del primo ordine). L ordine un circuio non è mai del empo e le equazioni inervalli differenziali sull asse dei empi: uilizzano il maggiore della somma del numero dei condensaori e degli induori preseni Inervallo < 0. In queso inervallo l analisi è banale, essendo il circuio apero b) deerminare empo come l inegrale variabile indipendene generale Inervallo 0 - < < 0. In queso inervallo l analisi è banale, poiché la condizione L inegrale generale iniziale dipende V da un numero di cosani arbirarie pari all ordine del 0 non subisce variazioni alla chiusura dell inerruore Inervallo circuio > 0. In queso inervallo l analisi è effeuaa per mezzo di una equazione In presenza di inerruori è spesso necessario c) deerminare differenziale suddividere l asse l inegrale ordinaria dei empi paricolare del primo ordine. in più rai conigui ed In circuii Le cosani più complessi arbirarie le preseni analisi per nell espressione < 0 e per 0 dell inegrale generale devono essere effeuare calcolae in funzione analisi delle indipendeni - < < 0 possono risulare non banali. L analisi nell inorno di = condizioni 0 nasce dal iniziali fao che, (scele quando fra le scaano ensioni gli iniziali inerruori, dei il circuio condensaori si modifica e le correni e le grandezze iniziali degli eleriche induori) possono cambiare isananeamene

18 5 Funzione gradino uniario definizione { u - () = 0 per < 0 per > 0 u - () il gradino uniario è una funzione disconinua uile per analizzare circuii coneneni inerruori, eviando di suddividere l asse dei empi in più rai separai la funzione u - ( ) non è definia per = 0 Noazione Per il gradino uniario è usao il simbolo u - () perché quesa funzione fa pare di un insieme numerabile di eni maemaici, indicai con il simbolo u k () (che verranno definii in seguio) In alre raazioni sono spesso usae noazioni differeni

19 5 Funzione gradino uniario definizione { u - () = 0 per < 0 per > 0 u - () Schemi il gradino equivaleni uniario è che una uilizzano funzione il gradino disconinua uniario uile per analizzare circuii coneneni inerruori, generaore di ensione aivao eviando di suddividere l asse dei per = 0 empi in più rai separai la funzione u - ( ) non è definia per = 0 Noazione = 0 Per il gradino uniario è usao il simbolo u - () perché quesa A funzione fa pare Adi un insieme numerabile di eni maemaici, indicai con il simbolo u k () (che verranno definii in seguio) B B In v g alre () raazioni sono spesso v g () uusae - () noazioni differeni

20 5 Funzione gradino uniario definizione { u - () = 0 per < 0 per > 0 u - () Schemi il gradino equivaleni uniario è che una uilizzano funzione il gradino disconinua uniario uile per analizzare circuii coneneni inerruori, generaore di ensione aivao eviando di suddividere l asse dei per = 0 empi in più rai separai In mole applicazioni lo schema di la sinisra funzione può u - ( essere ) non sosiuio è definia con il seguene per = 0 Noazione = 0 = 0 Per il gradino uniario è usao il simbolo u - () perché quesa A funzione fa pare Adi un insieme numerabile di eni maemaici, indicai con il simbolo u k () (che verranno definii in seguio) B B In v g alre () raazioni sono spesso v g () uusae - () noazioni differeni

21 5 Funzione gradino uniario definizione { u - () = 0 per < 0 per > 0 u - () Schemi il gradino equivaleni uniario è che una uilizzano funzione il gradino disconinua uniario uile per analizzare circuii coneneni inerruori, eviando generaore di suddividere di ensione correne l asse aivao dei empi in più per rai = 0 separai In mole applicazioni lo schema di la sinisra funzione può u - ( essere ) non sosiuio è definia con il seguene per = 0 Noazione = = 0 Per il gradino = 0 uniario è usao il simbolo u - () perché quesa A funzione fa pare Adi un insieme numerabile di eni maemaici, indicai con il simbolo u k () (che verranno definii in seguio) B B In iv g () alre raazioni sono spesso vi g () u - usae () noazioni differeni

22 M. Salerno Laplace 6 Funzione gradino uniario Rappresenazione di funzioni disconinue mediane gradini uniari Gradino di ampiezza A, raslao all isane 0 f() = A u - ( - 0 ) A f ( ) f() = A u - ( - 0 ) 0

23 M. Salerno Laplace 6 Funzione gradino uniario Rappresenazione di funzioni disconinue mediane gradini uniari Prodoo Gradino di un ampiezza gradino A, raslao per una funzione g() f() raslao all isane f() = A = ug() - u- - 0 () - 0 ) 0 La funzione g( ) è aivaa per > 0 A g( f () ) f() = = g() A u - ( - 00 )) 0 0

24 M. Salerno Laplace 6 Funzione gradino uniario Rappresenazione di funzioni disconinue mediane gradini uniari Funzione di ipo sinusoidale con Prodoo Gradino inizio per di un ampiezza = 0gradino A, f() = A u all isane f() = g() - u- 0 ) raslao per una funzione 0 g() - ( - 0 ) { f() = F cos (ω ϕ ) f La funzione g( ) è f 0 () = f() u - ( ) 0 () = F cos (ω ϕ ) u - ( ) Aenzione: in ue le applicazioni è essenziale disinguere la funzione f() [ andameno sinusoidale per ogni ] dalla funzione f 0 () [ = 0 per < 0 ] aivaa per > 0 A fg( 0 f () ) f 0 () = f() F f() cos = = F = (ωg() cos A u (ω - ϕ ( ) -u - 0 ϕ () 0 ) 0 0

25 M. Salerno Laplace 6 Funzione gradino uniario Rappresenazione di funzioni disconinue mediane gradini uniari Funzione di ipo sinusoidale Prodoo Gradino La funzione di un ampiezza f() gradino si può A, esprimere Aenzione: in ue le applicazioni è essenziale con inizio per = 0 disinguere f() = A u all isane f() = la g() funzione - u- 0 ) raslao per una funzione 0 g() - f() -[ andameno 0 ) sinusoidale nel modo seguene { per ogni ] dalla funzione f 0 () [ = 0 per < 0 ] f() = F cos (ω ϕ ) Infai f La funzione g( ) è f f() 0 = f() A [ u- - ( u - )( - 0 )] 0 () per = F < cos (ωu ϕ ) u - ( ) 0 - ( - 0 ) = 0 ; f( ) = A per > 0 u - ( - 0 ) = ; f() = 0 aivaa per > 0 A g( f 0 () ) f 0 () = f() F f() = cos A = F [ = (ωg() cos -A u u - (ω - ( ϕ ( ) - u- - 0 ϕ () 0 )] ) 0 0 0

26 M. Salerno Laplace 6 Funzione gradino uniario Rappresenazione di funzioni disconinue mediane gradini uniari Funzione di ipo sinusoidale Prodoo Si Gradino La può funzione disaivare un ampiezza f() gradino si la può A, esprimere Aenzione: in ue le applicazioni è essenziale con inizio per = 0 La funzione f() ha la disinguere f() = A u all isane f() = la g() funzione - u- 0 ) raslao per una funzione 0 g() - f() -[ andameno 0 ) sinusoidale funzione nel modo g() seguene per > { 0 per ogni seguene ] dalla funzione espressione f 0 () [ = 0 per < 0 ] f() = F cos (ω ϕ ) Infai f La funzione g( ) è f f() 0 = f() A [ u- - ( u - )( - 0 )] 0 f() per = F g() < cos (ω ϕ ) u - ( ) 0 [ - u - ( - 0 ) = 0 ; f( ) = A - ( - 0 )] per > 0 u - ( - 0 ) = ; f() = 0 aivaa per > 0 A f g( 0 f( () ) ff() 0 = f() F g() f() = cos A [ = F [ = (ωg() cos - -A u u - (ω - ( ϕ ( ) u- - ϕ () 0 - ( - 0 )])

27 M. Salerno Laplace 6 Funzione gradino uniario Rappresenazione di funzioni disconinue mediane gradini uniari Funzione La funzione di ipo f() sinusoidale Prodoo Si Gradino La può funzione disaivare un ampiezza f() gradino si la può A, esprimere Aenzione: f() in ue le applicazioni è essenziale con inizio per = 0 La = funzione A [u rappresena un impulso f() = A u all isane f() = g() - - ( f() ) -ha u u- 0 ) raslao per una funzione 0 g() la ( - T )] disinguere la funzione f() [ andameno 0 ) sinusoidale funzione nel modo g() seguene per > di { ampiezza A e duraa 0 T per ogni seguene ] dalla funzione espressione Infai f 0 () [ = 0 per < 0 ] f() = F cos (ω ϕ ) Infai Essendo preseni due disconinuià per f La funzione g( ) è f f() 0 = f() A [ u- - ( u - )( - 0 )] 0 per < 0 F < cos : u - ( ) = 0; u f() = g() (ω ϕ ) u - ( ) 0 [ - u - ( - - ( - T ) = 0; f() = 0 ( per = 0 e per = T ), sono per 0 < < T : u 0 ) = 0 ; f( ) - ( ) = - ; ( u - -( 0 -)] T ) = 0; f() = A per > 0 u - ( - 0 ) = ; f() = 0 necessari due gradini uniari aivaa per > 0 per > T : u - ( ) = ; u - ( - T ) = ; f() = 0 A A f g( 0 f( () ) f f() 0 = f() A F g() f() [u = cos - A [ = ( F [ = (ωg() cos )- A - u u (ω - ϕ ( ) u- - ϕ () (( -T 0 )]) 0 0 T 0 0

28 M. Salerno Laplace 6 Funzione gradino uniario Rappresenazione di funzioni disconinue mediane gradini uniari Funzione Si La deermini funzione di ipo f() l equazione sinusoidale Prodoo Si Gradino La può funzione disaivare un ampiezza f() gradino si la può A, esprimere Aenzione: f() in ue le applicazioni è essenziale con inizio per = 0 La = funzione A [u rappresena un impulso f() = A u all isane f() = g() - - ( f() ) -ha u u- 0 ) raslao per una funzione 0 g() la ( - T )] r() della rea r disinguere la funzione f() [ andameno 0 ) sinusoidale funzione nel modo g() seguene per > di { ampiezza A e duraa 0 T per ogni seguene ] dalla funzione espressione Infai f 0 () [ = 0 per < 0 ] f() = F cos (ω ϕ ) Infai Essendo preseni due disconinuià per f La funzione g( ) è f f() 0 = f() A [ u- - ( u - )( - 0 )] 0 per < 0 F < cos : u - ( ) = 0; u f() = g() (ω ϕ ) u - ( ) ( per = 0 e per = T ), sono 0 [ - u - ( - - ( - T ) = 0; f() = 0 per 0 < < T : u 0 ) = 0 ; f( ) - ( ) = - ; ( u - -( 0 -)] T ) = 0; f() = A per > 0 u - ( - 0 ) = ; f() = 0 necessari due gradini uniari aivaa per > 0 per > T : u - ( ) = ; u - ( - T ) = ; f() = 0 r() = a b r() = a b = 0 = B r() = a b = T = A b = B ; a = (A - B) / T 0 A B f g( 0 f( () ) 0 T T 0 0 r f f() 0 = f() A F g() f() [u = cos - A [ = ( F [ = (ωg() cos )- A - u u (ω - ϕ ( ) u- - ϕ () (( -T 0 )])

29 M. Salerno Laplace 6 Funzione gradino uniario Rappresenazione di funzioni disconinue mediane gradini uniari Funzione Si La deermini funzione di ipo f() l equazione sinusoidale Prodoo Si Gradino La può funzione disaivare un ampiezza f() gradino si la può A, esprimere f() Aenzione: = f() [(A in ue le applicazioni è essenziale con inizio per = 0 La = funzione A B) [u / rappresena un impulso f() = A u all isane f() = g() - - T ( f() B][u ) -ha u u- 0 ) raslao per una funzione 0 g() - - la T )] r() della rea r disinguere la funzione f() [ andameno 0 ) sinusoidale { - ( ) - u - ( - T )] funzione nel modo g() seguene per > di ampiezza A e duraa 0 T per ogni seguene ] dalla funzione espressione f 0 () [ = 0 per < 0 ] r() f() = (A = F B) cos / T (ωb ϕ ) Infai Infai Infai Essendo preseni due disconinuià fper per La funzione g( ) è f f() 0 = f() A [ u - ( - )( - 0 )] 0 f() < per 0 < 0 = F g() < cos : u : - ( u - (ω) ( = ) 0; = u0; u ϕ ) u - ( ) ( per = 0 e per = T ), sono 0 [ - u - ( - - ( - T ) = 0; f() = 0 per 0 < T : u 0 ) = 0 ; f( ) - ( ) = - ; ( - ( - T ) = 0; f() = 0 u - ( 0 -)] f() = r() [u T ) = 0; f() = A - ( ) - u - ( - T )] per 0 < < T : u - ( ) = ; u - ( - T ) = 0; f() = r() per > 0 u - ( - 0 ) = ; f() = 0 necessari due gradini uniari r() = (A B) / T B r() = a b r() = a b = 0 = B r() = a b = T = A b = B ; a = (A - B) / T 0 A B aivaa per > 0 per per > T > T : u: - ( u - )( = ) ; = u; - ( u - -( T -) T = ) ; = f() ; f() = 0 = 0 f g( 0 f( () ) f() = [(A B) f f() 0 / T = f() A B] F g() f() [u = cos [u A [ - - = ( F [ ( = (ωg() cos )- ) A - u - u u (ω - ϕ ( ) u - ϕ () ( - ( ( - -T T 0 )]) )] r 0 T T 0 0

30 7 Approssimani La funzione u - ( ) non può essere usaa senza paricolari accorgimeni nell analisi dei circuii elerici, in quano non è derivabile per = 0. In ui gli alri isani, u - ( ) è derivabile con derivaa nulla. Esempio: induore i L () = u - () correne v L () = L d i L ()/d ensione risula: per = / 0, v L () = 0 per = 0, v L () non calcolabile

31 7 Approssimani La funzione u - ( ) non può essere usaa senza paricolari accorgimeni nell analisi dei circuii elerici, in quano non è derivabile per = 0. In ui gli alri isani, u - ( ) è derivabile con derivaa nulla. Esempio: induore i L () = u - () correne v L () = L d i L ()/d ensione risula: per = / 0, v L () = 0 per = 0, v L () non calcolabile Approssimane di u - ( ) u -,ε ( ) derivabile per ogni lim u -,ε ( ) = u - ( ) {ε 0 con ε > 0 Definizione Approssimane dell impulso uniario u 0,ε ( ) = d u -,ε ( ) d

32 7 Approssimani Esempio di u -,ε ( ) La funzione u - ( ) non può essere usaa senza paricolari accorgimeni nell analisi dei circuii 0 per elerici, < 0 in quano non è derivabile per = 0. u -,, ε () = / /ε per 0 < < ε In ui gli alri isani, u - ( ) è per > ε derivabile con derivaa nulla. Approssimane di u - ( ) u -,ε ( ) derivabile per ogni lim u -,ε ( ) = u - ( ) {ε 0 con ε > 0 Esempio: induore u -,ε ( ) i L () = u - () ε correne v L () = decrescene L d i L ()/d ensione risula: ε per = / 0, v L () = 0 per = 0, v L () non calcolabile Definizione Approssimane dell impulso uniario u 0,ε ( ) = d u -,ε ( ) d

33 7 Approssimani Esempio di u -,ε ( ) La funzione u - ( ) non può essere usaa senza paricolari accorgimeni nell analisi dei circuii 0 per elerici, < 0 in quano non è derivabile per = 0. u -,, ε () = / /ε per 0 < < ε In ui gli alri isani, u - ( ) è per > ε derivabile con derivaa nulla. Approssimane di u - ( ) u 0,ε ( ) = d u derivabile -,ε ( ) / d per ogni u -,ε ( ) { lim u -,ε ( ) = u - ( ) u 0, ε () = {ε 0 per < 0 e > ε 0 / /ε per 0 < < ε Approssimane dell impulso uniario con ε > 0 Esempio: induore u -,ε ( ) i L () = u - () ε correne v L () = decrescene L d i L ()/d ensione risula: ε per = / 0, v L () = 0 per = 0, v L () non calcolabile Definizione / ε Approssimane dell impulso A uniario u 0,ε ( ) = u 0,ε ( ) d uε -,ε ( ) d Per ogni ε, l area A è uguale a

34 7 Approssimani Esempio di u -,ε ( ) La funzione u - ( ) non può essere usaa senza paricolari accorgimeni nell analisi dei circuii 0 per elerici, < 0 in quano non è derivabile per = 0. { 0 per / /ε per < 0 < < ε, ε (), ε () = e - / /ε per > 0 u -, u -, In ui gli alri isani, u - ( ) è per > ε derivabile con derivaa nulla. Approssimane di u - ( ) u 0,ε ( ) = d u derivabile -,ε ( ) / d per ogni u -,ε ( ) { lim u -,ε ( ) = u - ( ) u 0, ε () = {ε 0 per < 0 e > ε 0 / /ε per 0 < < ε Approssimane dell impulso uniario con ε > 0 Esempio: induore u -,ε ( ) i L () = u - () ε correne v L () = decrescene L d i L ()/d ensione risula: ε per = / 0, v L () = 0 per = 0, v L () non calcolabile Definizione / ε Approssimane dell impulso A uniario u 0,ε ( ) = u 0,ε ( ) d uε -,ε ( ) d Per ogni ε, l area A è uguale a

35 7 Approssimani Esempio di u -,ε ( ) La funzione u - ( ) non può essere usaa senza paricolari accorgimeni nell analisi dei circuii 0 per elerici, < 0 in quano non è derivabile per = 0. { 0 per / /ε per < 0 < < ε, ε (), ε () = e - / /ε per > 0 u -, u -, In ui gli alri isani, u - ( ) è per > ε derivabile con derivaa nulla. Approssimane dell impulso di u - ( ) uniario u 0,ε ( ) = d u derivabile -,ε ( ) / d per ogni u -,ε ( ) {{ lim u -,ε ( ) = u - ( ) 0, ε {ε e > ε u 0 0, ε () = 0 per < 0 ( / /ε )e per - / /ε 0 per < < > ε 0 con ε > 0 Esempio: induore u -,ε ( ) i L () = u - () ε correne v L () = decrescene L d i L ()/d ensione risula: ε per = / 0, v L () = 0 per = 0, v L () non calcolabile Definizione / ε Approssimane dell impulso A uniario u 0,ε ( ) = u 0,ε ( ) A d uε -,ε ( ) d Per ogni ε,, l area A è uguale a

36 7 Approssimani Esempio di u -,ε ( ) La funzione u - ( ) non può essere usaa Csenza paricolari = 0 accorgimeni nell analisi dei circuii 0 per R elerici, < 0 in quano non Vè 0 i() derivabile per = 0. { 0 per / /ε per < 0 < < ε, ε (), ε () = e - / /ε per > 0 u -, u -, Nella scarica del condensaore, l andameno della correne i() è una approssimane dell impulso In ui gli alri isani, u - ( ) è per > ε derivabile con derivaa nulla. Approssimane dell impulso di u - ( ) uniario u 0,ε ( ) = d u derivabile -,ε ( ) / d per ogni u -,ε ( ) {{ lim u -,ε ( ) = u - ( ) 0, ε {ε e > ε u 0 0, ε () = 0 per < 0 ( / /ε )e per - / /ε 0 per < < > ε 0 con ε > 0 Esempio: { induore u -,ε ( ) i( ) = 0 per < 0 (V 0 /R )e -/RC per > 0 i L () = u - () ε correne v(v L () 0 /R = decrescene ) L e d - i /RC L ()/d = (C V 0 ensione /ε ) e - /ε risula: con ε ε = RC per = / 0, v L () = 0 Si raa dell approssimane dell impulso per = 0, v L () non calcolabile uniario moliplicaa per C V 0 Definizione / ε Approssimane dell impulso A uniario u 0,ε ( ) = u 0,ε ( ) A d uε -,ε ( ) d Per ogni ε,, l area A è uguale a

37 8 Impulso uniario Per il gradino u - ( ) = lim u -,ε ( ) ε 0 Per l impulso u 0 ( ) = lim u 0,ε ( ) ε 0 u 0 ( ) impulso uniario o impulso di Dirac Proprieà fondamenale delle funzioni u 0,ε () - u 0, ε () d = per ogni ε > 0, e quindi lim u 0, ε () d = ε 0 - Quesa proprieà non è soddisfaa dall impulso uniario u 0 (). Infai : - u 0 () d = - lim ε 0 u 0, ε () d = 0 Queso risulao non è soddisfacene per le applicazioni

38 M. Salerno Laplace 8 Impulso uniario Affinché Per il gradino u 0 () d u - = ( risuli ) = lim u -,ε ( ) - ε 0 u 0 ( ) impulso uniario Tale eoria è un esensione della eoria delle funzioni, in cui risulano modificae Per l impulso opporunamene u 0 ( ) = lim le definizioni u 0,ε ( ) di derivaa e di inegrale o ε 0 L inegrale di u 0 () è effeuao nel senso delle disribuzioni Definizione Proprieà fondamenale delle funzioni u 0,ε () - impulso di Dirac Nell ambio della eoria delle disribuzioni, l impulso uniario u 0 () è definio dalla u 0, ε () d = per ogni ε > 0, e quindi lim u 0, ε () d = seguene relazione ε 0 - Quesa proprieà non è soddisfaa dall impulso uniario u 0 (). Infai : T - l impulso di Dirac è definio nell ambio di una eoria maemaica, dea eoria delle disribuzioni. { u 0 () d = 0 per T < 0 per T > 0 u 0 () d = lim u ε 0 0, ε () d = per Queso risulao non è soddisfacene per le applicazioni

39 M. Salerno Laplace 8 Impulso uniario Affinché Per il gradino u 0 () d u - = ( risuli ) = lim u -,ε ( ) - ε 0 Poiché l inegrale di u 0 () non l impulso varia per di Dirac T < 0è e definio per T > nell ambio 0, risula: di una u 0 ( ) eoria maemaica, Al crescere dea di eoria, la variazione delle disribuzioni. del u Tale 0 () = eoria 0 per è un esensione < 0 della eoria valore delle dell inegrale funzioni, impulso avviene cui risulano uniario in modificae Per l impulso opporunamene u 0 ( ) = lim le definizioni u 0,ε inorno ( ) di infiniesimo derivaa e di dell origine u inegrale o 0 () = 0 per > 0 ε 0 L inegrale di u 0 () è effeuao nel senso (inegrale delle nel disribuzioni senso impulso delle disribuzioni) Dirac Definizione Proprieà fondamenale delle funzioni u 0,ε () Nell ambio della L impulso eoria di Dirac delle è rappresenao disribuzioni, come una u 0 () funzione nulla, con una disconinuià u 0, ε () d = l impulso per ogni uniario ε > 0, e quindi u 0 () è definio lim dalla nell origine. u 0, ε () d = - seguene relazione ε 0 - Quesa proprieà non è soddisfaa La dall impulso disconinuià uniario u 0 (). Infai : T u 0 () d = { limu u ε 0 () 0, ε () d d = 0 è caraerizzaa dal valore dell inegrale, per che è T uguale < 0a Tale valore non per è l alezza T > 0 dell impulso Queso risulao non è soddisfacene per le applicazioni impulso di Dirac

40 M. Salerno Laplace 9 Impulso uniario Alcune proprieà dell impulso uniario u 0 () Impulso di ampiezza A, raslao all isane 0 h() = A u 0 ( - 0 ) L ampiezza A è il valore dell inegrale, nel senso delle disribuzioni, in un inorno di 0 δ A u 0 ( - 0 ) d = A h( ) A h() = A u 0 ( - 0 ) δ è un qualunque inervallo [anche infiniesimo] comprendene 0 0 δ

41 M. Salerno Laplace 9 Impulso uniario Alcune proprieà dell impulso uniario u 0 () Prodoo Impulso di un ampiezza impulso A, raslao per una funzione f() h() = A raslao all isane h() u 0 ( = -f() 0 ) u 0 0 ( - 0 ) f() u 0 ( - 0 ) = f( 0 ) u 0 ( -L ampiezza 0 ) A è h() il valore è un impulso dell inegrale, nel senso delle disribuzioni, ampiezza in un inorno f ( 0 ) di in paricolare f() u 0 0 ( ) = f(0) u 0 ( ) A f() u 0 ( u- 0 ( 0 -) d 0 ) = d A= f( 0 ) δ δ h( ) f( 0 A) h() h() = f() = A u 00 ( ( )) f() δ è δ un è un qualunque inervallo [anche infiniesimo] comprendene δδ

42 M. Salerno Laplace 9 Impulso uniario Alcune proprieà dell impulso uniario u 0 () Prodoo Impulso di un ampiezza impulso A, u 0 () per raslao un gradino per una ufunzione - () f() h() = A raslao all isane h() u 0 ( = -f() u 0 ) u 0 - ( 0 )( u- 0 ( 0 ) f() u 0 ( - 0 ) = f( 0 ) u 0 ( -L ampiezza 0 ) A è h() il valore è un impulso dell inegrale, nel l espressione u - ( ) u 0 ( ) = u - (0) usenso 0 ( ) delle disribuzioni, ampiezza in un inorno f ( 0 ) di in paricolare f() u 0 0 ( ) = f(0) u 0 ( ) Per deerminare l ampiezza non si può usare perché il gradino non è definio per = 0 h() è un impulso A f() u 0 ( u- 0 ( 0 -) d 0 ) = d A= f( 0 ) δ δ h( ) f( 0 A) h() h() = f() = u - A ( u 0 ) 0 ( ( u 0 --( 0 ) 0 ) f() u - ( ) δ è δ un è un qualunque inervallo [anche infiniesimo] comprendene δδ

43 M. Salerno Laplace 9 Impulso uniario Alcune proprieà dell impulso uniario u 0 () Prodoo Impulso di un ampiezza impulso A, u 0 () per raslao un gradino per una ufunzione - () f() h() = A raslao all isane h() u 0 ( = -f() u 0 ) u 0 - ( 0 )( u- 0 ( 0 ) f() u 0 ( - 0 ) = f( 0 ) u 0 ( -L ampiezza 0 ) A è h() il valore è un impulso dell inegrale, nel l espressione u - ( ) u 0 ( ) = u - (0) usenso 0 ( ) delle disribuzioni, ampiezza in un inorno f ( 0 ) di in paricolare f() u 0 0 ( ) = f(0) u 0 ( ) ampiezza ½ Per deerminare l ampiezza non si può usare perché il gradino non è definio per = 0 h() è un impulso u A - f() u 0 )( u - 0 ( 0 )- d 0 ) = d A = u - f( 0 ) d u - ( ) = δ δ δ = ½ [ u -2 ( ) ] b a = ½ ½ h( ) f( 0 A) h() h() = f() = u - A ( u 0 ) 0 ( ( u 0 --( 0 ) 0 ) f() u - ( ) δ è δ un è un qualunque inervallo [anche infiniesimo] comprendene l origine 0 0 a δ b 0 δδ

44 M. Salerno Laplace 9 Impulso uniario Alcune proprieà dell impulso uniario u 0 () Prodoo Impulso di un ampiezza impulso A, u 0 () per raslao un gradino per una ufunzione - () f() h() = A raslao all isane h() u 0 ( = -f() u 0 ) u 0 - ( 0 )( u- 0 ( 0 ) f() u 0 ( - 0 ) = f( 0 ) u 0 ( -L ampiezza 0 ) A è h() il valore è un impulso dell inegrale, nel l espressione u - ( ) u 0 ( ) = u - (0) usenso 0 ( ) delle disribuzioni, ampiezza in un inorno f ( 0 ) di in paricolare f() u 0 0 ( ) = f(0) u 0 ( ) ampiezza ½ Per deerminare l ampiezza non si può usare perché il gradino non è definio per = 0 Esensione della u A - f() u 0 )( u - 0 ( 0 )- d 0 ) = d A = u - f( 0 ) d u - ( ) = definizione di gradino δ δ δ = ½ [ u -2 ( ) ] b a = u - ( ) = { 0 per ½ < 0 ½ per = 0 per > 0 δ è δ un è un qualunque inervallo [anche infiniesimo] comprendene l origine 0 0 a ½ h( ) δ h() è un impulso b f( 0 A) 0 ½ δδ h() h() = f() = u - A ( u 0 ) 0 ( ( u 0 --( 0 ) 0 ) u - ( ) f() u - ( ) in queso modo si ha: h() = u - ( ) u 0 ( ) = u - (0 ) u 0 ( ) = /2 u 0 ( )

45 0 Esempio V 0 C R i() = 0 E C = ½ CV 02 assorbia da R i() V 0 /R Q i() = (V 0 / R) e / RC u - () ; Q = CV 0 Quesa soluzione vale per ogni valore di R, ma non per R = 0

46 0 Esempio V 0 C R i() = 0 E C = ½ CV 02 assorbia da R V 0 /R i() Q i() = (V 0 / R) e / RC u - () ; Q = CV 0 Quesa soluzione vale per ogni valore di R, ma non per R = 0 V 0 C i() = 0

47 0 Esempio V 0 C R i() = 0 E C = ½ CV 02 assorbia da R V 0 /R i() Q i() = (V 0 / R) e / RC u - () ; Q = CV 0 Quesa soluzione vale per ogni valore di R, ma non per R = 0 V 0 v() I C i() = 0 V 0 v() v() = V 0 [ u -()] Sono preseni due componeni ideali: il condensaore e l inerruore I L analisi del circuio è possibile solo nell ambio della eoria delle disribuzioni, uilizzando il gradino u - () e l impulso u 0 ()

48 0 Esempio V 0 C R i() = 0 E C = ½ CV 02 assorbia da R V 0 /R i() Q i() = (V 0 / R) e / RC u - () ; Q = CV 0 Quesa soluzione vale per ogni valore di R, ma non per R = 0 V 0 v() I C i() = 0 V 0 v() v() = V 0 [ u -()] Sono i() = preseni - C dv/d due = - C componeni d V ideali: il condensaore e l inerruore I 0 [ u - ()] /d L analisi del effeuando circuio la è derivaa possibile di usolo - () nell ambio i() della = C eoria V 0 u 0 () delle disribuzioni, nel senso uilizzando delle disribuzioni il gradino u - () e l impulso u 0 ()

49 0 Esempio V 0 C R i() = 0 E C = ½ CV 02 assorbia da R V 0 /R i() Q i() = (V 0 / R) e / RC u - () ; Q = CV 0 Quesa soluzione vale per ogni valore di R, ma non per R = 0 V 0 v() I C i() = 0 v() i() V 0 v() = V 0 [ u -()] i() = C V 0 u 0 () Sono i() = preseni - C dv/d due = - C componeni d V ideali: il condensaore e l inerruore I 0 [ u - ()] /d L analisi del effeuando circuio la è derivaa possibile di usolo - () nell ambio i() della = C eoria V 0 u 0 () delle disribuzioni, nel senso uilizzando delle disribuzioni il gradino u - () e l impulso u 0 ()

50 0 Esempio V 0 C R i() = 0 E C = ½ CV 02 assorbia da R V 0 /R i() Q i() = (V 0 / R) e / RC u - () ; Q = CV 0 Quesa soluzione vale per ogni valore di R, ma non per R = 0 V 0 v() I C i() = 0 Q v() i() V 0 v() = V 0 [ u -()] i() = C V 0 u 0 () Q = C V 0 E C = ½ CV 02 assorbia da I Energia Sono i() = preseni - C assorbia dv/d due = - C componeni d V ideali: il condensaore e l inerruore I 0 [ ue - ()] /d dall inerruore I = p() d = v() i() d = L analisi del effeuando circuio la è derivaa possibile di usolo - () nell ambio i() della = C eoria V 0 u 0 () delle disribuzioni, nel senso uilizzando delle = Vdisribuzioni 0 [ il gradino u - ()] CV u - () 0 ue 0 () l impulso d = CV 2 0 u [ 0 () ½ ] = ½CV2 0

51 0 Esempio V 0 C R i() = 0 E C = ½ CV 02 assorbia da R V 0 /R i() Q i() = (V 0 / R) e / RC u - () ; Q = CV 0 Quesa soluzione vale per ogni valore di R, ma non per R = 0 V 0 v() I C i() = 0 Q v() i() V 0 v() = V 0 [ u -()] i() = C V 0 u 0 () Q = C V 0 E C = ½ CV 02 assorbia da I Energia Sono preseni Quesa i() = - C assorbia due soluzione, componeni congrua ideali: con dv/d = - C d V il condensaore e l inerruore I 0 [ ue - ()] /d dall inerruore I = la precedene, p() d = vale solo v() i() d = nell ambio della eoria L analisi del effeuando circuio la è derivaa possibile di usolo - () nell ambio delle disribuzioni. i() della = C eoria V 0 u 0 () delle disribuzioni, nel senso uilizzando delle = Vdisribuzioni 0 [ il gradino u - ()] CV u - () 0 ue 0 () l impulso d = CV 2 0 u [ 0 () ½ ] = ½CV2 Se i() [ o v() ] è impulsiva, l inerruore ideale può assorbire energia 0

52 Disribuzioni successive Derivae successive dell impulso uniario L impulso uniario può essere derivao infinie vole, nel senso delle disribuzioni Noazione u k () = d u k- () d, k =, 2, Esempio: u () doppieo uniario u () = d u 0 () / d Approssimani u,ε () = d u 0,ε () / d /ε u 0,ε () ε /ε Al diminuire di ε il doppieo è assimilabile a due impulsi di area opposa nell inorno dell origine u,ε () ε /ε

53 Disribuzioni successive Derivae successive dell impulso uniario L impulso uniario può essere derivao infinie vole, nel senso delle disribuzioni Noazione u k () = d u k- () d, k =, 2, Inegrali Esempio: successivi u () del gradino doppieo Il gradino uniario può essere uinegrao () = d uinfinie 0 () / d vole, rimanendo nell ambio delle funzioni Approssimani Noazione u,ε () = d u 0,ε () / d u -k- () = u -k (τ) dτ - /ε, k =, 2, u 0,ε () ε Esempio: u -2 () rampa uniaria Al diminuire di ε il doppieo è assimilabile a due impulsi di area opposa nell inorno dell origine /ε u -2 () u,ε () ε /ε

54 Disribuzioni successive Derivae successive dell impulso uniario L impulso uniario può essere derivao infinie vole, nel senso delle disribuzioni Noazione u k () = d u k- () d, k =, 2, Inegrali Esempio: successivi u () del gradino inegrazioneu 0,ε () Esempio: u -2,ε () doppieo Il gradino uniario può essere derivazione /ε rampa uniaria /ε uinegrao () = d uinfinie 0 () / d vole, rimanendo.. u nell ambio -2 () u delle funzioni - () u 0 () u () u -2 2 ().. Approssimani ε Noazione.. rampa gradino impulso doppieo ripleo ε.. u,ε () = d u 0,ε () / funzioni d disribuzioni u -k- () = u -k (τ) Al dτdiminuire, k =, di 2, ε il doppieo è assimilabile a due nulle - per < 0 nulle per = / 0 impulsi di area opposa nell inorno dell origine /ε

55 2 Analisi nel dominio di Laplace Circuii senza memoria Circuii privi di condensaori, induori, induori accoppiai Circuii con memoria Circuii coneneni condensaori, induori, induori accoppiai Analisi nel dominio del empo equazioni algebriche equazioni differenziali L analisi di circuii con memoria è differene dall analisi di circuii senza memoria ed è molo complessa

56 2 Analisi nel dominio di Laplace Circuii senza memoria Circuii privi di condensaori, induori, induori accoppiai Circuii con memoria Circuii coneneni condensaori, induori, induori accoppiai Analisi nel dominio di del Laplace empo equazioni algebriche equazioni differenziali algebriche L analisi di circuii con memoria è differene è simile dall analisi di di circuii senza senza memoria ed ed è è molo semplificaa complessa

57 2 Analisi nel dominio di Laplace Circuii senza memoria Circuii privi di condensaori, induori,. induori Definizione accoppiai Circuii con memoria Meodo della rasformaa di Laplace Circuii coneneni condensaori, induori, induori accoppiai 2. Trasformae Analisi elemenari nel dominio di del Laplace empo 3. Proprieà equazioni equazioni 4. algebriche Applicazione ai componeni elerici L analisi di circuii con memoria 5. Anirasformazione differenziali algebriche è differene è simile dall analisi di di circuii senza senza memoria ed ed è è molo semplificaa complessa

58 3 Trasformaa di Laplace: definizione Trasformaa di Laplace. Definizione 2. Trasformae elemenari 3. Proprieà 4. Applicazione ai componeni elerici 5. Anirasformazione

59 M. Salerno Laplace 3 Trasformaa di Laplace: definizione Trasformaa di Laplace. Definizione 2. Trasformae elemenari 3. Proprieàlim T 4. Applicazione T ai 0 componeni elerici 5. Anirasformazione F(s) = f() e -s s d Noazione F(s) =L = [ f() ] F(s) L-rasformaa di f() Nell analisi dei circuii, ue le grandezze eleriche, ensioni e correni, sono sosiuie con le rispeive L-rasformae V(s) = L [ v() ] I(s) = L [ i() ] Noazione Con la leera minuscola, p.es. v(), è indicaa la grandezza nel empo, con la leera maiuscola, p. es. V(s), la rispeiva rasformaa La variabile di Laplace s non ha un immediao significao fisico e viene consideraa come una variabile complessa

60 M. Salerno Laplace 3 Trasformaa di Laplace: definizione Trasformaa di Laplace. Definizione 2. Trasformae elemenari 3. Proprieàlim T 4. Applicazione T ai 0 componeni elerici 5. Anirasformazione F(s) = f() e -s s d Noazione F(s) =L = [ f() ] F(s) L-rasformaa di f() Nell analisi f() : funzione dei circuii, di variabile ue reale grandezze eleriche, ensioni e correni, sono sosiuie con le rispeive L-rasformae F(s) : funzione di variabile complessa Dimensioni V(s) = L [ v() ] I(s) = L [ i() ] Noazione V(s) = Con lim T la leera v() e -s minuscola, d p.es. v(), è indicaa la T grandezza 0 nel empo, con la leera maiuscola, p. variabile s : sec - (s - ) es. adimensionale V(s), la rispeiva empo rasformaa V(s) : vol. sec ( V s ) La variabile di Laplace s non ha un immediao significao fisico e viene analogamene I(s) : ampère. sec ( A s ) consideraa come una variabile complessa

61 M. Salerno Laplace 3 Trasformaa di Laplace: definizione Trasformaa di Laplace. Definizione 2. Trasformae elemenari 3. Proprieàlim T 4. Applicazione T ai 0 componeni elerici 5. Anirasformazione F(s) = Proprieà del limie per T f() e -s s d Noazione F(s) =L = [ f() ] F(s) L-rasformaa di f() Nell analisi f() : funzione dei circuii, di variabile ue reale grandezze eleriche, piano s ensioni ω e = correni, Im[s] sono sosiuie con le rispeive L-rasformae F(s) Se il : limie funzione esise di ed variabile è finio per complessa s = s 0 allora esise ed è finio V(s) = L [ v() ] Noazione per ogni Dimensioni V(s) = Con lim T s ale che Re[ s ] > Re[ la leera sv() e -s minuscola, 0 ] d p.es. v(), è indicaa la T α σ = Re[s] grandezza 0 nel empo, con la leera maiuscola, p. I(s) = L Esremo [ i() ] inferiore di Re[ s 0 ] : variabile s ascissa : sec - di (s convergenza - ) es. adimensionale V(s), la α rispeiva empo rasformaa V(s) : vol. sec ( V s ) La Se variabile il limie non di esise Laplace o non sè non finio ha per un immediao significao I(s) : ampère fisico. sec e ( viene analogamene A s ) consideraa alcun valore come di s, f() una non variabile è L-rasformabile complessa semipiano di convergenza

62 M. Salerno Laplace 3 Trasformaa di Laplace: definizione Trasformaa di Laplace. Definizione 2. Trasformae elemenari 3. Proprieàlim T 4. Applicazione T ai 0 - componeni elerici 5. Anirasformazione F(s) = Proprieà del limie per T f() e -s s d Noazione F(s) =L = [ f() ] F(s) L-rasformaa di f() Nell analisi L andameno f() : funzione dei di circuii, f() di per variabile ue < 0 non reale grandezze dà conribuo eleriche, piano all inegrale, s ensioni ω e perché = correni, Im[s] i sono empi sosiuie con le rispeive L-rasformae F(s) Se il negaivi : limie funzione esise sono di ed variabile esclusi è finio dall inegrazione per complessa s = s (rasformaa unilaera). 0 Conviene allora considerare esise ed è finio f() V(s) = L [ v() ] Noazione = per 0 per ogni Dimensioni V(s) = Con lim T < s 0 ale che Re[ s ] > Re[ la leera sv() e -s minuscola, 0 ] d p.es. v(), è indicaa la T α σ = Re[s] Calcolo grandezza 0 nel empo, con la leera maiuscola, p. I(s) = L Esremo dell inegrale [ i() ] inferiore di nel Re[ senso s 0 ] : delle disribuzioni variabile s ascissa : sec - di (s convergenza - ) es. adimensionale V(s), la α rispeiva empo rasformaa conribuiscono all inegrale evenuali impulsi, V(s) in paricolare : vol. sec ( per V s ) = 0 La Se variabile il limie non di esise Laplace o non sè non finio ha per un immediao significao I(s) : ampère fisico. sec e ( viene l esremo inferiore di inegrazione analogamene è indicao con semipiano 0 di convergenza A s ) consideraa alcun valore come di s, f() una non variabile è L-rasformabile complessa -

63 M. Salerno Laplace 3 Trasformaa di Laplace: definizione Trasformaa di Laplace. Definizione 2. Trasformae elemenari 3. Proprieàlim T 4. Applicazione T ai 0 - componeni elerici 5. Anirasformazione F(s) = Proprieà Anirasformaa: del limie per T f() e -s s d Noazione F(s) =L = [ f() ] F(s) L-rasformaa di f() Nell analisi L andameno f() : funzione dei di circuii, f() di per variabile ue < 0 non reale grandezze dà conribuo eleriche, piano all inegrale, s ensioni ω e perché = correni, Im[s] i sono empi operaore sosiuie con le rispeive L-rasformae F(s) Se il negaivi inverso, Noazione : limie funzione esise sono di ed variabile esclusi è finio dall inegrazione per complessa s = s (rasformaa unilaera). 0 Conviene per allora passare considerare esise da ed F(s) è finio f() a Dimensioni V(s) = L [ v() ] Noazione = per f() 0 per ogni V(s) = Con lim T < s 0 ale che Re[ s ] > Re[ la leera sv() e -s minuscola, 0 ] d f() p.es. = L - [ v(), è indicaa F(s) Esise una formula inegrale, la T α σ = Re[s] Calcolo grandezza 0 nel empo, con la leera maiuscola, p. I(s) = L Esremo dell inegrale [ i() ] inferiore di nel Re[ senso s 0 ] : delle disribuzioni poco uilizzaa nell analisi dei circuii variabile s ascissa : sec - di (s convergenza - ) es. adimensionale V(s), la α rispeiva empo rasformaa conribuiscono all inegrale evenuali impulsi, V(s) in paricolare : vol. sec ( per V s ) = 0 La Se variabile il limie non di esise Laplace o non sè non finio ha per un immediao significao I(s) : ampère fisico. sec e ( viene l esremo inferiore di inegrazione analogamene è indicao con semipiano 0 di convergenza A s ) consideraa alcun Meodi valore operaivi come di s, f() una non di anirasformazione variabile è L-rasformabile complessa di Laplace saranno descrii - in seguio F(s) ]

64 4 Trasformae elemenari Trasformaa di Laplace. Definizione 2. Trasformae elemenari 3. Proprieà 4. Applicazione ai componeni elerici 5. Anirasformazione

65 4 Trasformae elemenari Gradino Trasformaa di Laplace f() = u - (). Definizione 2. Trasformae elemenari 3. Proprieà T 4. Applicazione T 0 ai - componeni elerici 5. Anirasformazione F(s) = lim u - () e -s d = lim e -s d 0 T T = lim [ e -s ] 0 T T s = lim [ e -s T ] T s s = s per Re[ s ] > 0 ascissa di convergenza α = 0 F(s) = lim T f() e -s d T 0 -

66 M. Salerno Laplace 4 Trasformae elemenari Gradino Esponenziale Trasformaa di Laplace f() = f() u - () = e a u - (). Definizione 2. Trasformae elemenari 3. Proprieà T a : reale o complesso 4. Applicazione T T 0 ai - componeni T 0 - elerici 5. Anirasformazione F(s) = lim u - () e -s d F(s) = lim u - () e -s e a d lim e -s d = lim T T u - () e -(s-a) d = s T 0 s - a = lim [ e -s T ] T s s = s T T = lim [ e -s ] 0 T per Re[ s - a ] > 0 ; Re[ s ] > Re[ a ] ascissa per di Re[ convergenza s ] > 0 α = Re [ a ] ascissa di convergenza α = 0 l inegrale è idenico a quello relaivo al gradino, ecceo la sosiuzione di s con s-a F(s) = lim T f() e -s d T 0 - Trasformae L [ u - () ] = s

67 M. Salerno Laplace 4 Trasformae elemenari Gradino Esponenziale Impulso Trasformaa di Laplace f() f() = = uf() u - () = e a 0 u - (). Definizione 2. Trasformae elemenari F(s) 3. Proprieà = lim a : reale o complesso T u - () e -s d F(s) 4. Applicazione = lim T T 0 u - ai - () e -s e a d componeni T elerici 5. Anirasformazione lim 0 = - e -s d = lim [ e -s T ] = Tlim T lim [ e -s ] =0 = T T u - () e -(s-a) d = s 0 Tper ogni 0 valore di s s - a per = ascissa lim Re[ di [ convergenza s - a e ] -s > T 0 ]; Re[ α = s -] > Re[ a ] F(s) = lim u 0 () e -s d T s s = s ascissa per di Re[ convergenza s ] > 0 α = Re [ a ] l inegrale è calcolao nel senso delle disribuzioni è l inegrale essenziale ascissa di è che idenico l esremo convergenza a quello inferiore relaivo di inegrazione α = 0al sia gradino, 0 - ecceo la sosiuzione di s con s-a F(s) = lim T f() e -s d T 0 - Trasformae L [ u - () ] = s L [e a u - ()] = s-a

68 M. Salerno Laplace 4 Trasformae elemenari Gradino Esponenziale Impulso Trasformaa di Laplace f() f() = = uf() u - () = e a 0 u - (). Definizione 2. Trasformae elemenari F(s) 3. Proprieà = lim a : reale o complesso T u - () e -s d F(s) 4. Applicazione = lim T T 0 u - ai - () e -s e a d componeni T elerici 5. Anirasformazione lim 0 = - e -s d = lim [ e -s T ] = Tlim T lim [ e -s ] =0 = T T u - () e -(s-a) d = s 0 Tper ogni 0 valore di s s - a per = ascissa lim Re[ di [ convergenza s - a e ] -s > T 0 ]; Re[ α = s -] > Re[ a ] F(s) = lim u 0 () e -s d T s s = s ascissa per di Re[ convergenza s ] > 0 α = Re [ a ] l inegrale è calcolao nel senso delle disribuzioni è l inegrale essenziale ascissa di è che idenico l esremo convergenza a quello inferiore relaivo di inegrazione α = 0al sia gradino, 0 - ecceo la sosiuzione di s con s-a F(s) = lim T f() e -s d T 0 - Trasformae L [ u - () ] = s L [e a u - ()] = s-a L [u 0 ()] = Quese sono le uniche rasformae di cui sarà effeuao il calcolo dell inegrale

69 M. Salerno Laplace 4 Trasformae elemenari Anirasformae Gradino Esponenziale Impulso Trasformaa di Laplace f() f() = = uf() u - () = e a 0 u - (). Definizione 2. Trasformae elemenari F(s) 3. Proprieà = lim a : reale o complesso L u - () e -s d F(s) 4. Applicazione = lim - T [ T T 0 uai s ] = u - - () e -s e - () a d componeni T elerici 5. Anirasformazione lim 0 = - e -s d = lim [ e -s T ] = Tlim T lim [ e -s ] L - =0 = T [----- T u - () e -(s-a) d = s s-a ] = e a u - () 0 Tper ogni 0 valore di s s - a per = ascissa lim Re[ di [ convergenza s - a e ] -s > T 0 ]; Re[ α = s -] > Re[ a ] F(s) = lim u 0 () e -s d L - [] = u 0 () T s s = () s ascissa per di Re[ convergenza s ] > 0 α = Re [ a ] l inegrale è calcolao nel senso delle disribuzioni è l inegrale essenziale ascissa di è che idenico l esremo convergenza a quello inferiore relaivo di inegrazione α = 0al sia gradino, 0 - ecceo la sosiuzione di s con s-a F(s) = lim T f() e -s d T 0 - Trasformae L [ u - () ] = s L [e a u - ()] = s-a L [u 0 ()] = Quese sono le uniche rasformae di cui sarà effeuao il calcolo dell inegrale

70 M. Salerno Laplace 4 Trasformae elemenari Anirasformae Gradino Esponenziale Impulso Trasformaa di Laplace f() f() = = uf() u - () = e a 0 u - (). Definizione 2. Trasformae elemenari F(s) 3. Proprieà = lim a : reale o complesso L u - () e -s d F(s) 4. Applicazione = lim - T [ T T 0 uai s ] = u - - () e -s e - () a d componeni T elerici 5. Anirasformazione lim 0 = - e -s d = lim [ e -s T ] = Tlim T lim [ e -s ] L - =0 = T [----- T u - () e -(s-a) d = s s-a ] = e a u - () 0 Tper ogni 0 valore di s s - a per = ascissa lim Re[ di [ convergenza s - a e ] -s > T 0 ]; Re[ α = s -] > Re[ a ] F(s) = lim u 0 () e -s d L - [] = u 0 () T s s = () s ascissa per di Re[ convergenza s ] > 0 α = Re [ a ] Una uleriore anirasformaa l inegrale ascissa d ineresse di è idenico convergenza a è quello la seguene relaivo α = 0: al l inegrale è calcolao nel senso delle disribuzioni è essenziale che l esremo inferiore di inegrazione sia gradino, 0 - ecceo la sosiuzione di s con s-a F(s) = lim T f() e -s d T 0 - Trasformae L [ u - () ] = s L [e a u - ()] = s-a L [u 0 ()] = Quese sono le uniche rasformae di cui sarà effeuao il calcolo dell inegrale