Modelli stocastici per la volatilità

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1 Modelli socasici per la volailià Dai modelli di volailià a media mobile ai modelli GARCH I modelli di volailià con medie mobili assumono ce i rendimeni siano i.i.d. la volailià è cosane nel empo: forniscono una sima della volailià non condizionaa, assumendo ce essa sia cosane, e il valore al empo correne viene uilizzao come previsione. Le sime della volailià non cambiano nel empo la variabilià della volailià è aribuibile esclusivamene a disurbi casuali (noise. Non c è alcun paramero nel modello ce legi la variabilià al empo. Evidenza empirica: I rendimeni giornalieri (bassa frequenza non sono auocorrelai, ma vi sono segni di elevaa correlazione nei loro quadrai. I rendimeni infragiornalieri (elevaa frequenza possono evidenziare segni di auocorrelazione. Termine ecnico per indicare il volailiy clusering Eeroscedasicià auoregressiva condizionaa

2 Inroduzione ai modelli GARCH (Generalized AuoRegressive Condiional Heeroscedasiciy In un modello GARCH si assume ce i rendimeni siano generai da un processo socasico con volailià variabile nel empo la varianza condizionaa deriva da un processo auoregressivo. Nei modelli ARMA abbiamo supposo ce la media condizionaa dei rendimeni fosse variabile nel empo meendola in relazione con alcune variabili esplicaive. La componene d errore del modello è consideraa omoscedasica, cioè: Var( = σ Idea fondamenale dei modelli GARCH: aggiungere una seconda equazione a quella della media condizionaa equazione della varianza condizionaa. Perciò: Var ( = σ Evoluzione emporale della varianza condizionaa della componene erraica Inroduzione ai modelli GARCH ( La variabile dipendene di un modello GARCH per la volailià è sempre una serie di rendimeni. Un modello GARCH è formao da due equazioni: Equazione per la media condizionaa Equazione per la varianza condizionaa

3 Inroduzione ai modelli GARCH (3 L equazione per la media condizionaa Poicé l aenzione nei modelli GARCH si concenra sulla varianza condizionaa, soliamene l equazione per la media condizionaa è molo semplice: r = μ + In ale caso la cosane è pari alla media dei rendimeni nel periodo considerao. Se la funzione di auocorrelazione presena valori significaivi per alcuni sfasameni si porebbe uilizzare una media condizionaa auoregressiva. Soliamene un modello AR( si rivela adeguao. Inroduzione ai modelli GARCH ( L equazione per la varianza condizionaa Diverse ipologie di modelli GARCH in base alla forma dell equazione per la varianza condizionaa Disinzione fra GARCH simmerici e GARCH asimmerici simmerici caurano il volailiy clusering ordinario; l equazione per la media condizionaa e quella per la varianza condizionaa possono essere simae separaamene; Asimmerici caurano il leverage effec; l equazione per la media condizionaa e quella per la varianza condizionaa devono essere simae congiunamene; 3

4 Un primo modello per la volailià r = μ + Equazione per la media condizionaa = z Equazione per la varianza condizionaa ( z N.B.: =var( I - = σ ~ NID(0, indip. da z λ ~ WN( σ, è collegaa alla quanià di informazione immessa sul mercao al empo. La varianza dei rendimeni (volailià è elevaa quando ci sono mole informazioni nuove. Un primo modello per la volailià ( Il modello è coerene con l ipoesi di lepocurosi. Infai si può dimosrare ce: E( 3 σ N.B.: var( var( z var( = σ = Si noi ce ance parendo da un assunzione di normalià si arriva ad una disribuzione lepocurica. -Il modello non spiega le correlazioni di, infai si può dimosrare ce Cov(, k = 0 -Un possibile modo per enere cono delle correlazioni di (,,... = f

5 Il modello ARCH( Eeroscedasicià condizionaa auoregressiva (Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy = z ( z ~ IID(0, evenualmene normale I ~ IID(0, ( per cui E I = condizionaamene eeroscedasico. Si può dimosrare ce la varianza non condizionaa di è una cosane ( σ. Il modello ARCH( ( Il modello ARCH( è: dove = ω + α ( ω > 0, α Alcune considerazioni sui modelli ARCH( E ( = E 0 ( z E( per garanire la non negaivià della varianza Affincè la varianza esisa finia deve essere α < 3 per α = 0 la serie degli è condizionaamene omoscedasica 5

6 Il modello ARCH( (3 I modelli ARCH( caurano il volailiy clusering Sosiuendo la ( nella ( si a: z = ω + α Sock elevai (bassi in valore assoluo endono ad essere seguii da sock elevai (bassi. 3 Modello ARCH( simulao con α = 0.7, T= ARCH I modelli ARCH( ( I modelli ARCH caurano la lepocurosi delle serie finanziarie a La curosi di E [ E( ] E( z [ E( ] ( = E( z E( E( z = Per cui si può scrivere: [ E( ] E( E( z = 3 b per i modelli ARCH( si può ance dimosrare ce la curosi di è daa da: E( 3( α β ( = = E( 3α [ ] poicé ( α > α allora β ( 3 3 Esempio di simulazione ARCH( è sempre superiore a quella di z N.B.: Ricordare la disuguaglianza di Jensen > 6

7 I modelli ARCH( (5 mediana varianza minimo massimo asimmeria curosi jarque-bera p-value jb n.oss La forma disribuiva di un processo ARCH( simulao Sima di un modello ARCH( su dai reali (ENI Coefficien(s: Esimae Sd. Error value Pr(> a0.60e-0 5.e < e-6 *** a.398e-0 3.0e e- *** I modelli ARCH( (6 Sruura di dipendenza dei quadrai degli sock in un modello ARCH( Funzione di auocorrelazione per gli in un modello ARCH( Rappresenazione AR di un processo ARCH Un modello ARCH( può essere riscrio come un modello AR( rispeo a Infai, aggiungendo ad ambo i membri della si oiene: = ω + α dove v = ( z = = ω + α + v Poicé un ARCH( può essere scrio come un AR(, per garanire la sazionarieà del processo deve essere α < la quanià L auocorrelazione al lag k per è pari a k α 7

8 Dal processo ARCH( ai processi ARCH(p Correlogramma sui rendimeni al quadrao del NASDAQ Correlogramma per i quadrai di un ARCH( simulao Caraerisice della funzione di auocorrelazione per i rendimeni al quadrao delle aivià finanziarie: - Valore basso al primo lag - Valore decrescene molo lenamene Il modello ARCH( non riesce a riprodurre ale andameno percé un basso valore al primo lag implicerebbe una riduzione molo rapida della funzione di auocorrelazione. Dal processo ARCH( ai processi ARCH(p ( -Caraerisice del processo ARCH( rispeo alle proprieà osservae empiricamene su mole serie sorice finanziarie sazionarieà sì OK incorrelazione sì OK correlazione quadrai sì! indipendenza no OK normalià no OK lepocurosi sì OK prevedibilià della media cond. no OK della varianza cond. sì OK - La correlazione dei quadrai non è del ipo osservao empiricamene - Limiare la memoria del processo ad un solo isane può essere riduivo - Un passo avani consise nel considerare p riardi Modelli ARCH(p 8

9 I processi ARCH(p = z z ~ IID(0, + α + + = ω + α... α p p ω > 0, αi 0, per i =,,..., p per la non negaivià della varianza z ~ NID(0, ~ N(0, I I processi ARCH(p ( Rappresenazione AR(p = ω + α + α α p p + v per cui σ = ω α α... - Esisono dei risulai ce forniscono le condizioni per l esisenza dei momeni, in paricolare del momeno quaro. Quando ques ulimo esise, evidenzia lepocurosi. - Il processo ARCH(p lineare con ω > 0, α 0, per i =,,..., p è (debolmene sazionario se e solo se ( α + α α p < - Quesa condizione coincide con la riciesa ce ue le radici dell equazione caraerisica associaa al polinomio auoregressivo della rappresenazione AR di risulino eserne al cercio di raggio uniario nel caso di parameri posiivi. - a una funzione di auocorrelazione simile a quella di un AR(p classico. Risulao uile a formulare una sraegia per l idenificazione preliminare dell ordine p del processo ARCH. - Procedura Box-Jenkins sulle auocorrelazioni dei quadrai. α p 9

10 I processi ARCH(p (3 Correlogramma per i quadrai di un ARCH(5 simulao Sima di un modello ARCH(5 su dai reali (ENI Coefficien(s: Esimae Sd. Error value Pr(> a0 6.e e < e-6 *** a.e-0.36e e-08 *** a.e-0.77e e-06 *** a3.7e-0.57e e-07 *** a.85e e e-0 *** a5.6e e e-06 *** 0