Reti Neuronali e Modelli Switching Regime per la Valutazione di Opzioni Finanziarie

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1 WORKING PAPER n Marzo 2001 Rei Neuronali e Modelli Swiching Regime per la Valuazione di Opzioni Finanziarie M. Billio a,b M. Corazza a,b M. Gobbo b a. Universià Ca Foscari, Venice. b. GRETA, Venice.

2 Rei Neuronali e Modelli Swiching Regime per la Valuazione di Opzioni Finanziarie Monica BILLIO Universià Ca Foscari e GRETA, Venezia Marco CORAZZA Universià Ca Foscari e GRETA, Venezia Michele GOBBO GRETA, Venezia Numerosi sudi empirici hanno evidenziao come la formula di Black e Scholes compia sisemaici errori rispeo ai valori di mercao delle opzioni. Nel presene lavoro verranno sviluppai due meodi alernaivi al fine di valuare le opzioni call sull indice azionario FTSE-100. In un primo approccio (paramerico) caraerizzeremo il processo seguio dall aivià soosane l opzione araverso una misura di disribuzioni (modelli swiching regime). Con il secondo approccio (non paramerico) non viene, invece, effeuaa alcuna ipoesi circa il comporameno dell aivià soosane l opzione (si uilizzeranno, in paricolare, le rei neurali arificiali). 1 Inroduzione Le opzioni finanziarie sono srumeni finanziari derivai che hanno conosciuo, negli ulimi decenni, una rapida diffusione e vengono uilizzae prevalenemene a fini di coperura rispeo varie forme di rischio ed a fini speculaivi. È innegabile, uavia, che pare dell iniziale successo e della successiva diffusione di ali srumeni sia legao alla presenza di un modello di valuazione molo semplice ed efficiene, quale la noa formula di valuazione in forma chiusa sviluppaa da Black e Scholes 1 nel 1973, formula esesa in varie direzioni da Meron nello sesso anno. La formula derivaa dagli Auori si basa su numerose ipoesi che, nella realà, raramene sono soddisfae. In paricolare numerosi sudi empirici hanno evidenziao come la disribuzione dei rendimeni logarimici di numerose serie 1 In seguio abbrevieremo il nome dei due auori con B-S. 2

3 finanziarie si discosi significaivamene dalla disribuzione normale ipoizzaa da Black e Scholes, presenando caraerisiche di lepocurosi (le code della disribuzione sono spesse) e di asimmeria. In secondo luogo, il mercao in cui si opera è caraerizzao da arii quali i cosi di ransazione oppure l impossibilià di operare allo scopero. Inolre, le conraazioni non avvengono con coninuià. La violazione di ue, o alcune, le ipoesi alla base del modello di B-S pora, ineviabilmene, ques ulimo a commeere sisemaici errori se confronao ai prezzi di mercao. La maggior pare degli sudi empirici 2 effeuai al fine di verificare la bonà della formula di B-S concorda nell individuare prevalenemene due ipi di sruura dell errore, rispeivamene con riferimeno al empo mancane a scadenza ed al prezzo d esercizio (o, più precisamene, al rapporo ra valore dell aivià soosane e prezzo d esercizio). In ques ulimo caso, in paricolare, se si rappresenano su di un diagramma le volailià implicie della formula di B-S, uilizzando i valori di mercao delle opzioni, si oengono quelli che sono noi in leeraura come effei smile. Nonosane gli errori commessi, la formula B-S risula uilizzaa in praica in virù della sua semplicià: è necessaria, infai, la sima di un solo paramero ignoo che rappresena la volailià osservabile empiricamene sul mercao. Si deve soolineare, inolre, come gli operaori endano a correggere i valori oenui con il modello B-S calibrando i prezzi delle opzioni, con riferimeno al empo mancane a scadenza ed al prezzo d esercizio, al fine di replicare l effeo smile osservao empiricamene. Si può quindi osservare come gli operaori, nell uilizzare la formula B-S con quese modifiche per la volailià, siano in realà approssimando un più complesso modello per la valuazione di opzioni a volailià socasica ipoizzando, di fao, che l aivià soosane l opzione sia caraerizzaa da un processo socasico diverso dal moo browniano geomerico assuno da B-S. Il problema è, ovviamene, individuare il modello, e quindi il processo socasico, che riesce a caurare meglio le caraerisiche dei prezzi di mercao. 2 Rubinsein M., Implied binomial ree Journal of finance 49, 1994, pagg

4 Il primo approccio analizzao in queso lavoro ipoizza che i rendimeni dell aivià soosane l opzione siano caraerizzai da un modello swiching regime, individuando, quindi, un paricolare modello di valuazione a volailià socasica. La bonà dei risulai oenui per ali modelli è ovviamene legaa all abilià di caurare le caraerisiche fondamenali dei dai di mercao. Si deve soolineare, uavia, come sia più realisico pensare che l errore compiuo dal modello di B-S sia legao alla conemporanea violazione di più ipoesi. In moli casi, quindi, risula preferibile un approccio alla valuazione che riduca al minimo le ipoesi di parenza e che, in paricolare, non sia vincolao da paricolari assunzioni a priori circa il comporameno dell aivià soosane. Il secondo approccio analizzao nella valuazione di opzioni finanziarie considera, quindi, un paricolare modello non paramerico, le Rei Neurali Arificiali. Nonosane i modelli sviluppai possano essere migliorai in più direzioni, i risulai oenui evidenziano come enrambi gli approcci porino a dei migliorameni rispeo al modello di Black e Scholes, che si assume come puno di riferimeno. In paricolare, menre i modelli swiching regime riescono a spiegare, pur con qualche imporane limie, l effeo smile osservao empiricamene, con le rei neurali arificiali invece si oengono presazioni decisamene migliori del modello di B-S. Queso risulao è indice del fao che, in moli casi, l applicazione di una paricolare disribuzione, quale quella ipoizzaa dai modelli swiching regime, può risulare roppo resriiva quando il modello viene applicao a dai di mercao. Le opzioni oggeo di analisi sono le opzioni call di ipo europeo sull indice azionario inglese FTSE Le opzioni finanziarie Le opzioni finanziarie sono srumeni derivai che danno a chi le possiede la facolà di acquisare (call) o vendere (pu) alla, o enro, la daa di scadenza un cero quaniaivo dell aivià soosane ad un cero prezzo, deo 4

5 prezzo d esercizio 3. Menre a scadenza il valore dell opzione si ricava confronando il prezzo del soosane con il prezzo d esercizio, durane la via dell opzione queso può essere viso come funzione del prezzo del bene soosane S, del prezzo d esercizio e del empo mancane alla scadenza (τ=t). Per un'opzione call avremo cioè: [1] C c( S, X, τ ). Nella eoria del prezzaggio di opzioni è di fondamenale imporanza lo sudio di Black e Scholes 4. I due Auori, sulla base di deerminae condizioni ideali, riuscirono a derivare un espressione in forma chiusa per deerminare il prezzo di una call europea su di un azione. Le ipoesi del modello sono: l opzione è una call di ipo europeo; il bene soosane non paga dividendi; il asso d ineresse a breve ermine è noo e cosane per ua la duraa dell opzione; non si considerano cosi di ransazione; si può dare e prendere a presio illimiaamene ed allo sesso asso d ineresse a breve ermine; si può operare allo scopero; il prezzo del bene soosane si evolve in modo coninuo secondo il seguene andameno diffusivo 5 = [2] ds = µ Sd + σsdz, dove: S: prezzo del bene soosane al empo correne, : empo, dz: è la variazione di un paricolare processo di Markov, noo come processo di Wiener, µ: rendimeno isananeo aeso del bene soosane, σ: scaro quadraico medio (volailià) del rendimeno isananeo del bene soosane. 3 Hull J.C., Opzioni fuures e alri derivai, il sole 24 ore, Black F. e Scholes M., The pricing of opions and corporae liabiliies, Journal of poliical economy 81, 1973, Il bene soosane segue cioè un moo browniano geomerico. 5

6 Ques ulima ipoesi sulla dinamica del prezzo dell aivià soosane è paricolarmene imporane, in quano implica che, a scadenza, il prezzo del bene soosane segua una disribuzione di probabilià di ipo log-normale e, di conseguenza, che i rendimeni isananei si disribuiscono normalmene con varianza cosane nel empo. Le opzioni oggeo del nosro sudio considerano come bene soosane un paricolare indice rappresenaivo del mercao azionario inglese: l indice FTSE-100. Essendo un indice azionario una somma pesaa di più azioni, la formula per la valuazione di ali opzioni non presena grandi differenze rispeo alla soluzione originaria di B-S. La principale complicazione è daa dal fao che le azioni che compongono l indice possono disribuire dei dividendi durane la via dell opzione, e dal fao che la maggior pare degli indici non vengono correi al fine di considerare queso fenomeno. L inroduzione del asso di dividendo 6 compora, per il iolo che ne prevede la disribuzione, un asso di crescia minore rispeo ad un iolo che non disribuisce dividendi 7. Il valore correne del iolo va, quindi, ridoo nel modo seguene: [3] S e q ( T ) dove q è il asso coninuo di dividendo (dividend yield). Il valore dell opzione call nel caso il iolo soosane paghi un asso di dividendo coninuo nel empo pari a q, paramero supposo noo e cosane sarà quindi: [4] C B S = S e qτ Φ rτ ( d ) Xe Φ( ), 1 d 2 con d d Φ 2 [ log ( S X ) + ( r + σ 2 ) τ ]/( σ ), 1 = q τ 2 = d1 σ τ. 1 d ( d ) = 2π e 0, 5 2 d 6 L inroduzione dei dividendi nella formula di B-S può avvenire in due modi, a seconda che il loro pagameno sia considerao discreo, avvenga cioè a dae precise, oppure coninuo, secondo un deerminao asso. 7 Ricordiamo che i dividendi vengono disribuii ai possessori delle azioni della socieà e non ai possessori delle opzioni su ali azioni. Nella valuazione bisogna quindi considerare la possibilià che durane la via dell opzione vengano disribuii dividendi. 6

7 Tali risulai sono sai oenui per la prima vola da Meron 8. Gli inpu del modello di Black e Scholes per la valuazione di opzioni su indici azionari sono quindi: il prezzo del bene soosane (nel nosro caso l indice azionario -FTSE-100), il prezzo d esercizio, il empo mancane a scadenza, il asso d ineresse privo di rischio uilizzao, il asso di dividendo (dividend yield), la volailià. Le prime re variabili si possono ricavare facilmene dalla leura dei quoidiani finanziari 9. Per quano riguarda la sima il asso d ineresse il modello B-S ipoizza che ciascun soggeo possa dare e prendere a presio illimiaamene al asso privo di rischio, supposo noo e cosane per la duraa residua dell opzione. Nella realà, il asso d ineresse ende a variare e ad assumere, generalmene, valori diversi a seconda che si chieda o dia a presio denaro. I dai sui assi d ineresse uilizzai al fine di oenere una buona sima di ale paramero sono i segueni assi inerbancari: asso a brevissimo ermine (una seimana), assi a 1, 3, 6, 12 mesi 10. Il asso d ineresse che si accorda con il empo a scadenza di ciascuna opzione viene oenuo inerpolando linearmene i due assi inerbancari più vicini. Si riiene, in queso modo, di approssimare in modo oimale il asso d ineresse privo di rischio secondo quano ipoizzao da B-S. Il asso di dividendo (dividend yield) si può ricavare presso il sio inerne della borsa londinese 11 che ne fornisce, inolre, una serie sorica. Nel nosro lavoro considereremo ale paramero cosane, non solo per ua la via residua 8 Meron, R.C. Theory of raional opion pricing, Bell journal of economics and managemen science, 4, 1973, Si osserva che i due mercai, quello azionario e quello dei derivai, chiudono allo sesso orario (16.30), garanendo così la simulaneià nella deerminazione dei prezzi di chiusura giornalieri delle opzioni e dell indice. 10 Verrà uilizzao, in paricolare, il LIBOR (London Inerbank Offer Rae) sulla serlina. 11 London Sock Exchange. hp:\\ 7

8 della singola opzione, ma anche per uo il periodo considerao e quindi per ue le opzioni valuae 12. La sima della volailià è oenua impliciamene dai prezzi di mercao delle opzioni. In paricolare, è saa effeuaa una media semplice delle volailià implicie legae alle due opzioni i cui prezzi di esercizio sono più vicini al prezzo del bene soosane, daa una cera scadenza. L uilizzo di una media ha lo scopo di miigare la presenza di evenuali errori nei prezzi delle opzioni e di minimizzare l effeo di dai rumorosi. Nel caso in cui nello sesso giorno siano quoae opzioni con scadenze diverse, si provvederà ad effeuare un uleriore media semplice delle volailià implicie oenue con l operazione precedene. L uilizzo di ale sisema di pesi per la sima della volailià non deriva da un analisi rigorosa dei dai oggeo di sudio, ma si basa sulle segueni osservazioni 13 : le opzioni a-he-money 14 sono, generalmene, le più scambiae, e quindi la volailià implicia collegaa ha conenuo informaivo più aendibile, i prezzi delle opzioni a-he-money sono più sensibili al cambiameno nella volailià e quindi, a parià di alre condizioni, un erraa misurazione della volailià provoca errori più consiseni per ale caegoria di opzioni Modelli swiching regime: valuazione dell opzione I modelli swiching regime ipoizzano che i rendimeni dell aivià soosane l opzione siano caraerizzai araverso una misura di disribuzioni normali con diversa varianza, i cui pesi sono deerminai da un processo non osservabile, individuando un modello di valuazione dell opzione a volailià socasica Si è osservao, infai, che durane il periodo considerao il paramero non ha subio grandi oscillazioni, manenendosi vicino al livello simao. 13 Lajbcygier P., Connor J. Improved opion pricing using arificial neural neworks and boosrap mehods Inernaional journal of neural sysem 8, 1997, pagg Un opzione è dea in-he-money se il suo esercizio immediao genera un flusso di cassa posiivo, alrimeni è dea ou-of-he-money. Nel caso in cui il prezzo d esercizio sia pari al prezzo del bene soosane l opzione è dea a-he-money. 15 Il paramero greco hea, dao derivaa parziale del prezzo dell opzione rispeo alla volailià, assume valori maggiori per prezzi dell aivià soosane vicini al prezzo di esercizio. 16 Billio, M. and Pelizzon, L., Pricing opions wih swiching volailiy Working paper Grea

9 3.1 Modelli di riferimeno Assumiamo che i rendimeni della variabile finanziaria o macroeconomica che siamo sudiando si disribuisca nel modo seguene: [5] y N( µ, σ ) ~ con s = 1,2,..., N s s dove s è una caena di Markov non osservabile ad N sadi caraerizzaa dalla seguene marice di ransizione P: [6] P = p p p M N p p p M n O... p p p N 1 N 2 M NN, L elemeno p ij rappresena la probabilià di passare allo sao j, condizionaamene al fao di rovarsi nello sao i al empo precedene. La i-esima colonna coniene, perano, le probabilià di ransizione dallo sao i ad uno qualsiasi degli N sai. Nel presene lavoro i modelli swiching regime saranno uilizzai per sudiare l andameno dei rendimeni giornalieri di un aivià finanziaria, al fine di sviluppare un modello per la valuazione di opzioni finanziarie sull aivià sessa. Nosro obieivo sarà, quindi, quello di individuare un modello che riesca a spiegare nel miglior modo possibile l andameno del prezzo dell aivià sessa, caurandone le caraerisiche principali, per il quale sia possibile, uavia, sviluppare un efficiene modello di valuazione dell opzione collegaa. I modelli presi in considerazione, perano, saranno caraerizzai da due sai (N=2) nei quali i rendimeni si disribuiscono normalmene con media (µ) e volailià (σ) cosani. Il primo modello (che indicheremo in seguio con la sigla Smv2) prevede che i rendimeni si disribuiscano nel modo seguene: [7] y N 2 ( µ 0, σ 0 ) ( µ, σ ) ~ 2 N 1 1 s = 0, s = 1 9

10 e P marice di ransizione: p00 P = 1 p 11 1 p p dove gli elemeni della diagonale indicano le probabilià di rimanere, al empo successivo, nello sesso regime del empo auale. I parameri di ineresse sono quindi 6: θ = { µ 0, µ 1, σ 0, σ1, p00, p11}. Una semplificazione di ale modello è daa dal modello Sv2: [8] y N 2 ( µ, σ 0 ) ( µ, σ ) ~ 2 N 1 s = 0, s = 1 e marice di ransizione uguale alla precedene. I parameri da simare sono solamene 5: θ = { µ, σ 0, σ1, p00, p11}. La complicazione, ai fini della valuazione di opzioni finanziarie, inrodoa da quesi modelli risiede nel fao che né la disribuzione dei rendimeni auale né quella fuura sono conosciue con cerezza. Da queso puno di visa, i modelli di valuazione delle opzioni basai su ale comporameno dell aivià soosane presenano problemaiche simili ai modelli a volailià socasica 17. Nel caso dei modelli a cambiameno di regime, infai, la varianza condizionale non è conosciua con cerezza, in quano legaa al processo non osservabile s. La specificazione adoaa, pur presenando il limie di ipoizzare che ui i cambiameni della varianza siano cosiuii da sali, risula più inuiiva di alri modelli in quano si presume che gli operaori, nell effeuare la previsione circa l andameno fuuro della volailià, endano a disinguere essenzialmene ra fasi di mercao normali e fasi caraerizzae da insabilià (e quindi da ala volailià). I risulai oenui sono riepilogai nelle abelle 1 e 2, ed evidenziano come la variabile di maggior imporanza sia la 17 Per una rassegna di ali modelli si veda Taylor, S., Modeling Sochasic volailiy: a review and comparaive sudy, Mahemaical finance 4,

11 varianza. Anche considerando medie diverse, il modello ende, infai, a disinguere i due regimi prevalenemene sulla base dei valori assuni da ale paramero (disinguendo, quindi, ra periodi di volailià bassa e ala). 3.2 Modello di valuazione discreo Una vola deerminai i parameri che caraerizzano la disribuzione dell aivià soosane l opzione, non resa che individuare un meodo che ci permea di valuare le opzioni sesse. Tale operazione viene effeuaa uilizzando un modello di ipo discreo, sulla base del modello binomiale sviluppao originariamene da Cox, Ross e Rubinsein 18, opporunamene modificao. L ipoesi fondamenale alla base del modello CRR è che il prezzo del bene soosane l opzione segua un processo binomiale di ipo moliplicaivo, definio su inervalli discrei. Se indichiamo con S il prezzo correne, alla fine del periodo possiamo oenere i segueni valori: [9] us ds p, 1 p dove u e d sono i due coefficieni moliplicaivi, menre p e (1-p) sono le rispeive probabilià. Gli Auori ricavano poi il valore dell opzione al empo iniziale in re passi: 1. dao il valore iniziale del bene soosane, vengono generai, sulla base dei parameri u, d ed p, un cero numero finio di prezzi finali; 2. sulla base dei prezzi al empo finale, vengono calcolai i payoff delle opzioni; 3. i payoff vengono sconai al empo iniziale percorrendo a riroso l albero precedenemene generao. Gli sessi Auori, ponendo opporune condizioni sui parameri, dimosrano come il processo binomiale approssimi il processo coninuo che B-S ipoizzano per derivare la loro formula per la valuazione delle opzioni. Nello sviluppare il modello di valuazione discreo nell ipoesi che il bene soosane sia governao da un 18 Cox, J.C., Ross S. A., and Rubinsen M., Opion pricing: a simplified approach, Journal of Financial Economics 7, 1979, pagg

12 modello a cambiameno di regime dovremo considerare necessariamene che: i rendimeni, a scadenza, non si disribuiscono più normalmene con media e varianza cosani, ma, nel caso considerao, come una misura di disribuzioni normali, nel percorrere l albero a riroso si devono considerare le probabilià del passaggio da un regime all alro, raccole nella marice di ransizione P. Prima di spiegare gli aggiusameni apporai al fine di enere cono di quese considerazioni, è necessaria una precisazione. Come abbiamo deo precedenemene, i modelli swiching regime inroducono un uleriore elemeno di incerezza: olre al prezzo del bene soosane l opzione, si deve considerare l incapacià di riconoscere con cerezza il regime che governa la disribuzione auale e fuura dei rendimeni, e, quindi, la possibilià del passaggio da un regime all alro. In queso caso non è più possibile cosruire il porafoglio non rischioso 19 e le semplificazioni inrodoe ipoizzando di operare in un ambiene neurale al rischio non sono più giusificae. In paricolare, non riuscendo a replicare esaamene il payoff dell opzione a scadenza, una diversa ipoesi sull aeggiameno verso il rischio degli invesiori pora a prezzi dell opzione diversi. In queso lavoro ipoizziamo di valuare le opzioni in un ambiene neurale al rischio. Nello sviluppo del processo discreo, quindi, la media di ciascun regime viene sosiuia con il asso d ineresse privo di rischio, evenualmene diminuio del asso di dividendo, e, nello sconare i payoff a scadenza, verrà uilizzao il asso privo di rischio. Nel seguio parleremo, quindi, di regimi di ala e bassa volailià. Ricordiamo, uavia, che l ipoesi di operare in un ambiene neurale al rischio non è più un assunzione legaa ad una semplificazione dei calcoli, ma divena una precisa assunzione del modello presenao. Per oenere la convergenza del processo discreo al processo coninuo ipoizzao, manenendo una buona approssimazione della disribuzione 19 Nell approccio binomiale l uilizzo della neuralià al rischio è giusificao dalla replicabilià dell opzione call con un porafoglio formao dall aivià soosane e dai ioli non rischiosi. In queso caso il porafoglio non rischioso si può cosruire solo nel caso in cui esisa un aivià perfeamene correlaa con la volailià. 12

13 finale, abbiamo sviluppao un albero penanomiale 20. Il valore al empo iniziale viene oenuo sconando i payoff oenui sulla base dei valori di S T così generai percorrendo a riroso l albero precedenemene cosruio, come indicao nella procedura uilizzaa da CRR. Al fine di considerare le possibilià di cambiameno di regime, in corrispondenza dei nodi precedeni il periodo finale, vengono calcolai due valori dell opzione, condizionali al fao di rovarsi nel regime di ala o bassa volailià. Al empo avremo due valori per l opzione, uno per ciascuno dei regimi: [10] C C ( s = 0) = [ p 00 C( + 1 s + 1 = 0) + ( 1 p 00 ) C( + 1 s + 1 = 1) ] ( s = 1) = [( 1 p ) C( + 1 s = 0) + p C( + 1 s = 1) ] e e rd rd. Tale procedura è applicaa ieraivamene fino al empo iniziale, oenendo anche in queso caso due valori dell opzione, condizionali al fao di rovarsi in un periodo di ala oppure di bassa volailià. Il valore dell opzione dipende quindi dalla conoscenza che i soggei hanno della fase di mercao che si sa araversando. Una possibile soluzione è uilizzare come pesi le probabilià marginali 21. Avremo in praica: [11] C ( ) = p C( 0 s = 0) + p C( 0 s 1) = Soolineiamo, uavia, come ale decisione sia arbiraria e possa influire in modo rilevane sul valore finale dell opzione in quano i valori condizionali dell opzione possono essere molo diversi ra loro. 3.3 Risulai oenui Al fine di confronare i prezzi delle opzioni così oenui con i valori di mercao ed i valori oenui applicando la formula di B-S, calcoliamo le rispeive volailià implicie. 20 Bollen, N., A laice for valuing opions in regime-swiching models Working paper, Duke Universiy, Le probabilià marginali indicano la probabilià di rovarsi in un cero regime a prescindere dal regime che caraerizzava il empo precedene. 13

14 Preseniamo solo alcuni esempi che rieniamo, uavia, sufficienemene rappresenaivi dell insieme delle opzioni valuae. Come si può noare, i risulai oenui si possono rienere soddisfaceni solo in pare, in quano il modello si rivela in grado di replicare l effeo smile risconrao empiricamene solo in modo parziale. In paricolare si può noare (figura 1) come il modello enda ad offrire delle presazioni migliori rispeo al modello B-S, generando una sruura della volailià implicia più coerene con quella osservaa empiricamene per le opzioni in-he-money (S/X>1) compiendo, invece, errori simili a quelli compiui dal modello B-S per le alre caegorie di opzioni. Queso comporameno è, uavia, una conseguenza delle ipoesi effeuae inizialmene circa il comporameno dei rendimeni. Al fine di considerare una sruura della volailià implicia quale quella risconraa empiricamene, infai, è necessario inrodurre un opporuna relazione ra i processi socasici che descrivono l andameno della volailià e dei rendimeni, rilassando l ipoesi di probabilià di ransizione cosani. Il modello, quindi, non poendo generare una sruura della volailià implicia inclinaa negaivamene si deve limiare ad assumere un comporameno coerene con quello di mercao solo con riferimeno ad una caegoria di opzioni (in-he-money) per poi adagiarsi sugli sessi valori generai dal modello B-S. L ulimo grafico (figura 2) evidenzia un alro aspeo rilevane dei prezzi oenui araverso ale modello: la volailià implicia del modello ende a soosimare la volailià implicia empirica. I valori delle opzioni di mercao endono, cioè, ad essere superiori ai valori generai dal modello. L analisi di ale comporameno è paricolarmene ineressane. Alcuni auori 22 pongono, infai, il problema della consisenza ra i prezzi delle opzioni e le proprieà della serie sorica dell aivià soosane, con paricolare riferimeno alle evenuali divergenze ra volailià sorica ed implicia, evidenziando come ques ulima enda ad assumere valori sisemaicamene maggiori. Tuavia dobbiamo 22 Baes, D.S., Tesing opions pricing models, in Saisical Mehods in Finance, G.S. Maddala and C.R. Rao, eds, (Elsevier)

15 ricordare che, nello sviluppare il modello di valuazione, abbiamo inrodoo l ipoesi di operare in un ambiene neurale al rischio, assumendo che il rischio legao ai cambiameni di volailià non sia valuao dal mercao. È uavia possibile che i soggei richiedano un premio aggiunivo per il maggior rischio sopporao legao ai cambiameni non prevedibili della volailià. La presenza di un premio per la volailià può giusificare, quindi, i valori più bassi generai dal modello a cambiameno di regime rispeo ai valori di mercao. 4 Rei neurali arificiali: valuazione dell opzione Le rei neurali arificiali (R.N.A.) sono uno srumeno maemaico-saisico il cui funzionameno è ispirao al processo di apprendimeno del cervello umano e possono essere vise, quindi, come sisemi di elaborazione dell informazione. Inizialmene le rei vennero sviluppae per sudiare il funzionameno del sisema nervoso ed, in paricolare, del suo componene elemenare: il neurone. Tali modelli, uavia, risulano esremamene semplificai rispeo al loro corrispondene biologico limiandosi a replicarne la sruura generale in modo da caurarne i principi fondamenali di funzionameno. Le rei neurali arificiali mosrano cioè di riuscire ad apprendere il funzionameno di un sisema operando, per un cero empo, parallelamene ad esso ed adaando di conseguenza la propria sruura inerna. Dal puno di visa maemaico le rei neurali arificiali si possono vedere come modelli non lineari e non paramerici che ricercano relazioni ra i dai. L ineresse per quesa modellisica è dovuo alla capacià di individuare relazioni funzionali non lineari per via numerica, ralasciando l individuazione formale della relazione, e quindi, l assunzione di ipoesi a priori sul comporameno delle variabili. Quese ed alre caraerisiche (quali la olleranza al rumore e la robusezza) rendono le rei neurali arificiali un valido srumeno per l analisi dei dai finanziari. Con riferimeno al problema della valuazione di opzioni finanziarie i vanaggi di ale approccio risiedono nella non necessià di fori ipoesi a priori sul comporameno delle 15

16 variabili, lasciando che sia la ree ad inferire dai dai la dinamica dell aivià soosane l opzione e la relazione di quesa e delle alre variabili con il valore dell opzione. In secondo luogo, l approccio non paramerico elimina il problema dell erraa specificazione del modello e si può adaare a cambiameni sruurali nel processo generaore dei dai. Infine, mediane ale approccio si oiene una formula di valuazione in forma chiusa che risula, al pari della formula B-S, relaivamene facile da raare. Tali modelli, uavia, olre a richiedere una mole di dai molo elevaa per il loro apprendimeno, pongono un rilevane problema di inerpreabilià dei risulai oenui, in quano non si riesce a deerminare l esaa relazione che lega le variabili. Lo sviluppo di una ree neurale arificiale ai fini della valuazione di opzioni finanziarie è un problema difficile da affronare in quano moli sono gli elemeni da prendere in considerazione che influenzano in modo significaivo la presazione finale della ree. In paricolare, le scele da effeuare riguarderanno: definizione, selezione ed evenuale pre-processameno dei dai uilizzai, definizione dell archieura della ree e meodologia uilizzaa nella fase di addesrameno e selezione della ree migliore. L obbieivo principale che si persegue è quello di selezionare una ree neurale che si sia rivelaa in grado di apprendere la relazione evenualmene esisene ra i dai di inpu e quello di oupu che le sono sai presenai. A al fine viene selezionao un cero numero di esempi, rienui sufficienemene rappresenaivi del fenomeno sudiao (ali esempi compongono il così deo raining se) soolineando, uavia, come l errore che si vorrebbe minimizzare non è ano quello legao al limiao numero di esempi uilizzai nella fase di addesrameno ma, piuoso, l errore che la ree idealmene compie con riferimeno a ui gli esempi possibili. Tale errore, che chiameremo errore di generalizzazione, risula spesso impossibile da deerminare, in quano l insieme degli esempi può essere illimiao e/o, in alcuni casi, in pare non conosciuo. Se la presazione della ree per l inero insieme dei dai è simile a quella nel raining se, allora 16

17 possiamo concludere che la ree generalizza bene e possiamo quindi uilizzarla a fini applicaivi. Le implicazioni principali al fine di garanire delle buone performance della ree durane l applicazione riguardano: la necessià di una sima dell errore di generalizzazione, la scela degli elemeni elencai precedenemene verrà effeuaa con riferimeno all errore di generalizzazione e non all errore compiuo in relazione al raining se. La ipologia di ree neurale arificiale uilizzaa è composa da più nodi elemenari, come il cervello è composo da più neuroni, organizzai in srai (rei mulisrao): uno srao di inpu, uno o più srai nascosi ed uno di oupu. L informazione, inolre, si propaga dallo srao di inpu araverso gli srai nascosi fino allo srao di oupu in un solo senso (rei feedforward) e ciascun nodo risula oalmene connesso con i nodi degli srai immediaamene adiaceni. 4.1 Pre-raameno dei dai Essendo le rei neuronali dei modelli daa-inensive, gran pare dello sforzo per una loro oimale cosruzione deve essere dedicao alla cosruzione del se di informazioni da uilizzare. In paricolare le operazioni effeuae riguardano: la selezione di un opporuno sooinsieme dei dai disponibili; l opporuna ridefinizione dei dai di inpu ed oupu. La prima operazione si è resa necessaria per i segueni moivi: escludere, secondo opporuni crieri, gli esempi rienui non significaivi e quindi, aveni scarso conenuo informaivo, ridurre il raining se, per gli elevai cosi compuazionali per l addesrameno della ree. I crieri uilizzai sono sai i segueni 23 : 1. vengono escluse le opzioni eccessivamene deep-in oppure deep-ou-of-he-money. Tali opzioni risulano, generalmene, scarsamene raae; 23 Tali crieri sono sai uilizzai anche in alri lavori analoghi. Ad esempio Anders U. Korn O. Schimi C. Improving he pricing of opions: a neural nework approach Journal of forecasing 17,1998,

18 2. vengono escluse le opzioni con scadenza inferiore a 15 giorni. Tali opzioni risulano raae nel mercao al loro valore inrinseco ed implicano errori rispeo ai prezzi eorici; 3. vengono escluse le opzioni raae a prezzi roppo bassi (inferiori a 100 puni base). Infai, da un analisi dei dai si può noare come, soprauo per i prezzi delle opzioni più vicini allo zero, vi sia un numero elevao di opzioni raae allo sesso valore. La ree può avere, in quesi casi, delle difficolà nell associare ad inpu anche molo diversi lo sesso oupu 24. Essendo il numero degli esempi così oenui eccessivo si sono sceli casualmene 2500 esempi da uilizzare nella fase di addesrameno e selezione della ree; si è rienuo, in queso modo, di garanire che l insieme dei dai uilizzai sia sufficienemene rappresenaivo del fenomeno analizzao e permea, allo sesso empo, lo sviluppo di modelli sufficienemene complessi. In conclusione, possiamo individuare i segueni insiemi di dai: raining se: composo da 2000 esempi sceli casualmene dall insieme delle opzioni raae ra dal 04/01 al 31/10. Tali dai verranno uilizzai al fine di addesrare le rei neurali; validaion se: composo da 500 esempi sceli casualmene dall insieme delle opzioni raae ra dal 04/01 al 31/10 una vola esrao il raining se. Tali dai verranno uilizzai al fine di individuare il momeno in cui bloccare la fase di apprendimeno e nella fase di selezione della ree; es se: composo dalle opzioni raae dal 01/11 al 24/12. Tali dai verranno uilizzai al fine di verificare le presazioni della ree in fase applicaiva. Le variabili che influenzano il prezzo di un opzione, avene come aivià soosane un indice azionario, secondo il modello B-S sono sei: [12] ( S, X, T, σ, r d ) C = f, 24 Tale crierio è sao anche inrodoo al fine di ridurre in modo drasico il oale esempi. 18

19 Il valore di un opzione call (C) è funzione del valore dell indice ( S ), del prezzo di esercizio (X), del empo mancane a scadenza (T-), della volailià (σ), del asso d ineresse privo di rischio (r) e del asso di dividendo (d). La formula B-S può essere riscria considerando le segueni semplificazioni: si uilizza come asso d ineresse privo di rischio la differenza ra l originario asso d ineresse privo di rischio ed il asso di dividendo, cioè r-d; si uilizza il rapporo ra il valore dell indice ed il prezzo d esercizio S X, ciò al fine di deerminare il rapporo ra il prezzo dell opzione ed il prezzo d esercizio C X. Gli inpu richiesi sono in definiiva quaro. In paricolare, l ulima semplificazione consideraa, si oiene ipoizzando che la disribuzione del rendimeno dell aivià soosane l opzione sia indipendene dal livello del prezzo dell aivià sessa. Secondo il eorema 9 enunciao da Meron 25 queso implica che la funzione f(.) sia omogenea di grado uno rispeo al valore dell indice ed al prezzo d esercizio. Poiché la formula B-S rienra in ale caegoria, uilizzando ali inpu per la ree ipoizziamo che anche la formula di valuazione dell opzione lo sia. Le moivazioni alla base di ale semplificazione sono le segueni: 1. viene uilizzao un nodo di inpu in meno, riducendo il numero dei parameri e quindi la complessià del problema, 2. si riiene che queso permea alla ree di apprendere più facilmene la sruura della volailià implicia di mercao (il così deo effeo smile si evidenzia graficamene meendo in relazione la volailià implicia e, appuno, il rapporo S X ). La funzione che vogliamo approssimare è, quindi: [13] C X S = f, T, σ IMP r d X, 25 Meron, R.C. Teory of raional opion pricing, Bell journal of economics and managemen science, 4, 1973,

20 Ciascun esempio sooposo alla ree sarà, quindi, composo da 5 valori, di cui 4 variabili di inpu ed 1 relaiva all oupu desiderao. 4.2 Fase di apprendimeno La fase di apprendimeno, con riferimeno alle Rei Neurali Arificiali, consise nell aggiusameno dei pesi (parameri) in risposa a simoli eserni. In paricolare, nel caso dell apprendimeno supervisionao uilizzao vengono fornii alla ree un veore di inpu e l oupu desiderao generao dal fenomeno oggeo di sudio. L oupu generao dalla ree sulla base degli inpu forniale è dao da: [14] CNN X () = β S q 0 + g γ 0 j + γ 1 j + 2 j IMP 3 j 4 j j j= 1 X ( T ) γ + σ γ + ( r d ) γ β, dove: q numero dei nodi nascosi; g funzione di rasferimeno; β j e γ., j parameri. Come misura dell errore si assume l errore quadraico medio e come algorimo di apprendimeno si uilizza l algorimo di Levenberg-Marquand, modificando, cioè, i pesi al fine di ridurre l errore compiuo. Una vola che i pesi sono sai aggiornai, la funzione d errore viene ricalcolaa fino a che, evenualmene, i valori dei parameri non convergano verso una soluzione oimale, individuando un puno di minimo sulla superficie d errore. Tale fase incide in modo rilevane sulla capacià di generalizzazione della ree. L obieivo principale, infai, non è quello di minimizzare l errore compiuo dalla ree in relazione al raining se, garanendo perciò una coincidenza pressoché perfea ra oupu generao dalla ree e oupu desiderao, ma quello di minimizzare l errore che, idealmene, la ree compie sull inero insieme dei dai riguardani il problema affronao (che abbiamo precedenemene chiamao errore di generalizzazione), garanendo, quindi, che il modello abbia appreso ui gli aspei rilevani che caraerizzano la relazione ra i dai, non confondendola con la pare rumorosa di quesi ulimi. 20

21 L andameno di ali errori, con riferimeno al numero di ierazioni effeuae, ende ad essere diverso. Menre l errore sul raining se diminuisce, più o meno regolarmene, ad ogni ierazione, fino a sabilizzarsi ad un puno di minimo, l errore di generalizzazione ende ad assumere un comporameno dapprima decrescene, fino ad un deerminao livello, per poi crescere (problema dell overraining). Si pone, quindi, il problema di individuare l ierazione, e quindi il valore dei parameri, in corrispondenza della quale arresare la fase di apprendimeno, al fine di individuare il valore dei pesi in corrispondenza del minimo dell errore di generalizzazione. Un meodo empirico molo uilizzao per oenere una sima di ale errore è quello della cross-validaion. Ad ogni ierazione viene calcolao, olre all errore sul raining se, anche l errore commesso su un insieme di esempi (validaion se) che non sono sai usai precedenemene, ma che devono essere anch essi rappresenaivi del fenomeno analizzao. La fase di apprendimeno verrà arresaa, quindi, in corrispondenza del minimo assuno dall errore compiuo dalla ree nel validaion se. Nella fase applicaiva, uavia, il problema dell overraining non è sao quasi mai risconrao. La spiegazione di ale fenomeno può essere impuaa alla selezione iniziale faa sui dai al fine di eliminare gli esempi meno significaivi, ed alle caraerisiche dei dai oggeo di sudio che, in sosanza, si possono considerare poco rumorosi. Preseniamo ora le presazioni delle rei neurali arificiali addesrae, rispeivamene per il raining se e per il validaion se al fine di individuare, sulla base dell errore commesso, la ree idonea ad essere uilizzaa a fini applicaivi. Le prove sono sae effeuae considerando diverse configurazioni iniziali dei pesi, come suggerio dalla leeraura. Come si può vedere dalla abella 3, la ree che oiene i risulai migliori nel validaion se è la ree caraerizzaa da 8 nodi nello srao nascoso e quindi nel seguio verrà uilizzaa a fini applicaivi. 21

22 4.3 Risulai oenui Analizziamo ora le presazioni della ree nell applicazione, valuando le opzioni comprese nel es se (periodo che va dal 1/11 al 24/12 per un oale di 530 esempi). Come si può vedere dalla abella 4, l errore compiuo dal modello non paramerico risula inferiore, non solo all errore compiuo dal modello B-S, ma anche dell errore compiuo dalla ree sessa nel raining se. Queso comporameno può essere giusificao considerando che il es se è composo da un numero limiao di opzioni e soprauo appareneni a paricolari caegorie. Dopo aver verificao che le presazioni (analisi ou of sample) sono soddisfaceni, andiamo ad analizzare il comporameno del modello non paramerico nell insieme di dai uilizzai nella fase di sviluppo (analisi in sample). Al fine di verificare se le presazioni del modello variano a seconda del valore assuno dagli inpu si suddividono le opzioni raae nel periodo che va dal 04/01 al 31/10 con riferimeno: al rapporo ra valore dell indice ed il prezzo di esercizio, individuando cinque caegorie (Tabella 5), al empo mancane alla scadenza, individuando re caegorie (Tabella 6). Nel presenare i risulai oenui proponiamo anche un confrono con gli errori compiui dal modello B-S al fine di permeerne una migliore comprensione e leura. L analisi dei risulai, riassuni nelle abelle pora a due considerazioni principali: 1. le presazioni della ree neurale arificiale nell analisi in he sample sono migliori rispeo a B-S per ue le caegorie di opzioni considerae; 2. il comporameno risula qualiaivamene simile per i due modelli; l errore ende ad aumenare all aumenare del empo mancane a scadenza e ende ad essere più elevao per prezzi di esercizio che si allonanano dal valore dell indice. Prima di commenare in modo più approfondio i risulai oenui, si repua uile ricordare che la volailià uilizzaa come inpu dei due modelli è saa oenua come media delle volailià implicie ricavae dai prezzi di mercao 22

23 delle opzioni a-he-money. Tale osservazione ci permee di osservare come il modello non paramerico riesca ad oenere delle presazioni migliori di B-S anche per le opzioni nearhe-money, caegoria di opzioni eoricamene più favorevole a B-S. La sruura della volailià implicia di mercao, inolre, evidenzia chiaramene una relazione inversa ra la volailià e rapporo ra valore dell indice e prezzo d esercizio (S/X), a frone della sruura cosane ipoizzaa dal modello di B-S che, quindi, ende ineviabilmene a generare valori inferiori al mercao per le opzioni in-he-money e superiori per le ouof-he-money. Invece, la ree neurale arificiale si è rivelaa in grado di replicare la sruura osservaa empiricamene, apprendendo gli aspei più rilevani della relazione che lega i dai di inpu all oupu (Figura 4). L analisi svola non sembra evidenziare, con riferimeno alle varie caegorie di opzioni, una paricolare sruura dell errore, non essendoci una endenza, da pare della ree, a generare valori delle opzioni sisemaicamene inferiori o superiori a quelli di mercao. L errore compiuo può essere impuao in pare a rumore, paricolarmene presene nel caso di opzioni scarsamene raae quali, appuno, le opzioni deep-in oppure deep-ou-of-he-money (Figura 3). I risulai si possono considerare, in conclusione, soddisfaceni. 5 Conclusioni Queso sudio si proponeva di verificare come due approcci alla valuazione di opzioni finanziarie sosanzialmene diversi possano conribuire a spiegare gli errori compiui dal classico modello sviluppao da Black e Scholes, considerao in queso lavoro il puno di riferimeno al fine di commenare i risulai oenui. Nel primo modello sviluppao si è rilassaa l ipoesi che l aivià soosane l opzione segua un andameno diffusivo del ipo moo browniano geomerico in favore di un modello a volailià socasica che considera il soosane governao da un modello a cambiameno di regime. In queso modo si ipoizza che la varianza possa assumere solamene due valori a seconda che il mercao araversi un periodo di ala volailià oppure di volailià normale. 23

24 I risulai oenui mediane ale approccio si sono rivelai soddisfaceni solo in pare. La sruura della volailià implicia generaa dal modello a volailià socasica, infai, non riesce a replicare compleamene lo smile osservao empiricamene, endendo, inolre, a soosimare i valori di mercao delle opzioni. Le moivazioni di ale comporameno possono essere: l errore compiuo dal modello B-S può essere dovuo alla conemporanea violazione di più di una ipoesi del modello, quali la presenza di frizioni nel mercao oppure la variabilià del asso d ineresse durane la via dell opzione; un errore nella scela del processo generaore: il modello sviluppao non considera, infai, la possibilià di una relazione ra il processo socasico che descrive volailià e soosane. L inroduzione di ale ipoesi può, come si è viso, spiegare il comporameno osservao empiricamene; l ipoesi di operare in un ambiene neurale al rischio pora a non considerare il premio evenualmene richieso dagli operaori per il rischio legao ai cambiameni della volailià. Queso si raduce in un valore dell opzione inferiore a quello di mercao. Nel secondo modello sviluppao uilizziamo un meodo non paramerico (rei neurali arificiali) che non è legao a nessuna ipoesi circa il comporameno dell aivià soosane. I risulai si possono considerare soddisfaceni. In paricolare soolineiamo come: nonosane siano sai uilizzai gli sessi inpu, e si sia uilizzaa una volailià implicia eoricamene favorevole a B-S, i risulai sono migliori per ue le caegorie di opzioni analizzae; la ree neurale si sia rivelaa in grado di caurare le caraerisiche principali del fenomeno analizzao, generando una sruura della volailià implicia molo vicina a quella osservaa empiricamene. Ricordando come sia difficile proporre un confrono ra i due modelli sviluppai in queso lavoro, e come i risulai oenui possano essere influenzai dal ipo di dai uilizzai e dalle caraerisiche del mercao in cui si opera, si conclude con le segueni osservazioni, che possono essere vise anche come spuno per evenuali lavori fuuri sull argomeno: 24

25 l approccio paramerico, soprauo in relazione alla inerpreabilià dei risulai oenui, si è rivelao paricolarmene ineressane; risulai migliori si possono oenere considerando una opporuna relazione ra i processi socasici che descrivono l andameno dell aivià soosane l opzione e la volailià, oppure cercando di modificare il modello ai fini di deerminare un adeguao premio per il rischio legao alla volailià; l approccio non paramerico pora ad oimi risulai. Tuavia, essendo le rei neurali delle scaole nere non è chiara la relazione che lega ciascuna variabile esplicaiva al valore dell opzione e, di conseguenza, la sua significaivià ai fini della valuazione; la scela di inpu aggiunivi, oppure diversi, da quelli uilizzai in queso lavoro può apporare dei migliorameni alle presazioni. Paricolarmene promeene sembra poi il così deo approccio ibrido, in cui la ree neurale è chiamaa ad apprendere solamene le deviazioni dei prezzi di mercao rispeo ad un modello paramerico che si è dimosrao sufficienemene accurao per le opzioni considerae (quale, ad esempio, il modello B-S). Riferimeni bibliografici Anders, U. Korn, O. Schimi, C. Improving he pricing of opions: a neural nework approach Journal of forecasing 17, 1998, Baes, D.S., Tesing opions pricing models, in Saisical Mehods in Finance, G.S. Maddala and C.R. Rao, eds, (Elsevier) Billio, M. and Pelizzon, L., Pricing opions wih swiching volailiy Working paper Grea Black, F. and M. Scholes, The pricing of opions and corporae liabiliies, Journal of Poliical Economy 81, 1973, pagg Bollen, N., A laice for valuing opions in regimeswiching models Working paper, Duke Universiy, Cox, J.C., Ross S. A., and Rubinsen M., Opion pricing: A simplified approach, Journal of Financial Economics 7, 1979, pagg Hamilon J. D. Time series analysis Princeon Universiy Press, 1994 pagg

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27 MODELLO SV2 µ σ 0 σ p 1 00 p 11 sima 0, , , , , Sd error 0, , , , , value 0, , , , ,91225 logverosimiglianza 1356,715 To. osservazioni 455 Tabella 1. Sime dei parameri del modello Sv2 MODELLO SMV2 µ 0 µ σ 1 0 σ p 1 00 p 11 sima 0, , , , , , Sd error 0, , , , , , value 0, , , , , ,97911 logverosimiglianza 1356,747 To. osservazioni 455 Tabella 2. Sime dei parameri del modello Smv2 27

28 Tabella 3: RMSE 26 N. nodi nascosi raining se validaion se 2 3,796 3, ,818 1, ,597 1, ,459 1, ,440 1, ,376 1, ,341 1, ,331 1,466 Tabella 4: RMSE ree 8 B-S Tes se 1,155 4, L errore va considerao moliplicao per

29 Tabella 5: RMSE rispeo a S/X Ree 8 B-S Deep-in-he-money 1,543 7,603 In-he-money 1,404 6,46 Near-he-money 1,241 3,263 Ou-of-he-money 1,445 4,595 Deep-ou-of-he-money 1,531 9,169 Toale In-Sample 1,429 6,402 Tabella 6: RMSE rispeo al empo mancane a scadenza Ree 8 B-S Breve ermine 1,311 3,764 Medio ermine 1,415 6,56 Lungo ermine 1,529 7,759 Toale In-Sample 1,429 6,402 29

30 Volailià implicia 0,025 0,02 0,015 0,01 0, ,19 1,17 1,14 1,12 1,10 1,08 1,07 S/X 1,05 1,03 1,01 1,00 0,98 0,97 Figura 1: volailià implicia opzioni raae il 20/05 con scadenza 30 giorni. mercao B-S Modello Volailià implicia 0,025 0,02 0,015 0,01 0, ,18 1,16 1,14 1,12 1,09 1,08 1,06 S/X 1,04 1,02 1,00 0,99 0,97 0,95 Mercao Figura 2: volailià implicia opzioni raae il 04/02/99 con scadenza 31 giorni. B-S Modello 30

31 Volailià im plicia 0,025 0,02 0,015 0,01 Mercao B-S Ree 8 0, ,20 1,17 1,15 1,13 1,11 1,09 1,07 1,05 S/X 1,03 1,01 1,00 0,98 0,97 0,95 Figura 3: volailià implicia opzioni con scadenza a 30 giorni. Volailià implicia 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0 Mercao B-S Ree 8 1,15 1,10 1,06 1,03 0,99 0,96 0,93 0,90 0,87 0,85 S/X Figura 4: volailià implicia opzioni con scadenza 120 giorni. 31