ed interpretare geometricamente il risultato ottenuto. Esprimere, per t 2, l integrale

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1 Fisica Prova d esempio per l esame (MIUR, aprile 019) Problema 1 Due fili reilinei paralleli vincolai a rimanere nella loro posizione, disani 1 m l uno dall alro e di lunghezza indefinia, sono percorsi da correni cosani di pari inensià ma verso opposo; si indichi con i l inensià di correne, espressa in ampere (A). Si consideri un piano perpendicolare ai due fili sul quale è fissao un sisema di riferimeno orogonale Oxy, dove le lunghezze sono espresse in meri (m), in modo che i due fili passino uno per l origine O e l alro per il puno D(1, 0), come mosrao in figura. Verso della correne uscene dalla pagina Verso della correne enrane nella pagina 1. Verificare che l inensià del campo magneico B, espresso in esla (T), in un puno P(x, 0), con 0 < x < 1, è daa dalla funzione B(x) = K ( ), dove K è una cosane posiiva della x quale si richiede l unià di misura. Sabilire quali sono la direzione e il verso del veore B al variare di x nell inervallo (0, 1). Per quale valore di x l inensià di B è minima?. Nella zona di spazio sede del campo B, una carica puniforme q ransia, ad un cero isane, per il puno C ( 1, 0), con velocià di modulo v 0 nella direzione della rea di equazione x = 1. Descriverne il moo in presenza del solo campo magneico generao dalle due correni, giusificando le conclusioni. Sabilire inensià, direzione e verso del campo magneico B nei puni dell asse x eserni al segmeno OD. Esisono puni sull asse x dove il campo magneico B è nullo? 3. Indipendenemene da ogni riferimeno alla fisica, sudiare la funzione f(x) = K ( ) x 1 x dimosrando, in paricolare, che il grafico di ale funzione non possiede puni di flesso. Scrivere l equazione della rea r angene al grafico di f nel suo puno di ascissa 1 e deerminare le 3 coordinae dell uleriore puno d inersezione ra r e il grafico di f.. Calcolare il valore dell inegrale 3/ f(x) dx 1/ ed inerpreare geomericamene il risulao oenuo. Esprimere, per, l inegrale 1 x g() = f(x) dx e calcolare lim g(). Qual è il significao di ale limie?

2 SVOLGIMENTO Incominciamo col dire che i due fili dei quali parla il eso dovrebbero essere di lunghezza infinia, non indefinia, alrimeni anche il campo magneico non porebbe essere deerminao! Ammeendo, poi, quano si legge in seguio nella premessa cioè che si debba considerare un «riferimeno orogonale Oxy, dove le lunghezze sono espresse in meri», purroppo la scriura: B(x) = K ( 1 x + 1 risula priva di senso 1, perché non è possibile sorarre dal numero 1 la lunghezza x. Per rendere sensaa la domanda (1), assumeremo la seguene formulazione alernaiva: «Si consideri un piano perpendicolare ai fili, sui quali è fissao un sisema di coordinae orogonali Oxy così che un filo passi per l origine O e l alro per il puno D (1; 0), come mosrao in figura.» In queso modo, se d = 1m è la disanza ra i due fili ed r è la disanza dall origine di un puno poso sull asse delle ascisse, la coordinaa x del puno rappresena il rapporo ra ale disanza r e la disanza d, cioè: x = r d. Con quese ipoesi, possiamo ora affronare il puno (1). 1) Il campo che ha per sorgene un filo reilineo, di lunghezza infinia e percorso da una correne di inensià i, in un puno P poso a disanza r dal filo ha modulo: dove μ 0 è la permeabilià magneica del vuoo. B 1 = μ 0i πr Il veore B 1 giace nel piano per P orogonale al filo, è perpendicolare alla rea per P perpendicolare al filo ed è orienao in riferimeno al verso della correne secondo la regola della mano desra. Nel caso specifico, nei puni dell asse delle ascisse ra x = 0 e x = 1, i campi di enrambe le correni giacciono sul piano della figura e sono orienai verso l alo. La seconda correne dà luogo a un campo di inensià: μ 0 i B = π(d r) cosicché, in definiiva, il campo risulane in un puno P sull asse delle ascisse e ra i due fili, vale: B = B 1 + B = μ 0i π (1 r + 1 d r ) = μ 0i πd (1 x + 1 = K (1 x + 1 dove x = r d, come già deo. Risula così chiaro che il coefficiene K = μ 0i, se espresso in unià SI deve essere misurao in esla. πd Considerando che l andameno del campo è simmerico rispeo ai due fili (ovvero alla rea x = 1/) e che il suo valore, sempre posiivo ra i due conduori, cresce con coninuià avvicinandosi a ciascuno di essi, si capisce che il valore minimo cercao lo si ha proprio per x = 1/. 1 Ma quane vole dovremo ripeere le medesime osservazioni a proposio delle formulazioni sbagliae preseni in quese simulazioni? Gli amani del calcolo differenziale possono ricavare subio la derivaa prima e seconda per arrivare, ovviamene, alla sessa conclusione.

3 ) La carica consideraa ha, nel puno C, velocià parallela alla direzione del campo B. Perciò è nulla la forza di Lorenz agene su di essa e, dunque, essa si sposa lungo la rea x = 1/, con velocià invariaa. Il discorso vale per ui i puni della rea: in sosanza, il moo della carica è (idealmene) reilineo e uniforme. Idealmene, perché in un caso concreo, la minima asimmeria nel campo o il minimo sposameno della carica dalla direzione indicaa farebbero perdere la condizione paricolare qui esaminaa. Nei puni collocai sull asse delle ascisse esernamene all inervallo (0; 1), il campo magneico ha ancora inensià espressa da: B = K ( 1 x + 1. Il segno negaivo indica che il veore, orogonale all asse delle x, è orienao verso il basso. Come si vede facilmene, poiché x x 1, il campo non si può annullare per valori finii di x. Tuavia si ha: lim B(x) = 0. x 3) Abbiamo già viso, descrivendo il campo B, alcune caraerisiche della funzione: f(x) = K ( 1 x + 1 dove ora, però, dobbiamo inendere che il coefficiene K rappreseni una quanià adimensionale (il eso dice di sudiare la funzione «Indipendenemene da ogni riferimeno alla fisica»). Dunque ripeiamo che è f(x) > 0 nell inervallo (0; 1), menre è f(x) < 0 per x < 0 e per x > 1; inolre la funzione ende a zero quando x ende all infinio (asinoo orizzonale). In corrispondenza dei valori x = 0 e x = 1 si hanno due asinoi vericali; per x = 1 vi è un minimo. Per sudiare l evenuale presenza di puni di flesso, si può considerare la derivaa seconda di f(x). Il calcolo fornisce: f 1 (x) = K ( (1 x) 1 x ) f (x) = K ( 1 x (1 x) 3) ; si consaa che f (x) non si annulla per valori finii di x e, quindi, non vi possono essere puni di flesso. Rappreseniamo dunque la funzione: Per x = 1 3, la derivaa prima di f(x) vale: f (1 3) = 7K ; corrispondenemene f(1 3) = 9K. Dunque la angene richiesa è una rea passane per il puno A ( 1 ; 9K ), con coefficiene angolare 3 m = 7K. Possiamo perciò scrivere:

4 La angene desideraa ha, quindi, equazione: 9K = 7K 1 7K + q q = 3. y = 7K (1 x). Per rovare l uleriore puno di conao ra la rea ora definia e la f(x), risolviamo: Sviluppando, nell ipoesi che sia x 1, oeniamo: 7K (1 x) = K (1 x x 3 5x + 7x = 0. Sappiamo che quesa equazione deve avere una doppia radice di valore x = 1 3, perciò il polinomio deve essere divisibile per (3x 1), il cui monomio di più alo grado è 9x ; il polinomio quoziene, perciò, deve conenere un ermine 3x. Olre a ciò, il ermine noo non può che risulare da un corrispondene ermine noo nel risulao della divisione polinomiale. In sosanza, il polinomio di erzo grado deve essere esprimibile nella forma: (3x )(3x 1), cosa che si può facilmene verificare sviluppando i prodoi. In definiiva, l uleriore puno di inersezione cercao si ha per x = 3. ) Calcoliamo, come richieso: 3 ( 1 x + 1 dx = (log(x) log(1 x)) = log(9). Si può inerpreare geomericamene queso risulao come area soo la curva, così come messa in evidenza nella figura qui soo: Per calcolare il secondo inegrale, eniamo espliciamene in considerazione il vincolo. Queso implica che sia sempre x > 0 e 1 x < 0; calcoleremo perciò: K 1 x x 1 1 dx = K dx = K dx = K ( 1 x(1 x) x(x 1) x 1 1 x ) dx = = K ( 1 x 1 ) dx K 1 dx = log( 1) log(1) log() + log() = log( 1) log() + log(). x Quesa espressione ende al valore log() quando ende a +.

5 Il eso chiede, infine, quale sia il significao di ale limie. La domanda appare piuoso oscura: qual è il significao di 15? Qual è il significao di 7? Qual è il significao di log()? Forse si voleva alludere al fao che l esisenza del limie indicao permee di rienere definio l inegrale improprio: Chissà? + K 1 x x dx.