II Prova - Matematica Classe V Sez. Unica

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1 Liceo Scienifico Pariario R. Bruni Padova, loc. Pone di Brena, /9/8 II Prova - Maemaica Classe V Sez. Unica Soluzione Problemi. Risolvi uno dei due problemi: Problema. Un produore di candeline ea ligh vuole produrre un nuovo ipo di candela coloraa che abbia una pare inferiore di forma cilindrica ed una pare superiore avene la forma riporaa in Figura, che si connea perfeamene a quella inferiore, come mosrao in Figura : Figura. Figura. i. Sabilisci, moivando adeguaamene la risposa, quale delle segueni funzioni può rappresenare adeguaamene il profilo della pare superiore della candela: a x se x a. y = con a! > ; a + x se a x <. y = a x in a ; a con a! ; > 3. y = a x in a ; a con a!. > di

2 Uilizzando l espressione analiica rovaa, sudia evenuali puni di singolarià del profilo della pare superiore della candela. ii. Per consenire l inserimeno dello soppino al verice della candela, è necessario che l angolo ϑ in Figura non sia maggiore di 3. Deermina di conseguenza i possibili valori del paramero a.! iii. Aribuendo all alezza e al raggio della pare cilindrica i valori rispeivamene di 8 e, in un opporuna unià di misura, deermina il volume oale della candela. Da queso dao dipenderanno il peso e il coso di produzione della candela sessa.! Il produore deve inscaolare le candele in confezioni da 3 e da 4 candele, posizionando le candele in vericale, con le basi circolari dispose in modo da occupare il minor spazio possibile. Si prevedono due possibili configurazioni per posizionare le basi circolari delle candele all inerno delle scaole, rappresenae in Figura 3: Figura 3. iv. Fornisci una valuazione numerica dell efficienza dei due confezionameni, calcolando il rapporo ra area occupaa dalle basi circolari delle candele inserie nella scaola e area disponibile in ciascuna delle due configurazioni. Tale rapporo deve essere espresso in percenuale. Ai fini del calcolo, considera che le celle poligonali evidenziae in grigio sono rispeivamene un riangolo equilaero e un quadrao. Risoluzione. i. Sabilisci, moivando adeguaamene la risposa, quale delle segueni funzioni può rappresenare adeguaamene il profilo della pare superiore della candela: a x se x a. y = con a! > ; a + x se a x <. y = a x in a ; a con a! ; > 3. y = a x in a ; a con a!. > Uilizzando l espressione analiica rovaa, sudia evenuali puni di singolarià del profilo della pare superiore della candela. Poiché la funzione ammee un puno angoloso per x =, scaro l ipoesi. (funzione ovunque derivabile). di

3 L ipoesi 3. dà y = x ( x) se x < x x = ( x) se x y ( a )= ( a), conro l ipoesi del raccordo con il corpo della candela. ma y ( a )= ( a) e Il profilo quindi è ben rappresenao dall ipoesi. viso che ammee un puno angoloso in x = e lim y =. L espressione analiica della sua derivaa prima è x ±a se < x < a a x y =. se a < x < a + x ii. Per consenire l inserimeno dello soppino al verice della candela, è necessario che l angolo ϑ in Figura non sia maggiore di 3. Deermina di conseguenza i possibili valori del paramero a. Chiamo f la funzione dell ipoesi. di i.. Noo che f è pari e quindi basa imporre che lim f x + ( x) an( 3 ) lim x + a x 3 a 3 a 3 a 3 4. iii. Aribuendo all alezza e al raggio della pare cilindrica i valori rispeivamene di 8 e, in un opporuna unià di misura, deermina il volume oale della candela. Da queso dao dipenderanno il peso e il coso di produzione della candela sessa. Il volume della pare cilindrica della candela è V c = π 8 = 3π. Poiché la candela deve avere raggio, a =. Il volume della puna della candela è il volume del solido di roazione generao da una roazione complea della funzione f ( x) in ; aorno all asse y: ( ) dy poiché y = f ( x)= x f ( y)= y in ;, ovvero V = π p y = = π ( 4 4y + y 4 )dy = π 4y 4 3 y3 + 5 y5 candela è V = V c +V p = 3 ( 5 5+ )π!. = 3 π. Quindi il volume oale della 5 iv. Fornisci una valuazione numerica dell efficienza dei due confezionameni, calcolando il rapporo ra area occupaa dalle basi circolari delle candele inserie nella scaola e area disponibile in ciascuna delle due configurazioni. Tale rapporo deve essere espresso in percenuale. Ai fini del calcolo, considera che le celle poligonali evidenziae in grigio sono rispeivamene un riangolo equilaero e un quadrao. Confezione. È un parallelepipedo a base reangolare con un spigolo di base pari a quaro vole il raggio di una candela, 4a, e l alro (vedi figura alla pagina seguene) pari a un 3 di

4 raggio più l alezza del riangolo equilaero di lao due raggi più un alro raggio: a + a 3 + a = ( + 3)a. a a a 3 a a a L area di base del parallelepipedo è 4( + 3)a menre l area di base delle re candele vale 3πa. L area occupaa dalle candele, in percenuale, è 3πa ( 4( + 3)a ) = 75( 3)π!! 63,3%. Confezione. È un parallelepipedo a base quadraa di spigolo di base pari a 4a. L area di base del parallelepipedo è 6a menre l area di base delle quaro candele vale 4πa. L area occupaa dalle candele, in percenuale, è 4πa ( 6a ) = 5π! 78,54%. Come si poeva inuire, è più efficiene il secondo ipo di confezionameno. 4 di

5 Problema. Consideriamo la funzione f :!!, così definia: f ( x)= ln a e bx + c al variare di a, b, c parameri reali posiivi. ( ) i. Verifica che, comunque si scelgano i parameri, si ha:! f ( x)> x!, f ( x)> x!. ii. iii. iv.!verifica inolre che, comunque si scelgano i parameri, la funzione f ha un asinoo orizzonale, per x, e un asinoo obliquo, per x + ; deermina a, b, c in modo che l asinoo orizzonale, per x, sia la rea di equazione y = e l asinoo obliquo, per x +, sia la rea di equazione y = x. Dimosra che ponendo a = b = c = si ha x < f ( x)< e x, x!. Verifica inolre che ponendo a = b = c = e dea A l area della pare di piano compresa ra il grafico della funzione h( x)= f ( x ) e l asse x del riferimeno caresiano, si ha!che A <.!Inolre, a parire dalle caraerisiche del grafico della funzione h( x), deermina un numero reale S, quano più grande possibile, ale che A >S.! Risoluzione. i. Verifica che, comunque si scelgano i parameri, si ha:! f ( x)> x!, f ( x)> x!. Daa f ( x)= ln a e bx + c b( a e bx + c)e bx abe bx = ab a e bx + c ( ) con a, b, c ; + = ab c e bx ( ) ( a e bx + c) >, x!., risula che f ( x)= ab ebx a e bx + c > e f ( x)= ii. Verifica inolre che, comunque si scelgano i parameri, la funzione f ha un asinoo orizzonale, per x, e un asinoo obliquo, per x + ; deermina a, b, c in modo che l asinoo orizzonale, per x, sia la rea di equazione y = e l asinoo obliquo, per x +, sia la rea di equazione y = x. Poiché lim f x x ( )= ln c, la funzione f ha un asinoo orizzonale di equazione y = ln c. f ( x) Poiché lim f ( x )= +, lim x + x + x = + ab e bx + :=H lim x + a e bx + c = b e lim ( f ( x) bx)= x + = + = lim ln ebx a + c x + e bx bx = lim ( ln( aebx) bx)= lim ln a + ln e bx bx x + x + ( )= ln a, la funzione f ha un asinoo obliquo di equazione y = bx + ln a. 5 di

6 È richieso che ln c = c = b = b =. ln a = a = iii. Dimosra che ponendo a = b = c = si ha x < f ( x)< e x, x!. Ho che ln( e x +)> x ln( e x ( + e x ))> x ln e x + ln( + e x )> x ln( + e x )> e x > x! ; ho che ln( e x +)< e x e x = ln( +)< ; considerando la funzione g( )= ln( +) per ; + : poiché lim g( )= e g ( )= + + < ; +, risulerà g( )< ; + (g pare da zero e poi decresce), ovvero ln( +)< ; +. iv. Verifica inolre che ponendo a = b = c = e dea A l area della pare di piano compresa ra il grafico della funzione h( x)= f ( x ) e l asse x del riferimeno caresiano, si ha!che A <. Inolre, a parire dalle caraerisiche del grafico della funzione h( x), deermina un numero reale S, quano più grande possibile, ale che A >S. Dao h( x)= ln( e x +), basa verificare che: + h è pari + h( x)dx < h( x)dx < lim ln e x + + ( )dx <. Ma, viso il puno precedene, ln( e x +)dx < e x dx = e x + c (monoonia dell inegrale), per cui: lim + lim ( + e )+ lim ln( e x +)dx + <. Sudio la funzione h( x)= ln( e x +). ln( e x +)dx < lim + e x lim ln( e x +)dx < + ha dominio D h =!, è pari, sempre posiiva; poiché lim h x x ± ( )=, h ammee un asinoo orizzonale di equazione y = ; poiché, per x >, h ( x)= e x e x + puno di massimo (assoluo) M( ; ln ); <, h risula essere crescene in ; poiché, per x >, h ( x)= e x >, h risula essere convessa in!\ { }. e x + grafico qualiaivo di h: ( ) e ammee un 6 di

7 Osservo che il grafico di ale funzione è simile a H( x)= ln e α x con α ; +. ( ) Vedo se esise α ale che H( x)< h( x) ln e α x < ln e x + α < log ( +). Considero la funzione G( )= α log + G ( )= α α ( +)ln = αα ln + α α ln ( +)ln ( ) per ;. e x = ln α < ln( +) : ho che lim G( )=, G( )= e + Osservo che per α = ho che G ( )= log e < ; +, quindi G ( )< ;. Dunque la disequazione iniziale è vera per α =. Osservo inolre che: per α > ho che H( x)< ln e x, quindi oerrei un approssimazione più grezza; per < α < i grafici di h e H o hanno un puno di inersezione in comune per x > (posso provarne l esisenza applicando il Teorema di esisenza degli zeri alla funzione coninua G( )) oppure H( x)> h( x) (basa applicare il ragionameno fao per il caso α = ). + H è pari + Ora, H( x)dx = H( x)dx = ln( ) lim e αx dx + = ln α lim ln α lim ( + e α )= ln, per cui A > ln. α In definiiva,39! ln < A <. + e αx = 7 di

8 Quesionario. Risolvi cinque dei dieci quesii:. Si dispone di due dadi uguali non bilanciai. Lanciando ciascuno dei due dadi, le probabilià di uscia dei numeri,, 3 e 4 sono pari a k, menre le probabilià di uscia dei numeri 5 e 6 sono!pari a k. Deerminare il valore di k e sabilire qual è la probabilià che, lanciando i due dadi conemporaneamene, escano due numeri uguali ra loro.! Risposa. P( X =,,3,4,5,6)= k + k + k + k + k + k = k = 5. Considero le VA discree X: lanciando il primo dado esce x e Y: lanciando il secondo dado esce y, con x,y =,,3,4,5,6. È richiesa la probabilià: P 6 i= 6 ( X = i Y = i) = P( X = i Y = i) 6 = P( X = i) P( Y = i) = = 9 5. i= i=. Deerminare il raggio della sfera di cenro C( ; ; ) angene al piano di equazione x + y + z =. Risposa. Indicai con π il piano e con r il raggio della sfera daa, ho che + + r = dis( π; C)= = = Considerando la funzione f :!! definia come: f ( x)= x 4 + x se x < 4 e 4 x + 3 se x 4, deerminare l angolo formao dalle angeni nel puno angoloso del grafico della funzione.! Risposa. f è coninua in! e derivabile in!\{ 4}. Poiché f ( 4)= 4 e lim f x 4 ( x)= e lim f x 4 + x + se x < 4 f ( x)= e 4 x se x > 4 ( x)=. Quindi i coefficieni angolari delle ree angeni al grafico di f nel puno angoloso sono e, corrispondeni a un angolo rispeo al semiasse posiivo delle ascisse pari a π e π 4 rispeivamene. Quindi l angolo richieso ha ampiezza 3π 4., 4. Calcolare la derivaa della funzione f x ( )= x sin x, adoperando la definizione di derivaa.! 8 di

9 Risposa. ( x + h)sin( x + h) xsin x ( x + h) ( sin xcosh+ cos xsin h) xsin x lim = lim = h h h h = lim sin xcosh cosh h h xsin x + ( x + h) sin h h cos x = sin x + xcos x, dove si sono usai i cosh sin h limii noevoli lim = e lim h h h h =. 5. Deerminare l area della superficie compresa ra il grafico della funzione: le ree y =, x = 5 e l asse y.! x + f ( x)= x + x +,! Risposa. Osservo che f è decrescene in ; 5, infai f ( x)= ( x + x +) x + x + x + ( ) e f ( ) = x + x x + x + ( x) per,37! 3 x + 3!,37. Poiché f ( )=, f ( x)< x ; 5. Quindi l area richiesa è 5 5 x + ( f ( x) )dx = x + x + dx = x ln x 5 ( + x +) = ln 3! 6,57. ( ) ( ) = 6. Deerminare l equazione della rea angene al grafico della funzione f x ( )= x e x!nel suo puno di flesso.! ( ) e Risposa. f ( x)= ( x)e x e f ( x)= ( x )e x. f ammee un puno di flesso F ; e ivi la rea angene al suo grafico ha equazione : y e = f ( ) ( x ) : y = ( 4 x)e. 7. La variabile casuale x ha densià di probabilià daa dalla funzione: f ( x )= 3 se x < 7 se < x 3 se 3 x ; deerminare la media e la mediana della variabile casuale x. Risposa. La media vale µ = xf ( x)dx = x 3dx + 7x dx + x dx = x di

10 + 7x x 4 3 = = 8. Per deerminare la mediana q rovo la funzione di riparizione: se x < x 3 se x < F( x)= 7x + x + 3 se x > Ho che F( q )= 7q + = q = 4 7. ( ) se < x 3 ( ) 4 se 3 x. 8. Deerminare le coordinae dei puni nello spazio che giacciono sulla rea perpendicolare nel puno ( ; ; ) al piano di equazione x y z =, a disanza 6 da ale piano.! Risposa. Chiamo π il piano dao; allora π! ( ; ; ). La rea r perpendicolare a π nel puno dao ha equazione paramerica x = + r : y = con!. z = È richieso di rovare le coordinae dei (due) puni su r, della forma P ( + ; ; ), ( + ) ( ) ali che dis( ( ) P ; π)= 6 : = ( ) + ( ) 6 = 6 = 6 = ± 6. Dunque i puni sono P 6 ( 6; + 6; + 6) e P 6 ( + 6; 6; 6). 9. Considerando la funzione f ( x)= ( ax +) x!definia in! e a valori in!, mosrare che le angeni al suo grafico nei puni di ascissa e sono parallele alla biserice del secondo e del quaro quadrane, indipendenemene dal valore del paramero a. Individuare inolre il valore minimo del paramero a per cui la angene al grafico nel puno di ascissa forma con gli assi caresiani un riangolo di area maggiore di 3.! Risposa. Poiché f ( x)= a + x, f ( x)= x non dipende dal valore di a. La biserice del secondo e quaro quadrane ha coefficiene angolare e f ( )= = f ( ). Poiché f ( )= a + e f ( )=, : y ( a +)= ( x ) : y = x + a +. Tale rea inerseca gli assi in A( ; a + ) e B( a + ; ). di

11 L area del riangolo AOB, dove O( ; ), è A( a)= ( a + ). Si chiede il valore minimo di a per cui A( a)> 3 : ( a + ) > 3 a + Tale minimo non esise. ( ) > 6 6 < a + < 6 6 < a < 6.. Dimosrare che la derivaa della funzione! f ( x)= e ax è la funzione f ( x)= a e ax. ( ) = ax Risposa. Considero a un paramero reale. Se con dimosrare si inende a parire da quano acquisio durane le lezioni, allora il quesio è banale: f ( x)= e ax ( ) e ax = a e ax (basa conoscere la derivaa della funzione esponenziale e la regola di derivazione delle funzioni compose). Alreano banale è osservare che f x ( ) è una funzione. Alrimeni è possibile dimosrarlo a parire dalla definizione di derivaa: e a ( x+h ) e ax e ah lim = lim e ax a e ah = a lim ah= e h h h h h ah eax = a lim e ax = a e ax, dove nell ulimo e x passaggio si è fao uso del limie noevole lim =. Quindi f x ( x)= a e ax con x a!\{ }. Se a = allora f ( x)= e f ( x)= lim h h =, dunque f ( x)= a e ax con a!. Per compleare la dimosrazione rimane da provare il limie noevole: e x lim = e x = = lim x x ln( +) = = ln( +) lim lim ln ( +) = ln lim + = ln( lim + z z ± ( ) z ) := ln e =. ( ( ) ) = z = di