Università degli Studi di Firenze Corso di Laurea triennale in Fisica e Astrofisica

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1 Universià degli Sudi di Firenze Corso di Laurea riennale in Fisica e Asrofisica Analisi Maemaica I (A.A. 5/6) Proff. F. Bucci & E. Paolini Seconda prova inercorso ( Dicembre 5). Dimosrare che per ogni x R si ha e che la sima è oimale. x + cos x x 4,. Calcolare x x x e x + cos(πx).. Disegnare i grafici G f e G g delle funzioni f(x) x x e g(x) max{, x 6}, e calcolare l area della figura piana deiaa da quelli (i grafici) delle resrizioni di f e g all inervallo [, ]. 4. Daa f() log(+), si consideri la funzione inegrale Si chiede di F (x) : f() d. () (a) sabilire in che senso va ineso l inegrale in (??), precisando il dominio e la regolarià della funzione F ; (b) deerminare evenuali asinoi della funzione F (x), per x + ; (c) sabilire il caraere della serie n ( F. n)

2 Svolgimeno Esercizio. Allo scopo di provare la disuguaglianza del eso, è uile inrodurre la funzione h definia da h(x) : x + cos x x 4, x R, ed indagarne le proprieà (globali), quali monoonia e/o convessià (concavià). Si osservi preinarmene che h è una funzione pari: è perano sufficiene analizzare la sua resrizione a R +. Si noa subio che h(), e che h(x) per x +, come segue immediaamene riscrivendo h(x) x 4( x cos x ) x 4 per x. Il ie mosra in paricolare che la sima cercaa h(x) è ceramene soddisfaa per x sufficienemene grande. Si ha h C (R), con h (x) : 6x 6 cos x sin x 4x 6x sin(x) 4x, x R. () Al fine di deerminare il segno della derivaa h (x), si osserva che una più accuraa riscriura di (??) produce da cui segue ( h (x) x sin(x) 4 x) (x sin(x) (x) 6 h (x) x, richiamando la noa sima dal basso per la funzione seno: ), x R, sin 6,. () (Si ricorda che la sima (??) si dimosra provando la convessià della funzione sin + 6 per, in virù della sima elemenare sin,.) In conclusione, h è monoona decrescene in [, ) e di conseguenza h(x) h() per ogni x ; poiché h è pari, essa risula crescene in (, ] e la validià della sima su uo R è provaa. Infine, la sima risula oimale poiché h(). In alernaiva, si poeva osservare che si ha anche h C (R): derivando nuovamene in (??), si ricava ( h (x) cos(x) 4x ) 6 ( cos(x) (x)) per ogni x; uilizzando in queso caso la sima cos x x, con x in luogo di x, si oiene immediaamene che h (x) su R. Dunque h è concava in R ed il suo grafico G h sa soo a ue le ree ad esso angeni; in paricolare, alla rea angene passane per (, ), che ha equazione y dao che h () (x è un puno criico per h). Si conclude di nuovo che h(x) per ogni x.

3 (È imporane soolineare che anche nel caso non ci si avvalesse delle sime richiamae per le funzioni circolari, la esi si oiene ugualmene e facilmene calcolando la derivaa (erza e) quara di h(x). I calcoli sono omessi e lasciai al leore.) menre Esercizio. Poniamo x + cosicché per x si ha. Si ha x x e x e log x x e x e (e log(+) ++ ) e (e +o( ) ++ ) e (e + +o()++ ) e (e +o() ) e ( + + o() ) e ( + o()) + cos(πx) + cos(π + π) cos(π) ( (π) π + o( )) + o( ) π + o(), da cui x ± x x e x + cos(πx) ± e ( + o()) π + o() ± e ( + o()) ± π + o() ± e π ± eπ. Si evince che il ie richieso non esise in quano ie desro e ie sinisro sono ra loro diversi. (I valori dei ii desro e sinisro sono oenui sopra.) Esercizio. La funzione f(x) è definia per ogni x R, si annulla per x e x ed è negaiva per x <. Per x < si ha f(x) x x da cui e f (x) x + x x 4 x x f (x) ( x) (4 x) x 4( x) x 8. 4( x) 6( x) + (4 x) 4( x) x

4 f g 4 5 Dunque sull inervallo (, 4/] la funzione è crescene, e su [4/, ] è decrescene. Su uo l inervallo (, ] la funzione è concava. Menre per x > si ha f(x) x x da cui e f (x) x + x x x 4 x f (x) ( x ) (x 4) x 4(x ) x 8. 4(x ) 6(x ) (x 4) 4(x ) x Dunque sull inervallo [, + ) la funzione è crescene, su [, 8/] è concava e su [8/, + ) è convessa. Nel puno x c è una cuspide, infai la derivaa desra ende a + e la derivaa sinisra a. Non ci sono asinoi orizzonali né obliqui, in quano sia f(x) che f(x)/x endono a ±. Il grafico della funzione g è l unione di due semiree: per x < si ha y per x > si ha y x 6. Per x si ha un puno angoloso. I grafici delle due funzioni f e g si inconrano nei puni x, x e x (lo si verifica per sosiuzione). Per il calcolo dell area ci ineressa sapere se ci sono alri puni, nell inervallo [, ] in cui le due funzioni si occano. Per x < non ci sono alri puni di inersezione in quano f è posiiva. Per x > osserviamo che si ha f () 5/ < g (). 4

5 Essendo f convessa ra 8/ e sappiamo quindi che il grafico di f sa sopra la rea angene in x che a sua vola sa sopra il grafico di g (che è una rea più ripida della angene). Nell inervallo [, 8/] la funzione g è invece concava e quindi sa sopra alla rea secane. Di nuovo la rea secane sa sopra al grafico di g (in quano le due ree si inersecano in x menre in x la rea secane abbiamo già viso che è sopra il grafico di g). Dunque l area cercaa è daa da: f(x) g(x) dx (f(x) g(x)) dx x x dx + x x dx (x 6) dx. Calcoliamo a pare i re inegrali. x e dx d: Nel primo facciamo la sosiuzione x da cui x x dx ( )( ) d [ 4 + ] ( ) d Nel secondo facciamo la sosiuzione x da cui x + e dx d: Il erzo inegrale: x x dx ( + ) d [ ] (4 + 4 ) d Dunque, in conclusione: (x 6) dx [ ] x 6x f(x) g(x) dx In alernaiva i primi due inegrali poevano essere svoli per pari. Ad esempio: x(x ) dx x(x ) (x ) dx x(x ) 4 5 (x ) 5. Esercizio 4. 4a) La funzione f() log(+) è definia e coninua in R +. Di fao f è esendibile con coninuià in, ponendo f(), poiché f() log( + ), per + ; 5

6 in paricolare, f è iaa in ogni inervallo chiuso di esremi e x e l inegrale in (??) va ineso secondo Riemann. La coninuià di f assicura che la funzione inegrale F è definia per ogni x, e perano dom F R + {x R: x }. Inolre, indicando con f l esensione coninua di f su R +, il Teorema fondamenale del Calcolo Inegrale assicura che F C, con F (x) f(x) log( + x) x, x >, F +() f() x + f(x). 4b) Al fine di sabilire se F ammee asinoi per x +, si indaga innanziuo se esise x + F (x). Si riscrive, ad esempio per x >, F (x) f() d f() d + ove il primo addendo è un numero, menre per il secondo si ha f() d f() d, (4) log d +, x +. (5) Ne consegue che F (x) +, per x + e se vi è un asinoo, queso dovrà essere obliquo. Si discue perano l esisenza del ie F (x) x + x, (6) ed è qui naurale esplorare l applicabilià del Teorema di de L Hôpial: si ha F (x) log( + x), (7) x + x + x da cui segue F (x) (8) x + x e F non ha asinoi obliqui (l esisenza di asinoi orizzonali era già saa esclusa). 4c) Il caraere della serie di ermine generale a n F (/n) scaurisce dall analisi del comporameno asinoico di a n. Si osserva innanziuo che a n è infiniesima: F (/n) F () ; (9) n d alra pare, uilizzando ancora una vola il ie noevole [log( + x)]/x per x, si oiene F (x) f(x) log( + x). () x + d x/ x + x/ x + x dx La domanda in che senso va ineso... è saa generalmene mal inerpreaa: i possibili sensi sono secondo Riemann oppure in senso improprio. 6

7 Dal Teorema di de L Hôpial (forma /) segue che anche x + F (x) x/, () cioè F (x) x/ per x +. Si conclude che a n F (/n) è asinoica a b n : che è il ermine generale di una n / serie convergene. Per il crierio del confrono asinoico, n a n converge. 7