UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA

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1 UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Probabilià e Saisica 26-7 PBaldi, GTerenzi Tuorao 5, 2 aprile 27 Corso di Laurea in Maemaica Esercizio Dire se esisono delle cosani c ali che le funzioni a) f (x) = c( x 2 ) [,] (x) b) c) d) f 2 (x) = c( x 2 ) [ 2,2] (x) f 3 (x) = f 4 (x) = c x 2 [,](x) c x 2 [,](x) siano densià di probabilià Esercizio 2 Un puno viene scelo a caso nel cerchio (pieno) di raggio R con disribuzione uniforme a) Qual è la probabilià che esso disi dall origine più di r ( r R)? b) n puni vengono sceli indipendenemene e con disribuzione uniforme sul cerchio di raggio R b) Qualè la probabilià che la minima disanza dall origine sia maggiore di r? r b2) Qual è la probabilià che la minima disanza dall origine sia maggiore di n? Quano vale il limie di quesa probabilià per n? Esercizio 3 Siano X e Y va di densià congiuna f (x, y) = λ 2 xe λx(y+) x >, y > e f (x, y) = alrimeni a) Calcolare le densià di X e di Y b) Le va U = X e V = XY sono indipendeni? c) Qual è la densià di XY? Esercizio 4 Siano X e Y va indipendeni ed esponenziali di paramero λ, λ > a) Calcolare P( X Y > λ )

2 b) Qual è la densià della va X Y? c) Qual è la densià di X Y? Esercizio 5 La va Y è esponenziale di paramero λ menre X ha una densià condizionale dao Y = y che è di Weibull di parameri α e y, cioè f X Y (x y) = αyx α e yxα, x > Qual è la densià di X? Qual è la densià condizionale di Y dao X = x? Si raa di una densià noa?

3 Soluzioni Esercizio a) f è una funzione e inegrabile su R Dunque è una densià scegliendo c = ( x2 ) dx = 3 4 b) f 2 è posiiva su [,, ] e negaiva su [ 2, [ ], 2] e dunque non può essere una densià qualunque sia la scela della cosane c c) Per qualunque valore di c f 3 non è inegrabile su [, ] d) f 4 è una densià se si sceglie c = x 2 dx dao che l inegrale al denominaore è finio Esercizio 2 a) Dire che il puno viene scelo a caso con legge uniforme sul cerchio di raggio R significa considerare una va bidimensionale di densià f (x) = { πr 2 se x R alrimeni Dire che il puno disa più di r dall origine significa dire che esso si rova al di fuori del cerchio, B r, di cenro l origine e raggio r La probabilià è quindi uguale all inegrale di f sul complemenare di B r, cioè sulla corona circolare compresa ra il cerchio di raggio r e quello di raggio R (ricordiamo che siamo supponendo r R) Poiché f è cosane e uguale a su B πr 2 R, queso inegrale è uguale all area di quesa corona circolare moliplicaa per, cioè πr 2 πr 2 πr 2 πr 2 = R2 r 2 R 2 = r2 R 2 b) Calcoliamo la probabilià che la disanza minima degli n puni dall origine sia r Ciò vuole dire che ui gli n puni si rovano al di fuori di B r Poiché gli n puni sono sai sceli indipendenemene, P(X B c r, X n B c r ) = P(X B c r ) P(X n B c r ) = P(X B c r )n e, riprendendo gli argomeni sviluppai in a), P(X B c r ) = R2 r 2 R 2 = r2 R 2

4 Dunque, la probabilià che la disanza minima dall origine sia r vale b2) Sosiuendo r n al poso di r, si rova ( r2 R 2 ) n ( r2 ) n R 2 e r2 R n 2 n Esercizio 3 a) Per x > si ha f X (x) = f (x, y) dy = λ 2 xe λx(y+) dy = λ 2 e λx xe λxy dy = = λe λx e λxy y=+ = λe λx Dunque X è esponenziale di paramero λ Per y > invece, riconoscendo l inegrale delle densià Gamma, f Y (y) = f (x, y) dx = λ 2 xe λx(y+) dx = λ2 Ŵ(2) (λ(y + )) 2 = (y + ) 2 Da noare che la densià di Y non dipende da λ b) Per verificare l indipendenza di U e V occorre calcolarne la densià congiuna Si raa cioè di calcolare la densià della va φ(x, Y) dove φ(x, y) = (x, yx) e a queso scopo si può usare il eorema di cambio di variabile Per calcolare φ occorre risolvere il sisema u = x y= v = yx che dà φ (u, v) = (u, u v ) Si ha poi ( ) Dφ (u, v) = v u 2 u per cui de Dφ (u, v) = u In conclusione la densià congiuna di (U, V ) è, per u >, v >, g(u, v) = u f (u, uv) = u λ2 ue λu( v u +) = λ 2 e λ(u+v) = λe λu λe λv

5 Dunque U e V sono indipendeni c) Dal calcolo del puno b) è immediao che XY = V è esponenziale di paramero λ Esercizio 4 Le va X e Y hanno densià congiuna { f (x, y) = λ 2 e λ(x+y) se x >, y > se no La probabilià P( X Y > ) non è alro che l inegrale della densià congiuna sull insieme A = {(x, y); x y > } Per > si raa dell insieme nella Figura Figura Ora A = A A 2 e A 2 A x f (x, y) dxdy = λ 2 e λx dx e λy dy = λ e λx ( e λ(x ) dx = A λ e λx dx λe λ e 2λx dx = e λ 2 eλ e 2λ = 2 e λ Chiaramene l inegrale su A 2 produce lo sesso risulao, per cui si oiene P( X Y > ) = e λ Scegliendo = λ si rova P( X Y > λ ) = e Comunque queso calcolo permee di deerminare immediaamene la funzione di riparizione della va X Y : P( X Y ) = e λ da cui si riconosce la fr di una va esponenziale di paramero λ c) Calcoliamo la fr di X Y Se >, allora P(X Y ) è uguale all inegrale della densià congiuna f sull insieme B, quello ombreggiao nella Figura 2

6 A Figura 2 Queso però è uguale a A f (x, y) dxdy Possiamo quindi riprendere il calcolo precedene, per cui, per >, P(X Y ) = 2 e λ La densià g di X Y si oiene da quesa derivando rispeo a ed è dunque uguale a g() = λ 2 e λ Per rovare la densià per valori di negaivi occorre prima calcolare la fr per < Ora in queso caso la funzione di riparizione è daa dall inegrale della densià congiuna su un insieme della forma A 2 Figura 3 Cioè un insieme del ipo di A 2 nel calcolo fao prima Dunque, per <, P(X Y ) = 2 e λ = 2 eλ Da cui derivando si rova g() = λ 2 eλ Meendo insieme i due valori oenui, la densià di X Y risula uguale a () g() = λ 2 e λ che ha un grafico come nella Figura 4

7 λ Figura 4 Esercizio 5 La densià congiuna di X e Y è f (x, y) = λαyx α e yxα e λy per x >, y > ed è alrimeni Dunque la densià di X è, per x >, f X (x) = f (x, y) dy = Invece la densià condizionale di Y dao X = x è, per y >, f Y X (y x) = f (x, y f X (x) = λαyxα e y(λ+xα) αλx α (λ+x α ) 2 che è una Ŵ(2, λ + x α ) λαyx α e y(λ+xα) dy = αλxα (λ + x α ) 2 = (λ + x α ) 2 ye y(λ+xα)