Volume FISICA. Elementi di teoria ed applicazioni. Fisica 1

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1 Volume FISICA Elemeni di eoria ed applicazioni Fisica

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3 ELEMENTI DI TEORIA ED APPLICAZIONI Fisica CUES Cooperaiva Universiaria Edirice Salerniana Via Pone Don Melillo Universià di Salerno Fisciano (SA) ia Tagliameno 4 5 Firenze Tel Fax cues@libero.i

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5 Sommario CAPITOLO - CINEMATICA.... CINEMATICA DEL MOTO RETTILINEO..... Problema..... Problema..... MOTO RETTILINEO UNIFORME MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Problema Problema Problema Problema CINEMATICA DEL MOTO CURVILINEO PIANO MOTO PIANO CON ACCELERAZIONE COSTANTE..... MOTO CON ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ Problema Problema Noa: Cinemaica geomerica Problema CINEMATICA DEL MOTO CIRCOLARE ( ) MOTO CIRCOLARE UNIFORME Problema MOTO CIRCOLARE UNIFORMEMENTE ACCELERATO..... Problema..... Problema DERIVATA DI UN VETTORE ROTANTE E FORMULA DI POISSON CINEMATICA DEL MOTO CIRCOLARE ( ) ALTRI PROBLEMI RISOLTI Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema CAPITOLO - DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE ( A PARTE) EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLA DINAMICA Problema EQUAZIONE DELLA DINAMICA NEI SISTEMI DI RIFERIMENTO NON INERZIALI... 5

6 F I S I C A I Q U A R T I E R I, D I B A R T O L O M E O, G U I D A, S I R I G N A N O.. Problema LEGGE DELL ATTRAZIONE GRAVITAZIONALE ATTRITO DINAMICO Problema ATTRITO STATICO Problema FORZE ELASTICHE E MOTO ARMONICO OSCILLATORE ARMONICO Problema PENDOLO SEMPLICE OSCILLAZIONI FORZATE - RISONANZA FORZA RESISTENTE DI TIPO VISCOSO QUANTITÀ DI MOTO ED ENERGIA CINETICA. PRIMO TEOREMA DELL IMPULSO Problema LAVORO. TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA ALTRI PROBLEMI RISOLTI Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema... CAPITOLO DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE ( A PARTE) CAMPI DI FORZA CONSERVATIVI CAMPO DI FORZA CENTRALE CAMPO DI FORZA UNIFORME CAMPO DI FORZA UNIDIMENSIONALE POTENZIALE ED ENERGIA POTENZIALE CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA ENERGIA POTENZIALE PER ALCUNI CAMPI DI FORZA CONSERVATIVI FORZA DELL ATTRAZIONE GRAVITAZIONALE..... Problema FORZA PESO FORZA ELASTICA DI RICHIAMO Problema MOMENTO DI UNA FORZA EQUAZIONE DELLA DINAMICA ROTAZIONALE. SECONDO TEOREMA DELL IMPULSO LEGGI DI KEPLERO... 9

7 8. ALTRI PROBLEMI RISOLTI Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema... 9

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11 F I S I C A I - C I N E M A T I C A Capiolo Capiolo - CINEMATICA. Cinemaica del moo reilineo Consideriamo un puno maeriale P, cioè un oggeo di dimensioni rascurabili rispeo alle alre disanze in gioco, che si muove su una rea orienaa, con origine O. Indichiamo con x () la funzione, dea legge oraria, che definisce isane per isane la posizione del puno. Sia x () la posizione del puno P all isane e x( + ) la O P P x posizione di P all isane +. x () Dicesi velocià media nell inervallo di empo [, + ], il rapporo ra la variazione di posizione x x( + ) x() x( + ) ed il corrispondene inervallo di empo : x x( + ) x() v m (, ) Il limie per della velocià media è la velocià isananea del puno P al empo : v() lim v m (, ) x( + ) x() lim Supponiamo ora che sia noa la velocià isananea del puno P. Indichiamo con v () la velocià all isane e con v( + ) la velocià all isane +. Dicesi accelerazione media, nell inervallo di empo [, ] +, il rapporo ra la variazione di velocià v v( + ) v() ed il corrispondene inervallo di empo : v v( + ) v() a m (, ) Similmene, si definisce accelerazione isananea il limie, per, dell accelerazione media: dx v( + ) v() dv d x a () lima lim m.. Problema La legge oraria di un puno maeriale che si muove su una rea è: Calcolare la velocià e l accelerazione isananee. x () sen4.

12 F I S I C A I Q U A R T I E R I, D I B A R T O L O M E O, G U I D A, S I R I G N A N O Risoluzione meodo: regole di derivazione La velocià isananea si oiene derivando la legge oraria ( ) dx d v + x rispeo al empo: ( ) ( sin 4) 4 cos4 sin 4 Nell eseguire la derivaa sono sae uilizzae le segueni regole di derivazione: derivaa di un prodoo di funzioni: d [ f ( ) g( ) ] derivaa di una funzione di funzione: d ( ) df [ f ( g( ) )] g df dg ( ) + f ( ) ( g) dg( ) dg ( ) ed è sao fao uso della avola di derivae riporaa nell appendice. La derivaa emporale di v ( ) dà l accelerazione isananea: a dv d ( ) ( 4 cos4 + sin 4) 8cos4 6 sin 4 In ques ulima derivazione si è enuo cono che la derivaa è un operaore lineare, che gode cioè della seguene proprieà: d df [ ( ) ( )] ( ) dg( ) f + g + con e numeri reali qualsiasi. meodo: definizione di derivaa Agli sessi risulai possiamo arrivare usando la definizione di derivaa, calcolando cioè il limie per del rapporo incremenale x ( + lim ) sen [ 4 ( + ) ] v() dx x( + lim sen4 lim sen( ) x() ) cos(4 + ) + sen(4 sen( ) lim 4 cos(4 ) lim sen(4 4 ) 4 cos 4 sen Con dei calcoli analoghi si può oenere l accelerazione isananea: + 4 ) Nei calcoli che seguono vengono uilizzae le formule: lim sen x x x e sen + sen sen cos (formula di prosaferesi)

13 F I S I C A I - C I N E M A T I C A v v( + ) v() a() lim lim 8 cos 4 6 sen4 meodo: sviluppo in serie Possiamo oenere la velocià o l accelerazione enendo cono che nel calcolo del limie del rapporo incremenale gli infiniesimi di ordine superiore possono essere rascurai. Facciamolo, a iolo di esempio, per la velocià. Calcoliamo dapprima la variazione della posizione x : x x( + ) x() ( + ) sin( ) sin 4 ( + )[ sin 4 cos4 + cos4 sin 4 ] sin 4 sin 4 cos4 + cos4 sin 4 + sin 4 cos4 + cos4sin 4 sin 4 Sosiuendo al poso di sin 4 e cos 4 il loro sviluppo in serie 4 arresao al ordine ( sin 4 4 e cos 4 per ) e rascurando i ermini di ordine superiore al primo, cioè quelli in cui n compare con n, si ha: x sin cos4 + sin cos4 sin 4 4 cos4 + sin 4 e quindi: x sin cos4 v() lim lim sin cos4.. Problema Un puno maeriale si muove lungo l asse x con legge oraria x( ) 8 espresso in meri, in secondi e m s. Deerminare: La posizione del puno maeriale all isane s., dove x è L isane di empo in cui il puno maeriale passa per l origine dell asse x. La velocià e l accelerazione del puno maeriale quando queso passa per l origine. Siano f ( x) e ( x) g due funzioni infiniesime in x Sia inolre f ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) + ( x) + ( x)... g + x, cioè ali che lim f ( x) lim g( x) x x x x con i infiniesimo di ordine inferiore rispeo ad i con i infiniesimo di ordine inferiore rispeo ad i. x x. + in x x ed analogamene + in E facile dimosrare che f lim x x g ( x) ( x) lim x x ( x) ( x) Nel calcolo del limie gli infiniesimi di ordine superiore possono quindi essere ignorai. sin + sin cos + sin cos ( ) x x x x x x sin x x , cos x ! 5! 7!! 4! 6!

14 F I S I C A I Q U A R T I E R I, D I B A R T O L O M E O, G U I D A, S I R I G N A N O L accelerazione media del puno maeriale ra l isane s e l isane s. Risoluzione La posizione del puno all isane s è: x( ) 8 m. L isane di empo in cui il puno maeriale passa per l origine si oiene dalla legge oraria ponendo x m : x ( ) 8 ( ) ( + + 4) s La velocià e l accelerazione isananee si oengono derivando la x ( ) rispeo al empo: dx v d x dv ( ) ( ) 6 a Al empo s, quando il puno maeriale passa per l origine, la velocià e l accelerazione valgono rispeivamene: v m / s a m / s ( ) ( ) L accelerazione media ra l isane s e s vale: v ( ) v( ) a m m 9 s o equivalenemene: ( ) a m a 6 [ ] 9 7 s.. Moo reilineo uniforme Un puno maeriale si muove di moo reilineo uniforme se si muove su una rea con velocià isananea cosane (cioè indipendene dal empo): m v () v L accelerazione è nulla in ogni isane. Conoscendo la posizione x del puno maeriale ad un cero isane (alvola chiamao isane iniziale) ed inegrando rispeo al empo, ra l isane iniziale e l isane generico, in corrispondenza del quale il puno maeriale si rova nella posizione x (), si oiene la legge oraria: ovvero 5 dx x x ( ) dx v( ) dx v( ) x x v v ( ) v 5 La legge oraria può anche essere oenua uilizzando gli inegrali indefinii. oiene: e quindi la legge oraria risula: 4 dx ( ) dx v( ) x() v v c v + La cosane arbiraria c resa fissaa dalla condizione iniziale : al empo la posizione del puno maeriale è ( ) x v + c c x v ( ) x + v ( ) x x x. Si

15 F I S I C A I - C I N E M A T I C A Nel caso in cui, la legge oraria divena: ( ) x + v ( ) x x() x + v.. Moo reilineo uniformemene accelerao Un puno maeriale si muove di moo reilineo uniformemene accelerao se si muove su una rea con accelerazione isananea cosane, che può essere posiiva o negaiva: a () a Conoscendo la velocià v del puno maeriale all isane ed inegrando rispeo al empo, ra e l isane generico, si oiene la legge con cui la velocià varia nel empo: dv a v v ( ) dv a( ) dv a( ) a v v a ( ) ovvero: ( ) v + a ( ) v Se, l equazione precedene divena: v() v + a Se si conosce la posizione x del puno maeriale all isane, inegrando ancora una vola rispeo al empo, ra e l isane generico, si oiene la legge oraria: dx x [ ] x ( ) dx v( ) x x v + a ( ) v e cioè: Inolre, se, divena: v + a x() ( ) v ( ) + a ( ) x + v ( ) + a ( ) x () x + v + a In mole applicazioni risula uile una relazione ra la velocià e la posizione. A ale scopo basa v. eliminare il paramero ra le funzioni x ( ) e ( ) Dall equazione: () v + a ( ) v, elevando al quadrao, ricaviamo: v v + v a ( ) + a ( ) v v + a v ( ) + a ( ) 5