1 Catene di Markov a stati continui

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1 Caene di Markov a sai coninui In queso caso abbiamo ancora una successione di variabili casuali X 0, X, X,... ma lo spazio degli sai è un insieme più che numerabile. Nel seguio supporremo che lo spazio degli sai sia o, più in generale d. Perché la successione sia una caena di Markov, deve risulare P(X n+ I X n x, X n x n, X n x n,..., X x, X 0 x 0 ) e supporremo che le probabilià di ransizione p(x, I) P(X n+ I X n x) P(X n+ I X n x) () non dipendano dal empo (da n). Dovremo dare anche la disribuzione iniziale (di X 0 ) µ(i) P(X 0 I). Si ha che p () (x, I) P(X n+ I X n x) e, più in generale, induivamene p (k) (x, I) P(X n+k I X n x) p(x, dy) p(y, I) p (k ) (x, dy) p(y, I) p(x, dy) p (k ) (y, I) p (l) (x, dy) p (k l) (y, I) Tra le disribuzioni (di probabilià) iniziali è imporane disinguere la disribuzione invariane (o sazionaria), definia dalla proprieà µ(i) p(x, I) µ(dx).0. Successione di variabili casuali indipendeni ed equidisribuie È una caena di Markov con p(x, I) P(X n+ I X n x) P(X n+ I) π(i), e la disribuzione π è anche la disribuzione sazionaria. Qui π(i) è la disribuzione di ogni X n (equidisribuie). Inolre P(X n+ I X n x) P(X n+ I) discende dall indipendenza.

2 .0. Processo A() (Auoegressive) Daa una successione di variabili casuali indipendeni ed equidisribuie come normali N(0, ) Z, Z, Z 3,..., () ogni variabile casuale X n (della caena di Markov A()) è definia induivamene da X n βx n + σz n (3) e da una scela (a priori come si vuole) della disribuzione iniziale ν(i) P(X 0 I), che sceglieremo indipendene da ua la successione () delle Z. isula da (3) che quindi P(X n I X n x) P(βx + σz n I X n x) P(βx + σz n I) p(x, I) Inolre, induivamene si ricava che I πσ (y βx) e σ dy X n β n X 0 + σ(β n Z + β n Z + + βz n + Z n ) Ma σ(β n Z + β n Z + + βz n + Z n ) è ancora una gaussiana di media zero e varianza la somma delle varianze, cioè σ (β (n ) + β (n ) + β (n 3) + + β + ) σ βn β Se denoiamo con Z n σ(β n Z + β n Z + + βz n + Z n ), possiamo scrivere X n β n X 0 + Z n. Se scegliamo β < abbiamo che la legge di Z n ende (in legge) ad una gaussiana di media zero e varianza v σ β. Scegliamo allora come disribuzione iniziale una gaussiana di media zero e varianza v ; allora anche X n ha una disribuzione gaussiana di media zero e varianza β n v + σ βn β v. Queso significa che la normale N(0, v ) è la disribuzione sazionaria: infai ciò risula anche da x (y βx) e v e σ dx πv πσ y e v πv Infine noiamo che X n ende in legge ad una normale N(0, v ).

3 .0.3 Processo A() Daa una successione di variabili casuali indipendeni ed equidisribuie come normali N(0, ) Z, Z 3, Z 4,..., (4) ogni variabile casuale X n (che non formano una caena di Markov) è definia induivamene da X n β X n + β X n + σz n (5) e da una scela (a priori come si vuole) della disribuzione congiuna di X 0, X, che sceglieremo indipendene da ua la successione (4) delle Z. Supponiamo che esisa una disribuzione sazionaria gaussiana N(0, v ), con v da deerminare. Deve risulare Sviluppando si ha v E(X n) E((β X n + β X n ) ) + σ v β v + β v + β β E(X n X n ) + σ (6) È bene osservare che anche la disribuzione congiuna di X n, X n è invariane con n; allora, moliplicando la (5) per X n e prendendo il valor medio si oiene E(X n X n ) β v + β E(X n X n ) che per l invarianza dei valori di aspeazione si ha con cui dalla (6) possiamo ricavare Deve risulare E(X n X n ) β v β v σ β β β β β β β β β β β β ( + β )(β + β )(β β ) β > 0 Caene di Markov a empi coninui.0.4 Leggi gamma Inroduciamo la legge Gamma di parameri α e λ, come la densià di probabilià λ α Γ(α) xα e λx 3

4 per x > 0, alrimeni 0; qui Γ(α) è la classica funzione gamma definia per α > 0 da Γ(α) 0 e ξ ξ α dξ La funzione caraerisica della disribuzione Gamma di parameri α e λ è daa da ( ) α λ ϕ() λ i dove la radice complessa è presa in modo ale che per valori reali è reale. Subio queso fao ci dice che la somma di due Gamma di parameri rispeivamene α, λ e α, λ ed indipendeni è ancora una disribuzione Gamma di parameri α + α, λ. Per α la disribuzione Gamma si riduce alla disribuzione esponenziale di paramero λ.. Processo di Poisson Sia T, T, T 3,... una successione di variabili casuali indipendeni ed equidisribuie come esponenziali di paramero λ; allora risula che P(T + T + + T k ) λ k 0 Per ogni esise un solo inero X aleaorio ale che s k (k )! e λs ds T + T + + T X < T + T + + T X + T X+ Queso processo X si chiama processo di Poisson. isula λ (λ)k P(X k) P(T + T + + T k < T + T + + T k + T k+ ) e k! Inolre X s e X X s sono indipendeni e λ( s) (λ( s))k P(X X s k) e k!. Ancora sulle leggi esponenziali Siano {T, T, T 3,..., T n } una famiglia di variabili casuali indipendeni e ogni T i con legge esponenziale di paramero λ i. Allora la variabile casuale τ n min{t, T, T 3,..., T n } è ancora una variabile casuale di ipo esponenziale di paramero λ + λ + λ λ n. Dae due variabili casuali indipendeni T, T disribuie in modo esponenziale di parameri rispeivamene λ, λ, calcolare P(T < T min(t, T ) ) 4

5 Possiamo calcolare la probabilià precedene come limie di Ora P(T < T, min(t, T ) + ) P( min(t, T ) + ) + + quindi P(T > s)p(t ds) P(min(T, T ) ds) P(T > s)p(t ds) e λs λ e λs ds P(min(T, T ) ds) (λ + λ )e (λ+λ)s ds p P(T < T min(t, T ) ) λ λ + λ, λ λ + λ q p P(T > T min(t, T ) ) λ λ + λ Un secondo modo di formulare il risulao è di considerare una variabile casuale T disribuia in modo esponenziale di paramero λ ( λ + λ ), e una seconda variabile casuale indipendene dalla prima che assume solo due valori. per esempio + e, con probabilià rispeivamene p e q p. L equivalenza ra le due formulazioni passa araverso la posizione λ pλ e λ qλ..3 Processi di nascia e more Sono processi di Markov a empi coninui e spazio degli sai S {0,,, 3,...}. Tra i vari parameri che deerminano quesi processi ci sono la successione dei assi di nascia (posiivi) {λ 0, λ, λ,...} e la successione dei assi di more {µ, µ, µ 3,...} Il processo X rappresena la popolazione (gli elemeni della popolazione possono essere della naura più varia) al empo. Si può parire da X 0 0 ma non necessariamene. Il passaggio da 0 ad può avvenire per esempio per immigrazione. Supponiamo di parire da una disribuzione iniziale per X 0 uguale per esempio a {π 0, π, π,...}. Il empo T del primo cambiameno (a k o a k + se eravamo in k) è disribuio come un esponenziale, ma non indipendene da X 0 ; infai, sapendo che X 0 k, T ha paramero uguale a (se k 0 allora il paramero è solo λ 0 ) e, all isane T il processo sala in k con probabilià P(X T k X 0 k) µ k 5

6 menre sala in k + con probabilià Nel caso che X 0 0 allora P(X T k + X 0 k) λ k P(X T X 0 0) Dopo il primo salo, supporremo che l evoluzione proceda nello sesso modo; dopo un empo T, relaivo al empo T, avviene un secondo cambiameno (a parire da 0 il empo rascorso è S T + T ): supporremo che T sia indipendene da T ma dipendene da X T. Infai supporremo T abbia disribuzione esponenziale con paramero, sapendo che X T k, uguale a λ k +µ k. All isane S T + T il processo sala con la sessa modalià precedene. Vogliamo deerminare la disribuzione di probabilià di X al empo (deerminisico), che poremo denoare con p() {p 0 (), p (), p (),...} A queso scopo consideriamo quello che può succedere al empo +. Ebbene può non esserci sao nessun cambiameno, oppure solo uno, oppure più di uno. Nel primo caso P(X + k X k) P(T > X k) e (λ k+µ k ) (λ k +µ k ) +o( ); nel secondo P(X + k X k) P(T < T +T X k) µ k +o( ) e P(X + k+ X k) P(T < T +T X k) λ k +o( ); ed infine nel erzo Quindi P(X + j, j k > X k) P(T + T X k) o( ). p k ( + ) P(X + k) P(X + k X k)p k ()+ da cui, per k µ k λ k P(X + k X k )p k ()+ P(X + k X k + )p k+ ()+ P(X + k X j, k j > ) p k() λ k p k () + µ k+ p k+ () ( )p k () 6

7 e p 0() µ p () λ 0 p 0 () Se le p k () sono indipendeni dal empo (misura invariane) uguale a π k, allora abbiamo che 0 λ k π k + µ k+ π k+ ( )π k e da cui 0 µ π λ 0 π 0 π λ 0 µ π 0, π λ 0λ µ µ π 0, π λ 0λ λ µ µ µ 3 π 0,... Deve quindi risulare che la serie + λ 0 µ + λ 0λ µ µ + λ 0λ λ µ µ µ 3 + < Denoando con Π la sua somma oeniamo che la misura invariane è π k λ 0λ λ λ k µ µ µ 3 µ k Π 7