Minimi Quadrati Ricorsivi

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Arturo Molteni
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1 Minimi Quadrai Ricorsivi Minimi Quadrai Ricorsivi Fino ad ora abbiamo sudiao due diversi meodi per l idenificazione dei modelli: - Minimi quadrai, uilizzao per l idenificazione dei modelli ARX, in cui i dai a disposizione vengono elaborai ui insieme per oenere la sima dei parameri. - Massima verosimiglianza, uilizzao per l idenificazione dei modelli ARMAX, la cui sima è oenua per affinameni progressivi: ad ogni ierazione i dai vengono elaborai ui insieme per valuare il veore dei parameri. Ciò che accomuna quesi due meodi, non a caso chiamai meodi di idenificazione a loi, è la loro paricolarià nello simare i parameri del modello elaborando i dai ui insieme (in un unico loo), ovvero: erminaa la fase di acquisizione dai inizia la fase di elaborazione da cui si oiene la sima dei parameri. Un uleriore caraerisica di quesi meodi è che non permeono di fare una sima online. Occorre infai aspeare N campioni prima di poer fare l idenificazione del sisema. Esisono mole siuazioni invece in cui la sima deve essere eseguia in empo reale. Per queso ipo di problemi, assumono paricolare imporanza le ecniche di sima ricorsiva, in cui l aggiornameno dei parameri viene effeuao on-line, man mano che i dai vengono acquisii; infai, uilizzando algorimi ricorsivi, le fasi di acquisizione e di elaborazione dei dai procedono simulaneamene. Nei problemi di idenificazione in cui i dai arrivano progressivamene, memorizzare ue le informazioni e ricalcolare la sima ad ogni isane di campionameno può essere eccessivamene cososo dal puno di visa compuazionale. Vi sono 3 meodi di idenificazione ricorsiva:.minimi quadrai ricorsivi (RLS Recursive Leas Squares) : si usa per l idenificazione dei modelli ARX 2.Massima verosimiglianza ricorsiva (RML Recursive Maximum Likehood) : è usao per l idenificazione dei modelli ARMAX. 3. Minimi quadrai esesi (ELS Exended Leas Squares): è usao per simare i modelli ARMAX. Minimi quadrai ricorsivi Il meodo dei minimi quadrai ricorsivi per poer aggiornare in linea i parameri del sisema di ineresse, modifica l algorimo dei minimi quadrai di bach, fornendone una formulazione ricorsiva che consena di aggiornare la sima al passo precedene, correggendola mediane un ermine che dipende dall innovazione apporaa dall ulimo dao acquisio. Il calcolo della sima, infai, può essere imposao in modo che il risulao al passo k si oenga aggiornando quello ricavao al passo k,senza dover riconsiderare ui i dai globalmene. L informazione passaa, condensaa in (k ), viene correa aggiungendovi un ermine proporzionale all errore di predizione, cioè alla differenza ra l osservazione y(k) e il valore predeo ŷ(k k ). Il meodo si uilizza per la sima dei modelli AR ed ARX e prevede di oenere re diverse forme ricorsive per esprimere la sima dei parameri, in un deerminao isane, parendo dalla forma base del meodo dei minimi quadrai. Dell'algorimo RLS sono disponibili re forme: RLS Forma I: non si implemena mai nella praica, poiché richiede inversione di marici e può provocare problemi numerici; RLS Forma II: è sabile ma si applica solo nel caso di pochi parameri o quando si ha a disposizione un'elevaa poenza di calcolo; RLS Forma III: si applica quando si hanno risorse limiae. Idenificazione e Fusione Sensoriale Appuni di DM Pagina

- Massima verosimiglianza, uilizzao per l idenificazione dei modelli ARMAX, la cui sima è oenua per affinameni progressivi: ad ogni ierazione i dai vengono elaborai ui insieme per valuare il veore

2 Minimi Quadrai Ricorsivi Il procedimeno è il seguene: Si considera l espressione base dei minimi quadrai Si riscrive il ermine parire dall isane -, oenendo come somma ra i dai al empo ed i dai negli isani precedeni, a Sesso discorso può essere fao per il ermine S(), perciò Si scrive la () esprimendola al empo -, per simare i parameri all isane - Si sosiuisce l espressione (4) nella (2) e si ha: Si sosiuisce l espressione (3) nella (5) e si oiene: Si sosiuisce l espressione (6) nella () e si può scrivere Si sciolgono le parenesi nell espressione (7) oenendo Idenificazione e Fusione Sensoriale Appuni di DM Pagina 2

al empo -, per simare i parameri all isane - Si sosiuisce l espressione (4) nella (2) e si ha: Si sosiuisce l espressione (3) nella (5) e si oiene: Si

3 Minimi Quadrai Ricorsivi che risula essere l espressione ricorsiva cercaa. Sudiando l espressione (8) si definiscono i due ermini ed come segue: A queso puno può essere oenua la prima forma del meodo dei minimi quadrai ricorsivi : Come si può osservare, se l errore di predizione è nullo al empo allora il ermine di aggiornameno della sima risula nullo e la sima non viene modificaa. Al conrario, se l errore di predizione non è nullo al empo allora la sima sarà modificaa di una quanià pari al ermine di aggiornameno che prende il nome di guadagno dell algorimo. Nella RLS Forma I, la marice S() diverge. Perano si definisce una marice R() alernaiva,riscrivendo l algorimo RLS in un alra forma, inroducendo : R( ) S Prendendo la ricorsione ausiliaria della RLS Forma I e dividendo i due membri per, si oiene: S S S In seguio si ricava l espressione ricorsiva per la R S R : R R A queso puno si definisce la seconda forma del meodo dei minimi quadrai ricorsivi, che viene ricavaa a parire dalla marice E si può scrivere come: Idenificazione e Fusione Sensoriale Appuni di DM Pagina 3

predizione è nullo al empo allora il ermine di aggiornameno della sima risula nullo e la sima non viene modificaa.

4 Minimi Quadrai Ricorsivi Le espressioni oenue considerando le due forme presenae non vengono uilizzae nella praica in quano in enrambi i casi bisogna inverire ad ogni isane una marice quadraa, in un caso e nell alro, di dimensioni pari al numero di parameri da simare. Quesa operazione risula esremamene dispendiosa in ermini compuazionali. E possibile ovviare a queso problema uilizzando il Lemma di inversione di marice che conduce ad un espressione in cui si effeua solo l inversione di uno scalare. Lemma di inversione di marice Si considerino quaro marici F, G, H e K di dimensioni ali che la qunià F+GHK abbia senso. Si supponga che le marici F, H e (F+GHK) siano inveribili. Si Allora può applicare si può scrivere: il lemma presenao alla marice Dae due marici La moliplicazione ha senso se con. La somma ha senso se Infai ponendo si osserva che ha senso l espressione F+GHK, poiché le dimensioni sono congrueni. Si oiene quindi: in cui il ermine Ricordando che i ermi si ha che si riduce ad essere uno scalare. corrisponde all inversione di uno scalare. Considerando si può scrivere la erza forma del meodo dei minimi quadrai come segue: Quesa forma è quella che più si avvicina alle espressioni uilizzae nella realà. Infai è possibile che la perda le sue proprieà a causa di derive prodoe dal cumulo degli errori numerici. Perciò si preferisce faorizzare la marice e considerare di vola in vola i suoi dai aggiornai per poi riaggregarli manualmene manenendo così la sua simmeria e la sua definia posiivià. L analisi dei faori inolre consene di esare, isane per isane, le caraerisiche della marice e verificare la bonà dell algorimo per poer prendere empesivi provvedimeni in caso negaivo. Equivalenza ra LS e RLS Gli algorimi ricorsivi sono una versione rigorosa della formula dei minimi quadrai. Per avere una equivalenza effeiva (disurbaa solo da errori numerici), gli algorimi devono essere opporunamene inizializzai considerando le segueni espressioni: alvola si ende ad eviare l inversione della marice procedendo con una inizializzazione convenzionale in cui Idenificazione e Fusione Sensoriale Appuni di DM Pagina 4

E possibile ovviare a queso problema uilizzando il Lemma di inversione di marice che conduce ad un espressione in cui si effeua solo l inversione di uno scalare.

5 Minimi Quadrai Ricorsivi Per preservare le proprieà della marice varianza della sima si deve assumere un ricordando che: - molo piccolo si considera la paramerizzazione iniziale poco incera. L algorimo evolve lenamene da ale paramerizzazione - elevao si considera la paramerizzazione iniziale molo incera. L algorimo si allonanerà rapidamene da ale valore Sia il veore di parameri che descrive perfeamene il sisema. Ci chiediamo allora se esise ale che. Se si verifica ale condizione, vuol dire che la sima ( ) è consisene, ossia che all aumenare del campione N la sima ende al valore reale. Poso E ricordando che, sosiuendo si oiene In quano il valore aeso del disurbo (rumore bianco) è nullo. L algorimo RLS viene uilizzao in ui quei campi praici dove è necessario effeuare la sima dei parameri in empo reale come; - Sisema di conrollo auomaico della roa: la frequenza e l'inensià dei disurbi che dipendono dalle condizioni amosferiche deerminano noevoli cambiameni nelle dinamiche relaive al moo della nave - Pazieni affei dalla sindrome da sress respiraorio: In erapia inensiva la conoscenza delle proprieà viscoelasiche del sisema respiraorio è di esrema imporanza per rilevare significaivi cambiameni delle funzioni viali del paziene e quindi per aggiusare il raameno respiraorio Idenificazione e Fusione Sensoriale Appuni di DM Pagina 5

L algorimo si allonanerà rapidamene da ale valore Sia il veore di parameri che descrive perfeamene il sisema. Ci chiediamo allora se esise ale che.

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