Fondamenti di Automatica Test di autovalutazione n.1 (test di ingresso) può anche essere rappresentato come

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1 Fondameni di Auomaica Tes di auovaluazione n. (es di ingresso). Il numero complesso [a] 2 j2 3 [b] 2 3 j2 [c] 8 3 j [d] 2 + j2 3 /6 4e jπ può anche essere rappresenao come 2. L argomeno, espresso in radiani, del numero complesso + j vale [a] 3π / 4 [b] π / 4 [c] π / 2 [d] π / 4 3. Si consideri la relazione ra numeri complessi c = ab. Una sola delle affermazioni [a]-[d] segueni è sbagliaa. Quale? [a] c = a b [b] arg( c ) = arg( a) + arg( b) [c] Re( c) = Re( a) Re( b) [d] arg( / c) = arg( a) arg( b) 4. Nel campo dei numeri complessi, l espressione 3 27 [a] non è ben definia [b] assume solo il valore 3 [c] assume 3 valori disini, di cui uno solo a pare reale posiiva [d] assume 3 valori disini, di cui uno solo a pare reale negaiva quano valga 5. Sia dao il numero complesso λ = + [a] λ ha pare reale uguale a [b] λ ha modulo uguale a [c] λ ha argomeno uguale a 0 [d] λ è uguale a j j 3. Quale delle segueni affermazioni [a]-[d] è vera?

2 6. Indicando con j l unià immaginaria e con x una variabile reale, si consideri la funzione jx f ( x) = e. Tale funzione è [a] reale e periodica [b] reale e non periodica [c] complessa e periodica [d] complessa e non periodica 7. Sia daa la funzione f ( = sen( + cos( π ), con reale. Quale di quese affermazioni [a]-[d] è correa? [a] f ( è periodica [b] f ( è posiiva per ogni [c] il modulo di f ( è minore di, per ogni [d] nessuna delle re affermazioni precedeni è vera 8. L espressione ( a k b k ) ln può essere equivalenemene scria come k ln a + lnb k ln a + b [a] ( ) [b] ( ) [c] ( ln( ab) ) k [d] ln ( ka) + ln( kb) 9. Si considerino una marice A di dimensioni n m e un veore (colonna) x di dimensioni n. Dire quale delle segueni espressioni è dimensionalmene correa: [a] Ax [b] A + x [c] xa [d] nessuna delle precedeni 0. Il deerminane di una marice quadraa è nullo solo se [a] almeno un auovalore è nullo [b] ui gli auovalori sono nulli [c] almeno un auovalore è uguale a [d] ui gli auovalori sono uguali 2

3 . Siano A e B due marici quadrae di ordine n > e λ una cosane reale. Una sola delle segueni affermazioni [a]-[d] è correa. Quale? [a] de( λ A) = λde( A) [b] de( AB) = de( A) de( B) [c] de( A + B) = de( A) + de( B) [d] de( λi A) = λ de( A) 2. Gli auovalori di una marice quadraa di ordine n corrispondono alle soluzioni di [a] λi A = 0 [b] de( λa) = 0 n [c] λ de( A) = 0 [d] de( λi A) = 0 3. Indicare quale delle segueni coppie di valori non può rappresenare gli auovalori di una marice reale di ordine 2. [a], [b], 2 [c] j, j [d] j, 2j 4. Si consideri una marice A quadraa di ordine n e la marice non singolare. Le due marici A e B [a] sono ideniche [b] hanno gli sessi auovalori [c] hanno gli sessi auoveori [d] hanno gli sessi elemeni sulla diagonale cosa hanno in comune B = TAT, dove T è quadraa e 0 5. L inversa della marice A = vale [a] A = [b] A = 2 / 2 [c] A = 0 / 2 / 4 / 2 / 2 0 [d] A = 2 3

4 x x e sen x2 6. Si considerino il veore di variabili x = e il veore di funzioni f ( x) = 2. La x2 2x + x2 marice Jacobiana f x (x) è definia come e x x sen x2 [a] 2 [b] sen x e x2 e cos x2 e x cos x2 [c] 2x x2 2 2x2 2 2x2 e x (sen x2 + cos x2) [d] 2 + 2x2 7. Si ricordi che la raccia di una marice quadraa A è indicaa con il simbolo r (A) ed è definia come la somma degli elemeni sulla diagonale. Considerando due marici quadrae A e B dello sesso ordine, si dica quale delle segueni affermazioni [a]-[d] è erraa: [a] r ( A + B) A) + r( B) [b] r( AB) A) r( B) [c] r ( AB) BA) [d] r ( A + B) B + A) 8. Siano A e b rispeivamene una marice quadraa di ordine n e un veore di ordine n. In quali di quese siuazioni il sisema di equazioni lineari Ax = b ammee infinie soluzioni? [a] sempre [b] mai [c] se A è singolare e b è nullo [d] se A è non singolare 9. Si consideri l equazione differenziale x & ( = 5x& ( + 2x(. Per deerminare univocamene la soluzione da = 0 in avani la minima informazione necessaria è cosiuia dai valori [a] x( 0), x( ) [b] x ( 0), x& (0), & x (0) [c] x(0) [d] x ( 0), x& (0) 20. Quale delle segueni funzioni non può essere una soluzione di un equazione differenziale lineare omogenea a coefficieni cosani di ordine n? 2 [a] y( = + + e [b] y( = e cos( [c] y( = an( + e [d] y( = e sen( 4

5 2. Una soluzione dell equazione differenziale x& ( = 2x( + è daa da [a] e [b] e + [c] e [d] e 22. L inegrale 0 [a] + e [b] e [c] e σ [d] e e ( σ ) dσ vale 23. L inegrale ( ωτ ) dτ [a] sen( ω ) - [b] ω sen( ω ) [c] ωsen( ω ) [d] cos( ω ) 0 cos vale 24. L inegrale improprio e d [a] vale [b] vale [c] vale e [d] diverge calcolarlo 0 k 25. La serie converge a k= 0 2 [a] /3 [b] 2 [c] - [d] non converge 5

6 2 3 4 x x x 26. La funzione f ( x) = x + + K rappresena lo sviluppo in serie di 2! 3! 4! x [a] e x [b] e [c] log( e + x) [d] cos x 27. Indicando con v la ensione ai capi di un condensaore e con i la correne che vi circola, la legge che descrive il funzionameno di un condensaore con capacià C è [a] i = Cv [b] v = Ci di dv [c] = Cv [d] = i d d C 28. L equazione differenziale che descrive il legame ra la ensione v e la correne i nel circuio mosrao in figura ha la seguene sruura: di Re R2 = i + d L R + R L R R R L i Il valore correo di ( ) ( ) v 2 + R è [a] R = R R e 2 [b] R e = RR2 + RR3 + R2R3 [c] R e = RR2 + RR3 [d] R e = RR2 + R2R3 e 2 v R 2 R Il serbaoio mosrao in figura è cilindrico ed ha sezione S = 0 m 2. Viene alimenao da una condoa la cui poraa u (in m 3 /s) ha l andameno emporale mosrao nel grafico. Supponendo che il livello di liquido all isane = 0 sia h(0) = 0. m, si calcoli il livello raggiuno all isane = 5. Esso vale [a] 0.6 m [b] 0.5 m [c] 0.4 m [d] 0.3 m h u( S u( L equazione che descrive il comporameno dinamico del sisema meccanico in figura è [a] m x&& = kx + mg [b] m x& = kx + mg k [c] m x&& = kx + g x [d] m&& x = kx mg m mg 6