PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 25 Settembre 2006 Cognome Nome Matricola. y=x 2 =i L

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1 PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Biani, BIO A-K) 5 Seembre 6 Cognome Nome Maricola Verificare che il fascicolo sia cosiuio da 9 pagine. La chiarezza e precisione Scrivere le rispose ai singoli esercizi negli spazi che seguono ogni domanda. nelle rispose saranno oggeo Non consegnare fogli addizionali. Non scrivere sul rero. di valuazione Non si possono consulare libri, appuni, dispense ec. ===============================================================================================================. Si consideri il seguene circuio elerico conenene due resisori, un condensaore e un induore: u A B R v R i C i R C x =v C R L y=x =i L Promemoria formule generali: v = Ri i = Cv v = Li Si inende descrivere il comporameno dinamico del circuio. A ale scopo, come indicao nel disegno, si fanno le segueni assunzioni: variabili di sao: x = v C e x = i L (cioè la ensione ai capi del condensaore C e la correne che scorre nell induanza L e nella resisenza R ), variabile di ingresso: u (la ensione ra i puni A e B), variabile d uscia: y = x = i L (la correne che scorre in L e in R ). Si assume (omeendo, per semplicià, le unià di misura) che R,,, = C = R = L =..a Si verifichi, giusificando la risposa, che le equazioni del sisema dinamico lineare a coefficieni cosani (a empo coninuo) che descrive il comporameno del circuio sono le segueni: x () = x() x() + u() x () = x() x() y () = x () Noa: è uile osservare, ad esempio, che i R = i C + i L e che u = v R + v C.

2 .b Per il sisema di cui al puno.a, si deermini l espressione analiica della risposa y () corrispondene (per condizioni iniziali nulle) al segnale di ingresso u () = 3 ramp (). Precisamene, si dica qual è la risposa esaa ra le quaro segueni: 8 8 I) y() sca() ramp() e = + + cos sin sca() II) y() = sca() + ramp() + cos sin sca() III) y() = ramp() e ramp() IV) y() = sca() + ramp() + cos sin sca()

3 . Si consideri il seguene sisema non lineare a empo coninuo: 3 x = k f( x, u), f( x, u) = x 9x + 6x+ 7u (S) y = g( x, u) = x + 3u 3 Si noi che, per u () = u= 8, la funzione f( x, u = 8) = x 9x + 6x+ 56 = ( x 4)( x 7)( x+ ) ha la seguene rappresenazione in funzione di x: 4 3 x 3-9x +6x x.a Per u () = u= 8e k=, si deerminino gli sai di equilibrio e le corrispondeni uscie di equilibrio del sisema (S). 3

4 .b Ancora per u () = u= 8 e k=, si sudi graficamene la sabilià dell equilibrio del sisema (S), deerminando quali sai di equilibrio sono sabili e quali insabili..c Si dica se e come cambino le rispose di cui al puno.b nel caso u () = u= 8e k=..d Si dica se e come cambino le rispose di cui al puno.b nel caso u () = u= 8e k =. 3. Si consideri il sisema dinamico seguene: e () R(s) G(s) w() 4

5 con Gs () =, Rs ( ) = 8. ( s )( s+ 4) 3.a Dea L(s) la funzione di rasferimeno da e ( ) a w ( ), si dica, moivando la risposa, se il sisema sia sabile o asinoicamene sabile o insabile. 3.b Si raccino il diagramma di Bode asinoico del modulo e il diagramma di Bode asinoico della fase di L(s). 3.c Si deermini quale dei re diagrammi A, B, C segueni sia il diagramma di Nyquis di L(s), giusificando opporunamene la risposa. Suggerimeno: ci si avvalga evenualmene dei diagrammi di Bode racciai al puno 3.b. 5

6 .5 Nyquis Diagram 5 Nyquis Diagram.5 Imaginary Axis Imaginary Axis A - B Real Axis Real Axis Nyquis Diagram 5 Imaginary Axis -5 - C Real Axis 4. Si consideri il seguene sisema reroazionao: d() y () + _ e () R(s) G(s) + + y() con Gs () = ( s )( s+ 4), Rs ( ) = 9. 6

7 4.a Si calcolino la funzione di rasferimeno F(s) da y () a y() e la funzione di rasferimeno S(s) da d() a e(). Il sisema in anello chiuso è asinoicamene sabile? Perché? 4.b I grafici segueni A, B, C, D rappresenano, non necessariamene nello sesso ordine, inervalli relaivi ai segnali indicai con I, II, III, IV (in ascisse si rova il empo, espresso in secondi): o I) y ( ) per y () = imp() II) y ( ) per d () = sca () o III) y ( ) per y ( ) = sin( ) o IV) y () per y () = sin() Si deerminino le corree associazioni ra grafici e segnali, giusificando opporunamene le rispose..5 Impulse Response Sep Response y() Ampliude Time (sec) A empo Ampliude y() Impulse Time Response (sec) B empo.4 4. y() Ampliude y() C empo Time (sec) D empo

8 5. 5.a Si dia, nel modo più rigoroso possibile, la definizione di risposa all impulso di un sisema a empo discreo e si descriva come deerminarla a parire dall espressione mariciale del sisema. 8

9 5.b Si dia, nel modo più rigoroso possibile, la definizione di rasformaa Zea di un segnale a empo discreo. A parire dalla definizione, si ricavi la rasformaa Zea dell impulso discreo. 9